IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2004 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A (A I 2 ) B = A A A = -

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A Sea las matrices A=, B= y C= ( puto) Calcule (A I ) B, siedo I la matriz idetidad de orde ( puto) Obtega la matriz B t (matriz traspuesta de B) y calcule, si es posible, B t A c) ( puto) Calcule la matriz X que verifica A X + B = C Solució Sea las matrices A=, B= y C= Calcule (A I ) B, siedo I la matriz idetidad de orde (A I ) B = A A A = - = = Obtega la matriz B t (matriz traspuesta de B) y calcule, si es posible, B t A B t A 0-0 = - - = c) Calcule la matriz X que verifica A X + B = C Si la matriz A tiee matriz iversa A -, (podemos pasar de (A I ) mediate trasformacioes elemetales a la matriz (I A - )), podemos multiplicar la expresió matricial A X + B = C por la izquierda por la matriz A (-) F 0-0 (A I ) = = (I A - ), por tato A = 0 F + F 0 F /() 0 / / / / Tambié la podíamos ver por la fórmula A - = /( A ) Adj(A t ) A = det(a) = - 0 = = - 0, luego existe A- ; A t - =, Adj(A t 0 ) =, luego A = (/-) = - - / / De A X + B = C, teemos A X = C B, luego A - A X = A - (C B) I X = A - (C B) X = A - (C B) Luego X = A - (C B) = ( /- ) - = ( /- ) = = ( /- ) = ( /-) = / - EJERCICIO _A x si x < Sea la fució f(x) = -x + 4x - si x ( puto) Aalice su cotiuidad y su derivabilidad ( 5 putos) Estudie la mootoía, determie sus extremos y aalice su curvatura c) (0 5 putos) Represete la gráfica de la fució Solució x si x < Sea la fució f(x) = -x + 4x - si x Aalice su cotiuidad y su derivabilidad Sabemos que si ua fució es derivable etoces tambié es cotiua gjrubio@hotmailcom

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua x es ua fució cotiua y derivable e R, e particular e x < -x + 4x es ua fució cotiua y derivable e R, e particular e x Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x = f(x) es cotiua e x = si f() = f(x) = f() = f(x) = (x ) = () = ; f(x) = x f(x) x + (-x + 4x - ) = -() + 4() - =, por tato f(x) es cotiua e x = Recapitulado f es cotiua e R x si x < De f(x) =, teemos f (x) = -x + 4x - si x x si x < -x + 4 si x > f(x) es derivable e x = si f (x) = (x) = () = ; f (x) = x f (x) = f(x) es derivable e x = Luego f (x) = Recapitulado f es derivable e R f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada x + (-x + 4) = -() + 4 = Como los resultados so iguales, x si x < -x + 4 si x Estudie la mootoía, determie sus extremos y aalice su curvatura Sabemos que la mootoía es el estudio de la primera derivada f (x) = Si x <, f (x) = x De f (x) = 0, teemos x = 0, de dode x = 0 Posible extremo Como f (-) = (-) = - < 0, f es estrictamete decreciete ( ) e (-,0) Como f (0 5) = (0 5) = > 0, f es estrictamete creciete ( ) e (0,) Por defiició x = 0 es u míimo relativo y vale f(0) = (0) = 0 Si x >, f (x) = -x + 4 De f (x) = 0, teemos -x + 4 = 0, de dode x = Posible extremo Como f ( ) = -( ) + 4 = 8 > 0, f es estrictamete creciete ( ) e (,) Como f (3) = -(3) + 4 = - < 0, f es estrictamete decreciete ( ) e (,+ ) Por defiició x = es u máximo relativo y vale f() = -() + 4() - = x si x < -x + 4 si x Nos está pidiedo los itervalos de cocavidad, covexidad y los putos de iflexió; es decir el estudio de la seguda derivada si x < f (x) = - si x > Si x <, f (x) = > 0, teemos que f(x) es covexa ( ) e el itervalo (-,) De f (x) = 0, teemos 6x = 0, de dode x = 0 Posible puto de iflexió Si x >, f (x) = - < 0, luego f(x) es cócava ( ) e el itervalo (,+ ) Por defiició x = es u puto de iflexió y vale f() = -() + 4() - = c) Represete la gráfica de la fució Teiedo e cuata la aterior y que ambas ramas de la fució so trozos de parábola, x co vértice e (0,0) y -x + 4x - co vértice e (,), u esbozo de la gráfica es: gjrubio@hotmailcom

