P(U)=, 5, 8, 9, b, 5, 8, 5, 9, 5, b, 8, 9, 8, b, 9, b, 5, 8, 9, 5, 8, b, 5, 9, b, 8, 9, b, U. {8,b} Figura 1
|
|
- Sofia Toledo Gutiérrez
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Algebras de Boole Cojuto de partes. Dado u cojuto =,, podemos eumerar todos los subcojutos posibles de A, o dicho de otro modo todos los cojutos icluídos e A. Costruímos etoces u uevo cojuto co todos esos cojutos como elemetos, este uevo cojuto se llama cojuto de partes de A y se idica: =,,,,,,,,,,,, Notemos que todos los elemetos de P(A) se escribe etre llaves porque so cojutos, salvo el cojuto vacío que se escribe si llaves. A su vez P(A) tambié es u cojuto por lo tato se ota tambié co llaves. Formalmete: Dado u cojuto U, se defie el cojuto P(U) de partes de U al que tiee como elemetos todos los subcojutos de U. Los elemetos de P(U) so cojutos, todos los que está coteidos e U, icluyedo el vacío que está coteido e cualquier cojuto y el cojuto total U ( U, U U) X ; X U P(U) ={ } E palabras: X es u elemeto de P(U) si y sólo si X está icluido e U E símbolos: X P(U) X U Si U es u cojuto fiito (o sea tiee u úmero fiito de elemetos), el úmero de elemetos de P(U) es 2. El cojuto vacío tiee 0 elemetos, P( ) ={ }tiee como úico elemeto al vacío 0 (porque ), tambié vale e este caso 2 =1. { b} P { { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } } Ejemplo 1. Dado el cojuto U= 5,8,9,, el cojuto (U) de partes de U por etesió es P(U)=, 5, 8, 9, b, 5, 8, 5, 9, 5, b, 8, 9, 8, b, 9, b, 5, 8, 9, 5, 8, b, 5, 9, b, 8, 9, b, U U {5,8,9 } {5,8,b } {5,9,b } {8,9,b } {5,8} {5,9} {5,b} {8,9} {8,b} {9,b} {5} {8} {9} {b} Figura 1 E la figura 1 se represeta los cojutos por iveles de acuerdo co el úmero de elemetos. Las líeas de abajo hacia arriba idica la iclusió al ivel imediato siguiete, se omite las líeas por trasitividad. Tambié idica las uioes al ivel imediato superior, por ejemplo {8,9} {8,b} {9,b} = {8,9,b}. 1
2 De arriba hacia abajo idica las iterseccioes al ivel imediato iferior como {5,8,b} {5,9,b} = {5,b}. Esta represetació recibe el ombre de diagrama de Hasse de P(U). Álgebra de Boole. Defiició. Ejemplos Defiicioes auiliares: Dado u cojuto co ua operació defiida, decimos que es biaria si se realiza etre dos elemetos del cojuto, y decimos que es sigular si se realiza sobre u elemeto del cojuto. Formalmete: Dado u cojuto o vacío A, ua operació biaria e A es ua fució de AA e A y ua operació sigular es ua fució de A e A. Defiició. U álgebra de Boole es u cojuto B co al meos dos elemetos distitos (primer y último elemetos) desigados e forma geeral co los símbolos 0 y 1, dos operacioes biarias (deomiada "supremo") y (deomiada "ífimo"), y ua operació sigular (deomiada "complemeto"), co las siguietes propiedades para elemetos cualesquiera, y, z B (B1) y = y, comutatividad: (B2) y = y (B3) ( y z) = ( y) ( z) distributividad: (B4) ( y z) = ( y) ( z) (B5) B, 0 = (B6) B, 1 = (B7) B, = 1 (B8) B, = 0 2 ( ) U álgebra de Boole tambié puede idicarse B = B,,,,0,1 cuado sea ecesario referirse a las operacioes y al 1ero y último elemetos. Observacioes. 1) E este coteto el 0 y el 1 so símbolos para idicar primero y último elemetos de la defiició de u álgebra de Boole e geeral. E cada ejemplo particular primer y último elemetos será los que correspoda de acuerdo co el tipo de elemetos de cada caso. 2) Tambié so válidas la asociatividad de y de, ( y z) = ( y) z = y z ( y z) = ( y) z = y z las que se puede deducir a partir de alguas de las propiedades ateriores y de otras obteidas como cosecuecia de ellas. 3) El supremo y el ífimo so operacioes biarias, es decir fucioes de B B e B; el complemeto, como operació sigular, es ua fució de B e B. El hecho de que sea fucioes asegura que para todo par, y de elemetos de B, y B, y B y so úicos y que el complemeto B y es úico.
