OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 01 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea las matrices A = y B =. a b 0 (1 5 putos) Obtega a y b sabiedo que A 5 - =. Es A simétrica? - 1 (1 5 putos) Para los valores a = y b = 1 calcule la matriz X talque A B = (X - I ). Solució Sea las matrices A = y B =. a b 0 Obtega a y b sabiedo que A 5 - =. Es A simétrica? - 1 A = = A A = - 1 a b -1 -a+ -b- =. Igualado teemos: a b ab+a -a+b 5 = -a +, de dode a = = -b -, de dode b = 0. - = ab + a, lo cual es cierto para a = -1 y b = 0. 1 = -a + b, lo cual es cierto para a = -1 y b = Para a = -1 y b = 0, teemos A = la cual es simétrica pues A = A t, y además se observa que los -1 0 elemetos simétricos respecto a la diagoal pricipal so iguales (el -1). Para los valores a = y b = 1 calcule la matriz X talque A B = (X - I ) Para a = y b = 1 teemos A = y B = 1 0 De A B = (X - I ), teemos A B = X - 6I es decir (1/) A B + I = X La matriz pedida es X = (1/) A B + I = (1/) 1 0-5/ 1 0 1/ 1 1 = + = = (1/). 0 / 0 0 9/ = (1/) = EJERCICIO (A) Los beeficios de ua empresa e sus 8 años viee dados, e milloes de euros, por la fució t B(t) = - t + 9t, 0 t 8; dode la variable t idica el tiempo trascurrido, e años, desde su fudació. (1 5 putos) Estudia la mootoía y los extremos de B(t). (1 puto) Dibuje la gráfica de B(t) e el itervalo [0,8] y explique, a partir de ella la evolució de los beeficios de esta empresa e sus 8 años de existecia. Solució Los beeficios de ua empresa e sus 8 años viee dados, e milloes de euros, por la fució t B(t) = - t + 9t, 0 t 8; dode la variable t idica el tiempo trascurrido, e años, desde su fudació. Estudia la mootoía y los extremos de B(t). La mootoía es el estudio de la 1ª derivada, como B(t) es ua cúbica sabemos que es cotiua y derivable e todo R, es particular e su domiio 0 t 8. Por tato los extremos absolutos se ecotrará etre los valores que aule la 1ª derivada B (t), y los extremos del itervalo t = 0 y t = 8. 1

2 IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De B(t) = t - t + 9t, teemos B (t) = t - 6t + 9. t De B (t) = 0-6t + 9 = 0 t - t + 6 = 0 t - 8t + 1 = 0 t = de dode t = 6 y t =. 8 ± ± =, Como B (1) = Como B () = Como B (7) = (1) () (7) - 6(1) + 9 = 15/ > 0, B(t) es estrictamete creciete ( ) e (0,). - 6() + 9 = - 9/ < 0, B(t) es estrictamete decreciete ( ) e (,6). - 6(7) + 9 = 15/ > 0, B(t) es estrictamete creciete ( ) e (6,8). Por defiició t = es u máximo relativo de B(t) que vale B() = - () + 9() = 8. 6 Por defiició t = 6 es u míimo relativo de B(t) que vale B(6) = - (6) + 9(6) = 0. t Falta evaluar B(t) = - t + 9t e los valores t = 0 y t = 8, para ver los extremos absolutos (teiedo e cueta los resultados ya obteidos) 0 B(0) = - (0) + 9(0) = 0 8 B(8) = - (8) + 9(8) = 8. Vemos que el máximo absoluto de B(t) es 8 y se alcaza e t = y t = 8. Vemos que el míimo absoluto de B(t) es 0 y se alcaza e t = 0 y t = 6. Dibuje la gráfica de B(t) e el itervalo [0,8] y explique, a partir de ella la evolució de los beeficios de esta empresa e sus 8 años de existecia. La gráfica de la fució B(t) es ua cúbica. Teiedo e cueta los resultados del apartado ( podemos dibujarla e [0,8], y podemos tambié decir la evolució de sus beeficios si teer que observar su gráfica. Teemos B(t) es estrictamete creciete ( ) e (0,), B(t) es estrictamete decreciete ( ) es estrictamete creciete ( ) e (6,8), B(0) = 0, B() = 8, B(6) = 0 y B(8) = 8. U esbozo de la gráfica de B(t) es: e (,6), B(t) Observado la gráfica los beeficios crece e los años (0,) (6,8), y decrece e (,6).