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3_A Parte I Sea A y B dos sucesos tales que p(a) = 0 4, p(b C ) = 0 7 y p(aub) = 0 6, dode B C es el suceso cotrario de B ( puto) So idepedietes A y B? ( puto) Calcule p(a/b C ) Solució Sea A y B dos sucesos tales que p(a) = 0 4, p(b C ) = 0 7 y p(aub) = 0 6, dode B C es el suceso cotrario de B So idepedietes A y B? ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = - p(b C ); A y B so p(b) idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); p(a B C ) = p(a) - p(a B) Me pide ver si A y B so idepedietes, es decir si p(a B) = p(a) p(b) De p(b C ) = 0 7 p(b) = 0 7, de dode p(b) = 0 3 De p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B), teemos 0 6 = p(a B), luego p(a B) = 0 Como p(a B) = 0 p(a) p(b) = = 0, los sucesos o so idepedietes Calcule p(a/b C ) C p( A B ) Me pide p(a/b C p( A) - p( A B) ) = = = (0 4 0 )/(0 7) = 3/7 = C C p(b ) p(b ) EJERCICIO 3_A Parte II Ua empresa de teléfoos móviles ha hecho u estudio sobre el tiempo que tarda sus baterías e descargarse, llegado a la coclusió de que dicha duració, e días, sigue ua ley Normal de media 3 8 y desviació típica Se toma ua muestra de 6 móviles de esta empresa Halle la probabilidad de que: ( puto) La duració media de las baterías de la muestra esté compredida etre 4 y 4 3 días ( puto) La duració media de las baterías de la muestra sea iferior a 3 35 días Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Trabajamos e ua ormal N(0,), para lo cual teemos que tipificar la variable e la distribució muestral de medias, es decir Z = X µ / Ua empresa de teléfoos móviles ha hecho u estudio sobre el tiempo que tarda sus baterías e descargarse, llegado a la coclusió de que dicha duració, e días, sigue ua ley Normal de media 3 8 y desviació típica Se toma ua muestra de 6 móviles de esta empresa Halle la probabilidad de que: La duració media de las baterías de la muestra esté compredida etre 4 y 4 3 días Datos del problema: Distribució de la població N(µ,) = N(3 8,); µ = 3 8; = ; = 6; gjrubio@hotmailcom 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua La distribució muestral de las medias es X N(µ, ) = N(3 8, ) = N(3 8, /4) = N(3 8, 0 5) 6 Me está pidiedo la probabilidad p(4 X 4 3) 4' - 3'8 4'3-3'8 Luego p(4 X 4 3) = {tipificamos} = p( Z ) p( Z ) = 0'5 0'5 = p(z ) - p(z ) = {Mirado e la tabla} = = La duració media de las baterías de la muestra sea iferior a 3 35 días Me está pidiedo la probabilidad p( X 3 35) 3'35-3'8 Luego p( X 3 35) = {tipificamos} = p(z ) = p(z - 8) = - p(z 8) = {Mirado e la tabla} = 0'5 = = OPCIÓN B EJERCICIO _B (3 putos) Calcule los valores máximo y míimo que alcaza la fució F(x,y) = 3x + 5y, e el recito del plao determiado por las iecuacioes: x 0; y 0; 3x - y 0; x + 3y 4; x - 5y - Solució Calcule los valores máximo y míimo que alcaza la fució F(x,y) = 3x + 5y, e el recito del plao determiado por las iecuacioes: x 0; y 0; 3x - y 0; x + 3y 4; x - 5y - Las desigualdades x 0; y 0; 3x - y 0; x + 3y 4; x - 5y -, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x = 0; y = 0; 3x y = 0; x + 3y = 4; x 