3 4) Toda álgebra de Boole fiita admite ua represetació mediate u diagrama de Hasse y los elemetos e el ivel imediato superior al 0 se deomia átomos. Ejemplos E los aiomas (B1) a (B8) se evidecia la semejaza de las propiedades co las coocidas e los cálculos co cojutos y co proposicioes, por ejemplo: c A B = B A ; A ( B C) = ( A B) ( A C); B B = ( p q ) ( q p) ; p ( q s) ( p q) ( p s) E efecto, se tiee los siguietes ejemplos: 2) Dado u cojuto U, el cojuto P(U) co la uió como supremo, la itersecció como ífimo, el complemeto para cojutos, el vacío como 1er elemeto y U como P U,,, c,, U es u álgebra de Boole, usualmete llamada último elemeto, ( ) ( ) álgebra de partes de u cojuto. Si el cojuto U es fiito P(U) admite ua represetació por u diagrama de Hasse como el de la figura 1, los cojutos uitarios (los que tiee sólo u elemeto) so sus átomos. E ese ejemplo los átomos so {5}, {8}, {9} y {b}. 3) U cojuto de proposicioes cerrado bajo los coectivos cojució, disyució y egació cumple las propiedades (B1) a (B8) pero o forma u álgebra de Boole. E primer lugar la igualdad debe ser reemplazada por el símbolo (o ) de equivalecia lógica, por ejemplo p q y q p o so iguales sio lógicamete equivaletes. Además el primer elemeto desigado e geeral co 0, e este caso o sería úico, podría ser cualquier proposició de la forma p p (cotradicció), para que cumpla la codició (B8), tampoco habría u úico último elemeto 1 porque podría ser cualquier proposició de la forma p p (tautología), para que cumpla la codició (B7). Las propiedades so válidas teiedo e cueta esas salvedades y utilizado el símbolo (o ) que correspode. Para obteer el álgebra de Boole del cálculo proposicioal debe procederse del siguiete modo: Se toma [ p] represetado el cojuto de todas las proposicioes p 1, p 2, p 3,... equivaletes co p ; así tambié resulta úico el primer elemeto 0 represetado por [ p p] y el último 1 por [ p p]. E estas codicioes se defie: [p q ] = [p ] [ q ], [ p q ] =[p ] [q ], [ p] = [ p] Es correcto usar el símbolo de igualdad y vale las propiedades (B1)-(B8) de álgebra de Boole. 3
4 4) El cojuto B= {0,1} co las operacioes e dadas por las tablas La operació complemeto defiida por 0 =1, 1 = 0 es u álgebra de Boole. 5) E el cojuto D 70 = {1,2,5,7,10,14,35,70 } de los divisores positivos de 70 se defie las operacioes máimo comú divisor (mcd) como el ífimo, el míimo comú múltiplo 70 (mcm) como el supremo, el complemeto está dado por =. Por ejemplo: 5 14 = 1 ; 5 14=70 ; 10 35=5 ; 10 35=70; 2 5=1; 2 5 = 10; 5 = 14 ; 2 =35 ; 10 =7 D 70 co esas operacioes, el 1 como primer elemeto y el 70 como último, es u álgebra de Boole. Se puede graficar co u diagrama de Hasse, sus átomos so 2, 5 y Figura 2 Observació. Sea N, > 1 y D el cojuto de los divisores positivos de. D o siempre es u álgebra de Boole. Para todo par de úmeros siempre eiste e dados respectivamete por el mcm y el mcd, pero o siempre eiste el complemeto. Es el caso, por ejemplo, de D8 = { 1,2,4,8 } cojuto de los divisores aturales de 8 que o es u álgebra de Boole. Nótese que el 1er elemeto es 1, el último es 8 y que los aiomas de complemeto (B7) y (B8) o se cumple. Las siguietes so propiedades importates sobre D : 4
5 Proposició 1. 2 Si cumple que k > 1, k o divide a, etoces todo D tiee complemeto =. E D 8 el 4=2 2 es u cuadrado que divide a 8, la Proposició 1 o se cumple. No hay igú e D 8 que cumpla (a la vez) 4 = 8 y 4 = 1 (aiomas (B7) y (B8)), 4 o tiee complemeto, luego D 8 o es u álgebra de Boole. Tampoco lo so D = 1,3,9 } o D = 1,2,3,4,6,8,12,24 e los que está, respectivamete, los { { } 9 24 cuadrados 9 y 4. Por el cotrario o hay cuadrados que divida a 70, D 70 es u álgebra de Boole. Tambié 30 cumple la Proposició 1, luego e D 30 = {1,2,3,5,6,10,15,30 } todo elemeto tiee su complemeto y es u álgebra de Boole. Otra forma similar de aalizarlo es la siguiete: Escribiedo 70 y 30 como producto de sus factores primos, 70=2.5.7, 30=2.3.5 se ve que todos aparece co potecia 1. E cambio 8=2 3, 9=3 2 y 24=2 3.3 tiee al meos u factor primo co epoete mayor que 1. Se defie que