Importancia de las medidas de tendencia central.

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1 UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació así expresada es más fácil de aalizar. E ua tabla de clases y frecuecias es fácil ver qué itervalo posee mayor úmero de datos y e cuál hay meos. Tambié podemos captar cuátos datos está por ecima o por debajo de u porcetaje dado. Por su parte, las gráficas os preseta la iformació de ua maera rápida y vistosa. E ellas podemos ver de imediato qué datos sobresale. Si embargo, la iformació resumida e ua tabla de clases y frecuecias puede resumirse aú más, de maera que se pueda realizar u aálisis más completo. La iformació resumida e ua tabla puede expresarse e u solo valor. Para esto ecesitamos lo que se cooce como medidas de tedecia cetral. Estas medidas recibe tal ombre porque alrededor de ellas tiede a girar los demás valores de ua serie. Las medidas de tedecia cetral so útiles para teer ua mejor descripció de todos los valores que toma ua variable determiada. So medidas de tedecia cetral: la media aritmética, la mediaa y la moda. 2. Media aritmética. La media aritmética es el promedio más coocido. 2.1 Defiició y otació. La media aritmética de ua serie estadística, deotada, es el valor que sustituido por cada térmio produce ua suma igual a la de todos los térmios. Compredamos la defiició. Se establece que si es la media aritmética de los térmios a, b, c, d y e; etoces se tiee que: Si a + b + c + d + e = S, etoces: = S U ejemplo umérico es el siguiete. Para los datos siguietes 5, 3, 6, 7, 4, 5, 3, 7 la media aritmética es = 5. Esto sigifica que: Cuado los datos se ordea de meor a mayor, = 40 puede verse la simetría de la distribució. Cuado la diferecia etre los úmeros es más o = 40 meos igual, la distribució es bastate simétrica. De lo cotrario es asimétrica

2 Siedo 2.2 Cálculo de la media aritmética. Cuado se tiee datos o agrupados, la media aritmética se calcula mediate la fórmula = X i. E esta fórmula: sigifica sumatoria X i es cada uo de los datos es el úmero total de datos Pero puede ocurrir que los datos esté agrupados e frecuecias, etoces la fórmula es: = fi X i. fi la frecuecia co que se repite el dato X i. La aterior ecuació se utiliza para datos muestrales. Alguos libros, para especificar que se trata de datos poblacioales, utiliza μ e vez de, y N e vez de. Aquí utilizaremos para la media y para los datos. Cuado sea ecesario, especificaremos si so datos poblacioales o muestrales. Ejemplo. Para los datos dados, calcular. Luego agruparlos e frecuecias y calcular de uevo. Datos: 5, 8, 8, 4, 7, 9, 8, 8, 7, 2, 4, 6, 5, 8, 7, 4, 2, 4, 8, 7, 5. Solució. El úmero de datos es: = 21. La sumatoria de los datos es: X i = = 126. = X i = 126/21 = 6. Ordeados los datos de meor a mayor, se tiee: 2, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9. La media es 6, y la posició cetral es uo de los 7. Hay bastate simetría. Calculemos agrupado los datos e frecuecias: Datos F Apliquemos la fórmula:

3 fi X i = 2x2 + 4x4 + 3x x7 + 6x8 + 9 = = 126. = fi X i = 126 = para datos agrupados e clases y frecuecias. Cuado los datos está agrupados e clases y frecuecias, se calcula mediate la fórmula: = fi Pm i Se toma el puto medio porque es el valor que mejor represeta a los datos de su clase. Para ua distribució simétrica, Pm ocupa el cetro. E 2, 3, 4, 5, 6: Pm = 4. Ejemplo. Para los datos de la tabla, calcular. Tiempos Pm Corredores (f) Suma = 64 Solució. = fi Pm i = 17x x x x x = ( ) / 64 = / 64 = 3.41 Co este ejemplo se puede apreciar ua utilidad de teer los datos agrupados e clases y frecuecias. Tambié puede apreciarse el valor de Pm, pues es el dato que mejor represeta a todos los de su clase. 2.3 Propiedades de la media aritmética.

4 1. La sumatoria de las restas de cada térmio respecto de la media es igual a cero. Comprobemos la aterior propiedad co u caso secillo. Se tiee que para los datos 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. La sumatoria de las restas de cada térmio respecto de la media es la siguiete: (9 5) + (9 7) + (9 9) + (9 11) + (9 13) = (4) + (2) + (0) + (-2) + (-4) = = = 0 Se cumple que La sumatoria de las restas de cada térmio respecto de la media es igual a cero. 2. Media aritmética de ua costate. Esta propiedad os dice que si ua serie de datos está formada por la repetició de u mismo dato, la media aritmética es ese dato costate. Para el caso se tiee que la media aritmética de 8, 8, 8, 8, 8, 8... es Media aritmética del producto de ua costate por ua variable. Ya vimos que para 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. Multipliquemos cada úmero por la costate 5. Obteemos: 25, 35, 45, 55 y 65. La media aritmética de estos úmeros es 45. Pero 45 es el producto de la costate por la media aritmética origial: 5x9 = 45. De lo aterior se cocluye que la media aritmética del producto de ua costate por ua variable es igual al producto de la costate por la media de la variable. 4. Media aritmética de la suma o resta de ua costate y ua variable. Ya vimos que para 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. Sumémosle la costate 5 a cada dato. Obteemos: 10, 12, 14, 16 y 18. La media de estos datos es 14. Pero 14 es Lo que es lo mismo: la media aritmética origial + la costate. Si e vez de sumar restamos, obteemos: 0, 2, 4, 6 y 8. Siedo = 4. Pero 4 es 9 5. Lo que es lo mismo: la media aritmética origial la costate. De lo aterior se cocluye que la media aritmética de la suma o resta de ua costate y ua variable es la media de la variable más o meos la costate. 5. Media de medias. Cuado se tiee varias medias, la media de esas medias está relacioada co el úmero de datos de cada ua. Se calcula la media de medias co la fórmula = fi i fi Ejemplo. Para 40 datos = 10; Para 50 datos = 11; Para 60 datos = 12. Calcular la media de las medias.