3 IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO (A) El 55% de los alumos de u cetro docete utiliza e su desplazamieto trasporte público, el 0% usa vehículo propio y el resto va adado. El 65% de los que utiliza trasporte público so mujeres, el 70% de los que usa vehículo propio so hombres y el 5% de los que va adado so mujeres. (1 5 putos) Elegido al azar u alumo de ese cetro, calcule la probabilidad de que sea hombre. (1 puto) Elegido al azar u hombre, alumo de ese cetro, cuál es la probabilidad de que vaya adado Solució El 55% de los alumos de u cetro docete utiliza e su desplazamieto trasporte público, el 0% usa vehículo propio y el resto va adado. El 65% de los que utiliza trasporte público so mujeres, el 70% de los que usa vehículo propio so hombres y el 5% de los que va adado so mujeres. Elegido al azar u alumo de ese cetro, calcule la probabilidad de que sea hombre. Llamemos A, B, C, H y M, a los sucesos siguietes, utiliza trasporte público, utiliza su vehículo, "va adado", es hombre y "es mujer", respectivamete. Además teemos p(a) = 55% = 0 55, p(b) = 0% = 0, p(m/a) = 65% = 0 65, p(h/b) = 70% = 0 7 y p(m/c) = 5% = 0 5 Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Elegido al azar u alumo de ese cetro, calcule la probabilidad de que sea hombre. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que sea hombre es: p(h) = p(a).p(h/a) + p(b).p(h/b) + p(c).p(h/c) = = (0 55) (0 5) + (0 ) (0 7) + (0 15) (0 8) = Elegido al azar u hombre, alumo de ese cetro, cuál es la probabilidad de que vaya adado Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( C H ) p( C) p(h/c ) (0'15) (0'8) p(c/h) = = = = 1/ p(h) p(h) 0'75 EJERCICIO (A) Se quiere estimar la proporció de hembras etre los peces de ua piscifactoría; para ello se ha tomado ua muestra aleatoria de 500 peces, y e ella hay 175 hembras. (1 5 putos) Calcule u itervalo de cofiaza para la proporció de hembras e esta població de peces, co u ivel de cofiaza del 9%. (1 puto) A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiecia para coseguir u itervalo de cofiaza co el mismo ivel y u error máximo de 0 0, cuál es el tamaño que debe teer la ueva muestra? Solució

4 IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Sabemos que si 0 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q = 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) o p N( p q p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = (b- dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1-α/. p(1 ˆ p) ˆ El error cometido es E < z 1 α /. = (b-/, de dode el tamaño de la muestra es > ˆˆ. (z 1-α/ ).p.q E Se quiere estimar la proporció de hembras etre los peces de ua piscifactoría; para ello se ha tomado ua muestra aleatoria de 500 peces, y e ella hay 175 hembras. Calcule u itervalo de cofiaza para la proporció de hembras e esta població de peces, co u ivel de cofiaza del 9%. Datos del problema: p = 175/500 = 0 5, q = = 0 65, = 500, ivel de cofiaza 1 α = 9% = = 0 9, de dode α = 0 06 = 6% como ivel de sigificació. De α = 0 06 teemos α/ = 0 0 De la igualdad p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 97, que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 97 o viee e la tabla y el valor más próximo es , que correspode a z 1-α/ = 1 88 (Iterpolado z 1-α/ = 1 881). Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ 0'5 0'65 0'5 0'65 I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = 0'5-1'88,0'5 + 1' ( ; ) A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiecia para coseguir u itervalo de cofiaza co el mismo ivel y u error máximo de 0 0, cuál es el tamaño que debe teer la ueva muestra? Datos: z 1-α/ = 1 88, p = 0 5, q = 0 65; error máximo = E 0 0. (z ˆ ˆ 1 α /) p q (1'88) 0'5 0'65 De = , teemos que el tamaño míimo de la muestra es E 0'0 = 011. OPCION B EJERCICIO 1 (B) U fabricate de tapices dispoe de 500 kg de hilo de seda, 00 kg de hilo de plata y 5 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se ecesita 1 kg de hilo de seda y kg de hilo de plata, y para los del tipo B, kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vede a 00 euros y cada tapiz del tipo B a 000 euros. Si se vede todo lo que se fabrica,

5 IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua ( putos) Cuátos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beeficio sea máximo y cuál es ese beeficio? (0 5 putos) Qué catidad de hilo de cada clase quedará cuado se fabrique el úmero de tapices que proporcioa el máximo beeficio? Solució U fabricate de tapices dispoe de 500 kg de hilo de seda, 00 kg de hilo de plata y 5 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se ecesita 1 kg de hilo de seda y kg de hilo de plata, y para los del tipo B, kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vede a 000 euros y cada tapiz del tipo B a 000 euros. Si se vede todo lo que se fabrica, Cuátos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beeficio sea máximo y cuál es ese beeficio? x = Número de tapices tipo A. y = Número de tapices tipo B. Fució Objetivo F(x,y) = 000x + 000y. (vede el tipo A a 000 y el tipo A a 000 ) Restriccioes: Tipo A Tipo B Catidad Hilo de seda Hilo de plata 1 00 Hilo de oro Mirado la tabla teemos: x + y 500; x + y 00; y 5 Si se vede todo lo que se fabrica: x 0, y 0 Las desigualdades x + y 500; x + y 00; y 5; x 0, y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x + y = 500; x + y = 00; y = 5; x = 0, y = 0, Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x/ + 50; y = -x + 00; y = 5; x = 0, y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0. Puto de corte A(0,0). De y = 0 e y = -x+00, teemos 0 = -x+00, luego x = 00. Puto de corte B(00,0). De y = -x + 00 e y = -x/ + 50, teemos -x + 00 = -x/ + 50, de dode x+800 = -x+500, es decir 00 = x, luego x = 100 e y = 00, y el puto de corte es C(100,00) De y = 5 e y = -x/ + 50, teemos 5 = -x/ + 50, de dode 50 = -x+500, es decir x = 50, luego x = 50 e y = 5, y el puto de corte es D(50,5) De x = 0 e y = 5. Puto de corte es E(0,5) 5

6 IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Vemos que los vértices del recito so: A(0,0), B(00,0), C(100,00), D(50,5) y E (0,5). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = 000x + 000y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(00,0), C(100,00), D(50,5) y E (0,5). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 000(0)+000(0) = 0; F(00,0) = 000(00)+000(0) = 00000; F(100,00) = 000(100) + 000(00) = ; F(50,5) = 000(50)+000(5) = ; F(0,5) = 000(0) + 000(5) = Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(100,00). Es decir el máximo beeficio se alcaza vediedo 100 tapices tipo A y 00 tapices tipo B Qué catidad de hilo de cada clase quedará cuado se fabrique el úmero de tapices que proporcioa el máximo beeficio? 100 tapices de tipo A equivale a = 100 kg de hilo de seda y 100 = 00 kg de hilo de plata. 00 tapices de tipo B equivale a 00 = 00 kg de hilo de seda, 1 00 = 00 kg de hilo de plata y 1 00 = 00 kg de hilo de oro.. Hilo de seda gastado = = 500. Queda = 0 kg de hilo de seda. Hilo de plata gastado = = 00. Queda = 0 kg de hilo de plata. Hilo de oro gastado = 00. Queda 5 00 = 5 kg de hilo de oro. EJERCICIO (B) Sea f(x) ua fució cuya fució derivada, f (x), tiee por gráfica ua parábola que corta al eje OX e los putos (-1,0) y (5,0) y co vértice (,-) (1 puto) Estudie razoadamete la mootoía de f(x). (0 5 putos) Determie las abscisas de los extremos relativos de la fució f(x). c) (1 puto) Halla la ecuació de la recta tagete a la grafica de f(x) e el puto de abscisa x =, sabiedo que f() = 5. Solució Sea f(x) ua fució cuya fució derivada, f (x), tiee por gráfica ua parábola que corta al eje OX e los putos (-1,0) y (5,0) y co vértice (,-) Estudie razoadamete la mootoía de f(x). Co los datos ateriores la gráfica de f (es ua parábola, que tiee el vértice debajo de los cortes co el eje OX, luego tiee las ramas hacia arrib, es parecida a: Observado la gráfica de f (x) vemos que f (x) > 0 (ecima del eje OX) e el itervalo (-,-1), es decir f estrictamete creciete ( ) e el itervalo (-,-1). Observado la gráfica de f (x) vemos que f (x) < 0 (debajo del eje OX) e el itervalo (-1,5), es decir f estrictamete decreciete ( ) e el itervalo (-1,5). Observado la gráfica de f (x) vemos que f (x) > 0 (ecima del eje OX) e el itervalo (5,+ ), es decir f 6