u atural es libre de cuadrados si e su factorizació como producto de primos, todos tiee epoete 1. Y se tiee el siguiete criterio: Proposició 2. Sea N, > 1. D es u álgebra de Boole si y sólo si es libre de cuadrados. E los casos mecioados 70 y 30 so libres de cuadrados mietras que 8, 9 y 24 o lo so. E D =5 pues 70 = 5, siedo 70=2.5.7 y 14=2.7, el úico primo que falta de la factorizació 14 de 70 es el 5. D 210 es u álgebra de Boole porque 210= , el complemeto de 10 es 210 =21, 10 se factoriza 10 10=5.2 y 21=3.7 los primos de la factorizació de 210 que o está e la de 10. Se muestra que si es libre de cuadrados, etoces todo tiee complemeto: Sea = p1. p2. p pi..... pt, co todos los pi úmeros primos distitos (es decir par i, k tales que 1 i, k t, i k p p ). Tomado por ejemplo D, = p. p. p..... p, es i+ 1 i k i = p..... p. Siedo todos los primos distitos y o tiee iguo e comú, etoces su t míimo comú múltiplo es el producto de todos y su máimo comú divisor es 1. p i i+ 1 t Se cumple (B7): = mcm(, ) = (. p. p..... p ).( p..... p ) = ( es el último elemeto de D ); y (B8): mcd(, ) =1 (1 es e de D ). Etoces es = el complemeto de. = l primer elemeto 5
6 Pricipio de Dualidad y Leyes e u álgebra de Boole Dualidad. El euciado dual de ua proposició e u álgebra de Boole B es el que se obtiee itercambiado las operacioes e y los elemetos 0 y 1 e la proposició origial. E la defiició (B1) y (B2) so duales ua de la otra, lo mismo (B3) y (B4), (B5) y (B6), (B7) y (B8). Por la simetría de estos aiomas que defie u álgebra de Boole B, cualquier proposició e B es verdadera si y sólo si su dual lo es. Este hecho se cooce como pricipio de dualidad. Teorema 1. (Leyes de Idempotecia). Sea B u álgebra de Boole, etoces para cualquier B, =, = Demostració. Por los aiomas (B5), (B8), (B3) y (B7) = ( ) 0 = ( ) ( ) = ( ) = 1 = Y por dualidad =. Teorema 2. (Leyes de acotació). Sea B u álgebra de Boole, etoces para cualquier B, 1 = 1, 0 = 0 Demostració. Por (B8), asociatividad, idempotecia y de uevo (B8) 0 = ( ) = ( ) = = 0 Por dualidad 1 = 1. Teorema 3. (Leyes de absorció). Sea B u álgebra de Boole, etoces para cualesquiera, y B, ( y) =, ( y) = Demostració. Por (B6), (B7), distributividad ((B3)) ( y) = ( 1) ( y) = [ (y y )] ( y) = = [( y) ( y )] ( y) = por asociatividad y comutatividad ((B1)) = [( y) ( y)] ( y ) = por idempotecia aplicada al elemeto ( y ), distributividad ((B3)), (B7) y (B6) = ( y) ( y ) = (y y ) = 1 = Por dualidad tambié es verdadero ( y) =. Teorema 4. (Ivolució). Sea B u álgebra de Boole, etoces para cualquier = (el complemeto del complemeto de es de uevo ) B, ( ) Demostració. Por (B7) y (B8): = 1 y = 0 Por las comutativas (B1) y (B2): = 1, = 0 Y el complemeto es úico (Observació 3 de la defiició de álgebra de Boole), luego ( ) =. 6
7 Teorema 5. (Leyes de De Morga). Sea B u álgebra de Boole, etoces para, y B, ( y) = y y = y ( ) Demostració. Se demuestra que y y = 1 (parte 1) ( ) ( ) ( y) ( y ) y que = 0 (parte 2) por lo que, por uicidad del complemeto ( ) y = y parte 1: Por distributiva (B4), comutatividad y asociatividad del, (B7), acotació ( y) ( y ) ( y) ( y) y = ( ) y ( y y ) = [ 1 y] [ 1 ] = 1 1=1 = = parte 2: Por comutativa (B2) y distributiva (B3), asociativa y comutativa de, (B8) y ley de acotació ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = [ 0 y ] [ 0 ] = 0 0 = 0 y y = y y y = y y y = Se obtuvo que ( y) = y. Por dualidad tambié vale y = y. ( ) Isomorfismo de álgebras de Boole Defiició. Sea B 1 y B 2 dos álgebras de Boole. U isomorfismo etre B 1 y B 2 es ua fució biyectiva f: B1 B2 que cumple las siguietes propiedades: par, y B (i) f ( y) = f ( ) f ( y) 1 (ii) f ( y) = f ( ) f ( y) (iii) f ( ) = [ f ( )] Es decir que la image por f del supremo y etre e y es igual al supremo f ( ) f ( y) etre f() y f(y), la image por f del ífimo y es el ífimo f ( ) f ( y) etre sus imágees y la image por f de (el complemeto de ) es igual al complemeto [ f ( )] de su image, siedo e y elemetos de B 1 y f(), f(y) elemetos de B 2. U isomorfismo es ua biyecció que coserva las operacioes. Cuado eiste tal isomorfismo etre B 1 y B 2, se dice que B 1 y B 2 so isomorfas. B 1 y B 2 tiee elemetos distitos pero tiee la misma forma comportádose igual co respecto a sus operacioes. 7
