Reserva Segundo de 2017 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

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1 Reserva Segudo de 017 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A 17_mod_EJERCICIO 1 (A) ( 5 putos) U fabricate de complemetos alimeticios elabora dos tipos de bebidas eergéticas a partir de tres compoetes: tauria, cafeía y L-caritia. U evase del primer tipo de bebida precisa 30 g de tauria, 40 g de cafeía y 0 g de L-caritia, mietras que uo del segudo ecesita 40 g de tauria, 30 g de cafeía y 10 g de L-caritia. Sabiedo que dispoe de 5 kg de tauria, 46 kg de cafeía y 0 kg de L-caritia, que cada evase del primer tipo se vede por 1.5 y cada evase del segudo tipo por 1, cuátos evases de cada tipo de bebida tedría que elaborar para obteer la gaacia máxima? A cuáto ascedería esta gaacia? U fabricate de complemetos alimeticios elabora dos tipos de bebidas eergéticas a partir de tres compoetes: tauria, cafeía y L-caritia. U evase del primer tipo de bebida precisa 30 g de tauria, 40 g de cafeía y 0 g de L-caritia, mietras que uo del segudo ecesita 40 g de tauria, 30 g de cafeía y 10 g de L-caritia. Sabiedo que dispoe de 5 kg de tauria, 46 kg de cafeía y 0 kg de L-caritia, que cada evase del primer tipo se vede por 1 5 y cada evase del segudo tipo por 1, cuátos evases de cada tipo de bebida tedría que elaborar para obteer la gaacia máxima? A cuáto ascedería esta gaacia? Es u problema de programació lieal. Sea x = º de evases tipo A. Sea y = º de evases tipo B. Para determiar las iecuacioes y la fució objetivo F(x,y), poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará. Tauria Cafeia L-Caritia Evase A (x) Evase B (y) Total 5000 g g 0000 g Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes, y la fució beeficio: la catidad de tauria 30x + 40y x + 4y 500. la catidad de cafeia 40x + 30y x + 3y la catidad de L-caritia 0x + 10y 0000 x + y 000. se fabrica algú evase tipo A o B x 0, y 0. cada evase del primer tipo se vede por 1 5 y cada evase del segudo tipo por 1,, teemos que la fució a optimizar es F(x,y) = 1 5x + 1y = 1 5x + y. Resumiedo: Fució a optimizar es F(x,y) = 1 5x + y. Restriccioes: 3x + 4y 500; 4x + 3y 4600; x + y 000; x 0; y 0 Las desigualdades 3x + 4y 500; 4x + 3y 4600; x + y 000; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, 3x + 4y = 500; 4x + 3y = 4600; x + y = 000; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = x/4; y = 4600/3 4x/3; y = 000 x; x = 0; y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, os fijamos e las desigualdades y determiamos el polígoo coexo limitado por los vértices A, B, C, D y E de los cortes de dichas rectas, cuyos lados so los bordes del recito covexo delimitado por las iecuacioes dadas. gjrubio@hotmail.com 1

2 Reserva Segudo de 017 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. x = 0 e y = 0, teemos el vértice A(0,0). y = 0 e y = x, teemos 0 = x x = 1000, y el vértice es B(1000,0). y = x e y = 4600/3-4x/3, teemos x = 4600/3-4x/ x = x 1400 = x, co lo cual x = 700 e y = 000 (700) = 600, y el vértice es C(700,600). y = 4600/3-4x/3 e y = x/4, teemos 4600/3-4x/3 = x/ x = x 800 = 7x, co lo cual x = 400 e y = (400)/4 = 1000, y el vértice es D(400,1000). x = 0 e y = x/4, teemos y = 1300, y el vértice es E(0,1300). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(0,0), B(1000,0), C(700,600), D(400,1000) y E(0,1300). Veamos la solució óptima de la fució F(x,y) = 1 5x + y e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito covexo, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(1000,0), C(700,600), D(400,1000) y E(0,1300). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. FA(0,0) = 1 5(0) + (0) = 0; FB(1000,0) = 1 5(1000) + (0) = 1500; F C(700,600) = 1 5(700) + (600) = 1650; FD(400,1000) = 1 5(400) + (1000) = 1600; FE(0,1300) = 1 5(0) + (1000) = Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 1650 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(700,600), es decir el beeficio máximo es de 1650 y se alcaza fabricado 700 evases del tipo A y 600 evases del tipo B. 17_mod_EJERCICIO (A) Ua empresa quiere ivertir e productos fiacieros u míimo de u milló de euros y u máximo de seis milloes de euros. La retabilidad que obtiee viee dada e fució de la catidad ivertida, x, por la x- si 1 x < siguiete expresió: R(x) =, dode tato x, como R(x), está expresadas e -x +10x-16 si x 6 milloes de euros. (0 75 putos) Estudie la cotiuidad de la fució R. (0 75 putos) Esboce la gráfica de la fució. c) (1 puto) Qué catidad debe ivertir para obteer la máxima retabilidad y a cuáto asciede ésta? Para gjrubio@hotmail.com

