PROGRESIONES ARITMETICAS

Transcripción

1 PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió. EJEMPLO.-, 4, 7,... Es ua progresió cuya diferecia es 3. 3, 5,, 5... Es ua progresió cuya diferecia es 5 RESULTADO.- Térmio -ésimo de ua progresio aritmetica Si a, a, a 3,... a -, a so los sucesivos térmios de ua progresió aritmética cuya diferecia es d, se puede escribir las siguietes igualdades: a = a + d a 3 = a + d = a + d a 4 = a 3 + d = a + 3d a 5 = a 4 + d = a + 4d a = a - + d = a + (-)d Es decir: El térmio -ésimo, tambié llamado TÉRMINO GENERAL, de ua progresió aritmética se obtiee sumado al primer térmio la diferecia multiplicada por ( -): a a d RESULTADO.- Suma de térmios equidistates de los extremos Dos térmios a p y a q de ua progresió aritmética so equidistates de los extremos cuado el úmero de térmios que precede a a p es igual al úmero de térmios que sigue a a q. E las progresioes aritméticas los térmios equidistates de los extremos verifica la siguiete propiedad: La suma de dos térmios de ua progresió aritmética, equidistates de los térmios extremos, es igual a la suma de dichos extremos. a a a a a a a a... a ( ) d RESULTADO 3.- Suma de térmios de ua progresió aritmética La suma de los térmios de ua progresió aritmética es igual a la semisuma de los térmios extremos multiplicada por el úmero de térmios que se suma. a S a a a3... a Siedo a = Primer sumado; a = Último Sumado; = º de Sumados a De otra forma: a ( ). d S a a a3... a a = Primer sumado; d = Diferecia

2 EJERCICIOS RSUELTOS: P.- Halla el térmio cuadragésimo octavo de la progresió aritmética de diferecia 3 y primer térmio. a 48 = a +(48-).d = = 5 P.- Los águlos de u triágulo está e progresió aritmética, hállalos si el mayor vale º. Sea a, a+d y a+d los tres águlos. La suma de los tres es: a + (a+d) +(a+d) = 3a+3d = 8 (a+d)= 6 ; Como el mayor es, = a+d d= 4 y los agulos so : º, 6º y º. P3.- Suma Es la suma de térmios de ua progresió aritmética de diferecia Luego 99 S PRACTICA: P4.- Ua progresió aritmética de 5 térmios empieza por 9 y termia por. Calcular su diferecia y la suma de sus térmios. P5.- Calcula la suma de los mil primeros úmeros pares y de los mil primeros úmeros impares. Cuál es mayor?. P6.- Calcula el valor de P7.- Calcuala el valor de la suma de los primeros umeros Pares. Idem para los primeros úmeros Impares P8.- E ua progresió aritmética, la suma de los primeros térmios es y la suma de los siguietes, desde a hasta a, es. Cuál es la diferecia de la progresió? P9.- La suma de 8 eteros positivos cosecutivos es u cuadrado perfecto. Cual es el el meor valor posible de la suma de ellos

3 P.- E ua progresio aritmetica a 3.a 7 = - y a 4 +a 6 = -4. Hallar el termio geeral y la suma de los primeros termios. P.- Los tres primeros térmios de ua progresio aritmetica so a, 4, 3a. Hallar el termio geeral y la suma de los 3 primeros térmios. Si la suma de los primeros térmios es 55, halla. P.- E ua progresio aitmetica la suam de los primeros termios es 4 y la suam de los diez primeros termios impares es 5. Cuato vale a 6? P3.- a es ua progresio aritmetica y b = a. Si b +b +b 3 = /8 y b.b.b 3 =/8, calcula a 8 P4.- Los 4 primeros termios de ua progresio aritmetica so a, x, b, x. Calcula el valor de a/b P5.- Los 4 primeros termios de ua progresio aritmetica so x+y, x-y, x.y y x/y e ese orde. Cuál es el 5º termio? P6.- Se llea los cuadrados vacios de la tabla de la figura de maera que los úmeros de cada fila, de cada columa y de las dos diagoales forma progresioes aritméticas. Cuál debe ser el úmero x?