8 Ejemplos 6) Dados el cojuto D de los divisores positivos de 6 y el cojuto B formado por las 6 proposicioes p, p, el primer elemeto 0 = p p, el último 1 = p p, e este caso so úicos, la fució f : D B dada por f (0)=1, f ( p) = 2, f ( p) = 3, f (1) = 6 6 es u isomorfismo etre D y B. 6 Se observa que sus respectivos diagramas de Hasse coicide 1 6 p p Figura 3 Nótese que e D 6 el 1 es el úmero 1, mietras que e B tato 1 como 0 so símbolos que represeta lo idicado. 7) El álgebra de Boole D 70 =( D 70, mcm, mcd, 70/, 1, 70) del Ejemplo 5 que tiee tres átomos 2, 5, 7, es isomorfa a u álgebra de partes de u cojuto U que tega tres elemetos, c por ejemplo U={a, b, c} co las operacioes propias de P(U), P(U) = ( P(U),,,,, U), defiiedo el isomorfismo mediate la fució f de D 70 e P(U), e el que los cojutos uitarios {a}, {b},{c} so los átomos, dada por f(2)={a}, f(5)={b}, f(7)={c}, f(10)= {a, b}, f(14)={a, c}, f(35)={b, c}, f(70)={a, b, c}, f(1)=. Es biyectiva y respeta las operacioes. Para hacer más simple la correspodecia se puede tomar como cojuto U ={u 2, u 5, u 7 } co sus elemetos subideados co los átomos de D 70 o directamete U = { 2, 5, 7 } co los átomos como elemetos, teiedo e cueta que cada álgebra tiee sus propias operacioes y que e tal elecció de U, los átomos de P(U) so los cojutos uitarios {2}, {5}, {7}, e tato que e D 70 los átomos so los úmeros 2, 5 y 7. Eligiedo U={a, b, c}, e la figura 4 se muestra el diagrama de Hasse de P(U) que coicide co el de D 70 dado e la figura 2 U {a, b} {a, c} { b,c} {a} {b} {c} Figura 4 8
9 Se observa por ejemplo que: f(5 7) = f(35)= { b,c} = {b} {c} = f(5) f(7); f(10 35) = f(5) = {b} = {a, b} { b,c} = f(10) f(35) E D es el complemeto de 2, f(35)={b, c}, f(2)={a} y {b, c} es el complemeto de {a} c e P(U), o sea se cumple que f (2 ) = f (35) = b, c} = a { { } El Ejemplo 7 se puede geeralizar para todo álgebra de Boole co u úmero fiito de elemetos. Teorema 6. Sea B u álgebra de Boole fiita. Etoces eiste u cojuto U tal que B es isomorfa al álgebra de partes P(U). Para demostrarlo se toma U el cojuto de los átomos de B, la biyecció que a cada átomo a i de B le asiga el cojuto uitario { a i }, a partir de ahí se costruye u isomorfismo f etre B y P(U). Teorema 7.(Corolario del Teorema 6). El úmero de elemetos de u álgebra de Boole fiita es ua potecia de dos, co >0. 2 Demostració. Si B es u álgebra de Boole fiita y U es el cojuto de sus átomos, por el teorema aterior el úmero de elemetos de B es igual al úmero de elemetos de P(U) y, como se idica al comiezo (Ver Cojuto de partes), si U tiee elemetos, P(U) tiee 2 elemetos. El úmero debe ser mayor que 0 porque B tiee por lo meos dos elemetos: el primero y el último. Observació. La codició euciada e el Teorema 7 es ecesaria, por lo que si el úmero de elemetos de u cojuto o es ua potecia de dos, se puede cocluir que tal cojuto o es u álgebra de Boole. La codició o es suficiete, por ejemplo el cojuto D 24 ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} de divisores positivos de 24 tiee 2 3 elemetos y o es u álgebra de Boole. El hecho de que u cojuto tega 2 elemetos, co 1, o asegura que sea u álgebra de Boole. Ejercicios 1) Ecotrar los cojutos de partes de u cojuto co 3 elemetos y otro co 4 elemetos y graficar sus respectivos diagramas de Hasse. Idicar los átomos e cada caso. 9