3 Reserva Segudo de 017 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua qué valores de x la retabilidad es positiva? Ua empresa quiere ivertir e productos fiacieros u míimo de u milló de euros y u máximo de seis milloes de euros. La retabilidad que obtiee viee dada e fució de la catidad ivertida, x, por la x- si 1 x < siguiete expresió: R(x) =, dode tato x, como R (x), está expresadas e -x +10x-16 si x 6 milloes de euros. Estudie la cotiuidad de la fució R. Las fucioes x y -x +10x-16 so cotiuas e todo R, e particular e los itervalos dode está defiidas. Sólo falta ver la cotiuidad e x =. R(x) es cotiua e x = si R() = lim R(x) = lim R(x). x x + lim R(x) = ( ) x lim x - = - = 0 x R() = lim R(x) = lim (-x + 10x - 16) = -() + 10 () 16 = 0. x + x + Como los valores so iguales, R(x) es cotiua e x =, y por tato R(X) es cotiua e [1,6]. Esboce la gráfica de la fució. Si 1 x <, R(x) = x, que es u segmeto que ue los putos (1,-1) y (*,0) Si x < 4, R(x) = - x +10x-16 cuya gráfica es u trozo de parábola co las ramas hacia abajo, porque el úmero que multiplica a x es egativo. Calculamos su vértice (es u máximo, por la forma de la parábol y sus valores e x = y x = 6 R() = -() + 10 () 16 = 0; R(6) = -(6) + 10 (6) 16 = 8; Abscisa del vértice es la solució de R (x) = 0 = - x + 10 x = 10, de dode x = 5. Vértice = V(5,R(5)) = V(5, -(5) + 10 (5) 16) = V(5,9) U esbozo de la gráfica es: c) Qué catidad debe ivertir para obteer la máxima retabilidad y a cuáto asciede ésta? Para qué valores de x la retabilidad es positiva? Observado la gráfica vemos la máxima retabilidad se ecuetra e el vértice del trozo de parábola, que era el puto V(5,9), es decir hay que ivertir 5 milloes de euros, para obteer ua retabilidad de 9 milloes de euros. Observado la gráfica vemos la retabilidad es positiva ecuetra e el trozo de parábola, es decir ivirtiedo etre y 6 milloes de euros 17_mod_EJERCICIO 3 (A) gjrubio@hotmail.com 3

4 Reserva Segudo de 017 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua E u estudio sobre los iveles de audiecia de dos cadeas de radio, se obtuvo que el 50 % de la població escucha la cadea A, el 40 % escucha la cadea B y el 0 % oye ambas. (1 puto) Halle el porcetaje de la població que escucha algua de las dos cadeas. (0 5 putos) Calcule el porcetaje de la població que escucha solo la cadea B. c) (1 puto) Halle el porcetaje de la població que escucha solo ua de las dos cadeas. E u estudio sobre los iveles de audiecia de dos cadeas de radio, se obtuvo que el 50 % de la població escucha la cadea A, el 40 % escucha la cadea B y el 0 % oye ambas. Halle el porcetaje de la població que escucha algua de las dos cadeas. Sea los sucesos A = escuchar la cadea A y B = escuchar la cadea B. Nos da p(a) = 50% = 0 5, p(b) = 40% = 0 4, p(oye ambas ) = p(a B) = 0% = 0 Me está pidiedo p(oye algu = p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 7 = 70%. Calcule el porcetaje de la població que escucha solo la cadea B. Me está pidiedo p(escucha solo la cadea B) = p(b y oa) = p(b A C ) = p(b) - p(a B) = = = 0 = 0%: c) Halle el porcetaje de la població que escucha solo ua de las dos cadeas. Me está pidiedo p(escucha ua de las dos cadeas) = p(a y ob) + p(b y oa) = = p(a B C ) + p(b A C ) = p(a) - p(a B) + p(b) - p(a B) = = 0 5 = 50%. 17_mod_EJERCICIO 4 (A) E u cetro docete hay 160 alumos matriculados e 1º de ESO, 10 e º, 10 e 3º, 80 e 4º, 40 e 1º de Bachillerato y 00 e º. Se quiere costituir ua comisió e la que todos los cursos esté represetados de forma proporcioal. (1 5 putos) Cuátos alumos debe haber e la comisió y cuátos de cada curso si dicha comisió está formada por el 5 % del total del alumado? (1 5 putos) Cuál sería la composició de la comisió si queremos que haya 9 alumos de º de ESO? E u cetro docete hay 160 alumos matriculados e 1º de ESO, 10 e º, 10 e 3º, 80 e 4º, 40 e 1º de Bachillerato y 00 e º. Se quiere costituir ua comisió e la que todos los cursos esté represetados de forma proporcioal. Cuátos alumos debe haber e la comisió y cuátos de cada curso si dicha comisió está formada por el 5 % del total del alumado? Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N1, N,..., Nk, y si 1,,..., k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra es = 1 +, k, y se calcula eligiedo los úmeros 1,,..., k proporcioales a los tamaños de los estratos N1, N,..., Nk, es decir 1 = k =... = = N1 N N k N E uestro caso teemos: N = = N1+ N+ N3+ N4 + N5 + N6 = 90, y la comisió es el 5%, es decir = 5% de 90 = (5 90)/100 = Luego teemos: = = = = = = = N = = 8, luego el tamaño de la muestra 1º ESO es 1 = 8 alumos = = 6, luego el tamaño de la muestra º ESO es = 6 alumos = = 6, luego el tamaño de la muestra 3º ESO es = 6 alumos = = 4, luego el tamaño de la muestra 4º ESO es 4 = 4 alumos gjrubio@hotmail.com 4

