UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL11 TALLER N o 13 SUCESIONES. Agustín Luis Cauchy

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Isabel Sánchez Segura
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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL TALLER N o SUCESIONES Agustí Luis Cauchy Nació: agosto de 789 e París (Fracia) Murió: mayo de 857 e Sceaux (Paris-Fracia) Vida Laplace y

1 UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL TALLER N o SUCESIONES Agustí Luis Cauchy Nació: agosto de 789 e París (Fracia) Murió: mayo de 857 e Sceaux (Paris-Fracia) Vida Laplace y Lagrage visitaba co frecuecia a la familia Cauchy. Lagrage tomó iterés e la educació de Cauchy. E 805 etró e la Escuela Politécica de Paris. Cauchy uca tuvo bueas relacioes co sus compañeros. Su faatismo religioso (era católico) le llevó a poerse del lado de los Jesuitas y e cotra de la Academia de las Ciecias, e icluso llegó a ifluir e sus opiioes cietíficas. E 80 se fue a Suiza, debido a la situació política e Fracia. Fue requerido para que jurase lealtad al uevo régime (de Napoleó) y como o quiso hacerlo, perdió los puestos académicos que teía. E 8 viajó a Turí y dió clases de Física teórica. Sus clases era muy cofusas y sus alumos o era capaces de seguirlas. E 8 se fue a Praga como tutor del ieto de Carlos X. El alumo o debía ser muy bueo (y el profesor tampoco era u gra pedagogo) y Cauchy se efadaba y le gritaba. Cauchy regresó a Paris e 88, volvió a la Academia pero o a la eseñaza, porque se egó a jurar lealtad al régime. E 88, cuado Luis Felipe fué derrocado, Cauchy regresó a su puesto e la Uiversidad, pero sus posicioes políticas y religiosas le perjudicaro mucho e su carrera. El ombre de Cauchy aparece ligado a la teoría de fucioes complejas, a las sucesioes y series, a la solució de ecuacioes e difereciales parciales. Fue u matemático muy prolífico: 789 trabajos. Sus obras completas ocupa 7 volúmees. OBJETIVOS: Idetificar las sucesioes que tiee forma de progresió aritmética o progresió geométrica. Hallar el térmio geeral de ua sucesió de úmeros reales dada.

2 TEORÍA Cosideremos la sucesió formada por los elemetos:, 0, 7,,...Cualquiera sería capaz de decir cual es el elemeto siguiete. Seguro que dirá que el úmero es el, y el siguiete el 8. Vemos que si sumamos 7 al último úmero, ecotramos el siguiete. Progresió aritmética: Es aquella e la cual cada térmio se obtiee sumado a la aterior ua misma catidad llamada razó. Llamamos a al úmero, que es el primer térmio; a al 0, que es el segudo térmio... Si al segudo térmio le restamos el primero, ecotramos el úmero 7 que es la clave para hallar los siguietes úmeros. Por lo tato a a 7 ; a éste úmero le llamaremos diferecia. o tambié "d". a a a a + d a a a + d a + d + d a d a a a d a + + a a d a Luego a a + ( ) d 5 Esta fórmula es fudametal para hallar el -ésimo térmio de ua progresió aritmética. Vamos a averiguar otra fórmula fudametal: la de la suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética. Sea los elemetos:, 0, 7,, ; la suma da 85. Por lo tato podemos escribir: o tambié Por lo tato, si sumamos miembro a miembro, resulta: x Vemos que so grupos de. Precisamete 5 grupos, tatos como térmios. Vamos a hacerlo co letras: a + a + a + L + a + a S + a S a + a + a + L + a + a + a S ( a + a ) + ( a + a ) + ( a + a ) + L + ( a + a ) + ( a + a ) + ( a + a) Hay grupos iguales a a + a ), resulta: ( S ( a + a ), luego ( a + a ) S Ahora sea la sucesió formada por los elemetos: 7,, 8, 56,... E este caso, el elemeto siguiete es el úmero, y el siguiete, el. Vemos que si multiplicamos por al último úmero, ecotramos el siguiete.

3 PREGRESIÓN GEOMÉTRICA: Es aquella e la cual cada térmio se obtiee multiplicado al aterior por ua misma catidad llamada razó. Lamamos a al úmero 7, que es el primer térmio; a al, que es el segudo térmio... Si al segudo térmio lo dividimos por el primero, ecotramos el úmero que es la clave para hallar los siguietes úmeros. Por lo tato a a ; a éste úmero le llamaremos razó. o tambié "r". a a 7 ar a 7() a a a 7() 8 ar ar ar a a 7() 56 5 ar a a 7() luego a ar 5 Esta fórmula es fudametal para hallar el -ésimo térmio de ua progresió geométrica. Fácilmete se puede deducir la fórmula para la suma de los primeros térmios de la progresió geométrica, ella es; GLOSARIO a r S ( r Sucesió, progresió aritmética, diferecia, progresió geométrica, razó. TALLER ). El térmio que sigue e la sucesió,, 5, 7,... es A. 5 B. 7 C. 9 D. 0. El térmio que sigue e la sucesió 6, -, /,... es A. /9 B. 5/ C. -/9 D. -5/. El térmio que sigue e la sucesió 8, 6, 9/, 7/8,... es A. B. 5/ C. 8/9 D. 8/. El úmero faltate e la sucesió 7c,, c/7, c/9,... es A. /7 B. c C. / D. c/7 5. El úmero faltate e la sucesió 0, 6,, 6/5,... es A. 6/5 B. /5 C. 6/6 D. /5

4 6. El úmero faltate e la sucesió 6a,, a/, /,... es A. a/ B. 6a C. 6a D. a 7. El térmio geeral de la sucesió,,,... es A. B. C. D. 8. El térmio geeral de la sucesió, /, /,... es A. B. C. / D. / 9. El térmio geeral de la sucesió /, /, /8,... es A. B. (-) C. / D. 0. El térmio geeral de la sucesió,, 5,... es A. B. C. + D. -. El térmio geeral de la sucesió -,, -,... es A. (-) B. C. (-) D. (-). El térmio geeral de la sucesió -,, - 9, 6, es A. (-) B. (-) C. (-) D.. El térmio geeral de la sucesió /, /, /6, /8,... es A. B. C. D.. Cuatas parejas de coejos se completa de ua pareja iicial, e el trascurso de u año, sabiedo que cada pareja produce otra cada mes y las coejas puede parir a los dos meses de acidas? A. 5 B. 76 C. 5 D Cuales térmios correspode a la sucesió {/(+)} A.,,,,5,... B. /,/,/,... C. /,/,/5,... D. /,/,, Cuales térmios correspode a la sucesió {!} A.,,6,,... B.,,,... C.,,8,6,... D. 5,0,5, Cuales térmios correspode a la sucesió {se(π/)} A. π,π,π,... B. /π,/π,/π,... C. 5,0,5,0,... D.,0,-,0, Al desarrollar N0(N/(N+) se obtiee A. 0 B. /8 C. / D.

5 9. Al desarrollar N0(-) N /( N +) se obtiee A. / B. -/ C. /0 D. 7/0 0. Al desarrollar N0(N +) N se obtiee A. 08 B. 07 C. 5 D. 5. El térmio geeral de la sucesió, -,, -,... es A. (-) B. (-) + C. (-) D. (-) -. El térmio geeral de la sucesió /, /5, 9/7,6/9,... es A. /(+) B. /(+) C. /(+) D. /. El térmio geeral de la sucesió /, /, 5/6, 7/8,... es A. / B. (-)/ C. (-)/ D. /(-). El térmio geeral de la sucesió /, /6, 8/9,... es A. /(-) B. / C. / D. / 5. El térmio geeral de la sucesió 0,, 0,, 0,,... es A. (0+) B. ((-) +)/ C. (+)/ D. (+)/ 6. El térmio geeral de la sucesió, -/, /5, -/7,... es A. (+)/(-) B. - C. /(-) D. (-) + /(-) 7. El térmio geeral de la sucesió /, - /, /, -/5,... es A. (-) + /(+) B. (-) + /(+) C. (-) /(+) D. - / 8. El térmio geeral de la sucesió, -/9, /5, -/9, 5/8,... es A. (-) + /(-) B. (-) + /(-) C. (-) + /(-) D. (-) + / 9. El térmio geeral de la sucesió, 6, 0,,... es A. (-) + B. C. D Dada la sucesió {/} si se hiciera muy grade, es decir tediera a ifiito. A que valor tedería el -ésimo elemeto de la A. B. C. 0 D.. Dada la sucesió {/} si se hiciera muy grade, es decir tediera a ifiito. A que valor tedería el -ésimo elemeto de la A. B. C. D. 0

6 . Dada la sucesió si se hiciera muy grade, es decir tediera a ifiito. A que valor tedería el -ésimo elemeto de la A. B. C. 0 D.. Dada la sucesió {(-) } si se hiciera muy grade, es decir tediera a ifiito. A que valor tedería el -ésimo elemeto de la A. B. - C. 0 D. o existe. Dada la sucesió {(7/5) } si se hiciera muy grade, es decir tediera a ifiito. A que valor tedería el -ésimo elemeto de la A. B. 0 C. D. 7/5 5. Dada la sucesió {(/) } si se hiciera muy grade, es decir tediera a ifiito. A que valor tedería el -ésimo elemeto de la A. B. / C. D. 0 A. B. 9 C. D Dado el siguiete problema, idique la sucesió que geera: U corredor que siempre ha de recorrer la mitad de ua distacia ates de recorrer la distacia total, jamás podrá alcazar la meta. Tómese la partida e y la llegada e 0. A. /,/,/6,/6,... B. /,/,/8,/6,... C.,,8,,... D.,/,0,-/, Calcule la distacia que recorre durate 5 días u motociclista sabiedo que el primer día recorre Km. Y que e cada uo de los siguietes días dismiuye e 00 mts. El recorrido. A. 5 Km. B. 00 Km. C. 00 Km. D. 59 Km. 0. Ecuetre ua forma práctica de hallar la suma de los úmeros del al 000 e idique su resultado. A. 500 B. 0 C. 00 D Dada la sucesió {( ++)/ } si se hiciera muy grade, es decir tediera a ifiito. A que valor tedería el -ésimo elemeto de la A. B. 0 C. D. 7. Dada la sucesió {(9-6+)/( -)} si se hiciera muy grade, es decir tediera a ifiito. A que valor tedería el -ésimo elemeto de la

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