10 2) Sea B y D cojutos tales que B D. Probar que P( B) P( D) 3) Graficar el diagrama de Hasse del álgebra de Boole D 30, idicar sus átomos y el complemeto de cada elemeto. 4) Determiar si los cojutos D 40, D 15, D 170, D 21, D 6, D 18, D 42, D 54 so o o álgebras de Boole, justificado las respuestas. E caso que sea u álgebra de Boole, graficar el diagrama de Hasse e idicar cuáles so sus átomos 5) Determiar si el cojuto D 390 es o o u álgebra de Boole. E caso afirmativo graficar su diagrama de Hasse, idicar los átomos y ecotrar el complemeto de cada elemeto. 6) Sea =Z, la suma usual de eteros, el producto usual de eteros y para cada Z, se defie a = -a. Es B u álgebra booleaa? 7) Simplificar (hasta su míima epresió) las siguietes epresioes, idicado las propiedades usadas ( y) ( y = = ( ) ( ) ( y ) ( y y) y ( = = ( ) 8) a) Probar la Ley de De Morga ( y ) = y b) Epresar las Leyes de De Morga e los cojutos y e el cálculo proposicioal, co los símbolos y operacioes que correspode e cada caso 9) Sea : u isomorfismo de algebras booleaas. Si llamamos 0 0 al 0 de respectivamete y 1 1 al 1 de respectivamete, demostrar que 0 =0 y 1 =1 10) Ecotrar u cojuto U tal que el álgebra de partes P(U) sea isomorfa a D 390, idicar primer elemeto, último elemeto y los átomos e cada álgebra de Boole y el úmero total de elemetos que tiee. Obteer los complemetos e D 390 de los elemetos 15, 78, 10, 13, 39, supremo e ífimo e D 390 de 15 y 10, 15 y 39, 30 y 78, 10 y 30, 10 y 39. Y los correspodietes por el isomorfismo e P(U) 11) Mediate el Teorema 7 establecer si D 40, D 18, D 9 so o o álgebras de Boole. 10
11 Ua aplicació: Los circuitos Ua aplicació del álgebra de Boole es el álgebra de circuitos de comutació. U circuito de comutació es ua red eléctrica formada por iterruptores coectados por cable, co dos estados que so cerrado y abierto, a los que se les asiga, respectivamete, los valores 1 y 0, y dos termiales s y t. La corriete eléctrica fluye de s a t a través del puto dode está localizado u iterruptor si y sólo si éste está cerrado s figura 5 t E la figura 5 se muestra u circuito co u solo iterruptor. El circuito de la figura 6 está cerrado si y sólo si o y está cerrados. Esta combiació de iterruptores se idica co y y se dice que los iterruptores, y está e paralelo s t y figura 6 Dos iterruptores e y está e serie si está coectados como e la figura 7 s figura 7 y t E este caso el circuito está cerrado si y sólo si ambos e y lo está, esta combiació de iterruptores se idica co y. La operació supremo es la coeió e paralelo y el ífimo es la coeió e serie. Los valores que puede tomar los iterruptores so sólo dos: {ON, OFF} o bie {1,0}. Si dos iterruptores opera e tal forma que cuado uo está abierto el otro está cerrado, y viceversa etoces se desigará uo de ellos co ua letra y el otro por su complemeto. Se idica co 0 al circuito que está siempre abierto y co 1 al que está siempre cerrado. Co estas operacioes el cojuto de circuitos de comutació es u álgebra de Boole y tiee todas sus propiedades. E el diseño actual de redes eléctricas los iterruptores se reemplaza por otros dispositivos llamados compuertas lógicas, que se correspode co las operacioes booleaas, y complemeto (egació). 11
12 Reseña histórica E el siglo XIX, el matemático George Boole ( ), e sus libros: "The Mathematical Aalysis of Logic" (1847) y "A Ivestigatio of The Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las proposicioes lógicas podía ser tratadas mediate herramietas matemáticas siguiedo el comportamieto de reglas algebraicas. Igual que e álgebra tradicioal, tambié se trabaja co letras para deomiar variables y formar ecuacioes para obteer el resultado de ciertas operacioes mediate ua ecuació o epresió booleaa. Los trabajos de Boole y los de sus discípulos resultaro etraños e su época porque e aquel mometo parecía o teer aplicacioes. A mediados del siglo XX el álgebra de Boole resultó de ua gra importacia práctica, importacia que se ha ido icremetado hasta uestros días, e el maejo de iformació digital. Gracias a ella, Claude Shao ( ) pudo formular su teoría de la codificació y Joh Vo Neuma ( ) pudo euciar el modelo de arquitectura que defie la estructura itera de las computadoras desde la primera geeració. Por lo tato, Boole es hoy cosiderado uo de los fudadores de las Ciecias de la Computació y de la base teórica para la era digital. Bibliografía Ramó Espiosa Armeta, Matemática Discreta. Elliott Medelso, Boolea Algebra ad Switchig Circuits, McGraw-Hill. 12
4 ALGEBRA DE BOOLE. 4.1 Introducción. 4.2 Axiomas. (a) a + b = b + a (b) a b = b a. (a) a + (b c) = (a + b) (a + c) (b) a (b + c) = a.