5y = - Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos x = 0; y = 0; y = 3x/ - 5; y = -x/3 + 8; y = x/5 + /5 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito deitado por las iecuacioes dadas Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos De y = 3x/ - 5 e y = 0, teemos 3x/ = 5, luego x = 0/3 y el vértice es A(0/3,0) De y = 0 e y = -x/3 + 8, teemos x/3 = 8, luego x = y el vértice es B(,0) De y = -x/3 + 8 e y = x/5 + /5, teemos -x/3 + 8 = x/5 + /5-0x + 0 = 3x = 3x x = 9, de dode y =, y el vértice es C(9,) De y = x/5 + /5 e y = 3x/-5, teemos x/5 + /5 = 3x/ - 5 x + = 5x = 3x x = 4, de dode y =, y el vértice es D(4,) Vemos que la regió factible es el polígoo covexo itado por los vértices del recito, que so: A(0/3,0), B(,0), C(9,) y D(4,) El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0/3,0), B(,0), C(9,) y D(4,) E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue F(0/3,0) = 3(0/3) + 5(0) = 0; F(,0) = 3() + 5(0) = 36; F(9,) = 3(9) + 5() = 37; F(4,) = 3(4) + 5() = 7 Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 37 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(9,), y el míimo absoluto de la fució F e la regió es 0 (el meor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(0/3,0) gjrubio@hotmailcom 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO _B Sea la fució f(x) = -x 3 + 6x - 9x ( puto) Estudie la mootoía y calcule los extremos relativos de f ( puto) Estudie la curvatura y calcule el puto de iflexió de f c) ( puto) Represete gráficamete la fució Solució Sea la fució f(x) = -x 3 + 6x - 9x Estudie la mootoía y calcule los extremos relativos de f Sabemos que la mootoía es el estudio de la primera derivada f(x) = -x 3 + 6x - 9x; f (x) = -3x + x - 9 De f (x) = 0-3x + x 9 = 0 = x - 4x + 3 = 0, de dode las solucioes so x = y x = 3, que será los posibles extremos relativos Como f (0) = -3(0) + (0) - 9 = -9 < 0, f es estrictamete decreciete ( ) e (-,) Como f () = -3() + () - 9 = 3 > 0, f es estrictamete creciete ( ) e (,3) Como f (4) = -3(4) + (4) - 9 = -9 < 0, f es estrictamete decreciete ( ) e (3,+ ) Por defiició e x = hay u míimo relativo que vale f() = -() 3 + 6() - 9() = -4 Por defiició e x = 3 hay u máximo relativo que vale f(3) = -(3) 3 + 6(3) - 9(3) = 0 Estudie la curvatura y calcule el puto de iflexió de f Sabemos que la curvatura es el estudio de la seguda derivada f (x) f(x) = -x 3 + 6x - 9x; f (x) = -3x + x 9; f (x) = -6x + De f (x) = 0, teemos -6x + = 0, luego x =, que es u posible puto de iflexió Como f (0) = -6(0) + = > 0, f(x) es covexa ( )e (-,) Como f (3) = -6(3) + = -6 < 0, f(x) es cócava ( ) e (,+ ) Por defiició x = es u puto de iflexió que vale f() = -() 3 + 6() 9() = -4 c) Represete gráficamete la fució Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica es: EJERCICIO 3_B Parte I Se realiza ua ecuesta sobre las preferecias de vivir e la ciudad o e urbaizacioes cercaas Del total de la població ecuestada el 60% so mujeres, de las cuales prefiere vivir e la ciudad u 73% Se sabe que la probabilidad de que ua persoa, sea hombre o mujer, desee vivir e la ciudad es 0 6 ( puto) Calcule la probabilidad de que elegido u hombre al azar, prefiera vivir e la ciudad ( puto) Supuesto que ua persoa, elegida al azar, desee vivir e la ciudad, calcule la probabilidad de que sea mujer gjrubio@hotmailcom 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Solució Se realiza ua ecuesta sobre las preferecias de