7 IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua estrictamete creciete ( ) e el itervalo (5,+ ). Por defiició x = -1 es u máximo relativo. Por defiició x = 5 es u míimo relativo. (este es el apartado () c) Halla la ecuació de la recta tagete a la grafica de f(x) e el puto de abscisa x=, sabiedo que f()=5. La ecuació de la recta tagete e x = es y f() = f () (x ) Me ice que f() = 5, y que la gráfica de f pasa por (,-), es decir me da f () = -. La recta tagete pedida es y 5 = -(x ), es decir y = -x + 1. EJERCICIO (B) De los sucesos aleatorios idepedietes A y B se sabe que p(a) = 0 y que p(b C ) = 0 5. Calcule las siguietes probabilidades. (0 75 putos) p(a B). (0 75 putos) p(a C B C ). c) (1 puto) p(a/b C ). Solució De los sucesos aleatorios idepedietes A y B se sabe que p(a) = 0 y que p(b C ) = 0 5. Calcule las siguietes probabilidades. p(a B). Del problema teemos: p(a) = 0 y p(b C ) = 0 5; A y B idepedietes es decir p(a B) = p(a) p(b). ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) p(b) = 1 - p(b C ); p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B). Me pide p(a B). De p(b C ) = 0 5, teemos p(b) = 1 - p(b C ) = = De p(a B) = p(a) p(b), teemos p(a B) = = 0 5. Luego p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = p(a C B C ). Me pide p(a C B C ) = p(a B) C = 1 - p(a B) = = c) p(a/b C ). ( C p A B ) Me pide p(a/b C p(a) - p(a B) 0' - 0'5 ) = = = = 0. C p(b ) 0'5 0'5 EJERCICIO (B) El tiempo que los españoles dedica a ver la televisió los domigos es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de media descoocida y desviació típica 75 miutos. Elegida ua muestra aleatoria de españoles se ha obteido, para la media de esa distribució, el itervalo de cofiaza (188 18, 08 8), co u ivel del 99%. (1 5 putos) Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra. (1 puto) Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado ua muestra de 500 y u ivel de cofiaza del 96%. Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) 7

8 IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ Vemos que x = (a + / σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media. σ Pero la amplitud del itervalo es b a = z1 α / = E, de dode E = (b /, por tato el tamaño z 1- α/. σ míimo de la muestra es = E. El tiempo que los españoles dedica a ver la televisió los domigos es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal de media descoocida y desviació típica 75 miutos. Elegida ua muestra aleatoria de españoles se ha obteido, para la media de esa distribució, el itervalo de cofiaza (188 18, 08 8), co u ivel del 99%. Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra. Datos del problema: Itervalo = (188 18, 08 8) = (a,, σ = 75, x = (a + /, E = (b /; ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de dode α = 0 01, es decir α/ = 0 01/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, las más próximas so y que correspode a 57 y 58, por tato z 1-α/ es la media es decir z 1-α/ = ( )/ = 575. Hemos visto que la media muestral es x = (a + / = ( )/ = Teemos que el error = E = (b / = ( )/ = 10, luego el tamaño de la muestra es: z 1- α/. σ ' > = E 10' 50 01, es decir el tamaño míimo es = 51. Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado ua muestra de 500 y u ivel de cofiaza del 96%. Datos del problema: = 500, σ = 75, ivel de cofiaza = 96% = 0 96 = 1 - α, de dode α = 0 0 De 1 α = 0 96, teemos α = = 0 0, de dode α/ = 0 0/ = 0 0 De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 98 o viee, y la mas próxima es que correspode a z 1-α/ = 05 (Iterpolado z 1-α/ = 05). σ De E = z 1 α /, teemos E < muestra de 500 es de ' , es decir el error máximo admisible para la 500 8