Arquitectura del Computador 4 ALGEBRA DE BOOLE 4. Itroducció. El álgebra de Boole es ua herramieta de fudametal importacia e el mudo de la computació. Las propiedades que se verifica e ella sirve de base
Más detallesTeoría de la conmutación. Álgebra de Boole
Álgebra de Boole Defiicioes y axiomas Propiedades Variables y fucioes booleaas Defiicioes Propiedades Formas de represetació Fucioes booleaas y circuitos combiacioales Puertas lógicas Puertas lógicas fudametales
Más detallesLOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En
LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)
Más detallesFUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y
CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos
Más detallesCÁLCULO DE PROBABILIDADES :
CÁLCULO DE PROBBILIDDES : Experimeto aleatorio. Espacio muestral. Sucesos. Álgebra de sucesos. Frecuecias. Propiedades. Probabilidad. Resume de Combiatoria. Probabilidad codicioada. Teoremas. PROBBILIDD
Más detallesEjemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi
u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo
Más detallesCRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MATEMÁTICA I - 0 - Capítulo 6 ------------------------------------------------------------------------------------ CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Las matrices iversas se puede usar
Más detallesLímite y Continuidad de Funciones.
Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas
Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales
Más detallesTema 8 Límite de Funciones. Continuidad
Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesLAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO
LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que
Más detallesIES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11
IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como
Más detallesConvolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG
Covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció... Aálisis de Sistemas Discretos Lieales e Ivariates e el Tiempo.... Técicas
Más detallescon operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,
Tema 9 El plao complejo 9. Números complejos E IR, las operacioes suma producto de úmeros reales so operacioes iteras (el resultado de operar es otro úmero real) que permite la existecia de operacioes
Más detallesNúmeros naturales, enteros y racionales
Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de
Más detallesα, entonces se cumple que: T ( x) α T ( x)
HÉCTOR ESCOAR Uidad 3 Álgebra Lieal ALGERA LINEAL UNIDAD 3: OPERADORES LINEALES CONCEPTO DE OPERADOR LINEAL: sea V, dos espacios lieales, etoces u operador lieal (trasformació lieal) es ua fució T : V
Más detallesPROPOSICIONES, RELACIONES Y OPERACIONES
PROPOSICIONES, RELACIONES Y OPERACIONES 1. Sea p 1, p,, p proposicioes primitivas. Sea P ua proposició compuesta que cotiee al meos ua ocurrecia de cada p i, para 1 i ( y o cotiee otra proposició primitiva
Más detallesCRIPTO II UT I N 01 BASES TEORICAS I
CRIPTO II UT I N 0 BASES TEORICAS I TEORIA DE NUMEROS cripto-scolik-hecht UT- UNIDAD TEMÁTICA N : Bases Teóricas. Teoría de Números: Aritmética Modular, Logaritmos Discretos. Geeració de úmeros primos.
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detalles2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.
2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces
Más detallesTema 1: Números Complejos
Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto
Más detallesDERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir:
DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( ) c Coceptos clave: 1. Derivada de la fució costate f ( ) c, dode c es ua costate, la derivada de esta fució es siempre cero, es decir: f '( ) 0 c. Derivada de ua fució
Más detallesEl tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.
Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54
Más detallesUNEFA C.I.N.U. Matemáticas
RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el
Más detallesTEMA 12 ESPACIOS VECTORIALES. A lo largo de este tema 12 denotaremos mediante la letra K un cuerpo conmutativo, (K, +, ).
1. Espacios Vectoriales. 2. Subespacios Vectoriales. 2.1. tersecció de Subespacios. 2.2. Uió de Subespacios. 2.3. Suma de Subespacios. 2.4. Suma Directa de Subespacios. 3. Aplicacioes Lieales. Espacio
Más detallesExpresiones Algebraicas
Semiario Uiversitario Matemática Módulo Expresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,
Más detallesINECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.
INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad
Más detallesLAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO
LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO Sugerecias al Profesor: Resaltar que las sucesioes geométricas ifiitas so objetos matemáticos que permite modelar alguos procesos ifiitos, y que a la vez su costrucció
Más detallesLos vectores desempeñan un papel importante en Matemáticas, Física e Ingeniería y actualmente en materias como procesamiento de imágenes.
ESPACIOS VECTORIALES 1. INTRODUCCIÓN Escalares y Vectores E la técica existe catidades como Logitud, Área, Volume, Temperatura, Presió, Masa, Potecial, Carga eléctrica que se represeta por u úmero real.
Más detallesLos números complejos
Los úmeros complejos Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació
Más detallesCLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel
x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la
Más detalles( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7
LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.
