Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera

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1 Cálculo para la igeiería Tomo II Salvador Vera 9 de eero de 5

2 ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros,

3 Ídice geeral 7. Series Numéricas 7.. El sigo del sumatorio: Sigma Σ Propiedades del sumatorio Series uméricas. Defiicioes Covergecia y suma de la serie aplicado la defiició Dos series otables Teoremas de covergecia La serie geométrica Covergecia y suma de la serie geométrica Agrupació y descomposició de térmios Criterios de covergecia Series de térmios positivos (o egativos) Series alteradas Series de térmios de sigo cualesquiera Aplicació del criterio de D Alembert al cálculo de límite de sucesioes Suma de series Aplicado la defiició Series geométricas Series aritmético-geométricas Series hipergeométricas Series telescópicas Descomposició e fraccioes simples Series que se obtiee a partir del úmero e Ejercicios y problemas del Capítulo Series fucioales. Series de Fourier Series de fucioes Series de fucioes Covergecia putual Covergecia uiforme Propiedades de las series uiformemete covergetes Series de potecias Desarrollo de fucioes e series de potecias Desarrollo de fucioes e series de potecias a partir de otros desarrollos coocidos Derivació e itegració de las series de potecias Aplicacioes de las series de potecias para el cálculo de itegrales defiidas 8.3. Series de Fourier Fucioes periódicas...3 iii

4 iv ÍNDICE GENERAL Serie de Fourier de periodo π Codicioes suficietes de la desarrollabilidad de ua fucióeseriedefourier Desarrollo de las fucioes pares e impares e series de Fourier Ejercicios y problemas del Capítulo Solucioes a los ejercicios y problemas propuestos 6 Bibliografía 63 Ídice alfabético 64 Copyright c by Salvador Vera Ballesteros,

5 Capítulo 7 Series Numéricas 7.. El sigo del sumatorio: Sigma Σ La suma de térmios cosecutivos se represeta de la siguiete forma: a + a + + a i a i Límite superior Límite iferior Ídice El ídice del sumatorio puede ser cualquier letra, ormalmete se utiliza las letras i, j, k, ; pero o puede coicidir co los límites de la suma. Así, a 3 + a a k3 a k a 3 Nota: El límite iferior del sumatorio o tiee por qué ser, sio que puede ser cualquier úmero etero iferior al límite superior Ejemplo 7.. Expresar e otació sumatorio las siguietes sumas: i 7 3 i 6 7 i3 i ( +)+ ( +)+ + ( +) 6 i (i +) i (i +) Ejemplo 7.. Sacar los dos primeros térmios de los siguiete sumatorios a, ( +5)!

6 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Solució. Si sacamos los dos primeros térmios del sumatorio, el uevo sumatorio deberá comezar a partir del tercero. Así, a a + a + a 3 ( +5)! 6! + 7! + 3 ( +5)! 7... Propiedades del sumatorio. Ua costate puede sacarse factor comú. i k a i k a i i Es costate cualquier úmero o cualquier letra que o coicida co el ídice. Así, i a i a i i ya que, a + a + + a (a + a + + a ). El sumatorio de ua suma se puede descompoer e dos sumatorios i (a i ± b i ) i a i ± b i i 3. La suma de ua costate equivale a sumar veces la costate. i Así, por ejemplo, teemos: 5 i 5 i c c + c + ßÞ + cð c veces i 5 5 ä ç a i a + a + a 3 + a 4 + a 5 a i ++++ i 5

7 7.. SERIES NUMÉRICAS. DEFINICIONES 3 4. E u sumatorio, la expresió del térmio geeral o es úica, sio que se puede modificar, e fució de los límites del ídice. Así, E geeral a + a + + a i i a i 5. Se suele utilizar la siguiete suma: i a i + i +k a i k i +k i ++ + a i ( + ) +k Ejercicios propuestos de la secció 7.. Sumatorio 7... Calcular las siguietes sumas: a) ( +3) 7.. Series uméricas. Defiicioes Defiició 7. (Serie). Dada la sucesió umérica ifiita: ik a {a,a,a 3,...,a,...} dode a f() a i k Solucioes e la págia 6 se llama serie umérica a la suma idicada de los ifiitos térmios de dicha sucesió. a a + a + a a + los úmeros a,a,a 3,...,a,... se llama térmios de la serie y a se deomia térmio geeral. So ejemplos de series las siguietes sumas: Serie de los úmeros aturales Serie armóica Serie geométrica 3 Serie armóica, geeralizada

8 4 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Defiició 7. (Suma parcial). Se llama suma parcial -sima a la suma de los primeros térmiosdelaserie Así, teemos: S a + a + a a S a Y, e geeral, S S + a S a + a S 3 a + a + a 3. S a + a + + a Ejemplo 7.3. Sumar gráficamete la serie Solució. Se trata de hacer la siguiete suma:. a k k Cosideremos, para ello, u cuadrado de lado uidad. Tedremos que sumar: la mitad del cuadrado, la cuarta parte, la octava parte, etc. Si seguimos el proceso, al fial, tedremos el cuadrado completo. 6 E cosecuecia, para sumar ua serie: 8. Se realiza las sumas parciales de maera progresiva, 4. por paso al límite se calcula la suma total Defiició 7.3 (Covergecia y Suma de la serie). Ua serie se dice covergete si la sucesió formada co sus sumas parciales {S } es covergete. Se llama suma de la serie al límitedelasucesió formada co sus sumas parciales. lím S S a S Por el cotrario, si la sucesió de las sumas parciales {S } o tiee u límite fiito, etoces se dice que la serie es divergete. (Se distigue las series divergetes ifiitas, cuado el límite es ifiito; de las oscilate, cuado el límite o existe).

9 7.. SERIES NUMÉRICAS. DEFINICIONES 5 Nota: Si la serie es covergete teemos: {S,S,S 3,...,S,...} S Es decir, a S lím S lím (a + a + + a) lím k a k Defiició7.4(Restodelaserie).Se llama resto de la serie a la suma idicada de los térmios de la serie desde u lugar e adelate. Se tiee: R a + + a + + k+ a k a a + a + a a + a + + [a + a + a a ßÞ Ð a +k k ]+[a + + a + + ]S ßÞ Ð + R S R Es decir, a S + R Si la serie coverge, la diferecia etre la suma total S y la suma parcial S da el resto -simodelaserie a covergete R S S a + + a + + E este caso, el resto -simo represeta el error que se comete al aproximar la suma total de la serie por la suma parcial de los primeros térmios. Proposició 7.. Si la serie es covergete, etoces el resto -simo tiede a cero. a Cov. lím R Demostració. È a Cov. R S S S S, de dode, lím R lím (S S )S lím S S S