5 Reserva Segudo de 017 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua = = 1, luego el tamaño de la muestra 1º BACHILLER es 5 = alumos = = 10, luego el tamaño de la muestra º BACHILLER es 6 = alumos. Cuál sería la composició de la comisió si queremos que haya 9 alumos de º de ESO? Ahora teemos = 9. Luego teemos: = = = = = = = N = = 69, luego el tamaño de la muestra total es = 69 alumos = = 1, luego el tamaño de la muestra 1º ESO es 1 = 1 alumos = = 9, luego el tamaño de la muestra 3º ESO es = 9 alumos = = 6, luego el tamaño de la muestra 4º ESO es 4 = 6 alumos = = 18, luego el tamaño de la muestra 1º BACHILLER es 5 = alumos = = 15, luego el tamaño de la muestra º BACHILLER es 6 = alumos. OPCIÓN B 17_mod_EJERCICIO 1 (B) Sea el recito defiido por las siguietes iecuacioes: y x+1 y 13 4x x 4 y (0 5 putos) Razoe si el puto de coordeadas (1 1, 8) perteece al recito. (1 5 putos) E qué putos alcaza la fució F(x,y) = 3x +1 5y sus valores extremos y cuáles so éstos? c) (0 5 putos) Razoe si existe algú puto del recito e el que la fució F se aule. Sea el recito defiido por las siguietes iecuacioes: y x+1 y 13 4x x 4 y Razoe si el puto de coordeadas (1 1, 8) perteece al recito. Teemos que ver si el puto (1 1, 8) verifica todas las desigualdades: y x (1 1) CIERTO y 13 4x (1 1) CIERTO x 4 y FALSO Como o verifica las tres iecuacioes el puto (1 1, 8) o perteece al recito E qué putos alcaza la fució F(x,y) = 3x +1 5y sus valores extremos y cuáles so éstos? La represetamos gráficamete y calculamos sus vértices. Las desigualdades y x+1; y 13 4x; x 4 y, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, y x+1; y 13 4x; x 4 y. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = x+1; y = 13 4x; y = 4 x. Dibujamos las rectas, y = x+1; y = 13 4x; y = 4 x, teemos e cueta las desigualdades, observaremos cual es el polígoo covexo o regió factible y después sacaremos los vértices de dicho polígoo covexo. gjrubio@hotmail.com 5