Más detallesTécnicas para problemas de desigualdades
Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,
Más detallesNegativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18
Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales
Más detallesCAPÍTULO 1 COMPUTADORA DIGITAL. Modelo De Von Neumann
CAPÍTULO 1 COMPUTADORA DIGITAL Ua computadora digital es ua combiació de dispositivos y circuitos electróicos orgaizados de tal forma, que puede realizar ua secuecia programada de operacioes co u míimo
Más detallesUNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
UNIDAD Ecuacioes Difereciales Lieales de Orde Superior. Defiició Ua ecuació diferecial lieal de orde tiee la forma: d y a a a a y= g d d d Si las fucioes a a so todas costates (o cero) etoces se dice que
Más detallesNúmeros naturales, enteros y racionales
Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de
Más detallesProbabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS
Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS E el mudo real hay feómeos regidos por leyes de tipo empírico (basadas e la experiecia), lógico o deductivo, e los que el efecto está determiado por ciertas causas. El
Más detallesDISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Ídice. INTRODUCCIÓN2 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES2 Defiicioes básicas.2 Iterpretació vectorial3
Más detallesMedidas de Tendencia Central
1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los valores observados e la muestra, dividida
Más detallesEscuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre
Escuela Pública Eperimetal Descocetrada Nº Dr. Carlos Jua Rodríguez Matemática º Año Ciclo Básico de Secudaria Teoría Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros racioales Los úmeros racioales so aquellos
Más detallesCálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesÁLGEBRA ELEMENTAL. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas).
ÁLGEBRA ELEMENTAL 1.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS (GENERALIDADES) 1.1.- Alguas defiicioes Ua epresió algebraica es ua epresió matemática que cotiee úmeros, letras que represeta úmeros cualesquiera sigos matemáticos
Más detallesTécnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20
Técicas Cuatitativas II 2012-2013 Muestra y Estadísticos Muestrales TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Ídice Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media Cocepto de muestra
Más detallesMOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan
MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL Viceç Fot Departamet de Didàctica de les CCEE i de la Matemàtica de la Uiversitat de Barceloa Resume: E este artículo se muestra como las trasformacioes
Más detallesSEMANA 01. CLASE 01. MARTES 04/10/16
EMANA 0. CLAE 0. MARTE 04/0/6. Experimeto aleatorio.. Defiició. Experimeto e el cual o se puede predecir el resultado ates de realizarlo. Para que u experimeto sea aleatorio debe teer al meos dos resultados
Más detallesLa sucesión de Lucas
a sucesió de ucas María Isabel Viggiai Rocha Cosideramos la sucesió umérica { } defiida por: - - si 3 y y 3. Esta sucesió es coocida como la sucesió de ucas y a sus térmios se los llama úmeros de ucas.
Más detallesCAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES
(Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CAPÍTULO V. UCEIONE Y ERIE DEFINICIÓN. Ua sucesió ifiita, o simplemete sucesió, es ua fució cuyo domiio está costituido por el cojuto de los úmeros aturales
Más detallesTema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1
Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma
Más detallesTEOREMA DE PITAGORAS
TEOREMA DE PITAGORAS INTRODUCCION El Teorema de Pitágoras lleva este ombre porque su descubrimieto recae sobre la escuela pitagórica. Ateriormete, e Mesopotamia y el Atiguo Egipto se coocía teras de valores
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga
Más detallesFunciones de variable compleja
Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) =
Más detallesINTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL.
INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las fucioes Moto e Iterés: a) C = + 0, co C e miles de pesos ; : meses y R. Para graficar estar fucioes, debemos dar valores a, por
Más detallesINTEGRALES DE RIEMANN
NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..-
Más detallesTransformaciones Lineales
Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,
Más detallesFUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES. Ua fució de variable es u cojuto de pares ordeados de la forma
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,
Más detallesPAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14
GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 4 OBJETIVOS: Lograr que el Alumo: Resuelva correctamete aritmos y aplique sus propiedades. Resuelva ecuacioes epoeciales.
Más detallesProbabilidad. Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna. 1. Introducción 1
Probabilidad BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhabreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimeez@ull.es) M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ (imarrero@ull.es) ALEJANDRO SANABRIA
Más detallesTEMA 25 (Oposiciones de Matemáticas)
TEMA 25 (Oposicioes de Matemáticas) LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD. TEOREMA DE BOLZANO.. Itroducció. 2. Límites de fucioes. 2.. Límite de ua fució e u puto. 2.2. Límites laterales.
Más detallesSucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,
Más detallesTEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES.
Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes TEMA 6 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO FUNCIÓN DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS APLICACIONES ÍNDICE INTRODUCCIÓN DERIVADA
Más detallesORGANIZACIÓN DE LOS DATOS.
ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. La toma de datos es ua de las partes de mayor importacia e el desarrollo de ua ivestigació. Así los datos obteidos mediate u primer proceso recibe el ombre de datos si tratar
Más detallesFigura 8.1: Ejemplos de conjuntos de índices.
Capítulo 8 Cojuto de ídices Defiició 8.1 (Cojuto de ídices) Sea I u cojuto, tal que para cada i I se tiee u cojuto A i U. El cojuto I se deomia cojuto de ídices y cada i I es u ídice. (a) Los ídices so
Más detallesConvergencia absoluta y series alternadas
Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales
Más detallesTrabajo Especial Estadística
Estadística Resolució de u Problema Alumas: Arrosio, Florecia García Fracaro, Sofía Victorel, Mariaela FECHA DE ENTREGA: 12 de Mayo de 2012 Resume Este trabajo es ua ivestigació descriptiva, es decir,
Más detallesQué es la estadística?