10 6 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS 7... Covergecia y suma de la serie aplicado la defiició El problema fudametal de la teoría de las series cosiste e estudiar la covergecia. Si la serie es covergete, etoces es sumable, e cosecuecia se iteta sumarla co exactitud y, si esto o es posible, se calcula el valor aproximado de la suma, sumado los primeros térmios. E este caso habrá que idicar el error cometido e la aproximació; o bie, sumaremos más o meos térmios e fució del error permitido. Ejemplo 7.4. Estudiar la covergecia de las siguietes series y sumarlas cuado sea covergetes. a) ( ) +, b) k k, c) Solució. Aplicado, e cada caso, la defiició, resulta: a) b) c) k ( ) S S S 3 +. k S S +45 S S {S } {,,,,,,...} No tiee límite Luego, la serie o es covergete, y, e cosecuecia, o se puede sumar. (Diverge por Oscilació). La serie es divergete S S S S S

11 7.. SERIES NUMÉRICAS. DEFINICIONES 7 Parece que S, etoces, tedría que ser S E efecto, S + S + a luego la expresió supuesta para S es correcta. E cosecuecia, S lím S lím lím Nota: Para demostrar que la expresió dada a S es correcta hemos utilizado el método de iducció; basado e el axioma de iducció de los úmeros aturales. Axioma de iducció. Supogamos que el cojuto M N posee las siguietes propiedades: ) M, ) si m M, etocesm + M; etoces el cojuto M cotiee todos los úmeros aturales: M N. Pricipio de iducció. Sea P ua proposició acerca del etero. Si: ) P es verdadera, ) P k+ es verdadera siempre que P k es verdadera; etoces P es verdadera para todos los eteros positivos. La justificació es la siguiete: por la codició, se tiee que P es verdadera; etoces, aplicado la codició (co k ) se tiee que P es verdadera. Del mismo modo, si se aplica uevamete la codició co k, se tiee que P 3 es verdadera; y así sucesivamete. El procedimieto se puede aplicar de maera idefiida. Al aplicar el pricipio de iducció matemática se sigue los tres pasos siguietes: ) Se prueba que P es verdadera cuado. ) Se supoe que P es verdadera cuado k y se deduce que P es verdadera cuado k +. 3 ) Se cocluye, por el pricipio de iducció matemática, que P es verdadera para toda. Ejemplo 7.5. De la serie a se sabe que la sucesió de las sumas parciales {S } viee defiida por: S N Hallar: (a) El térmio geeral a de la serie. (b) El carácter y la suma de la serie. Solució. (a) Elprimertérmio de la serie a coicide co S, luego: a S

12 8 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS El resto de los térmios, para, se obtiee de la diferecia: a S S ( +3)( +4) Nótese que, e este caso, el primer térmio o sigue la regla geeral, es decir, la serie propuesta vedrá dada por la expresió: a + 5 ( +3)( +4) (b) La serie coverge, ya que se puede calcular su suma. S lím S +3 lím Dos series otables Defiició 7.5 (Serie geométrica). Se llama series geométricas aquellas series e las que cada térmio (salvo el primero) se obtiee multiplicado el aterior por ua catidad costate llamada razó: Es decir, a + r a a a + a + a + + a + a + r a + r a + + r a + a r Teorema 7.. La serie geométrica es covergete para r < ysusuma es S a r a r a r Para r la serie geométrica es divergete. Defiició 7.6 (Serie armóica). Se llama serie armóica a la serie: Y, e geeral, se llama series armóicas (geeralizadas) a las que so del siguiete tipo: p + p + 3 p para p> p (a estas series tambié se les llama p-series).

13 7.. SERIES NUMÉRICAS. DEFINICIONES 9 Teorema 7.. La serie armóica es covergete para p> y divergete para p. È Ejemplo 7.6. Demostrar que la serie armóica es divergete. Solució. Agrupado los térmios (hasta las potecias de ), se tiee: Nota : Otra maera de demostrarlo es la siguiete. E la serie armóica teemos que S S a + + a a Co lo cual resulta que, e la serie armóica, se tiee S S Ahora bie, si ua serie es covergete, ha de ser lím (S S). E efecto, a Cov. a S lím S lím S lím (S S) S S E cosecuecia, si la serie armóica fuera covergete se tedría la siguiete cotradicció: Por ser covergete: lím (S S ) Por la propiedad aterior lím (S S ) de dode resultaría o /, que es absurdo. Nota : La serie armóica diverge al ifiito co mucha letitud. Para obteer ua suma parcial que pase de hay que sumar más de 5 mil milloes de térmios Teoremas de covergecia Teorema 7.3 (Covergecia del resto). Si ua serie coverge, etoces cualquiera de sus restos tambié coverge. Y si uo de los restos coverge etoces toda la serie coverge. a + a + a 3 + covergete a + + a + + a +3 + covergete a covergete R covergete

14 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Es decir, la covergecia de ua serie o se altera si se le suprime los primeros térmios. Nota: (Observacioes sobre el resto de la serie). Si dos series tiee los mismos térmios, desde u lugar e adelate, etoces, o las dos coverge o las dos diverge. Es decir, las dos series tiee el mismo carácter. k/ >k,a b a b E efecto, al ser se tiee, a a + a + + a k +(a k+ + a k+ + + a + ) b b + b + + b l +(a k+ + a k+ + + a + ) S S a + a + + a k b b + b l N lím S lím S + N Se puede cambiar, suprimir o añadir u úmero fiito de térmios si alterar la covergecia o divergecia de ua serie (auque el valor cocreto de la suma de la serie sí cambia). Ejemplo 7.7. Sea a Hallar el carácter de la serie: ua serie de térmios positivos covergete. a R Solució. Sea R el resto de orde de la ueva serie. Se tiee: R a + + a + + a +3 + > a + + a + + a +3 + R R R + R + R R Como el resto R o coverge a cero, la serie yalserdetérmios positivos, es divergete. a R o es covergete, Teorema 7.4 (Producto por u úmero). La covergecia de ua serie o se altera si todos sus térmios se multiplica por u mismo úmero distito de cero, además dicho úmero se puede sacar factor comú. a + a + a 3 + covergete r a + r a + r a 3 + covergete (r a )r a Demostració. Si la serie es covergete, se tiee ka lím (ka + + ka ) lím k(a + + a ) k lím (a + + a )k a

