1 Ejercicios Resueltos

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1 Uiversidad de Satiago de Chile Autores: Miguel Martíez Cocha Facultad de Ciecia Carlos Silva Corejo Departameto de Matemática y CC Emilio Villalobos Marí Ejercicios esueltos (ejemplar de prueba) Mediate la iclusió de ejercicios resueltos se espera que los estudiates tega portuidad de movilizar sus capacidades para buscar, aalizar, procesar, represetar y comuicar diferetes tipos de iformació, decodi cado y traduciedo la iformació coteida e las fucioes, grá cos, series de Fourier, itegrales de Fourier y sus propiedades.. Problema. i) Desarrollar e serie de Fourier la fució periódica de período.epresetar gra camete y estudiar la covergecia de la serie e : si f() = si Solució: i) Calculo de los coe cietes " de Fourier. # a = f()d = f()d + f()d h i a = a = = 4 f() cos()d = cos()d = Usadohel método de itegració i por partes se tiee: a = cos() + cos() = h + ( ) a = ( ) para par = para impar así: a = 8 a = ( ) 8 : b = f() si()d = si()d = h cos() luego el coe ciete es: b = ( )+ i + si() = cos() i d

2 Por lo tato, la serie de Fourier será: " # 4 + X ( ) cos (( ) ) + ( ) + si() = E todos los putos de cotiuidad la serie coverge a f() y e los putos de discotiuidad del tipo = + co, la serie coverge a : ii) A partir del resultado aterior obtega la suma de la serie: X = ( ) Solució.(ii) Evaluado e = se tiee = ::: de dode y de aquí. Problema 4 = ::: X = ( ) = 8 i) Desarrollar e serie de Fourier la fució periódica de período, de ida por: f() = ; ii) A partir del resultado obteido calcular la suma de: X = iii) Determie la covergecia de la serie X 4 = Solució: i) La fució f es par por lo cual obtedremos ua serie de coseos, que tiee la forma: a + X a cos () =

3 h i a = f()d = d = = a = f() cos()d = cos()d a = h si() + Luego, la serie es: i cos() = 4 cos() = 4( ) + 4 X ( ) cos () = Como la fució es cotiua e,etoces: = + 4 X ( ) cos () ; todo real. = Solució (ii) La serie umérica se puede obteer haciedo = y f() = ; de dode = X = 4 ::: = 4 = 6 iii) Como la fució f es seccioalmete suave para y f ( ) = f () se cumple las codicioes de su ciecia de la idetidad de Parseval etoces d = 5. Problema = X = 4 9 = + X = X 4 ( ) =) = 6 4 =) Sea f() = (si ); si < < ; etoces: i) Determie la serie de esta fució.

4 ii) Pruebe la covergecia de la serie: X = ( ) = 4 Solució: i) La fució f() es par, es decir f() = f( ) 8 ( ; ); etoces: b = [ ( cos )] + a = f()d = si d = a = f() cos()d = si cos()d Para 6= a = [si (( + ) ) si (( ) )] d = Para = a = si cos d = si()d = Por lo tato, la serie es: ( )+ cos d = si = cos + X = ( ) + cos () ii) E = hay u puto de cotiuidad de la fució, etoces la serie coverge a f() Fialmete f() = = cos + X X = = ( ) + = 4 ( ) + cos ().4 Problema 4 i) Para f() = e [], obteer su serie de Fourier e coseos, periódica de período 4. ii) Del resultado determiar la covergecia de: X = ( ) Solució: Evaluado la fució parte etera teemos 4

5 8 < si < f() = e si < : e si = Co etesió par f p () de f() se obtiee la serie: a = d + a = cos d + = si + e a + X = a cos e d = + e si si e cos d = si = si j + e e si j Fialmete, la serie es: + e X + ( e ) = si cos ii) Covergecia de = puto de discotiuidad co límites laterales e se tiee covergecia: e = + e e + ( e ) = ( e ) X = X = X = = 4 si si cos cos.5 Problema 5 Utilice la serie de Fourier para demostrar la idetidad trigoométrica si () = 4 si() 4 si() Solució: Se calcula la serie de Fourier de f() = si () e [ impar la serie será: X b si co b = = 5 si () si()d ; ] : Como f () es

6 E primer lugar, calculemos la itegral para 6= si si d = si cos j + si cos cos d Usado la idetidad trigométrica: cos cos = si [cos( ) cos( + )] d () = cos( ) cos(+) E segudo lugar, calculemos el valor del coe ciete b para = e () b = si cos d = 4 ( cos ) cos d = 4 b = 4 = 4 E tercer lugar, para > e () b = si si(+) + + b = si(+) + + si( ) si( ) j si d Usado la idetidad trigoometrica b = (cos( + ) cos( + )) d + si(+) + + (cos( ) cos( + ))d = ; 8 6= Para = el cálculo directo, produce: b = = 4 Por lo tato, la serie de Fourier resultate es: 4 si() 4 si() cos 4 d si( ) si d Luego, por el teorema de la covergecia dada la cotiuidad de f se tiee lo requerido..6 Problema 6 Halle la represetació de la itegral de Fourier de la fució f(t) = e at si t > cosiderado ua etesió par de f (t) y estudie la covergecia e : Solució: e Sea f p (t) = at si t > e at ;así de ida es ua fució par, luego: si t < 6