4 PROGRESIONES GEOMETRICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió geométrica cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior multiplicado por ua catidad costate llamada razó de la progresió. EJEMPLO.-, 3, 9, 7, 8... Es ua progresió cuya razó es 3. 8, 4,,, ½, ¼,...Es ua progresió cuya razó ½ RESULTADO 4.- Térmio -ésimo de ua progresio geométrica Si a, a, a 3,... a -, a so los sucesivos térmios de ua progresió geométrica cuya razó es r, se puede escribir las siguietes igualdades: a = a.r a 3 = a. r = a. r a 4 = a 3. r = a. r 3 a 5 = a 4. r = a. r a = a -. r = a. r (-) Es decir: El térmio -ésimo, tambié llamado TERMINO GENERAL, de ua progresió geométrica se obtiee multiplicado el primer térmio por la razó elevada a ( -) a a r ( ) RESULTADO 5.- Producto de térmios equidistates de los extremos El producto de dos térmios de ua progresió geométrica, equidistates de los térmios extremos, es igual al producto de dichos extremos. a a a a a3 a a4 a 3... RESULTADO 6.- Producto de los termios de ua progresió geometrica Sea la progresió geométrica de térmios: a, a, a3,..., a-, a-, a. represeta el producto de todos los térmios, se tiee: P a a a... a a a 3 Si P El producto de los térmios de ua progresió geométrica limitada es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos elevado a u expoete igual al úmero de térmios que se multiplica.

5 RESULTADO 7.- Suma de térmios de ua progresió geometrica Sea la progresió geométrica de térmios: a, a, a3,..., a-, a-, a. represeta la suma de los térmios, se tiee: Si S S a a a3... a a r a a r a r r Fórmula que permite hallar la suma de los térmios de ua progresió geométrica limitada, coociedo el primer térmio, el último y la razó. RESULTADO 8.- Suma de ifiitos térmios de ua progresió geometrica de razo r (siedo r u úmero tal que - < r < ) S a a a3... a r La suma de los térmios de ua progresió geométrica ilimitada decreciete es igual al primer térmio dividido por ( -r). EJERCICIOS RSUELTOS: P.- La razo r de ua progresió geométrica es 3 y el tercer térmio vale 45. Halla la suma de los 8 primeros térmios. a a r 45 a 9 a 5 a 3 8 a r a8 r a S8 64 r 3 P.- E ua progresió geométrica de razó r = 3, coocemos S 6 = 456. Calcular a y a a6 3 a ( a 3 ) 3 a a 3 a 6 S6 456 a(3 ) a 4 a 6 4 a (3 ) 78 P3.- Calcula el valor de S ceros 5 ceros P4.- La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica es igual a 4 y a =. Calcula a y la razó. a a a r S 4 r 4r 4r 4r 4r r r r r r r r a a r

6 PRACTICA P7.- Determia el térmio geeral de cada ua de las siguietes progresioes geométricas: (a) -, ½, -¼, /8,... (b), 3, 3,... (c) -3, 6, -8, 4,... P8.- Determia los térmios b, b 4, b 8 y b 5 de cada ua de las siguietes progresioes geométricas: (a) b, -8, 6, b 4,... (b) b,, 6, b 4,... (c) b,, /3, b 4,... P9- Determia los dos primeros térmios de ua progresió geométrica que cumple: (a) b 8 = 7b y b +b +b 3 = 4+ 3 (b) b 6 =4/9 y b 7 = -4/7 (c) b =644 y b 5 = 3b P.- Calcula las siguietes sumas: (a) (b)

7 P.- Si a, b, c, d so umeros reales positivos tales que a, b, c, d forma ua progresio artimetica creciete y a, b, d ua progresio geométrica, calcula a d P.- Tres umeros reales forma ua progresio aritmetica cuyo primer termio es 9. Si añadimos al segudo termio y al tercero los tres umeros forma ua progresio geometrica. Cual es el meor valor posible para el tercer termio de la progresio geométrica? P3.- E ua progresio geometrica la suma de los primeros dos termios es 7 y la suma de los primeros 6 termios es 9. Cuato vale la suma de los 4 primeros termios P4.- 6 equipos juega e ua liga de volleyball. Cada equipo juega ua vez cotra todos los demás. E cada partido, el gaador cosigue u puto y el perdedor putos; o hay empates. Ua vez jugados todos los partidos, los putos obteidos por los equipos forma ua progresió aritmética. Cuátos putos tiee el último clasificado? P5.- E ua progresió geométrica a se verifica: a 3 < a < a 4 Etoces, A ) a3 a4 B ) a a3 C ) a a4 D ) a E ) a a3 P6.- Las logitudes de las aristas de u paralelepípedo rectágulo e cetímetros, so úmeros eteros y forma ua progresió geométrica de razó q=. Cual de los siguietes puede ser el volume del paralelepípedo? A) cm 3 B) 88 cm 3 C) 6 cm 3 D) 35 cm 3 E) 5 cm 3