15 7.. SERIES NUMÉRICAS. DEFINICIONES Teorema 7.5 (Suma de series). La suma térmioatérmio de dos series covergetes es otra serie covergete, y su suma coicide co la suma de las sumas de las dos series sumados. a covergete b covergete (a + b ) covergete (a + b ) a + b Si algua de las dos series ateriores o es covergete etoces el teoremaoesaplicable.etalcasosólo podemos afirmar que la suma térmio atérmio de ua serie covergete co otra divergete es divergete, mietras que la suma térmio a térmio de dos series divergetes puede dar covergete o divergete, segú los casos. Nota : Esquemáticamete, lo aterior se puede expresar de la siguiete forma: Co±CoCo Co±DivDiv Div±Div? Nota : La igualdad (r a )r se cumple siempre, sea a y b, covergetes o divergetes. Si embargo, la igualdad (a + b ) a + e estricto setido, solamete se cumple cuado a y b, so ambas covergetes. Teorema 7.6 (Criterio del térmio geeral para la divergecia). Si ua serie coverge, etoces su térmio geeral tiede a cero. a a covergete lím a A este teorema tambié se le cooce como criterio ecesario de covergecia o codició ecesaria. El recíproco o es cierto, ya que existe series cuyo térmio geeral tiede a cero y, si embargo, so divergetes, como, por ejemplo, la serie armóica. Por lo tato, éste es u criterio para la divergecia y o para la covergecia, ya que: lím a Más exactamete podemos decir, lím a ó lím a No defiido a b divergete a divergete

16 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Pero lím a o os da igua iformació sobre la covergecia de la serie. Ejemplo 7.8 (Aplicado la codició ecesaria). Estudiar el carácter de las siguietes series uméricas: (i) 3 + (ii) (iii) Solució. Aplicado el criterio del térmio geeral, resulta: (i) (ii) (iii) lím a lím 3 + Divergete 3 ( ) lím a 3 +3 lím 4 5 Divergete 5 lím a lím ( ) No defiido Divergete Ejemplo 7.9. Estudiar el carácter de las siguietes series uméricas: (i) (ii) + Solució. Las tres so divergetes. E efecto: (i) (ii) (iii) lím a lím lím a lím lím a lím La serie geométrica (iii) lím e Ua serie se llama geométrica si cada térmio, meos el primero, se obtiee multiplicado el aterior por ua catidad costate, llamada razó. a + r a Por costumbre, el sumatorio de la serie geométrica se suele comezar por cero (para teer e el expoete, e vez de ). Así, a a +a +a + +a + a +a r+a r + +a r + a r

17 7.. SERIES NUMÉRICAS. DEFINICIONES Covergecia y suma de la serie geométrica Si ua serie geométrica es covergete, etoces, se tiee: Ahora bie, lím a r Suma de la serie geométrica lím a lím a r ± si r > a si r No def. si r r Divergete si r < Puede ser covergete S a + a r + a r + + a r rs a r a r a r 3 a r + S rs a a r + de dode, S a a r + r E cosecuecia, para r <, se tiee a r lím S a a r + lím r De dode se cocluye que a r a r Divergete r < a r a r si r < si r ya Nota : Si a, es evidete que la serie es covergete, puesto que e este caso todos sus térmio so ulos, y su suma será cero. Nota : Lo que caracteriza a la serie geométrica es que su térmio geeral, mediate algua trasformació, se pueda expresar de la siguiete forma: e el expoete a r a r a r La razó Ua costate que puede ser (o aparecería) Ejemplo 7.. Estudiar el carácter de las siguietes series, y, e su caso, obteer su suma. ( ) a) b) 3 c) k d) k k k

18 4 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Solució. a) b) c) d) k k ( ) 3 k k k k a r 3 k k + a r a / r / a /9 r 3 3/ 3 /9 + 3 / / / / /9 4/ Ejemplo 7.. Estudiar el carácter de las siguietes series, y, e su caso, obteer su suma. a) Solució. a) b) c) d) 3 7 b) ( ) e k e π 3 ( ) e c) a e/π r e/π 3 e e/π e π d) e π a r 8 7 > Divergete a r 3 e < e/π π e π Divergete a r e π e Ejemplo 7.. Estudiar el carácter de las siguietes series, y, e su caso, obteer su suma. a) b) 5 c) 3 Solució.

19 7.. SERIES NUMÉRICAS. DEFINICIONES 5 a) b) c) /5 /7 5 7 /5 4/5 /7 6/ /5 + 3/5 + / /3 + 3 / Ejemplo 7.3. Hallar el úmero racioal represetado por el úmero decimal periódico:. 5. Solució. El úmero. 5 lo podemos expresar de la siguiete forma 5. 5,555...,5+,5 +, a 5/ 5/ r / 5/ 9/ 5 9 Ejemplo 7.4. Hallar la suma de la serie: 4 6+π Solució. Separado los tres primeros térmios, resulta S 4 6+π π + +π + +π +π / Agrupació y descomposició de térmios Agrupació de térmios Proposició 7.. Si ua serie es covergete o divergete al ifiito, etoces su carácter o varía si se va sustituyedo varios térmios cosecutivos por su suma.

20 6 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Demostració. Sea la serie S a + a + a 3 +. Sus sumas parciales so S a S a + a S 3 a + a + a 3. S a + a + + a S Por otro lado, si agrupamos los térmios, resulta S (a + + a i)+(a i+ + + a j)+(a j+ + + a k )+ a + a + a 3 + Sus sumas parciales so S a S i S a + a S j S 3 a + a + a 3 S k. S S Luego las sumas parciales de ambas series tiee el mismo límite. E las series oscilate o se puede agrupar los térmios. E efecto, cosideremos la serie oscilate S Segú agrupemos los térmios obteemos ua serie covergete co suma, o co suma 3. Así, S (3 3) + (3 3) + (3 3) S 3+( 3+3)+( 3+3) Descomposició de térmios Los térmios de ua serie o se puede descompoer e suma de varios térmios. Por ejemplo, si descompoemos la serie covergete obteemos ua serie oscilate. Así, S +++ S ( ) + ( ) + ( ) oscilate De la misma forma, si descompoemos la serie covergete S obteemos la siguiete serie oscilate S oscilate 8

21 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 7 Reordeació de térmios Los térmios de ua serie o se puede reordear de maera arbitraria. Por ejemplo, si cosideramos la serie alterada S Oscilate Al reordear sus térmios podemos obteer ua serie divergete al + : S y reordeádolos de otra maera ua serie divergete al. S Series de térmios positivos Si todos los térmio que iterviee, los existetes y los que se obtiee, so positivos, etoces se puede agrupar, descompoer o reordear, siquecambieelcarácter de la serie i el valor de la suma (El problema e las trasformacioes de las series está e los térmios egativos). Nota: No debe cofudirse la agrupació y descomposició de térmios de ua serie co la suma de series o la descomposició de ua serie e suma de varias. Ejercicios propuestos de la secció 7.. Defiicioes 7... De la serie Solucioes e la págia 6 a se sabe que la sucesió de las sumas parciales {S } viee defiida por: 3 + S N +4 Hallar: (a) Eltérmio geeral a de la serie. (b) Elcarácter y la suma de la serie Criterios de covergecia Series de térmios positivos (o egativos) Lema 7. (Acotació de la sucesió de sumas parciales). Si todos los térmios de ua serie so positivos (salvo quizás los primeros). S a + a + a a + N, a Etoces, silasucesió de las sumas parciales está acotada la serie será covergete, y si o está acotada, será divergete. Demostració. Eefecto, alserlostérmios positivos, la sucesió de las sumas parciales serámoótoa creciete. S a S S + a S 3 S + a 3. S S + a. S S S 3 S

