IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió defiida por las siguietes iecuacioes y calcule sus vértices: x + y 3; x - y 1; x 1; y 0. (0 75 putos) alcule los valores máximo y míimo de la fució objetivo F(x,y) = x + 4y e la regió aterior y los putos dode se alcaza. y Represete gráficamete la regió defiida por las siguietes iecuacioes y calcule sus vértices: x + y 3; x - y 1; x 1; y 0. alcule los valores máximo y míimo de la fució objetivo F(x,y) = x + 4y e la regió aterior y los putos dode se alcaza. Las desigualdades x + y 3; x - y 1; x 1; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, x + y = 3; x - y = 1; x = 1; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x/ + 3/; y = x - 1; x = -1; y = 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. alculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = -1 e y = 0, y el vértice es A(-1,0). De y = -x+1 e y = 0, teemos -x+1 = 0 x = 1, y el vértice es B(1,0). De y = -x/+3/ e y = x-1, teemos -x/+3/ = x-1 -x+3 = x- 5 = 3x, de dode x = 5/3 e y = 5/3-1 = /3, y el vértice es (5/3,/3). De x = -1 e y = -x/+3/, teemos y = 4/ =, y el vértice es D(-1,). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito so: A(-1,0), B(1,0), (5/3,/3) y D(-1,). Veamos el máximo y el míimo de la fució F(x,y) = x + 4y e el recito aterior, así como los putos dode los alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(-1,0), B(1,0), (5/3,/3) y D(-1,). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(-1,0) = (-1) + 4(0) = -; F(1,0) = (1) + 4(0) = ; F(5/3,/3) = (5/3) + 4(/3) = 6; F(-1,) = (-1) + 4() = 6. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució F e la regió es - (el meor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(-1,0) y el máximo absoluto de la fució F e la regió es 6 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices (5/3,/3) y D(-1,) por tato se alcaza e todo el segmeto D. EJERIIO (A) Sea la fució dada por f(x) = x + ax si x x + b x - 1. si x > 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua (1 5 putos) Determie los valores de a y b, sabiedo que dicha fució es derivable. (1 puto) Para a = y b = 3, determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f e el puto de abscisa x = 1. x + ax si x Sea la fució dada por f(x) = x + b. si x > x - 1 Determie los valores de a y b, sabiedo que dicha fució es derivable. omo me dice que la fució es derivable, la fució tambié es cotiua, e particular e x =. Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x =. f(x) es cotiua e x = si f() = f() = lim f(x) = x + lim f(x) = x lim x + lim x x + b x - 1 = lim f(x) = lim f(x). x x + (x + ax) = () + a() = 4 + a; + b - 1 = + b, como so iguales teemos 4 + a = + b. x + ax si x x + a si x x + a si x f(x) = x + b ; teemos f (x) = (x - 1) - (x + = -1 - b si x > si x > si x > x - 1 (x - 1) (x - 1) f(x) es derivable e x = si lim f (x) = lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x x b -1 - b lim f (x) = x lim (x + = () + a = 4 + a; x lim f (x) = x + lim x + (x - 1) = ( - 1) = -1 - b, como so iguales teemos 4 + a = -1 - b, de dode a = -5 - b. De 4 + a = + b, teemos 4 + (-5 - = + b b = + b - 8 = 3b b = -8/3, co lo cual a = -5 - (-8/3) = -7/3. La fució f es derivable para a = -7/3 y b = -8/3. Para a = y b = 3, determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f e el puto de abscisa x = 1. x + x si x x + si x < Para a = y b = 3, teemos f(x) = x + 3 y teemos f (x) = - 4. si x > si x > x - 1 (x - 1) Vemos que x = 1 está es la rama x, dode f(x) = x + x y f (x) = x +. La recta tagete e x = 1 es y f(1) = f (1)(x 1). f(1) = (1) + (1) = 3 y f (1) = (1) + = 4, luego la recta tagete e x = 1 es y 3 = 4(x 