UNIDAD 10.- DERIVADAS
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- Ramona Valdéz Olivares
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1 UNIDAD.- DERIVADAS. DERIVADA DE UNA EN UN PUNTO. DERIVADAS LATERALES Defiici.- Se llama derivada de ua fuci f ( e u puto de abscisa al siguiete ite si eiste: f ( f '( sigifica lo mismo. f (. Se suele represetar por ( f = D f '( ( ' df todas d ( Tambié se puede usar otro ite equivalete si a uo le gusta más es: f '( f ( f ( Ejemplo: Dada la fuci, calcular la derivada e el puto de abscisa Aplicamos la defiici usado el primer ite (practicad usado el otro ver que sale lo mismo ( ( '( = 6 6 (aora os sale ua idetermiaci, que la resolvemos sacado ( factor comú = (. Así la derivada de la fuci e vale Ejemplo: Dada f (, calcular la derivada e Aora vamos a aplicar el otro ite equivalete: f '( f ( f ( (aora os sale ua idetermiaci, que la resolvemos ( ( ( multiplicado por el cojugado = ( ( ( (simplificamos =. Así la derivada de f ( e vale [Nota: No acía falta multiplicar por el cojugado si os damos cueta que ( ( ( simplificar] Defiici.- La derivada lateral por la dereca de ua fuci f ( e u puto de abscisa al siguiete ite si eiste: = f ( f ( f '( D f ( = f ( f ( UNIDAD.- Derivadas
2 Defiici.- La derivada lateral por la izquierda de ua fuci f ( e u puto de abscisa al siguiete ite si eiste: f f ( f ( '( D f ( = f ( f ( Cosecuecia: Ua fuci f ( tiee derivada e u puto de abscisa si solo si eiste las derivadas laterales coicide. Es decir, f '( f '( f '( f '( = f '( Nota: las derivadas laterales se usará sobre todo e las fucioes defiidas por partes o a trozos, de maera similar a como se acía e el estudio de la cotiuidad. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DERIVABLES Propiedad: Si ua fuci es derivable e u puto, etoces es cotiua e. Lo cotrario o es cierto, es decir, a fucioes cotiuas e u puto que o so derivables e ese puto Derivable Cotiua Resumiedo: Cotiua Derivable o o derivable Propiedad: Si ua fuci es cotiua e, la derivada eiste si slo si eiste las derivadas laterales estas coicide. Esta propiedad la utilizaremos para calcular la derivada e putos dode la fuci cambia de defiici. si Ejemplo: Dada la fuci f ( si, estudiar si es derivable e e 4 si Veamos e Primero por ser ua fuci por partes vamos a estudiar la cotiuidad e, como a sabemos a Límites laterales f ( ( f ( ( Como podemos apreciar so distitos, luego la fuci preseta ua discotiuidad o evitable de salto fiito amplitud. Por tato, segú la propiedad al o ser cotiua sabemos que o es derivable, o ace falta calcular las derivadas laterales. Veamos aora e Vamos primero a estudiar la cotiuidad e a Límites laterales UNIDAD.- Derivadas
3 f ( ( f ( (4 Como los ites laterales coicide, etoces f ( b f ( 4 c Como f ( f (, etoces la fuci es cotiua e Co esto o sabemos si es derivable o o, pero puede que lo sea. Para verificarlo emos de usar las derivadas laterales f ( f ( f '( 4 (4 = 4 f ( f ( 4( 4 f '( = 4 Como so iguales podemos afirmar que la fuci es derivable e que f '( 4 NOTA: Como vemos, e los putos dode la fuci cambia de defiici, emos de estudiar primero la cotiuidad si os sale cotiua realizar después el estudio co derivadas laterales. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA La derivada de ua fuci e u puto es la pediete de la recta tagete a la gráfica de la fuci e el puto, f ( D ( f ( f '( mrecta tagete e. Co esto podemos obteer la ecuaci de la recta tagete a la fuci e e el puto (, f ( (NOTA: Del año pasado sabemos que la ecuaci de ua recta dada su pediete m u puto por dode pasa ( a, b es así: r b m ( a Aplicado la ecuaci de la ota aterior teemos la ecuaci de la recta tagete: t f ( f '( ( UNIDAD.- Derivadas