22 8 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Por lo tato, si dicha sucesió está acotada, tedrá limite fiito, y, e cosecuecia, la serie será covergete, y si o está acotada, su límite será ifiito, y, e cosecuecia, la seria será divergete. Teorema 7.7 (Criterio de comparació). Si los térmios de ua serie de térmios o egativos so meores o iguales que los térmios correspodietes de otra serie, etoces, si coverge la seguda serie tambié coverge la primera y si diverge la primera tambié diverge la seguda. a b È b covergete È a covergete È a divergete È b divergete Demostració. a b S S, de dode, b Cov S Acot S Acot a Cov a Div b Div (ya que si fuera Covergete È a Cov) Nota: El criterio sigue siedo válido auque los primeros térmios o cumpla la relació a b, siempre que se cumpla desde u lugar e adelate. Ejemplo 7.5. Estudiar la covergecia de las siguietes series a) + b) c) d)! e) se α Solució. Se trata de comparar la serie dada co ua serie coocida. Normalmete compararemos co la serie geométrica o co la serie armóica. a) +> + < (serie geométrica Co.) Covergete b) La comparació <, o coduce a igú resultado, ya que os da ua serie mayor que ua covergete que puede ser covergete o divergete. Comparamos, etoces, co otra serie. Así, para grade > (geométrica Co.) Covergete c) d) Teemos que! >. E efecto, (armóica Div.) Divergete! ( ) ( ) 3 luego! < (geométrica Cov.) Covergete

23 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 9 e) Teiedo e cueta que se α, resulta se α (geométrica Cov.) Covergete Teorema 7.8 (Criterio de Codesació de Cauchy). Sea {a } ua sucesió decreciete de térmios o egativos, etoces las siguietes series tiee el mismo carácter. a k k a k Demostració. Agrupemos los térmios de la serie a de dos formas diferete: E primer lugar, e bloques que termie e los térmios de ídice potecia de dos; y, e segudo lugar, e bloque que comieza e dichos térmios. Así, (a )+(a )+(a 3 + a 4 )+(a 5 + a 6 + a 7 + a 8 )+ È a (a )+(a + a 3 )+(a 4 + a 5 + a 6 + a 7 )+(a 8 + Como la sucesió es decreciete, e cada parétesis, el primer térmio es el mayor y el último el meor. Sustituyamos, e los parétesis de la izquierda, cada térmio por el meor (el último); y, e la derecha, cada térmio por el mayor (el primero). E cosecuecia, resultará, (a )+(a )+(a 4 + a 4 )+(a 8 + a 8 + a 8 + a 8 )+ De dode, a + a +a 4 +4a 8 + a (a )+(a + a )+(a 4 + a 4 + a 4 + a 4 )+(a 8 + a a +a +4a 4 +8a 8 + y multiplicado y dividiedo por, e la parte de la izquierda, resulta (a +a +4a 4 +8a 8 + ) que se puede expresar de la siguiete forma, a + k k a k a a +a +4a 4 +8a 8 + a k k a k E cosecuecia, aplicado el criterio de comparació, las dos serie tiee el mismo carácter.

24 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Ejemplo 7.6. Estudiar la covergecia de las series armóicas geeralizadas o p-series, p, p > segú los distitos valores de p. Solució. Aplicado el criterio de codesació de Cauchy, se tiee: p k k ( k ) p k ( k ) p k ( p ) k Luego la serie armóica (p-serie) es equivalete a ua serie geométrica de razó r ( )p. E cosecuecia será: Covergete, si r< p < p > p > p> Divergete, si r p p p p Es decir, Covergete, si p> p Divergete, si p El resultado puede recordarse co el gráfico 7. y / y / y / Divergete Covergetes 3 Figura 7.: Covergecias de las p-series Ejemplo 7.7. Estudiar la covergecia de las siguietes series: a) ( +)( +) b) + c) Solució. Comparado las series dadas co las p-series, resulta, a) ( +)( +)> ( +)( +) < 3 (armóica Cov.) Covergete.

25 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA b) La desigualdad + >, o coduce a igú resultado. Aplicamos, etoces + + (armóica Div.) Divergete c) Teiedo e cueta que >, resulta < (armóica Co.) Covergete Ejemplo 7.8. Estudiar el carácter de las siguietes series uméricas: (i) l (ii) se (iii) +se 3 ( +) + Solució. Las tres series so de térmios o egativos y, por tato, les podemos aplicar cualquiera de los criterios de covergecia. (i) Teiedo e cueta que l <resulta la desigualdad: l > para, 3,... Y como la serie armóica diverge, etoces tambié diverge la serie, y, aplicado el criterio de comparació, la serie dada tambié es divergete. (ii) Teiedo e cueta que se resulta la desigualdad: se Luego la serie dada es ua serie de térmios o egativos, y como la serie geométrica coverge, aplicado el criterio de comparació, la serie dada tambié es covergete. (iii) Teiedo e cueta que se 3 ( +) resulta la desigualdad: +se3 ( +) + < 3 Ycomolaseriegeométrica coverge, tambié coverge la serie 3 3 y por lo tato, aplicado el criterio de comparació la serie dada tambié es covergete.

26 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Teorema 7.9 (Criterio de comparació de ifiitésimos). Si los térmios geerales de dos series de térmios positivos so ifiitésimos del mismo orde, etoces las dos series tiee el mismo carácter (es decir coverge simultáeamete o diverge simultáeamete). a lím k b k k a b Nota : Para que ua serie coverja su térmio geeral tiee que teder a cero, es decir, ha de ser u ifiitésimo. Dos ifiitésimos so del mismo orde cuado el límite de su cociete es u úmero fiito distito de cero. a k Demostració. Sea lím k Etoces será siempre posible b k ecotrar dos úmeros fijos p y q tales que p<k<q p< a <q, para suficietemete grade b de dode, pb <a <qb Y, e cosecuecia, b Cov. qb Cov. a Cov. b Div. pb Div. a Div. Nota : El problema, e la práctica, estará e determiar u ifiitésimo del mismo orde que el que teemos. Para ello habrá que apreder a seleccioar la parte pricipal del térmio geeral de la serie. Al fial, siempre habrá que comprobar que el límite del cociete de ambos térmios geerales es fiito y distito de cero. Ejemplo 7.9. Estudiar el carácter de las siguietes series uméricas: (i) + + (ii) (iii) +se 3 Solució. Las tres series so de térmios o egativos, luego les podemos aplicar cualquiera de los criterios de covergecia. (i) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparació. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes ifiitésimos sea del mismo orde: + + Y como la serie armóica diverge, etoces, aplicado el criterio de comparació de ifiitésimos, tambié diverge la serie dada.