6 Reserva Segudo de 017 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. y = 4 - x e y = x + 1, teemos 4 - x = x = 3x, luego x = 3/3 = 1, co lo cual y = 4 - (1) = 3, y el puto de corte es A(1,3). y = 4 - x e y = 13-4x, teemos 4 - x = 13-4x 3x = 9, luego x = 9/3 = 3, co lo cual y = 4 - (3) = 1, y el puto de corte es B(3,1). y = 13-4x e y = x + 1, teemos 13-4x = x = 6x, luego x = 1/6 =, co lo cual y = = () + 1 = 5, y el puto de corte es C(,5). Observamos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(1,3), B(3,1) y C(,5). El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F(x,y) = -3x +1 5y e los putos ateriores A(1,3), B(3,1) y C(,5). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F A(1,3) = -3(1) +1 5(3) = 1 5; F B(3,1) = -3(3) +1 5(1) = -7 5; F C(,5) = -3() +1 5(5) = 1 5; Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 1 5 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices A(1,3) y C(,5), por tato se alcaza e todos los putos del segmeto AC, y el míimo absoluto de la fució F e la regió es -7 5 (el meor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(3,1). 17_mod_EJERCICIO (B) ax - 3x si x 1 Se cosidera la fució f(x) = x + b si x > 1 (1 5 putos) Calcule los valores de a y b para que la fució f sea derivable e x =1. (1 puto) Para a = 3 y b =, estudie la mootoía y curvatura de la fució f. ax - 3x si x 1 Se cosidera la fució f(x) = x + b si x > 1 Calcule los valores de a y b para que la fució f sea derivable e x =1. Sabemos que si la fució es derivable e x = 1, tambié es cotiua e x = 1. Estudiamos primero la cotiuidad e x = 1. f(x) es cotiua e x = 1 si f(1) = f() = lim lim f(x) = f(x) = lim lim lim f(x) = lim f(x). (ax - 3x ) = a(1) - 3(1) = a - 3. (- 3x + = - 3(1) + b = -3 + b, como tiee que ser iguales teemos a - 3 = -3 + b, de gjrubio@hotmail.com 6

7 Reserva Segudo de 017 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua dode a = b. f(x) es derivable e x = 1 si f (1 - ) = f (1 + ) (Vemos la cotiuidad de la derivad. ax - 3x si x 1 a - 6x si x 1 f(x) = ; f '(x) = x + b si x > 1 4x si x > 1 f (1 - ) = lim f (x) = lim (a - 6x) = a - 6(1) = a - 6. f ( + ) = lim f (x) = lim (4x) = 4(1) = 4. Igualado teemos a - 6 = 4, de dode a = 10 = b. Para a = 3 y b = -, estudie la mootoía y curvatura de la fució f. 3x - 3x si x 1 3-6x si x < 1-6 si x < 1 Teemos f(x) = ; f '(x) = ; f ''(x) =. Se observa que la x - si x > 1 4x si x > 1 4 si x > 1 fució es cotiua e x = 1, y o derivable e x = 1 porque por el apartado (A) tedría que ser a = b = 10. Sabemos que la mootoía es el estudio de la primera derivada f (x). Si x < 1, f (x) = 3-6x. f (x) = 0, teemos 3-6x = 0, luego x = 3/6 = 0 5, que es u posible extremo relativo derivable. Como f (0) = 3 6(0) = 3 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (-,0 5). Como f (0 7) = 3 6(0 7) = -1 < 0, f(x) es estrictamete decreciete ( ց ) e (0 5,1). Por defiició x = 0 5 es u máximo relativo de f derivable, y vale f(0 5) = Si x > 1, f (x) = 4x. f (x) = 0 teemos 4x = 0, luego x = 0, que o está e el domiio (x > 1) y o es u posible extremo relativo derivable. Como f () = 4() = 8 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (1,+ ). Por defiició x = 1 es u míimo relativo de f o derivable, y vale f(1) = 0. Por tato f(x) es estrictamete decreciete ( ր ) e (-,0 5) (1,+ ), y es estrictamete decreciete ( ց ) e (0 5,1). Sabemos que la curvatura es el estudio de la seguda derivada f (x). Si x < 1, f (x) = - 6 < 0, luego f es cócava ( ) e (-,1). Si x > 1, f (x) = 4 > 0, luego f es covexa ( ) e (1,+ ). Por defiició x = 1 es u puto de iflexió de f o derivable. Auque o lo pide u esbozo de la gráfica es: 17_mod_EJERCICIO 3 (B) A ua asamblea e la Uiversidad asiste 40 alumos de los cuales 180 so de Empresariales, 7 de Relacioes Laborales y el resto de recho. U tercio de los alumos de Empresariales, dos tercios de los de recho y 16 alumos de Relacioes Laborales vota NO a la huelga. El resto ha votado SÍ. (0 9 putos) Calcule la probabilidad de que elegido u alumo al azar, sea de Empresariales y haya votado SÍ a la huelga. gjrubio@hotmail.com 7