4 Y de esto, podemos sacar la ecuaci de la recta ormal a la fuci e el puto, f (, pues esta ( recta tedrá por pediete, al ser perpedicular a la tagete. Co lo cual la ecuaci de la recta f '( ormal es: f ( ( f '( Ejemplo: Calcular las ecuacioes de la recta tagete ormal a la fuci abscisa e el puto de Como vimos e el ejemplo, teemos que f '(. Nos falta coocer f ( 6 a slo sustituir e las ecuacioes: t 6 ( 6 ( Recta tagete: Recta ormal: 4. DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS Defiici.- Se llama fuci derivada (o slo derivada de ua fuci ' f '(, a la fuci que asocia a cada el valor de su derivada. Ejemplo: Calcular la fuci derivada de f ( Tomamos u puto cualquiera le aplicamos la defiici de derivada: f ( se represeta por 4 UNIDAD.- Derivadas
5 ( f ( f ( ( f '( (desarrollamos operamos = 6 (6 (sacamos factor comú simplificamos = 6 Lo que emos obteido es que para cualquier teemos que f '( 6, Si e lugar de ubiésemos puesto, os da la fuci derivada o derivada f '( 6. Esta fuci a os permite calcula la derivada e otro puto simplemete sustituedo si teer que acer ites. Por ejemplo, cuál sería la derivada e 4? Pues fácilmete, f '( 4 6 ( 4 Defiici: Derivadas sucesivas so derivadas de fucioes derivadas so Derivada primera de f: es la que emos tratado ' f '( Derivada seguda de f: es la derivada de la derivada ' ' f ''( ( f ''( Derivada tercera de f: es la derivada de la derivada seguda: ' '' f '''( ( f '''( Y así sucesivamete, diremos ( ( ( Derivada -ésima de f: f ( ( f '(. DERIVADAS DE LAS OPERACIONES CON FUNCIONES So ua serie de frmulas que a que saberse de memoria. Si alguie está iteresado e coocer su demostraci lo puede cosultar e cualquier libro de teto. Derivada de la suma o diferecia de fucioes ( f g' f ' g' Derivada del producto de u º real por ua fuci ( k f ' k f ' Derivada del producto de dos fucioes ' ( f g f ' g f g' f f ' g f g' Derivada del cociete de dos fucioes g g Derivada de la fuci compuesta. Regla de la cadea ' ( g f '( g'( f ( f '( Ya se verá su utilidad más adelate. UNIDAD.- Derivadas
6 6. FUNCIONES DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Y COMPUESTAS. TABLA Vamos a dar uas tablas, que abrá que coocer de memoria tambié, dode viee las derivadas de las fucioes elemetales compuestas, así como u ejemplo de cada ua FUNCIONES BÁSICAS DERIVADA Costate f ( Idetidad f ( c f '( f '( Potecial caica f ( f '( Racioal básica f( Irracioal básica f ( f '( f '( SIMPLE COMPUESTA DERIVADA SIMPLE DERIVADA COMPUESTA ( f f f ( ( f( f ( f ( f( f ( f ( f ( f ( f ( f ( ( f f ( e f ( e e e f f ( ( a f ( a l a a a a f f ( l ( l l f ( f ( f( log a log f ( a l a ( f ( l a f 6 UNIDAD.- Derivadas
7 Ejemplos: Derivamos las siguietes fucioes: DERIVADA f( f ( 6 4 ( 4 4 ( ( 4 ( 4 6 ( f( 6 f ( ( f ( f ( 8 6 ( e f ( e f ( e f ( f( f ( l f ( L( f ( f ( f ( log l l l Ejemplos: Ejercicios resueltos de derivadas: SOLUCIÓN 7 UNIDAD.- Derivadas
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