27 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 3 No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobació: a + lím lím b + : lím + + (ii) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparació. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes ifiitésimos sea del mismo orde: Ycomolaseriegeométrica coverge, etoces, aplicado el criterio de comparació de ifiitésimos, tambié coverge la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobació: a lím lím b : lím (iii) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparació. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes ifiitésimos sea del mismo orde: +se 3 Ycomolaseriegeométrica coverge, etoces, aplicado el criterio de comparació de ifiitésimos, tambié coverge la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobació: a lím lím b +se 3 : lím +se 3 Ejemplo 7.. Estudiar el carácter de las siguietes series uméricas: (i) +l (ii) (iii) (7 3 +5)se 3 Solució. Las tres series so de térmios o egativos, luego les podemos aplicar cualquiera de los criterios de covergecia. (i) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparació. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes ifiitésimos sea del mismo orde: +l Ycomolaseriearmóica diverge, etoces, aplicado el criterio de comparació de ifiitésimos, tambié diverge la serie dada.

28 4 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobació: a lím lím b +l : lím +l (ii) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparació. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes ifiitésimos sea del mismo orde: Y como la serie armóica coverge, etoces, aplicado el criterio de comparació de ifiitésimos, tambié coverge la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobació: a 3 + lím lím b 4 + : lím (iii) Buscamos ua serie coocida que os sirva de comparació. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes ifiitésimos sea del mismo orde: (7 3 +5)se Y como la serie geométrica coverge, etoces, aplicado el criterio 3 de comparació de ifiitésimos, tambié coverge la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobació: a (7 3 +5)se lím lím b 3 : 3 lím (7 3 +5) lím Para que ua serie coverja su térmio geeral tiee que teder a cero, es decir, ha de ser u ifiitésimo. Dos ifiitésimos so del mismo orde cuado el límite de su cociete es u úmero fiito distito de cero. E particular, dos ifiitésimos equivaletes so del mismo orde, ya que el limite de su cociete es la uidad, por lo tato podemos euciar el siguiete criterio cosecuecia del aterior. Teorema 7. (Criterio de ifiitésimos equivaletes). Si los térmios geerales de dos series de térmios positivos so ifiitésimos equivaletes etoces las dos series tiee el mismo carácter (es decir coverge simultáeamete o diverge simultáeamete). a b a b

29 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 5 Ejemplo 7.. Estudiar el carácter de las siguietes series uméricas: (i) se (ii) arc se (iii) cos (IV ) l + Solució. Aplicado ifiitésimos equivaletes, resulta: (i) se luego la serie es covergete. (ii) (iii) arc se cos luego la serie es divergete. + (IV ) l + l Nota: Se ha aplicado los siguietes ifiitésimos para z : Divergete covergete. se z z arc se z z cos z z / l(+z) z Teorema 7. (Criterio del cociete. D Alembert). Dada ua serie de térmios positivos, si existe el límite lím (a + /a )l, etoces esta serie coverge cuado l< y diverge cuado l>. Sil el criterio o decide sobre la covergecia de la serie a + lím l a l< È a covergete l> È a divergete l duda Podemos afiar u poco más e el criterio y resolver parte de la duda. Si lím (a + /a ) + etoces la serie es divergete. Es decir la duda se resuelve sólo por el lado de la divergecia. Auque la idetermiació suele resolverse por el criterio de Raabe. a + Demostració. Sea lím l<. Etoces siempre es posible ecotrar u úmero r tal que l<r<, de maera que, para suficietemete a grade, se tega a + <r a De dode, a + <ra a + <ra + <r a a +3 <ra + <r 3 a de dode resulta,. R a + + a + + <a r + r + r 3 +

30 6 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Luego el resto -simo de la serie dada es covergete por estar mayorado por ua serie geométrica covergete (de razó r<), y, e cosecuecia, la serie dada es covergete. Por otro lado, si l>, (o icluso l + ). Etoces siempre será posible ecotrar u úmero r tal que l r, de maera que, para suficietemete grade, se tega a + r a De dode, de dode resulta, a + ra a + ra + r a a +3 ra + r 3 a. R a + + a + + a r + r + r 3 + Luego el resto -simo, R, de la serie dada es divergete por estar miorado por ua serie geométrica divergete (de razó r ), y e cosecuecia, la serie dada es divergete. Ejemplo 7.. Estudiar el carácter de las siguietes series uméricas: (i) (ii)! (iii) Solució. Aplicado el criterio del cociete, resulta: a + ( +) (i) lím lím a + : lím ( +) ( +) + lím < luego la serie dada es covergete. a + ( +) (ii) lím lím a ( +)! :! lím ( +)! ( +)! lím ( +) ( +) a + (iii) lím a divergete. + + lím 3 + ( +) + lím lím ( +)! + lím! < luego la serie dada es covergete. :! lím ( +) ( +)! ( +)! + e> luego la serie dada es Ejemplo 7.3. Estudia, segú los valores del parámetro p, elcarácter de la serie: p! p>

31 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 7 Solució. Aplicado el criterio del cociete, resulta: a + lím a Co lo cual resulta: p + ( +)! lím ( +) + : p! p lím ( +) lím lím p + p p( +)! p!( +) ( +) lím p + Si p/e < p<ela serie dada es covergete. Si p/e > p>ela serie dada es divergete. Si p/e p e el criterio o decide. Si p e resolvemos la duda teiedo e cueta que + <e lím e + p e e e + la serie es divergete Ejemplo 7.4. Estudiar la covergecia de la siguiete serie, para los distitos valores de r. (l ) r Solució. Cosideremos las siguietes situacioes: Para r<, la serie es divergete. E efecto aplicado el criterio del térmio geeral, se tiee que a. Para<r, aplicado el criterio de comparació, se tiee que la serie es divergete por ser mayorate de ua serie armóica divergete (p-serie co p ). E efecto, para grade teemos, l < (l ) r < r (l ) r > r Para r>, aplicamos: primero, el criterio de codesació de Cauchy, ydespués, el criterio del cociete; co lo que resulta: de dode, a + lím a (l ) r r l ( l ) r r (l ) r + lím ( +) r (l ) r : r (l ) r lím + r (l ) r ( +) r (l ) r r lím r > + luego la serie es divergete.