Qué es la estadística? La estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Qué es la estadística? U agete recibe iformació e forma
Más detallesFórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)
Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio
Más detalles1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)
1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :
Más detallesSERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detallesEntrenamiento estatal.
Etreamieto estatal. Combiatoria. Coteo. Problemas de caletamieto. 1. Cuátos códigos diferetes de cico dígitos puede hacerse? 2. Si para ir de A a B hay 3 camios, para ir de A a C hay dos camios, Para ir
Más detallesMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi
EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee
Más detallesSupremo e ínfimo. Números irracionales
Tema 4 Supremo e ífimo. Números irracioales Completamos e este tema la presetació de los úmeros reales, estudiado las propiedades más importates de R, las que se deduce del axioma del cotiuo. Para aplicar
Más detallesSUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes
Más detalles1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p.
Divisibilidad Matemática discreta Dados dos úmeros aturales a y b, escribiremos a b y leeremos a divide a b si existe u c N tal que ac = b. E este caso, decimos que a es u divisor de b o que b es divisible
Más detalles13. FACTORIZACIÓN GAUSSIANA Y CUERPOS CUADRÁTICOS
.. Teoría de los úmeros algebraicos. Teoría de los úmeros algebraicos. La teoría algebraica de los úmeros es la rama de la teoría de los úmeros e la cual el cocepto de úmero se expade a los úmeros algebraicos,
Más detallesSOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso
Más detallesMUESTREO Y ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
1 MUESTREO Y ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA Muestreo. Métodos de muestreo Se llama població al cojuto de idividuos que posee cierta característica. Ua muestra es ua parte de esa població. Muestreo es el proceso
Más detallesOlimpiadas Matem aticas, U. de A.
OLIMPIADAS DE MATEMATICA, 04 Uiversidad de Atioquia Cotextos AVISO: Los textos aquí publicados so resposabilidad total de sus creadores Estos so materiales e costrucció Errores y/o cometarios por favor
Más detallesTEMA 5: INTERPOLACIÓN
5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x
Más detallesMatemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:
Más detallesImportancia de las medidas de tendencia central.
UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació
Más detallesPolinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios
Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua
Más detallesIngeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.
CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió
Más detallesCAP ITULO I ALGEBRA LINEAL. 1
CAPÍTULO I ÁLGEBRA LINEAL 1 Tema 1 Espacios Vectoriales Notaremos por R al cuerpo de los úmeros reales Defiició 11 Sea E u cojuto o vacío e el que se tiee defiida ua ley de composició itera (llamada suma):
Más detallesUnidad 1: Números Complejos
Uidad 1: Números Complejos 11 Itroducció Además de los cojutos de úmeros aturales, eteros, racioales y reales existe el cojuto de úmeros complejos que juega u rol importate o solo e matemáticas sio e las
Más detallesBINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON
págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:
Más detallesEspacio vectorial ESPACIO VECTORIAL. 8.- Intersección y suma de subespacios vectoriales
ESPACIO VECTORIAL.- Itroducció.- Espacio Vectorial.- Subespacios vectoriales 4.- Geeració de Subespacios vectoriales 5.- Depedecia e idepedecia lieal 6.- Espacios vectoriales de tipo fiito 7.- Cambio de
Más detallesINTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
INTRODUIÓN L PROBBILIDD EXPERIMENTOS LETORIOS Y DETERMINISTS Los experimetos o feómeos cuyo resultado o puede coocerse hasta haber realizado la experiecia se llama aleatorios o estocásticos. uado el resultado
Más detallesCálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesOPCIÓN A EJERCICIO 1_A
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 0-1 2 1 ( putos) Resuelva la siguiete ecuació matricial: A X - 2 B C, siedo A 1 0 1, B -2, C. 1
Más detallesGUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL
GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio)
Más detallesSobrantes de 2004 (Septiembre Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A
OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua pastelería elabora dos tipos de trufas, dulces y amargas Cada trufa dulce lleva 20 g de cacao, 20 g de ata y 30 g de azúcar y se vede a 1 euro la uidad Cada trufa amarga
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:
Más detalles1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS E el leguaje matemático, se deomia expresioes algebraicas a toda combiació de letras y/o úmeros viculados etre si por las operacioes de suma, resta, multiplicació y poteciació de
Más detallesSUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES
www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos
Más detallesAPLICACIONES LINEALES.
APLICACIONES LINEALES. INTODUCCIÓN: APLICACIONES ENTE CONJUNTOS. Ua aplicació etre dos cojutos A y B es ua regla que permite asigar a cada elemeto de A, uo de B. La aplicació del cojuto A e el cojuto B
Más detallesDISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)
Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico
Más detalles