5 = fi i = 40x x x12 = ( ) / 150 = fi Actividad 1. Resolver los casos siguietes. 1. Calcular la media aritmética de 2, 5, 7, 3, 8, 2, 9, 7, 6, 4, 5, 6, 9, 2, 7, 3, , 4, 3, 5, 2, Calcular la media aritmética para las tablas siguietes. Datos a. =.f Datos b. =.f Tiempos Pm f Pmf c. = Tiempos Pm f Pmf d. =

6 discusió 1. Resuelva los casos siguietes. 1. Para los datos siguietes, la media es 9. Calcule el valor de k. 10, 8, 14, 6, k. K = 2. Para los datos 10, 3k, 30, 20 y m; la media es 23. Para los datos 20, k, 10, m y 15, la media es 18. calcule los valores de k y m. K = m = 3. La media para los datos de la tabla es 4. Calcule el valor del dato m. Dato Frec. 5 m 5 16.m = 4. Para los datos 30, 15, 10, k, 50; se tiee que si a cada valor se le suma 10, la media es 35. calcule el valor de k. 5. Se sabe que la media de 120 datos es 15, la de 85 datos es 12 y la de 100 es 14. Calcule la media de medias. = 6. U agricultor reparte 500 libras de maíz etre 5 de sus mejores empleados. Las reparte así: 120, 100, 80, 95 y 105. Luego decide agregarle 20 libras a cada uo. Cuál es la media fialmete. = 7. Se reparte 200 libras de frijol etre 5 persoas así: 40, 30, 50, 35, 45. Posteriormete se descubre que la báscula agregaba por error 5 libras más. Cuál es la media de las medidas reales. = 8. Para u grupo de 40 persoas la edad media es de 25 años. Para otro grupo de 50, se descooce la edad promedio. Si embargo se sabe que la media de las oveta persoas es 20. Cuál es la media del grupo de 50? 9. E ua excursió se divide el grupo e 3 coforme co las edades. Para el grupo de 15 persoas, el promedio es 16 años. Para el grupo de 20, la edad media es 18 años. Para el tercer grupo la media es 20 años. La media de todas las persoas es 18. Cuátas persoas forma el tercer grupo? 3. Mediaa y moda. 3.2 Mediaa. Defiició. La mediaa de u grupo de datos es el valor que se ecuetra e el puto medio después de ordearlos de meor a mayor.

7 La mediaa es el valor que ocupa la posició ( + 1)/2 Cuado el úmero de datos es impar, la mediaa está e el grupo, y ocupa el cetro. Cuado el úmero de datos es par, la mediaa es la media de los dos valores cetrales. Ejemplo. Para cada grupo, calcular la mediaa. 1. 8, 10, 6, 12, 10, 11, , 10, 15, 25, 30, 15, 14, 18 Solució.. 8, 10, 6, 12, 10, 11, 13 Ordeémoslos de meor a mayor: 6, 8, 10, 10, 11, 12, 13 La mediaa es la posició ( + 1)/2 = (7 + 1)/2 = 4. La posició 4 es , 10, 15, 25, 30, 15, 14, 18 Ordeémoslos: 10, 14, 15, 15, 18, 20, 25, 30. Los valores cetrales so 15 y 18. La mediaa es: ( )/2 = 16.5 La mediaa siempre estará e el cetro; si importar si los valores está distribuidos simétrica o asimétricamete. 3.2 Moda. Defiició. La moda es el dato que aparece más veces e u grupo. De la defiició se cocluye que habrá grupos de datos co más de ua moda. E el grupo 7, 9, 6, 5, 8, 6, 7, 8, 6, 5, 3, 10, 6, 4 la moda es 6. E el grupo 7, 9, 3, 6, 5, 4, 7, 8, 6, 7, 8, 6, 5, 3, 10, 7, 6, 4 teemos 2 modas: 6 y 7. 25% 25% 25% 25% Q 1 Q 2 Q 3 Vamos a defiir los cuartiles así: so los valores que divide la serie de datos e 4 partes iguales. Para determiar los cuartiles, los datos debe estar ordeados de meor a mayor. El cuartil uo (Q 1 ) es el valor de la variable que supera a o más del 25% y es superado por o más del 75%. Así mismo, el cuartil dos (Q 2 ) es el valor de la variable que supera a o más del 50% y es superado por o más del 50%. Sigifica que el cuartil dos es la mediaa. Pero ua serie de datos, ordeados de meor a mayor, puede dividirse e 10 partes iguales. Así obteemos los deciles. Evidetemete los deciles so 9. 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 El decil uo (D 1 ) es el valor de la variable que supera a o más del 10% y es superado por o más del 90%. Es evidete que el decil cico equivale al cuartil 2.

8 Pero la serie tambié puede dividirse e 100 partes iguales. Se obtiee así los percetiles, simbolizados co P. discusió 2. Respoda las pregutas siguietes. 1. Cuátos percetiles hay? 2. Cuál es el percetil que equivale a la mediaa? 3. A qué percetil equivale el cuartil 3? 4. A qué decil equivale el percetil 50? 5. Cosidera que el percetil 70 supera a más del 80% de los datos?