32 8 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Teorema 7. (Criterio de la raíz. Cauchy). Dada ua serie de térmios o egativos, si existe el límite lím a l, etoces esta serie coverge cuado l< y diverge cuado l>. Sil el criterio o decide sobre la covergecia de la serie. lím a l l< È a covergete l> È a divergete l duda Demostració. Sea lím a l<. Etoces siempre es posible ecotrar u úmero r tal que l<r<, de maera que, para suficietemete grade, se tega a <r De dode, a <r de dode resulta que la serie dada es covergete por estar mayorado por ua serie geométrica covergete (de razó r<). Por otro lado, si l>, (o icluso l + ). Etoces siempre será posible ecotrar u úmero r tal que l r, de maera que, para suficietemete grade, se tega a r De dode, a r de dode resulta que la serie dada es divergete por estar miorado por ua serie geométrica divergete (de razó r ), y e cosecuecia, la serie dada es divergete. Ejemplo 7.5. Estudiar el carácter de las siguietes series uméricas: (i) (l ) (ii) l ( +) Solució. Aplicado el criterio de la raíz, resulta: (i) lím a lím (ii) lím (iii) lím a lím a lím (iii) + < luego la serie dada es covergete. l < luego la serie dada es covergete. l( +) + e > luego la serie es divergete. Ejemplo 7.6. Estudiar el carácter de las siguietes series uméricas: (i) +( ) (ii) ( ) +3 +

33 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 9 Solució. Aplicado el criterio de la raíz, resulta: (i) (ii) lím a lím lím +( ) luego la serie dada es covergete. lím a lím luego la serie es covergete. ( ) +3 + lím ( ) + + < ( ) +3 + < Nota: Auque pudiera pesarse que el criterio de Cauchy y el de DÁlembert so equivaletes ya que se cumple la igualdad lím a + a lím a Si embargo, esto o es eteramete cierto, ya que esa igualdad se cumple siempre que el o límite exista; pero puede que o exista el límite del cociete y sí eldelaraíz. Lema 7. (Criterio de comparació del cociete). Sea È a y È b dos series de térmios positivos tales que, desde u lugar e adelate, la razó de cada térmio al aterior e la primera serie a + /a se coserva meor que la correspodiete razó de la seguda serie b + /b.etoces, si È b es covergete, tambié lo es È a ;ysi È a es divergete, tambié lo es È b.esdecir,, a + a < b + b È b Cov. È a Cov. È a Div. È b Div. Demostració. Si perder geeralidad podemos supoer que la desigualdad se cumple para todos los valores de. Será, a < b a b a 3 < b 3 a b. a + < b + a b multiplicado miembro a miembro, se tiee a a 3 a+ < b b 3 b+ a a a b b b y simplificado, resulta a + < b + a + < a b + a b b Es decir, a + <kb +, de dode, aplicado el criterio de comparació, queda demostrado el lema. Teorema 7.3 (Criterio de Raabe). Supogamos que a + lím a Etoces la idetermiació puede resolverse co el siguiete límite: lím a + a R R< È a divergete R> È a covergete R duda

34 3 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Obsérvese que la comparació co la uidad es cotraria a los dos casos ateriores. Demostració. Sea lím a + l<, (o icluso l ). Etoces, para suficietemete grade, se a tedrá De dode, Es decir, a + a < a + < a a + > a a + a > / /( ) de dode resulta que la serie dada es divergete por estar miorada, e el cociete, por ua serie armóica divergete (b /( )). Por otro lado, si l >. Etoces siempre será posible ecotrar u úmero r tal que l>r>, de maera que, para suficietemete grade, se tega De dode, a + a >r a + > r a a + < r a < r a + a < r (/) r (/( )) r de dode resulta que la serie dada es covergete por estar mayorada por ua serie armóica (p-serie) covergete (b ( ) r,cor>). Nota: Se ha utilizado la siguiete desigualdad r < r que se deduce del hecho de que e el desarrollo de Taylor de ( /) r se tiee, r r r(r ) + +! yparar >, el tercer térmio del desarrollo es positivo. Luego, para suficietemete grade, queda determiada la desigualdad. Ejemplo 7.7. Estudiar el carácter de la serie: 4 7 (3 )

35 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 3 Solució. Aplicado el criterio del cociete, se tiee: a (3 +) 4 7 (3 ) lím lím : a (3 +3) lím 3 +3 Luego el criterio del cociete o decide sobre la covergecia. Aplicamos, etoces, el criterio de Raabe: lím lím (3 +3) (3 +) (3 +3) lím (3 +3) lím > Luego la serie es covergete. Ejemplo 7.8. Estudiar el carácter de la serie, para los distitos valores de a: (a +)(a +) (a + )! Solució. Aplicado el criterio del cociete, se tiee: a + lím a (a +)(a +) (a + )(a + +) (a +)(a +) (a + ) lím : ( +)!! a + + lím + Luego el criterio del cociete o decide sobre la covergecia. Aplicamos, etoces, el criterio de Raabe: lím a lím + + a lím a lím + + a De dode, se tiee Para a > a< la serie es covergete. Para a < a> la serie es divergete. Para a a el criterio o decide, pero, e este caso, al teer el valor de a, para estudiar la covergecia basta co sustituir e la serie. Así, Para a, se tiee a È a ++ la serie es covergete.

36 3 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Ejemplo 7.9. Estudiar el carácter de la serie: a ( ) siedo a> Solució. Aplicado el criterio del cociete, se tiee: a + lím a a ( ) lím a ( ) lím a / a Luego el criterio del cociete o decide sobre la covergecia. Aplicamos, etoces, el criterio de Raabe: l a lím a / lím a / lím la De dode, se tiee Parala> a>ela serie es covergete. Parala< a<ela serie es divergete. Para l a a e el criterio o decide, pero, e este caso, al teer el valor de a, para estudiar la covergecia basta co sustituir e la serie. Así, Para a e, aplicado la costate de Euler, se tiee e ( ) e (l( )+γ+ε) e l( ) e γ e ε e l( )+γ+ε ( )e γ e ε Luego la serie es divergete por ser equivalete a ua serie armóica. Nos resta comprobar que la última equivalecia aplicada es correcta. E efecto, a lím lím b ( )e γ e : ε lím ( )e γ e ε e γ e e γ luego la equivalecia es correcta por se dicho límite y. Teorema 7.4 (Criterio de la itegral). Si f(x) para x es ua fució cotiua, positiva y moótoo decreciete, etoces la serie a dode a f(), coverge o diverge simultáeamete co la itegral f(x) dx

37 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Series alteradas Defiició 7.7 (Series alteradas). Ua serie se dice que es alterada cuado sus térmios cambia cosecutivamete de sigo. ( ) + a a a + a 3 +( ) + a + Las series alteradas puede comezar por u positivo o por u egativo, auque supodremos que siempre empieza co u positivo, e caso cotrario bastará co sacar factor comú el sigo egativo. Teorema 7.5 (Criterio de covergecia para series alteradas. Leibiz). Ua serie alterada coverge si los valores absolutos de sus térmios decrece y el térmio geeral tiede a cero. È a alterada a a a coverge Demostració. Cosideremos que la sucesió empieza por u térmio positivo, ( ) + a a a + a 3 a 4 + a 5 y expresemos las sumas parciales de orde par de las dos maeras siguietes: Por u lado como sumas de térmios positivos S (a a ) S 4 (a a )+(a 3 a 4 ) S 6 (a a )+(a 3 a 4 )+(a 5 a 6 ). S (a a )+(a 3 a 4 )+(a 5 a 6 )+ +(a a ) Y por otro, como el resultado de restarle a a diversas catidades tambié positivas S a a S 4 a (a a 3 ) a 4 S 6 a (a a 3 ) (a 4 a 5 ) a 6. S a (a a 3 ) (a 4 a 5 ) (a a ) a De lo primero, al ser todos los parétesis positivos, a k a k+, resulta que la sucesió de las sumas parciales pares {S }, es ua sucesió moótoa

38 34 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS creciete. Y, de lo segudo, al obteerse las sumas parciales pares restado de a catidades positivas, resulta que la sucesió de las sumas parciales pares {S }, es ua sucesió acotada superiormete. S a (a a 3 ) (a 4 a 5 ) (a a ) a a Luego, teemos ua sucesió moótoa creciete que está acotada superiormete, y, e cosecuecia, tiee límite. Sea S lím S que, además será S a Nos queda demostrar que las sumas impares tiee el mismo límite que las pares, para demostrar que dicho límite es el de todas las sumas parciales, y, e cosecuecia, es la suma de la sucesió. E efecto, cada suma impar se obtiee a partir de ua suma par de la siguiete forma E cosecuecia, luego S + S + a + lím S + lím S + lím a + S +S ( ) + a lím S S El recíproco de este teorema o es cierto, ya que sólo podemos asegurar quesieltérmio geeral o tiede a cero, etoces la serie es divergete, por o cumplir la codició ecesaria de covergecia; pero si la sucesió de los valores absolutos o es decreciete, etoces o podemos asegurar ada. Nota: Gráficamete, el criterio de Leibiz para la covergecia de la serie alterada queda reflejadoelafig.7. e esta págia Figura 7.: Criterio de Leibiz Ejemplo 7.3. Estudiar el carácter de las siguietes series uméricas: (i) ( ) + (ii) ( ) + (iii) ( ) l Solució. Aplicado el criterio de Leibiz, resulta:

39 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 35 (i) La primera serie o cumple el criterio del térmio geeral, luego la serie dada es divergete. (ii) Para la seguda serie teemos, lím a lím lím a lím +> + < a + < a a luego la serie dada es covergete (serie armóica alterada ). (iii) Para la tercera serie teemos, lím a l lím ä ç / lím lím (dode hemos tratado la sucesió como ua fució). Para estudiar el crecimieto de a f() recurrimos a la fució f(x) l x x y estudiamos su crecimieto a partir de su derivada, f (x) x x l x x l x x teiedo e cueta que la fució f(x) será decreciete allí dode su derivada f (x) sea egativa, resulta: f (x) < l x x < l x< < l x x>e Luego la sucesió a será decreciete para 3, lo que sigifica que al elimiar los dos primeros térmios de la serie, se cumple las codicioes de Leibiz. Por lo tato, 3 a covergete a covergete Teorema 7.6 (Suma de la serie alterada). La suma de la serie alterada es siempre meor que su primer térmio. S a

40 36 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Teorema 7.7 (El error e la serie alterada). Si tomamos como aproximació de la suma total de ua serie alterada ua suma parcial, etoces el error que cometemos e esta aproximació, e valor absoluto, es meor que el primer térmio que o se suma. S S R <a + Demostració. E efecto, la serie alterada la podemos expresar de la siguiete forma ( ) + a [a a + a 3 ±a ] [a + a + + ] co lo cual, si tomamos como valor aproximado de la suma total, la suma parcial ( ) + a S S a a + a 3 ±a el error que cometemos e la aproximació vedrá dado por R a + a + + pero este error es, a su vez, ua serie alterada cuya suma será meor que su primer térmio. Es decir R a + a + + <a + Ejemplo 7.3. Probar que la serie armóica alterada es covergete y dar ua estimació de su suma co u error meor que, Solució. La serie armóica alterada viee defiida por: ( ) Su covergecia se ha visto e el Ejemplo 7.3, elapágia 34, dode se vio que lím a lím +> + < a + < a a luego la serie es covergete. Para estimar su suma, co el error requerido; e primer lugar, debemos determiar cuátos térmios hemos de sumar. Para ello determiamos el valor de, a partir del error permitido. Teiedo e cueta que el error

41 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 37 e la serie alterada viee determiado por el primer térmioosumado, resulta: R a + <, + < +> >9 E cosecuecia, la estimació de la suma, co u error meor que, es S S , Series de térmios de sigo cualesquiera Defiició 7.8 (Covergecia absoluta). Ua serie se dice que es absolutamete covergete si la serie formada por los valores absolutos de sus térmios es covergete. a absolutamete covergete a covergete Defiició 7.9 (Covergecia codicioal). Ua serie se dice que es codicioalmete covergete si ella es covergete pero la serie formada por los valores absolutos de sus térmios es divergete. a codicioalmete covergete a covergete a divergete Ejemplo 7.3. Estudiar la covergecia absoluta y codicioal de las siguietes series: a) ; b) Solució. Ambas series so alteradas y cumple las codicioes de Leibitz, luego so covergetes. Ahora bie, si costruimos las series formadas co los valores absolutos de sus térmios, resulta: a) a que es ua serie geométrica covergete (r /). Y, e cosecuecia, la serie es absolutamete covergete (porque la serie formada co los valores absolutos de sus térmios es covergete). Mietras que, para la otra serie teemos: b) a que es la serie armóica divergete. Luego, la serie es codicioalmete covergete, porque ella es covergete, pero la serie formada co los valores absolutos de sus térmios es divergete.