7 A(w) = = lim f(u) cos(wu)du = b b! e au cos(wu)du e au = lim b! a + w ( = lim b! = a a + w Etoces la itegral de Fourier de f(t) es: e au cos(wu)du b a cos(wu) + w si(wu)) e ab a + w ( a cos(wb) + w si(wb)) + a a + w a a a cos(w)dw = + w cos(w) a + w dw Como la fucio es cotiua e ;aplicado el criterio de la covergecia, la itegral coverge a f (t): cos(w) a + w dw = a e a.7 Problema 7 Halle la represetació de la itegral de Fourier de la fució f() = e jj si ( ; ) y estudie su covergecia e : Solució: Se tiee que f() es ua fució impar. Eamiemos, si se cumple las codicioes de eistecia de itegral de Fourier. E primer lugar e jj d = e d = 4 e j + = = e d5 7

8 Además, f es cotiua y difereciable 8. Los coe cietes de Fourier de f so: A(w) = ya que f es ua fució impar B(w) = ue juj si(wu)du = 4w ( + w ) Etoces, para todo la itegral de Fourier coverje a:.8 Problema 8 e = 4 w ( + w ) si(w)dw Sea f la fució pulso rectagular uitario de período de ida por f () = si < < a) epresetar gra camete f () si < ó < b) Obteer la serie de Fourier de f (). c) Si a () es el coe ciete -ésimo de la serie aterior, calcular los límites: lim ( lim (a ()) ; lim!! +! +( lim (a ()))! Solució: b) Como f es ua fució par de período,etoces : a = a = b = 8 f () d = Luego, se tiee que: d = f () cos()d = f () + X = c) E primer lugar calculemos: se() cos () d = se() = a () cos () ; [ ; ] 8

9 lim! +( lim (a ())) = lim!! +( lim E segudo lugar! lim ( lim (a k ()) = lim ( lim!! +!! + se()! ) = lim! +() = se() ) = lim () =!.9 Problema 9. Dada la fució f() = e co > ; a) Veri que que cosiderado las etesioes par e impar de la fució f: w w ( + w ) cos w dw = ( + w ) sew dw b) Estudiar la covergecia de la IF parar deducir que: w ( + w ) dw = ( + w ) dw Solució Cosideremos para f() = e co > la etesió par e si > f p () = e =) si < f p () A (w) cos wdw co A (w) = e cos w d Ahora, cosideremos la etesió impar de f e si > f i () = e =) si < f i () B (w) sewdw co B (w) = e sew d Podemos calcular los coe cietes A (w) y B (w) itegrado por partes: 9

10 A (w) = A (w) = e cos w d =) " e ( w A(w) = ( + w ) cos w + wsew) ( + w ) e ( w # cos w wsew) ( + w ) B (w) = B (w) = B(w) = e sew d =) " e ( sew w cos w) ( + w ) w ( + w ) e ( w # sew + w cos w) ( + w ) Costruyedo las respectivas itegrales de Fourier y aplicado el teorema de la covergecia, puesto que f es ua fució seccioalmete 8 >,se tiee que : e = e = w ( + w ) cos wdw w ( + w ) sewdw Por lo tato, las etesioes so iguales: w ( + w ) cos w dw = w ( + w ) sew dw b) E = se tiee u puto e que estas etesioes so cotiuas, luego ambas itegrales coverge a f() = w ( + w dw = =) ) ( + w ) dw = w ( + w ) dw

11 . Problema. Si f ()es ua fució par,co itegral de Fourier f () = demuestre que: b) f () = Solució a) f () = a) Se tiee que f () = etoces A (w) = Como f () = A (w) cos(w)dw; dode A (w) = A (w) cos(w)dw; dode A (w) = d A(w) dw A (w) se(w)dw; es ua fució impar, v f (v) se(wv)dv (): A (w) cos(w)dw co A (w) = Etoces, derivado el coe ciete queda da(w) dw = f (v) cos(wv)dv: Por lo tato, comparado () y () se tiee da(w) dw = A (w) b) Como f () = A (w) cos(w)dw; es ua fució par, etoces A (w) = Como, f () = Por cosiguiete da(w) dw = d A(w) dw = v f (v) cos(wv)dv () A (w) cos(w)dw co A (w) = v f (v) cos(wv)dv () vf (v) se(wv)dv =) Por lo tato, comparado () y ()se tiee d A(w) dw = A (w) : A (w) cos(w)dw, da(w) dw vf (v) se(wv)dv () f (v) cos(wv)dv: