TEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.
|
|
- Bernardo Lucero Macías
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar el comportamieto de éstas a largo plazo. E este apartado defiimos el cocepto de ite, caracterizamos a las sucesioes covergetes y estudiamos criterios de covergecia que os permita, cuado exista, calcular el ite de ua sucesió. Defiició Se llama sucesió de úmeros reales a toda aplicació X de INe IR. A la image de la deotamos por x y le llamamos térmio geeral de la sucesió. Deotaremos por (x ) IN o secillamete por (x ) a la sucesió de térmio geeral x. No siempre es posible dar ua expresió del térmio geeral mediate ua fució explícita de. A veces las sucesioes se defie mediate ua propiedad que verifica todos sus térmios (la sucesió de los úmeros pares, la de los úmeros primos, etc.) Otras veces el térmio geeral se expresa a partir de los térmios ateriores (por ejemplo, a = 0, a 2 =, a = a + a 2 ); e este último caso se dice que la sucesió se ha defiido por recurrecia. Ejemplos Los siguietes ejemplos muestra diferetes formas de presetar ua sucesió: ( ). Mediate el térmio geeral: (x ) =. + { 2. Dado los primeros térmios:, 2, 3, 4 }, A partir de ua propiedad: {x / x es primo}. 4. Por recurrecia: x = 3, x = 2 x. Defiició 2 (Subsucesió) Sea {x } ua sucesió de úmeros reales dada por la aplicació X : IN IR y σ ua aplicació estrictamete creciete σ : IN IN. Se llama subsucesió de {x } a la sucesió defiida por la aplicació X σ σ X IN IN IR σ X(σ ) = x σ. De la defiició se deduce (x σ ) (x ). ( Ejemplo Dada la sucesió (x ) = ( ) + ) = { 2, y la aplicació σ = 2 2, 4, 6, , 4 3, 5 4,... } La aplicació (X σ)() = X( σ() ) = X(2) = ( ) 2 3 (x σ ) de los térmios pares de {x } : 2, 5 4, 7 6,.... = defie la subsucesió I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
2 Defiició 3 (Sucesió moótoa) Ua sucesió (x ) se dice que es moótoa cuado verifica (a) ó (b) (a) x x 2 x 3 x x +... IN (b) x x 2 x 3 x x +... IN. Si cumple (a) se dice que es moótoa creciete y si cumple (b) moótoa decreciete. Si las desigualdades ateriores so estrictas se llama moótoas e setido estricto. Las sucesioes costates so a la vez crecietes y decrecietes. Defiició 4 (Sucesió acotada) Decimos que ua sucesió es acotada si el cojuto formado por todos sus térmios está acotado. 2. Sucesioes covergetes Imagiemos que (x ) describe la evolució de ua magitud a medida que progresa. Diremos que el ite de (x ) es l si los térmios x se acerca a l tato como queramos cuado se hace suficietemete grade. E térmios más precisos: Defiició 5 (Límite de ua sucesió) Ua sucesió de úmeros reales (x ) tiee por ite x IR y lo deotamos x = x si para cada ε > 0 ν IN / ν se cumple que x x < ε. La defiició aterior es equivalete a esta otra. Defiició 6 Ua sucesió de úmeros reales (x ) tiee por ite x IR si para cada ε > 0 hay u úmero fiito de térmios que queda fuera del etoro E(x; ε). Teorema (Uicidad del ite) El ite de ua sucesió, si existe, es úico. Demostració La haremos por reducció al absurdo. Supogamos que x = x, que x = y y que x y. Llamemos d = y x y sea ε = d. E estas codicioes los etoros E(x; ε), E(y; ε) so 3 disjutos. Como x = x existe ν tal que los úicos elemetos que queda fuera del etoro E(x; ε) so a lo sumo {x,... x ν } por lo que e E(y; ε) o puede haber ifiitos elemetos, e cotra de la hipótesis de ser x = y. Por tato ha de ser x = y. Defiició 7 (Sucesió covergete) Ua sucesió que tiee por ite l se dice que es covergete o que coverge a l. Teorema 2 (Teorema de Bolzao-Weierstrass para sucesioes) De toda sucesió acotada puede extraerse ua subsucesió covergete. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 2 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
3 Proposició 8 (Propiedades de las sucesioes covergetes). Si (x ) es ua sucesió covergete etoces (x ) está acotada (el recíproco o es cierto). 2. Si (x ) coverge a x 0 etoces desde u cierto e adelate se cumple que el sig(x ) = sig(x). 3. Sea (x ) e (y ) dos sucesioes covergetes y tales que a partir de u cierto e adelate se cumple que x y, etoces x y. 4. Sea (x ) e (y ) dos sucesioes covergetes al mismo ite l. Sea (z ) otra sucesió tal que a partir de u cierto se cumple que x z y. Etoces z = l. Esta propiedad se aplica a problemas de cálculo de ites y se cooce co el ombre de regla del Sadwich. 5. Toda subsucesió de ua sucesió covergete, coverge al mismo ite. Teorema 3 Si ua sucesió es moótoa creciete (decreciete) y está acotada superiormete (iferiormete), etoces la sucesió es covergete. Demostració Si {x } está acotada superiormete, existe x = sup(x ). Por el teorema de caracterizació del supremo sabemos que dado ε > 0 x m / x ε < x m < x y como la sucesió es creciete se tiee que > m x ε < x m < x < x < x + ε, y por tato > m x x < ε, es decir, x = x. Si la sucesió es decreciete se hace de forma similar. Criterios de covergecia Criterio de Stolz-Cesaro Si las sucesioes {a } y {b } so divergetes, {b } es estrictamete creciete y existe a fiito o ifiito de sigo determiado, etoces existe y se verifica que b a a + a =. b b + b Este criterio tambié puede aplicarse si {b } decrece y a = b = 0. a + a, b + b Si aplicamos el criterio de Stolz a Criterio de la media aritmética a + a a se tiee el siguiete criterio. Si la sucesió {a } tiee ite fiito o ifiito de sigo determiado, se verifica que Criterio de la media geométrica a + a a = a. Si {a } es ua sucesió de térmios estrictamete positivos, covergete o divergete, se verifica que a a 2 a = a. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 3 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
4 que Para demostrarlo basta tomar logaritmo y aplicar el criterio aterior. Criterio de la raíz Si {a } es ua sucesió de térmios positivos y la razó Ejemplos a a =. a a a es covergete o divergete, se verifica. Calcular Sea A = (l ) 2. (l ) 2 l A = = = l l ( ) l ( + = = ) = + ( )( + ) = 0. ( )( ) Por tato el ite pedido es cero. Hemos aplicado el criterio de Stolz y utilizado que l ( + ). 2. Calcular a + b a > b > 0. a + b = Hemos utilizado el criterio de la raíz. a + b a + b a = + b + ) ( b a ( ) = a + b 0 b + 0 = a. a 3. Series de úmeros reales Defiició 9 Sea (x ) ua sucesió de úmeros reales. A partir de ella formamos la sucesió (S ) de la siguiete forma: S = x, S 2 = x + x 2, S 3 = x + x 2 + x 3, S = x + x 2 + x 3 + x A esta sucesió (S ) la llamamos serie asociada a la sucesió (x ). - Los úmeros x, x 2, x 3,, x so los térmios de la serie, y a ésta la deotaremos habitualmete por x + x 2 + x x + ó por x. - El térmio geérico x se le llama térmio geeral de la serie. - Al térmio geeral S = x + x 2 + x 3 + x = x k se llama suma parcial -ésima. k= I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 4 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
5 Defiició 0 (Suma) Si la sucesió (S ) es covergete diremos que la serie es covergete. Se llama suma de la serie a S = S y se deota por S = x. Defiició Si se cumple que S = + ó S = diremos que la serie es divergete Defiició 2 Si la serie o es covergete i divergete diremos que es oscilate. Ejemplos. Sea la serie x asociada a la sucesió x = 9 0. (S ) : 0 9, 0 99, 0 999, ,... Puesto que la sucesió (S ) es covergete, la serie es covergete y la suma es S = x =. 2. Sea la serie x de térmio geeral x = 2. (S ) : 2, 6, 2, 20, 30, 42,... Como la sucesió de sumas parciales es divergete, la serie es divergete. 3. Cosideremos la serie x = { ( ) 0 si es par S = si es impar Puesto que la sucesió (S ) es oscilate, la serie es oscilate. El estudio de ua serie cosiste e resolver dos problemas fudametales: a) Determiar su carácter, es decir, averiguar si es covergete, divergete u oscilate. b) E caso de covergecia, hallar su suma. Proposició 3 Si se modifica los valores de u úmero fiito de térmios, la serie coserva su carácter y e el caso de ser covergete la variació e la suma de la serie es la suma de las variacioes de los térmios alterados. Proposició 4 (Propiedad Asociativa) Si e ua serie covergete (divergete) se agrupa térmios cosecutivos, la serie que resulta es tambié covergete (divergete) y tiee la misma suma. Es ecesario resaltar que: - Las series oscilates o posee la propiedad asociativa. - La disociació de ifiitos térmios de ua serie e u úmero fiito de sumados produce ua ueva serie que, e geeral, o coserva su carácter. Ejemplo Sea la serie x de térmio geeral x = ( ) (S ) :,, 2, 2, 3, 3,... Esta serie es oscilate. Si e la sucesió (x ) agrupamos los térmios de dos e dos obteemos ua ueva sucesió y = y la serie que se obtiee a partir de ésta es divergete. Proposició 5 Si x y y so dos series covergetes y λ, µ IR, etoces la serie (λx + µy ) es covergete y la suma es S = λ x + µ y. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 5 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
6 Teorema 4 (Codició ecesaria de covergecia.) Para que ua serie x sea covergete es ecesario que x = 0. Es decir si x es covergete = x = 0 Es importate resaltar que la codició aterior o es suficiete para garatizar la covergecia. U ejemplo secillo es la serie armóica, cuyo térmio geeral es x = que verifica la codició ecesaria de covergecia y si embargo como veremos o es covergete Ejemplo Cosideremos la serie el térmio geeral tiede a cero y si embargo es divergete pues: > = La codició ecesaria de covergecia es útil para probar que ua serie o es covergete. Por ejemplo la serie 2+ o es covergete pues x = 2. Teorema 5 (Criterio geeral de covergecia de Cauchy.) La codició ecesaria y suficiete para que ua serie de térmios reales sea covergete es que a partir de u la diferecia etre dos sumas parciales se pueda hacer ta pequeña como se quiera; es decir: Para cada ε > 0 ( ν IN/ p, q ν = S q S p ε ó xp+ + x p x q ε ) A la hora de estudiar las series es útil clasificarlas e tres grupos: - Serie de térmios positivos: so las que, a partir de u cierto térmio, tiee todos sus térmios co el mismo sigo. - Series alteradas: So aquellas e las que, a partir de u cierto térmio, dos térmios cosecutivos cualesquiera tiee distito sigo. - Series de térmios positivos y egativos: e éstas el orde de aparició de los térmios positivos y egativos es arbitrario. 4. Serie de térmios positivos. Proposició 6 Para que ua serie de térmios positivos sea covergete es codició ecesaria y suficiete que esté acotada superiormete la sucesió de las sumas parciales. Etoces la suma de la serie será S = sup{s }. Si la sucesió (S ) o está acotada superiormete, la serie x positivos so covergetes o divergetes pero uca oscilates. Criterios de covergecia para series de térmios positivos. es divergete. Las series de térmios Criterio de comparació. Sea x y y dos series de térmios positivos y 0 IN tal que > 0, x λy λ IR +. Etoces: - Si la serie y es covergete etoces la serie x es covergete. - Si x diverge, etoces y es divergete. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 6 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
7 Ejemplo La serie armóica geeralizada Sea la serie + 2 α + 3 α + + α + Si α ; + 2 α + 3 α + + α diverge ya que supera a la serie divergete. que es Si α > ; + 2 α + 3 α + + α + < + 2 α + 2 α + 4 α + 4 α + 4 α + 4 α + = α α α + 2p (2 p ) α + = + 2 α + 4 α + 8 α + (2 p ) α + = + 2 α + (2 α ) 2 + (2 α ) 3 + (2 α ) p + Esta es ua progresió geométrica de razó r = <, luego es covergete y por tato lo es la 2α serie dada. Criterio de comparació por paso al ite. Sea x y y so dos series de térmios x positivos y λ =, etoces: y - Si λ es fiito y y coverge, etoces x coverge. - Si y diverge y λ es fiito o ifiito pero distito de cero, etoces x diverge. Criterio de codesació de Cauchy. Sea (x ) ua sucesió decreciete, etoces la serie x es covergete si y sólo si lo es la serie 2 x 2. Ejemplo Estudiar el carácter de la serie: x = 3 l. Aplicamos el Criterio de codesació de Cauchy. Para ello estudiamos el carácter de la serie 2 x 2, que será el mismo que el de la serie dada. ( ) 2 x 2 = 2 3 l = l 2 = 3 l 2. Ésta es ua progresió geométrica de razó 2 <. Por tato es covergete. 3l 2 Criterio de la raíz. Sea x ua serie de térmios positivos y λ = x. Si λ <, la serie es covergete. Si λ >, la serie es divergete. Si λ = este criterio o aporta iformació. Criterio del cociete o de D Alembert. Sea x + x ua serie de térmios positivos y λ = x I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
8 Si λ <, la serie es covergete. Si λ >, la serie es divergete. Si λ = este criterio o aporta iformació. Criterio de Prigsheim. Sea x ua serie de térmios positivos y supogamos que existe u úmero positivo α tal que α x sea fiito y distito de cero. Si α > etoces la serie x es covergete. Si α se cumple que la serie es divergete. Criterio de Raabe. Sea x ua serie de térmios positivos y λ = Si λ > la serie es covergete. Si λ < la serie es divergete. Si λ = este criterio o aporta iformació. Ejemplo Estudiar el carácter de la serie 3 5 (2 ) (2 ) ( x ) + x x + Aplicado el criterio de D Alembert = 2 + x = Puesto que ( es dudoso aplicamos el criterio de Raabe. x ) ( + = 2 + ) x Por tato es divergete. = = 2 < Criterio logarítmico. Sea x ua serie de térmios positivos y λ = l x l, Si λ > la serie es covergete. Si λ < la serie es divergete. Si λ = este criterio o aporta iformació. Ejemplo Estudiar el carácter de la serie: l x l = l 3l = l 3 >. l Por tato es covergete. x = 3 l. Resume I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 8 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
9 Criterio λ Coverge Diverge Cauchy D Alembert Raabe Logarítmico x λ < λ > x x λ < λ > ( x ) x log x log λ > λ < λ > λ < λ = y > 0 x > λ = y > 0 λ = y > 0 x x > ( ) x < x log x λ = y > 0 log < Prigsheim Hallar α / α > α α x = λ 0 5. Series alteradas. Defiició 7 Ua serie se llama alterada si sus térmios so alterativamete positivos y egativos. Teorema 6 (Teorema de Leibitz) Ua serie alterada tal que los valores absolutos de sus térmios forma ua sucesió decreciete es covergete si y sólo si su térmio geeral tiede a cero. Además el error que se comete al tomar como suma de la serie ua suma parcial cualquiera es meor que el primer térmio despreciado. Demostració x = 0 S covergete. Supodremos que el primer térmio es positivo, es decir, las series costruidas a partir de la sucesió: x, x 2, x 3, x 4, co x > x 2 > x 3 > > 0. Este tipo de series cumple que: S 2 < S 4 < S 6 < S 2 < < S 2+ < < S 5 < S 3 < S. Veamos que S 2 es decreciete y que S 2 es creciete. S = x, S 3 = x (x 2 x 3 ), S 5 = x (x 2 x 3 ) (x 4 x 5 ),... Por tato, S > S 3 > S 5 > es decreciete. S 2 = x x 2, S 4 = (x x 2 ) + (x 3 x 4 ),... Por tato, S 2 < S 4 < S 6 < es creciete. Veamos tambié que S 2+ > S 2 IN I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 9 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
10 S 2+ = x x 2 + x 3 x 4 + x 5 + x 2+ S 2 = x x 2 + x 3 x 4 + x 5 x 2 S 2+ S 2 = x 2+ > 0 luego S 2+ > S 2 Cualquier suma parcial de orde impar es mayor que cualquier suma parcial de orde par. Dado m < se tiee S 2m... < S 2 <... < S 2+ <... < S 2m+. De todo lo aterior se deduce que: S 2 < S 4 < S 6 < S 2 < < S 2m+ < < S 5 < S 3 < S Por tato [S 2, S 2+ ] es ua sucesió de itervalos ecajados de logitud S 2+ S 2 = x 2+ que por hipótesis tiede a cero, luego defie u úico úmero S = S que es la suma de la serie, por tato coverge. Por ser S covergete se verifica la codició ecesaria de covergecia y por tato x tiede a cero. La seguda parte del teorema es imediata ya que de S 2 < S 4 < S 6 < S 2 < < S < < S 2+ < < S 5 < S 3 < S se deduce que S S < S + S = x Series de térmios positivos y egativos Nos referimos ahora a series co ifiitos térmios positivos y egativos de las que las alteradas so u caso particular. Si la serie fuera de térmios egativos podemos reducir su estudio a las series de térmios positivos de la forma siguiete: Si x < 0 x = x Si hubiera u úmero fiito de térmios de distito sigo estudiamos el carácter de la serie que resulta si teer e cueta dichos térmios pues el carácter o varía si descartamos u úmero fiito de térmios. Si hubiera ifiitos térmios positivos y egativos ua forma de estudiar el carácter de la serie es cosiderado por separado la serie formada por los térmios positivos y la serie de los valores absolutos de sus térmios egativos. Defiició 8 (Covergecia absoluta) Decimos que ua serie x de térmios cualesquiera, es absolutamete covergete si es covergete la serie de los valores absolutos de sus térmios, es decir si x coverge. Teorema 7 Si x coverge etoces x coverge y además: x x. El recíproco o es cierto. Ejemplo La serie ( ) armóica. es covergete ya que es alterada, ( ) es decreciete y cumple que = 0. Si embargo la serie de sus valores absolutos es divergete pues se trata de la serie I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 0 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
11 Defiició 9 Ua serie se llama icodicioalmete covergete si es covergete y su suma o se altera al cambiar el orde de sus térmios. Y se llama codicioalmete covergete si es covergete pero su suma se altera al cambiar el orde de los térmios. Teorema 8 Sea x ua serie de térmios positivos y egativos. Es absolutamete covergete si y sólo si es icodicioalmete covergete. 7. Series sumables. Series geométricas. So de aquellas de la forma: x = a r a > 0, r IR. Proposició 20 La serie geométrica x = a r es covergete si y sólo si r < y la suma es: S = x r. Demostració Si r = x = a IN por tato S o está acotada x diverge. Si r = x = ±a IN x es oscilate. Si r > x = a r tiede a + por tato Si r < la serie varía etre ± por tato es oscilate. Si < r < x = a r coverge a 0. x diverge. Veamos que la serie es sumable calculado su suma: S = x +x 2 + x 3 + +x r S = x 2 + x 3 + x 4 + +x +x + S r S = x x + de dode: S = x x + r Ejemplos S = S = x r.. x + x 3 + x 5 + x x 2+ + = x x 2 si x <. 2. x 2 + x 4 x ( ) x 2( ) + = + x 2 si x <. Series Aritmético-geométricas. So de la forma: x = a b dode (a ) es ua progresió aritmética y (b ) es ua progresió geométrica de razó r. Proposició 2 Ua serie aritmético-geométrica es covergete si y sólo si el valor absoluto de la razó es meor que. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
12 Demostració Aplicado D Alembert se deduce que la serie es covergete para r <. Para calcular la suma procedemos de forma parecida a como hicimos e el caso aterior: S = a b +a 2 b 2 +a 3 b 3 + +a b rs = a b 2 +a 2 b 3 + +a b +a b + S rs = a b +(a 2 a )b 2 +(a 3 a 2 )b 3 + +(a a )b a b + Si la serie aritmética es de primer orde, a + a = d y etoces os queda Es decir, Supoemos que r <. ( r)s = a b + d (b 2 + b 3 + b b ) a b +. S = S = r S = [ a b + d b ] 2 b r a b +. r r [ a b + d b ] 2 r S = d b 2 + a b ( r) ( r) 2. Si la serie aritmética fuese de orde superior, habría que reiterar el proceso aterior. Ejemplo Estudiar el carácter de la siguiete serie y sumarla si es posible: = (3 ) 2, d = 3, r = 2. ( S = S = S = S = ) 3 2 S = S = Series telescópicas. Se llama así a aquellas series que al descompoer cada térmio y simplificar os queda u úmero fiito de sumados. Por ejemplo la que sigue: S = (x x 2 ) + (x 2 x 3 ) + (x 3 x 4 ) + + (x x + ) + = x x + S = S = x x +. = 5. Ejemplo Estudiar el carácter de la siguiete serie y sumarla si es posible: 2 +. Efectuamos la siguiete descomposició: 2 + = 2 + = + por tato, ( ) = ( + 2 ) + ( 2 3 ) + ( 4 5 ) + + ( + ) + S = + S = S =. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 2 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
13 8. Serie de potecias Defiició 22 (Serie de Potecias) Llamamos serie de potecias cetrada e x 0 de potecias de (x x 0 ) a ua serie de la forma: a (x x 0 ) o serie A los úmeros a IR se les deomia coeficietes de la serie. La importacia de este tipo de series de radica e la secillez de su estudio, e la riqueza de propiedades que e geeral o tiee otras series y e ser de gra utilidad para represetar y defiir fucioes. Limitaremos uestro estudio a las series de potecias cetradas e el orige, pues co la sustitució y = x x 0, la serie a (x x 0 ) se trasforma e la serie a y cetrada e el orige, mateiedo las mismas propiedades. Teorema 9 (Covergecia de ua serie de potecias) Dada ua serie de potecias Σa x, se verifica:. Si la serie coverge e x 0 0, etoces la serie coverge absolutamete para todo x IR co x < x Si la serie diverge e x, etoces la serie diverge para todo x IR co x > x. Por el teorema aterior se deduce que los úicos domiios de covergecia que se puede presetar so o el cero, IRo lo hace para todo real x tal que x < r, co r > 0. Ejemplos Estudiar la covergecia de las series:.! x co x > 0. Aplicado el criterio de D Alembert, =0 a + ( + )! x + = a! x = ( + ) x Este ite sólo es meor que cuado x = 0 por tato la serie es divergete. x! co x > 0. E este caso, aplicado el mismo criterio os queda Por tato, es covergete sea cual sea x. a + x = a ( + ) = 0, x x Este último ejemplo se trata de ua serie geométrica que sabemos que coverge para x <. =0 Este resultado os permite dar la siguiete defiició: Defiició 23 (Radio de covergecia) Sea C IR, C, el cojuto de los úmeros reales x dode la serie Σa x coverge. Se defie el radio de covergecia R de la serie como: I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 3 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
14 Si C está acotado, R = sup C. Si C o está acotado, decimos que el radio de covergecia es ifiito, es decir, la serie coverge absolutamete e IR. Al itervalo ( R, R) se le deomia itervalo de covergecia. Por el teorema aterior podemos asegurar la covergecia e los putos del itervalo de covergecia (o se puede afirmar ada e los extremos de éste). Los criterios de covergecia estudiados e las series de térmios positivos, e particular los criterios de la raíz y del cociete os proporcioa iformació para calcular el radio de covergecia de ua serie de potecias. Proposició 24 Dada ua serie de potecias Σa x, etoces el radio de covergecia es: Criterio de la raíz Si a (fiito o ifiito), R = a. Criterio del cociete Si a + a (fiito o ifiito), R = a + = a a a +. Ejemplos Estudiar la covergecia de las series:. 2. =2 x l. l ( + ) Por el criterio del cociete R = l Veamos la covergecia e los extremos: Para x =, se obtiee la serie alterada ( ) l afirmar que coverge pues Para x =, como < divergete. l l = 0 y además l =. O sea, coverge e x <. que por el teorema de Leibitz podemos es decreciete., por el criterio de comparació deducimos que la serie l es (x ) ( + ). Se trata de ua serie de potecias cetrada e x 0 =. Por tato, hacemos el cambio y y = x, covirtiédose e la serie cetrada e el 0. Tambié por el criterio del ( + ) cociete, obteemos el mismo radio pues ( + ) R = ( + )( + 2) =. ( ) E y =, (x = 0), queda que por el teorema de Leibitz es covergete. ( + ) E y =, (x = 2), la serie es covergete. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 4 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
15 3. (2 + )x. Aplicado el criterio de la raíz, R = Veamos la covergecia e los extremos: Para x = 2, se trata de la serie alterada Para x = 2, la serie 2 + = ( ), que es divergete es divergete pues o verifica la codició ecesaria de covergecia. 9. Ejercicios. Estudia el carácter de las siguietes series: a) , b) , c)0,00 + 0, ,00 +, d)! + 2! + 3! +, e) , f) , g) , h) (2 ) 2 +, i) , j),3 + 3,5 + 5,7 +, k) [( 2 + )] /2, l) m) a!, ) α!, α R!, o) (!)2 2! + (2!)2 4! + + (!)2 (2)! +, p) 2 ( ) Estudia el carácter de las siguietes series: a)a a2 + a3 a4 + dode a > 0, b) , c) ( ) l, d) , e) ( ) (2 + ). ( + ) I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 5 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
16 3. Examia la covergecia de cada ua de las siguietes series geométricas. Si la serie coverge halla su suma: a) , b) , c) , d) Comprueba la covergecia y halla la suma de cada ua de las siguietes series: ( a) 2 + ) ( ) ( ) 3 +, b) ( + ) +, c) (3 2)(3 + ) +, d) , ( )! e) , f) (2 + ), g) ( + 2)( + 5). =0 5. Estudia la covergecia de las siguiete serie y calcula su suma co u error meor que 0,00. ( π 5 )2 2! + ( π 5 )4 4! ( π 5 )6 6! + 6. Estudia el carácter de las siguietes series segú los valores de x > 0: a) b) c) =0! x(x + )...(x + ),!x ( + x)( + 2x) ( + x), x ( + 2)( + 5) Se cosidera la serie dode a es u parámetro real. a , a) Estudia la covergecia segú los valores de a. b) Calcula la suma para a =. c) Calcula u valor aproximado de la suma, co u error meor que 0 2, para a =. 8. Hallar los radios de covergecias de las siguietes series de potecias y estudiar su comportamieto e los extremos de los itervalos de covergecia: + 2 a) x2, b) ( ) (2 + 3) 2 x x, c) 2 2, ( + )x (x ) 3 d) 3 2 x 2. e) 2, f),! I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 6 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS
Problemas de Sucesiones
Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]
Más detallesSERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54
Más detallesIES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11
IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:
Más detallesTEMA IV. 1. Series Numéricas
TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga
Más detallesFunciones Exponencial y Logaritmo
. 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h
Más detallesCálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detalles1. Serie de Potencias
. Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada
Más detallesRESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES
RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete
Más detallesPráctica 3 Sucesiones y series
Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales
- Ferado Sáchez - - 7 Sucesioes Cálculo I y series de úmeros reales Sucesioes de úmeros reales 20 205 De maera similar a como se hizo para sucesioes de úmeros racioales, se defie ua sucesió de úmeros reales
Más detallesIngeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.
CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesEvaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad
Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El
Más detallesEl tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.
Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,
Más detallesCriterios de Convergencia
Semaa - Clase 3 0/0/0 Tema : Series Criterios de Covergecia La preguta que os plateamos es la siguite: Si hacemos que N etoces la suma N k= a k, tiee u límite? Existe alguas formas de averiguarlo, a pesar
Más detalles( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7
LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.
Más detalles(finitas o infinitas)
Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5.
Más detallesTema 5 Series numéricas
Tema 5 Series uméricas Objetivos 1. Defiir series co wxmaxima. 2. Calcular sumas parciales de ua serie. 3. Iterpretar la defiició de suma de ua serie. 4. Calcular la suma de ua serie geométrica. 5. Calcular
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesSUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes
Más detallesConvergencia absoluta y series alternadas
Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales
Más detallesLímite y Continuidad de Funciones.
Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por
Más detallesSucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,
Más detallesSucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010
Sucesioes 6º Ig, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weiberger - Marcelo Valezuela 200 Itroducció: Así como f es ua fució y f(x) = 2x es la image de cada x, dode f(0) = 0 y f(3) = 6, e ua sucesió la aotaremos:
Más detallesDefinición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n
ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo,
Más detalles1. Sucesiones y series numéricas
ITINFORMÁTICA CÁLCULO INFINITESIMAL BOLETÍN CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS CURSO 005-06 Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3,
Más detallesTema 2. Sucesiones de números reales
Tema 2. Sucesioes de úmeros reales 2.1.- Cocepto de sucesió y oció de covergecia. Álgebra de límites. Sucesioes parciales. 2.2.- Acotació y covergecia. Sucesioes moótoas de úmeros reales. 2.3.- Cálculo
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R
P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III
Más detallesLOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En
LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Itroducció Las sucesioes aparece de maera atural e muchos cálculos que respode a u esquema iterativo. Por ejemplo, al dividir 2 etre 3 obteemos 2 3 = 6 10 + 2 1, igualdad que
Más detallesMATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero
ucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros dados ordeadamete de modo que se pueda umerar: primero, segudo, tercero Ejemplos: a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 25, 36 c) 2, 4, 8, 6, 32, 64 e llama térmios a los
Más detalles4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent
4.- Series. Criterios de covergecia. Series de Taylor y Lauret a) Itroducció. Series de fucioes reales. b) Covergecia de secuecias y series. c) Series de Taylor. d) Series de Lauret. e) Propiedades adicioales
Más detallesMATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA. Cálculo Diferencial Ejercicios y Problemas resueltos
MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA Cálculo Diferecial Ejercicios y Problemas resueltos Juliá Rodríguez Ruiz (Catedrático de Ecoomía Aplicada. UNED) Mariao Matilla García (Profesor Titular
Más detalles( ) 1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES (1.8_CvR_T_061, Revisión: , C8, C9, C10) INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie: + a 1
.8 CRITERIOS DE COVERGECIA PARA SERIES (.8_CvR_T_6, Revisió: -9-6, C8, C9, C).8.. ITRODUCCIÓ. Forma geeral de ua serie: S = = a = a + a + a +...+ a Suma de térmios. Si es fiito, la suma (S ) tambié es
Más detallesSUCESIONES. Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:
SUCESIONES Págia REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja, que se reproduce
Más detallesPráctica 1.- Sucesiones y series
Práctica.- Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y, que os permitirá, e la mayoría
Más detallesCálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesPrueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)
Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA
Más detallesTEMA 25 (Oposiciones de Matemáticas)
TEMA 25 (Oposicioes de Matemáticas) LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD. TEOREMA DE BOLZANO.. Itroducció. 2. Límites de fucioes. 2.. Límite de ua fució e u puto. 2.2. Límites laterales.
Más detallesSUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES
www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos
Más detallesTema 8 Límite de Funciones. Continuidad
Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)
Más detallesLa sucesión de Fibonacci y el número Φ Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:
SUCESIONES Págia 50 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja,
Más detallesINTEGRALES DE RIEMANN
NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..-
Más detallesPRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE
PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE Departameto de Aálisis Matemático Curso 00/003 Profesores resposables Oscar Blasco Atoio Galbis Jesús García Josep Martíez Aíbal Moltó Carme de las Obras Sergio Segura
Más detallesSesión No. 6. Contextualización. Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las MATEMÁTICAS. progresiones aritméticas y geométricas.
Matemáticas Sesió No. 6 Nombre: Fucioes expoeciales y logarítmicas y el uso de las progresioes aritméticas y geométricas. Cotextualizació Las fucioes expoeciales y logarítmicas se les cooce como trascedetes,
Más detallesApuntes sobre series numéricas: preguntas frecuentes y ejemplos resueltos. 1) Preguntas frecuentes. Conceptos, teoremas y ejemplos básicos
Cálculo I ( o de Grado e Iformática, 202-3) Aputes sobre series uméricas: pregutas frecuetes y ejemplos resueltos ) Pregutas frecuetes. Coceptos, teoremas y ejemplos básicos P-. Ua serie ifiita es ua suma
Más detalles1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)
1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :
Más detallesProfesorado de Informática - Ciencias de la Computación - INET DFPD Matemática II 2010 Sucesiones
Profesordo de Iformátic - Ciecis de l Computció - INET DFPD Mtemátic II Sucesioes Sucesioes Tems: Límites de sucesioes. Sucesioes moótos y sus límites. Pres de sucesioes moótos covergetes. Número e. Opercioes
Más detallesFunciones de variable compleja
Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) =
Más detallesProbabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS
Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS E el mudo real hay feómeos regidos por leyes de tipo empírico (basadas e la experiecia), lógico o deductivo, e los que el efecto está determiado por ciertas causas. El
Más detallesEJERCICIOS DE RECURRENCIA
EJERCICIOS DE RECURRENCIA (co alguas solucioes) Resolver la recurrecia = 5 6 =, = y tambié ésta: = =, = Resolvamos la primera E primer lugar otamos que es ua recurrecia lieal, pues pasado todos los térmios
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas
Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales
Más detallesCoeficientes binomiales
Coeficietes biomiales (Ejercicios Objetivos Defiir coeficietes biomiales y estudiar sus propiedades pricipales Coocer su aplicació e la fórmula para las potecias del biomio y su setido combiatorio (si
Más detallesCAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió
Más detallesSegunda definición.- Se llama sucesión de números reales a una aplicación del conjunto N* = N {0} en el conjunto de los números reales
SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. LÍMITE DE SUCESIONES. INTRODUCCIÓN.- Relció - Relció es tod propiedd que comuic los elemetos de dos cojutos o bie comuic etre sí los elemetos de u mismo cojuto. E geerl u
Más detallesCAPÍTULO XIII. SUCESIONES
CAPÍTULO XIII SUCESIONES NUMÉRICAS SECCIONES A Sucesioes covergetes y límites de oscilació Sucesioes moótoas y acotadas B Sucesioes recurretes C Ejercicios propuestos 59 A SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura
- Ferado Sáchez - - 5 Números Cálculo I complejos 14 10 2015 E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x 2 + 1 = 0 o tiee solució: el poliomio x 2 + 1 o tiee raíces reales. Hace falta exteder el
Más detallesUn sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:......
1. Sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas es u cojuto de m igualdades del tipo: a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b (1)... am1x1 amx... amx bm Los úmeros
Más detallesCurso: 3 E.M. ALGEBRA 8
Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: POLINOMIOS Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad,
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.
Más detallesCapítulo 2 Convergencia de sucesiones y series.
This is page Priter: Opaque this Capítulo Covergecia de sucesioes y series... La defiició de sucesió y ejemplos El cocepto matemático riguroso para estudiar procesos de aproximació es el cocepto de sucesió:
Más detallesCAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES
(Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CAPÍTULO V. UCEIONE Y ERIE DEFINICIÓN. Ua sucesió ifiita, o simplemete sucesió, es ua fució cuyo domiio está costituido por el cojuto de los úmeros aturales
Más detallesCálculo de límites. 3.1. Sumas, productos y cocientes. Tema 3
Tema 3 Cálculo de ites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues su pricipal fialidad es aportar los ejemplos que se echaba de meos e el tema aterior. Empezaremos estableciedo las reglas
Más detalles9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras.
Hoja de Problemas º Algebra II 9. Hallar u úmero de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. Solució: Sea el úmero buscado co a que si o, o seria de cuatro cifras. Teemos que ( ) como
Más detallesUnidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones
Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos
Más detallesTécnicas para problemas de desigualdades
Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,
Más detallessi G es abierto. La función del conjunto m tiene las siguientes propiedades: de partes de se dice que es una , entonces E.
LA INTGRAL D LBSGU PARA FUNCIONS D UNA SOLA VARIABL RSULTADOS TÓRICOS LA MDIDA D LBSGU CONJUNTOS MDIBLS Dado u couto abierto o vació G de la recta real, existe ua amilia iita o umerable {V: œl}, ormada
Más detallesElementos de Análisis Matemático
Elemetos de Aálisis Matemático Curso 005-006, grupo A, Pedro López Rodríguez Pla de la asigatura TEMARIO Tema. El úmero real. Los úmeros aturales, eteros, racioales y reales. Pricipio de iducció. Itroducció
Más detallesCapítulo 1. Por tanto, como la sucesión 1 tiene límite cero, podríamos intuir que
Capítulo SERIES DE NÚMEROS REALES ) Series covergetes. Comportamieto algebraico. Ejemplos otables. Codició ecesaria de covergecia 2) Criterio de comparació. Covergecia absoluta. 3) Criterios de covergecia
Más detallesImaginemos que se va a celebrar una carrera con las siguientes reglas: 2. El minuto siguiente debe recorrerse la mitad, 50 metros.
Tema 3 Series Numéricas Imagiemos que se va a celebrar ua carrera co las siguietes reglas:. El primer miuto debe recorrerse 00 metros. 2. El miuto siguiete debe recorrerse la mitad, 50 metros. 3. El miuto
Más detallesEn el siglo XVIII muchos matemáticos buscaban, sin demasiado éxito, el valor de la expresión
Defiició y propiedades 5 5. Defiició y propiedades 6 5. Covergecia absoluta e icodicioal 65 5.3 Criterios de covergecia para series de térmios o egativos 66 5.4 Otros criterios 69 5.5 Suma de series 69
Más detallesLa sucesión de Lucas
a sucesió de ucas María Isabel Viggiai Rocha Cosideramos la sucesió umérica { } defiida por: - - si 3 y y 3. Esta sucesió es coocida como la sucesió de ucas y a sus térmios se los llama úmeros de ucas.
Más detallesSucesiones numéricas.
SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El
Más detallesR. Urbán Ruiz (notas de clase)
R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fucioes E las ciecias Ecoómicas las fucioes so de mucho valor para resolver problemas dode haya que relacioar variables; como por ejemplo, la producció, la oferta, la demada,
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla
Más detallesCap ³tulo 6. Series Num ericas. Problemas resueltos. 6.1 Series num ericas. De niciones. Salvador Vera Ballesteros
Cap ³tulo 6 Series Num ericas. Problemas resueltos Salvador Vera Ballesteros www.satd.uma.es/matap/svera 6. Series um ericas. De icioes De ici o 6. (Serie) Dada ua sucesi o um erica i ita: fa g fa ;a ;a
Más detalles4. Sucesiones de números reales
4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 204 205 Resume Estudiamos e este tema las sucesioes, cuyo idea ituitiva es el de listas ifiitas de úmeros. A cotiuació, estudiamos el cocepto de límite
Más detallesTrabajo Práctico Nro. 9 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER
F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 rabajo Práctico ro. 9 ECUACIOES DIFERECIALES E DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER I.- Itroducció a las Ecuacioes Difereciales e Derivadas Parciales
Más detallesPotencias y Logaritmos
Tema 9 Potecias y Logaritmos Usado los pricipales resultados del cálculo diferecial e itegral, podemos estudiar co gra comodidad varias fucioes reales de variable real que o ha aparecido hasta ahora y
Más detalles1. Propiedades de los estimadores
. Propiedades de los estimadores.. Eficiecia relativa. Defiició: Dados dos estimadores isesgados, ˆ y ˆ, de u parámetro, co variazas V ( ˆ ) y V ( ˆ ), etoces la eficiecia (eff) de ˆ respecto a ˆ, se defie
Más detallesTema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor
Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació
Más detallesAritmética. Introducción. De la definición anterior se pueden deducir las siguientes propiedades:
Aritmética Itroducció Bautizo: Decimos a divide a b (a factor de b, a es divisor de b, b es múltiplo de a, b es divisible por a) si existe u etero c tal que b=ac Lo aterior se simboliza como a b, e caso
Más detallesCAPITULO 2. Aritmética Natural
CAPITULO Aritmética Natural Itroducció 1 Sumatorias Iducció Matemática Progresioes Teorema del Biomio 1. Coteidos. Itroducció 1) Asumiremos que el cojuto de úmeros reales R, +,, ) es u cuerpo ordeado completo.
Más detallesTema 4 Sucesiones numéricas
Tema 4 Sucesioes uméricas Objetivos 1. Defiir sucesioes co wxmaxima. 2. Calcular elemetos de ua sucesió. 3. Realizar operacioes co sucesioes. 4. Iterpretar la defiició de límite de ua sucesió. 5. Calcular
Más detallesTema 1: Números Complejos
Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto
Más detallesPropiedades de las series numéricas (18.03.2015)
Propiedades de las series uméricas 8.03.205) ) Si itercalamos e la sucesió {a } N u úmero fiito de térmios de suma b, el carácter de la serie a o varía y, si coverge, su suma aumeta e b. D: Sea b +b 2
Más detallesSucesiones y ĺımite de sucesiones
Tema 3 Sucesioes y ĺımite de sucesioes Ídice del Tema Sucesioes........................................ 60 Progresioes....................................... 63 3 Covergecia......................................
Más detallesPreguntas más Frecuentes: Tema 2
Pregutas más Frecuetes: Tema 2 Pulse sobre la preguta para acceder directamete a la respuesta 1. Se puede calcular la media a partir de las frecuecias absolutas acumuladas? 2. Para calcular la media aritmética,
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx
INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera.
Más detallesSolución del Examen Extraordinario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Informática
Solució del Exame Extraordiario de Algebra y Matemática Discreta, 0-09-2008. Primer Curso, Facultad de Iformática Putuació Máxima Posible: 20 putos Ejercicio Primero (Grafos, etc). a) ( puto) Defia Grafo
Más detalles6. Integrales dobles impropias.
82 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 6. Itegrales dobles impropias. 6.. Itegrales impropias covergetes y o covergetes. La teoría de itegrales dobles,
Más detallesUna serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0
Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada
Más detallesCálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera
Cálculo para la igeiería Tomo II Salvador Vera 9 de eero de 5 ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 998-4. Ídice geeral 7. Series Numéricas 7.. El sigo del sumatorio: Sigma Σ... 7... Propiedades
Más detallesMATE1214 -Calculo Integral Parcial -3
MATE114 -Calculo Itegral Parcial -3 Duració: 60 miutos 1. Cosidere la curva paramétrica descrita por = te t, y = 1 + t. Halle la pediete de la recta tagete a esta curva cuado t = 0.. Calcular la logitud
Más detallesEXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:...CURSO:...
EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:CURSO: CORRIGIÓ:REVISÓ: 4 5 NOTA Todas sus respuestas debe ser justificadas
Más detalles