vivir e la ciudad o e urbaizacioes cercaas Del total de la població ecuestada el 60% so mujeres, de las cuales prefiere vivir e la ciudad u 73% Se sabe que la probabilidad de que ua persoa, sea hombre o mujer, desee vivir e la ciudad es 0 6 Llamemos M, H, C y C C, a los sucesos siguietes, ser mujer, "ser hombre", "vivir e la ciudad" y "o vivir e la ciudad", respectivamete Datos del problema p(m) = 60% = 0 6; p(c/m) = 73% = 0 73; p(c) = 0 6 Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale ) Calcule la probabilidad de que elegido u hombre al azar, prefiera vivir e la ciudad Aplicado el teorema de la probabilidad total, teemos: p(c) = 0 6 = p(m)p(c/m) + p(h)p(c/h) = (0 6) (0 73) + (0 4) (x), de dode x = ( )/0 4 = Me pide p(c/h) = x = Supuesto que ua persoa, elegida al azar, desee vivir e la ciudad, calcule la probabilidad de que sea mujer Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( M C ) p( M)p(C/M ) p(m/c) = = = (0 6) (0 73):(0 6) p(c) p(c) EJERCICIO 3_B Parte II Se sabe que la velocidad de los coches que circula por ua carretera es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal co desviació típica km/hora ( puto) Se toma ua muestra aleatoria de 400 coches que da ua velocidad media de 87 km/hora Obtega u itervalo co u 95% de cofiaza, para la velocidad media del total de coches que circula por esa carretera ( puto) Calcule el míimo tamaño de la muestra que se ha de tomar para estimar la velocidad media del total de coches que circula por esa carretera, co u error iferior a km/hora para u ivel de cofiaza del 99% Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) gjrubio@hotmailcom 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: IC (µ) = x z α/,x + z α/ = (a, dode z -α/ y z α/ = - z -α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α/ ) = - α/ Tambié sabemos que la media es x = (a + /, el error máximo de la estimació es E = z α /, para el itervalo de la media Pero la amplitud del itervalo es b a = z α / = E, de dode E = (b /, z - α/ z - α/ por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a Se sabe que la velocidad de los coches que circula por ua carretera es ua variable aleatoria que sigue ua distribució Normal co desviació típica km/hora Se toma ua muestra aleatoria de 400 coches que da ua velocidad media de 87 km/hora Obtega u itervalo co u 95% de cofiaza, para la velocidad media del total de coches que circula por esa carretera Datos del problema: =, = 400, x = 87, ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = - α, de dode α = 0 05, es decir α/ = 0 05/ = 0 05 De p(z z -α/ ) = - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad viee, y correspode a z -α/ = 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: IC (µ) = x z α/,x + z α/ = 87 - '96,87 + '96 = (85 84, 88 76) Calcule el míimo tamaño de la muestra que se ha de tomar para estimar la velocidad media del total de coches que circula por esa carretera, co u error iferior a km/hora para u ivel de cofiaza del 99% Datos del problema: =, error E, ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = - α, de dode α = 0 0, es decir α/ = 0 0/ = De p(z z -α/ ) = - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad o viee, las más próximas so y que correspode a 57 y 58, por tato z -α/ es la media es decir z -α/ = ( )/ = 575, por tato el tamaño míimos de la muestra es: z - α/ '575 De = E = 954 8, teemos que el tamaño míimo es = 955 gjrubio@hotmailcom 7