1). EJERIIO 3 (A) E u servicio técico especializado e cámaras fotográficas, el 70% de las cámaras que se recibe so del modelo A y el resto del modelo B. El 95% de las cámaras del modelo A so reparadas, mietras que del modelo B sólo se repara el 80%. Si se elige ua cámara al azar: (1 5 putos) alcule la probabilidad de que o se haya podido reparar. (1 5 putos) Si se observa que o ha sido reparada, cuál es la probabilidad de que sea del modelo B? E u servicio técico especializado e cámaras fotográficas, el 70% de las cámaras que se recibe so del modelo A y el resto del modelo B. El 95% de las cámaras del modelo A so reparadas, mietras que del modelo B sólo se repara el 80%. Si se elige ua cámara al azar: alcule la probabilidad de que o se haya podido reparar. Llamemos A, B, R y R, a los sucesos siguietes, maquia modelo A, " maquia modelo B", "reparar" y "o reparar", respectivamete. Datos del problema p(a) = 70/% = 0 7; p(r/a) = 95/% = 0 95 ; p(r/b) = 80/% = 0 8,...

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que o se haya podido reparar es: p(r ) = p(a).p(r /A) + p(b).p(r /B) = (0 7) (0 05) + (0 3) (0 ) = Si se observa que o ha sido reparada, cuál es la probabilidad de que sea del modelo B? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( B R ) p( B).p(R /B) p(b/r (0 3) (0 ) ) = = = = (1/19) p(r ) p(r ) EJERIIO 4 (A) o el fi de estudiar el precio medio del litro de gasolia e ua provicia e u determiado día, se seleccioa al azar ese día 9 estacioes de servicio y se observa los siguietes precios, e euros, de u litro de gasolia: 1 3, 1, 1 4, 1 7, 1 5, 1 3, 1 37, 1 38,1 3. Se sabe que el precio del litro de gasolia se distribuye segú ua ley Normal co desviació típica igual a 0 18 euros. (1 5 putos) Obtega u itervalo de cofiaza, al 95%, para estimar el precio medio del litro de gasolia. (1 puto) alcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el precio medio del litro de gasolia co u error o superior a 0 08 euros, co el mismo ivel de cofiaza. σ Sabemos que para la media poblacioal µ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(µ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.. (µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, de dode el tamaño míimo de z 1- α/. σ la muestra es = E. o el fi de estudiar el precio medio del litro de gasolia e ua provicia e u determiado día, se seleccioa al azar ese día 9 estacioes de servicio y se observa los siguietes precios, e euros, de u litro de gasolia: 1 3, 1, 1 4, 1 7, 1 5, 1 3, 1 37, 1 38,1 3. 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Se sabe que el precio del litro de gasolia se distribuye segú ua ley Normal co desviació típica igual a 0 18 euros. Obtega u itervalo de cofiaza, al 95%, para estimar el precio medio del litro de gasolia. Datos del problema: = 9; x = ( )/9 = 93/5 1 30; σ = 0 18; ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05, co la cual α/ = 0 05/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 975, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que viee, y que correspode a z 1-α/ = 1 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I..(µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = 93 0' '18 1'96, + 1' (1 1846,1 4198) alcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el precio medio del litro de gasolia co u error o superior a 0 08 euros, co el mismo ivel de cofiaza. Datos del problema: Error E 0 08, σ = 0 18, igual ivel de cofiaza = 95% os da z 1-α/ = σ z De E = z1 α /, teemos 1- α / σ 1'96 0'18 = E 0'08 muestra de estacioes de servicio es de = 0. = , es decir el tamaño míimo de la OPION B EJERIIO 1 (B) (1 puto) Determie los valores de x e y que hace cierta la igualdad -1 x 1 x 3 =. -y y (1 5 putos) Resuelva la ecuació matricial: X - = Determie los valores de x e y que hace cierta la igualdad -1 x 1 x 3 =. -y y x = x+y -y 3x+y ; 1 x 3 = 3 y y. Igualado x+y = 3 3x+y 3y, teemos: x + y = 3 x + y = 3 x + y = 3 3x + y = 3y 3x - y = 0 E + E 1 () 7x = 6, de dode x = 6/7 e y = 3 - (6/7) = 9/ Resuelva la ecuació matricial: X - = X - = X = + = = Teemos X = omo det (A) = det 1 3 = = 5-6 = -1 0, existe la matriz iversa A -1 = (1/ A ) Adj(A t ). A t = ; Adj(At ) = , luego A -1 = (1/ A ) Adj(A t 5-3 ) = (1/-1) - 1 = Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (A I ), a la expresió (I B), dode B = A -1. 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua F 1-3F (A I ) = por tato 5 0 1F - F F (-1) A -1 = Multiplicado la expresió X = por la derecha por la matriz iversa A -1, teemos X = X I = X = La matriz pedida es X = = EJERIIO (B) El porcetaje de persoas que sitoiza u programa de radio que se emite etre las 6 y las 1 horas viee dado, segú la hora t, mediate la fució S(t) = t + 7t - t 3, 6 t 1. (0 5 putos) Qué porcetaje de persoas sitoiza el programa al comezar la emisió? Y al cierre? ( putos) A qué hora tiee máxima y míima audiecia? Qué porcetaje de persoas sitoiza el programa a dichas horas? El porcetaje de persoas que sitoiza u programa de radio que se emite etre las 6 y las 1 horas viee dado, segú la hora t, mediate la fució S(t) = t + 7t - t 3, 6 t 1. Qué porcetaje de persoas sitoiza el programa al comezar la emisió? Y al cierre? Al comezar la emisió teemos t = 6, luego para t = 6, S(6) = (6) + 7(6) - (6) 3 = 30, es decir al comezar la emisió el 30% de las persoas está e audiecia. Al fializar la emisió teemos t = 1, luego para t = 1, S(1) = (1) + 7(1) - (1) 3 = 48, es decir al fializar la emisió hay 48% de las persoas está e audiecia. A qué hora tiee máxima y míima audiecia? Qué porcetaje de persoas sitoiza el programa a dichas horas? Sabemos que S(t) es ua fució cotiua y derivable e todo R, e particular es cotiua e 6 t 1, y derivable e 6 < t < 1. Tambié sabemos que los extremos absolutos de S(t) se ecuetra etre las solucioes de B (t) = 0, y los extremos del itervalo t = 6 y t = 1. S(t) = t + 7t - t 3 S (t) = t 3t. De S (t) = 0, teemos -3t + 54t - 31 = 0 t - 18t + 77 = 0 t = 18 ± = 18 ± ± 4 = = 9 ±, de dode t = 7 y t = 11, que será los posibles extremos relativos. Evaluamos la fució S(t) e los valores 6, 7, 11, 1. S(6) = (6) + 7(6) - (6) 3 = 30 S(7) = (7) + 7(7) - (7) 3 = 3 S(11) = (11) + 7(11) - (11) 3 = 55 S(1) = (1) + 7(1) - (1) 3 = 48 Vemos que el máximo de audiecia es de 55% de persoas y se alcaza a las 11 horas (t = 11); y que el míimo de audiecia es de 3% de persoas y se alcaza a las 7 horas (t = 7). EJERIIO 3 (B) Se elige u úmero, al azar, etre el siguiete cojuto: {5, 01, 16, 10, 180, 17, 156, 193, 18, 167, 176,, 15, 10, 190, 171}. (0 5 putos) alcule la probabilidad de que el úmero elegido sea impar. (0 75 putos) Si el úmero elegido es múltiplo de 5, cuál es la probabilidad de que sea mayor que 00? c) (0 75 putos) Determie si so idepedietes los sucesos S: el úmero elegido es mayor que 00 y T: el úmero elegido es par. = 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua d) (0 5 putos) Halle la probabilidad del suceso T S Se elige u úmero, al azar, etre el siguiete cojuto: {5, 01, 16, 10, 180, 17, 156, 193, 18, 167, 176,, 15, 10, 190, 171}. alcule la probabilidad de que el úmero elegido sea impar. Vemos que hay 16 úmeros de los cuales 6 so impares, luego: p(úmero elegido sea impar) = 6/16 = 3/8 = Si el úmero elegido es múltiplo de 5, cuál es la probabilidad de que sea mayor que 00? Los múltiplos d 5 so los