42 38 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Teorema 7.8 (Criterio de la covergecia absoluta). Si ua serie es absolutamete covergete, etoces es covergete. a covergete Demostració. E geeral, teemos que: a + a a a covergete E cosecuecia, aplicado el criterio de comparació, para series de térmios o egativos, podemos afirmar que a Cov. a + a Cov. Ahora bie, teiedo e cueta que a siempre se puede expresar de la forma a a + a a, resulta a a + a a a + a a Y, e cosecuecia, teemos a Cov. a + a Cov. a Cov. ya que È a,sería la diferecia de dos series covergetes. Nota: Este criterio es valido para todo tipo de series, icluidas las alteradas. Si ua serie de térmios positivos es covergete, etoces podemos cambiar de sigo todos los térmios que queramos, y la ueva serie sigue siedo covergete. La covergecia absoluta permite estudiar la covergecia de ua serie de térmios cualesquiera, pero o la divergecia. Al estudiar la covergecia absoluta, se está estudiado ua serie de térmios positivos (o egativos) y, por tato, se le puede aplicar todos los criterios de covergecias de las series de térmios positivos. Así, È È si a es ua serie que tiee térmios positivos ytérmios egativos, resulta que a a sólo le puedo aplicar el criterio del térmio geeral È para la divergecia; o bie, el criterio de Leibiz, si fuera alterada; mietras que a a le puedo aplicar todos los criterios de covergecia de las series de térmios o egativos. Así pues, si È a es divergete, etoces, las posibilidades de estudio de È a so míimas. Reordeació de térmios Teorema 7.9 (Reordeació de térmios). Si ua serie es absolutamete covergete, etoces la serie obteida después de cualquier reordeació de sus térmios tambié coverge absolutamete y tiee la misma suma. Es decir, la suma de ua serie absolutamete covergete o se altera por ua reordeació de sus térmios. Si la serie coverge sólo codicioalmete, etoces al reordear sus térmios la suma de la serie puede cambiar. E particular, reordeado los térmios de ua serie codicioalmete covergete se puede trasformar e divergete.

43 7.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 39 Teorema 7. (Teorema de Dirichlet). Ua serie es absolutamete covergete si y sólo si su suma o varía ate cualquier reordeació de sus térmios. Teorema 7. (Teorema de Riema). Se puede alterar el orde de los térmios de ua serie codicioalmete covergete, de modo que la serie sume lo que queramos. Ejemplo Estudiar la covergecia absoluta de las siguietes series: (i) cos (ii) ( )! (iii) ( ) l Solució. Se trata de series co térmios positivos y egativos. Aplicado el criterio de la covergecia absoluta, resulta que la serie de los valores absolutos es ua serie de térmios o egativos y e cosecuecia se le puede aplicar todos los criterios de covergecia. (i) Para la primera serie teemos: a cos cos luego, por el criterio de comparació, la serie dada es absolutamete covergete y, por tato, ella es covergete. (ii) Para la seguda serie teemos: a! de dode, aplicado el criterio del cociete, resulta: a + lím lím a + ( +)! :! lím +! ( +)! lím 3 + < luego, por el criterio del cociete, la serie dada es absolutamete covergete, y por tato ella es covergete. (iii) Para la tercera serie teemos, a l 3 Teiedo e cueta que l <resulta la desigualdad: a l 3 < 3 luego, aplicado el criterio de comparació, la serie dada es absolutamete covergete, y por tato ella es covergete. Ejemplo Estudiar la covergecia absoluta de la siguiete serie: ( ) +

44 4 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Solució. El estudio de esta serie resulta más fácil si trasformamos su térmio geeral, multiplicado y dividiedo por el cojugado del deomiador, co lo cual resulta: ( ) + ( ) + ++ ( ) ++ Co lo cual teemos: a ++ Y para estudiar la covergecia de esta serie buscamos ua serie coocida que os sirva de comparació. Para valores grades de podemos esperar que los siguietes ifiitésimos sea del mismo orde: Y como la serie armóica a ++ diverge, etoces, aplicado el criterio de comparació de ifiitésimos, tambié diverge la serie formada por los valores absolutos de los térmios de la serie dada. No obstate, el proceso ecesita de la siguiete comprobació: a lím lím b ++ : lím ++ Estudiemos su covergecia codicioal. Se trata de ua serie alterada, luego podemos aplicarle el criterio de Leibiz, lím a lím < ++ + > a > a + a Luego la serie es covergete y, por tato, codicioalmete covergete Aplicació del criterio de D Alembert al cálculo de límite de sucesioes El criterio del cociete proporcioa u método idirecto para el cálculo de límites de sucesioes. Teorema 7.. Sea {a } ua sucesió cuyos térmios so todos positivos (o al meos desde u lugar e adelate). Etoces, a + lím lím a a + a < lím a > lím a +

45 7.4. SUMA DE SERIES 4 Demostració. Cosideremos la serie, de térmios positivos, È a. Aplicado el criterio del cociete y el del térmio geeral, resulta a + lím a Por otro lado, si < a Cov. lím a a + lím l> a Etoces, siempre será posible ecotrar u úmero r tal que l>r>, de maera que, para suficietemete grade ( k), se tega a + >r a De dode, a k+ >ra k a k+ >ra k+ >r a k a k+3 >ra k+ >r 3 a k. a >ra >r k a k de dode, al ser k fijo y r>, resulta, lím a > lím r k a k a k lím r k + Luego lím a +. 3 Ejemplo Calcular lím! Solució. Aplicado el criterio del cociete, resulta lím 3 + ( +)! : 3! lím 3 +! 3 ( +)! lím 3 3 < lím +! Ejercicios propuestos de la secció 7.3. Criterios de covergecia Suma de series Solucioes e la págia 6 Lo ormal es que o exista u procedimieto para calcular el valor exacto de la suma de ua serie y tegamos que coformaros co u valor aproximadodelasuma,sumadolosprimerostérmios de la serie. Si embargo podemos itetar calcular el valor exacto de la suma de la serie utilizado los siguietes procedimietos:

46 4 CAPÍTULO 7. SERIES NUMÉRICAS Aplicado la defiició Ya se vio e la secció 7.., elapágia 6. S lím S Ejemplo Calcular ( +) + Solució. Aplicado la defiició, resulta S 3 4 S S S ( +) ( +) + ( +) Para que sea S ( +) ( +), tedrá quesers + ( +) ( +) E efecto, S + S + a + + ( +) + +3 ( +) ( +) ( +)( +4 +4)+ +3 ( +) ( +) ( +) ( +) ( +) ( +) ( +) ( +4 +3) ( +) ( +) ( +) ( +) ( +) ( +) luego la expresió supuesta para S es correcta. E cosecuecia, S lím S ( +) lím ( +) lím Series geométricas Ya se vio e la secció??, elapágia??. k a r a rk r si r < ( +) (el umerador de la fracció es el primer térmio de la serie)