8 Reserva Segudo de 017 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua (0 8 putos) Cuál es la probabilidad de que elegido u alumo al azar haya votado SÍ a la huelga? c) (0 8 putos) Si elegido u alumo al azar, resulta que ha votado NO a la huelga, cuál es la probabilidad de que sea de Relacioes Laborales? A ua asamblea e la Uiversidad asiste 40 alumos de los cuales 180 so de Empresariales, 7 de Relacioes Laborales y el resto de recho. U tercio de los alumos de Empresariales, dos tercios de los de recho y 16 alumos de Relacioes Laborales vota NO a la huelga. El resto ha votado SÍ. Calcule la probabilidad de que elegido u alumo al azar, sea de Empresariales y haya votado SÍ a la huelga. Llamemos Em, Rl, D, S y N, a los sucesos siguietes, alumos de Empresariales, alumos de Relacioes Laborales, alumos de recho, SI a la huelga" y "NO a la huelga", respectivamete. Este problema es muy fácil de realizar utilizado ua tabla de cotigecia (tabla de doble etrad, y después utilizado la defiició de probabilidad de Laplace (úmero de casos favorables partido por úmero de casos posibles). Empresari. Relacioes Lab. recho Totales SI huelga = S No huelga = N 1/3 de Empresariales 16 /3 de recho Totales Completamos la tabla de cotigecia sabiedo que tato la suma e horizotal como e vertical da los totales. He puesto e egrita los úmeros que he completado. Empresari. Relacioes Labo. recho Totales SI huelga = S No huelga = N Totales Pide la probabilidad de que elegido u alumo al azar, sea de Empresariales y haya votado SÍ a la huelga. Total alumos Epresariales y SI a la huelga p(de Empresariales y SI a la huelg = p(em S) = = Total alumos = 10/40 = / Cuál es la probabilidad de que elegido u alumo al azar haya votado SÍ a la huelga? Total alumos SI a la huelga p(si a la huelg = = 3/40 = 58/ Total alumos c) Elegido u alumo al azar, resulta que ha votado NO a la huelga, cuál es la probabilidad de que sea de Relacioes Laborales? p(de Relacioes Laborales /NO a la huelg = p(rl/n) = Total alumos NO a la huelga y de Relacioes Laborales = = 16/188 = 4/ Total alumos NO a la huelga 17_mod_EJERCICIO 4 (B) El tiempo diario, e horas, que dedica los alumos de ua Facultad a las redes sociales sigue ua ley Normal de desviació típica horas. Se toma ua muestra aleatoria de 10 alumos co los siguietes tiempos e horas (1 5 putos) termie el itervalo de cofiaza, al 90 %, para el tiempo medio diario dedicado por los alumos de esa Facultad a las redes sociales. (1 puto) Utilizado el mismo ivel de cofiaza aterior, calcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el tiempo medio diario, para u error de estimació máximo de 0 1 horas. El tiempo diario, e horas, que dedica los alumos de ua Facultad a las redes sociales sigue ua ley Normal de desviació típica horas. Se toma ua muestra aleatoria de 10 alumos co los siguietes tiempos e horas gjrubio@hotmail.com 8

9 Reserva Segudo de 017 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, σ ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ σ ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 /,x + z1 / = (a, α α dode z1-α/ y zα/ = - z1-α/ so los putos críticos de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z1-α/) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α / = (b - /, para el itervalo de la z 1- /. media, de dode el tamaño míimo de la muestra es = σ α E. termie el itervalo de cofiaza, al 90 %, para el tiempo medio diario dedicado por los alumos de esa Facultad a las redes sociales. Datos del problema: σ = 0 5; = 10; x = ( )/10 = 6 5; ivel de cofiaza = 90% = 0 90 = 1 - α, de dode α = 0 1, co la cual α/ = 0 1/ = p(z z1-α/) = 1 - α/ = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 95 o viee; los más próximos so y que correspode a 1 64 y 1 65, luego z1-α/ es el puto medio de ambos, luego z1-α/ = ( )/ = 1 645, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z 1 α /, x + z1 α / = 6'5 1' 645, 6'5 1' 645 (5 4596,7 5404) Utilizado el mismo ivel de cofiaza aterior, calcule el tamaño muestral míimo ecesario para estimar el tiempo medio diario, para u error de estimació máximo de 0 1 horas. Datos del problema: Error = E 0 1, σ =, igual ivel de cofiaza = 90% os da z1-α/ = σ error = E z1 α / z 1- α/. = 0 1, teemos que el tamaño míimo de la muestra es σ E = 1'645 = 0' , es decir el tamaño míimo de la muestra es de = 1083 alumos. gjrubio@hotmail.com 9