termiados e 0 o e 5, y que además sea mayores de 00 teemos 3, luego: p(úmero múltiplo de 5 y mayor de 00) = 3/16 = c) Determie si so idepedietes los sucesos S: el úmero elegido es mayor que 00 y T: el úmero elegido es par. S y T so idepedietes si p(s T) = p(a) p(b). omo p(s T) = p(º mayor de 00 y par) = 3/16. omo p(s) = p(º mayor de 00) = 6/16. omo p(t) = p(º par) = 10/16. omo p(s) p(t) = (3/16) (10/16) = 15/18 3/16 = p(s T), los sucesos S y T o so idepedietes. d) Halle la probabilidad del suceso T S p(s T) = p(s) + p(t) - p(s T) = 6/ /16 3/16 = 13/16. EJERIIO 4 (B) 1) E u cetro docete la tercera parte de los alumos estudia el idioma A, la mitad el idioma B y el resto el idioma (cada alumo estudia sólo uo de estos idiomas). (0 75 putos) Se desea seleccioar ua muestra de 60 alumos, mediate muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal al úmero de los alumos de cada idioma. ómo debería estar coformada la muestra? (0 75 putos) E otra muestra seleccioada por el procedimieto aterior, el úmero de alumos tomados del idioma A es 14. Determie cuátos se ha elegido de los otros dos idiomas. ) (1 puto) Ua població tiee 5 elemetos. Mediate muestreo aleatorio simple se seleccioa muestras de tamaño 3, siedo la desviació típica de sus medias y la media de las medias muestrales 7. uáto vale la media y la variaza de la població? 1) E u cetro docete la tercera parte de los alumos estudia el idioma A, la mitad el idioma B y el resto el idioma (cada alumo estudia sólo uo de estos idiomas). Se desea seleccioar ua muestra de 60 alumos, mediate muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal al úmero de los alumos de cada idioma. ómo debería estar coformada la muestra? Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N 1, N,..., N k, y si 1,,..., k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra = 1 +, k y se calcula eligiedo los úmeros 1,,..., k proporcioales a los tamaños de los estratos N 1, N,..., N k, es decir 1 = =... = k = N1 N Nk N El idioma A lo estudia 1/3 del total de alumos N, el idioma B 1/, y el resto es decir 1 1/3 1/ = 1/6, por tato c como = 60 y N 1 = N/3, N = N/ y N 3 = N/6, teemos: 60 = N N = 1 N/3 = N/ = 3 N/6 1 De N/3 = 60 N, teemos 1 = 60 N = 0, luego hay 0 alumos que estudia el idioma A. 3 N 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De N/ = 60 N, teemos = 60 N = 30, luego hay 30 alumos que estudia el idioma B. N De 3 N/6 = 60 N, teemos 3 = 60 N = 10, luego hay 10 alumos que estudia el idioma. 6 N E otra muestra seleccioada por el procedimieto aterior, el úmero de alumos tomados del idioma A es 14. Determie cuátos se ha elegido de los otros dos idiomas. omo el procedimieto es 1/3 del idioma A, 1/ del idioma B y 1/6 del idioma. Al elegir 14 alumos del idioma A, el total de la muestra es 14 3 = 4 =. Del idioma B la muestra tiee 4/ = 1 alumos y del idioma hay 4/6 = 7 alumos. Resumiedo hay 14 alumos del idioma A, 1 alumos del idioma B y 7 alumos y del idioma. ) Ua població tiee 5 elemetos. Mediate muestreo aleatorio simple se seleccioa muestras de tamaño 3, siedo la desviació típica de sus medias y la media de las medias muestrales 7. uáto vale la media y la variaza de la població? Supogo que el muestreo es co reemplazamieto, co lo cual podemos aplicar que la media de la distribució muestral de medias (media de medias) x coicide co la media de la població µ, es decir: µ = x = 7. Aálogamete la desviació típica muestral coicide co la desviació típica poblacioal dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra es decir: σ X = σ/ (). omo el tamaño de las muestras es = 3, teemos que = σ/ (3), de dode la desviació típica de la població es σ = (3)