Sesión 8 Series numéricas III

Transcripción

1 Sesió 8 Series uméricas III

2 Defiició Serie de Potecias Si a 0, a, a,, a so úmeros reales y x es ua variable, ua expresió de la forma a x, se llama Serie de Potecias. Lo abreviaremos co SP. Alguos ejemplos so: () () 0 0 x! (3) 0 x 0 + x! + x! + x3 3! + x x + x x x + x + x 3 + Dada ua SP, para cada valor de x teemos ua serie umérica, que puede ser, covergete o divergete. Por ejemplo, la SP (3), es la Serie Geométrica, para x es ua serie covergete: Por el cotrario, si e la misma SP (3) hacemos x, obteemos ua serie divergete: 0 Observa que dos series de potecias a x y b x difiere úicamete por sus coeficietes a y b La SP () para x es la serie armóica alterada, que es ua serie covergete, y para x es la serie armóica, que es divergete. Vamos a determiar para que valores de x coverge ua SP, es decir: Dada la SP a x queremos averiguar los valores de x que la hace ua serie umérica covergete.

3 *Se trata de desarrollo de McLauri de l + x, ver desarrollos de Taylor II, pagia 4. Ejemplo La SP: 0 + e x + e x + 3 e x e 3 x 3 + Solo coverge para x 0, porque, para cualquier x 0, existe k N, tal que si > k: + e x > Ejemplo La SP: 0 + e x, si x 0. 0 x k k! + x! + x! + x3 3! + Coverge para cualquier valor de x, porque para cualquier x, existe k N, tal que si > k: x! <. Ejemplo 3 La SP: Coverge para x, *. 0 x x x + x3 3 x4 4 Los tres ejemplos ateriores os ayuda a ituir el siguiete Teorema. Teorema I (Del Itervalo de Covergecia de ua SP) Dada ua Serie de Potecias a x, solo puede ocurrir ua de las siguietes tres posibilidades: I) La serie coverge úicamete si x 0. II) La serie coverge para cualquier x R. III) Existe R R, R > 0, tal que la serie coverge absolutamete para x < R y diverge para x > R. E el caso III) si x R, la serie puede ser divergete o covergete, igualmete si x R.

4 Defiició (Radio de Covergecia) Segú el teorema aterior la covergecia de la SP a x preseta dos casos extremos, e x 0, o para todo x R. Si la SP coverge solo para x 0, decimos que su radio de covergecia es cero. Si la SP coverge para todo x R, decimos que su radio de covergecia es ifiito. Si la SP coverge absolutamete para x < R y diverge para x > R, dode R > 0, decimos que su radio de covergecia es R. Teorema II (Calculo del Radio de Covergecia de ua SP) Dada ua Serie de Potecias a x, co a 0, si existe: Etoces si: β 0, R. β R 0. β R + R β. β a (*) NOTA E el teorema aterior hemos usado el criterio de la raíz para determiar R, tambié podemos usar el criterio del cociete (los dos criterios so similares): a α + (**) a Y e este caso, si α 0, etoces R, si α, etoces R 0, y si α R +, etoces R α.

5 Ejemplo 4 Vamos a demostrar que las siguietes tres SP tiee R : i ii iii x i x 0, ii 0, a, a + α x 0, a, a + α + + R. x 0, a, a + α + + R. x 0, iii 0 x a + a R. a + a + a + a Ejemplo 5 Vamos a estudiar la covergecia e x y x de las tres SP del ejemplo 4: i 0 Si x teemos ua serie geométrica de razó r, luego, diverge. E x es tambié divergete. x x ii 0 Si x teemos la serie armóica, que es divergete. Si x obteemos la serie armóica alterada que es covergete. iii 0 Si x teemos la serie armóica geeralizada que es covergete e x (ver ejercicio de la sesió Ejercicios Series II). Si x, teemos ua serie alterada de térmios positivos, es fácil ver que coverge usado el criterio de Leibiz.

6 P) Halla el radio de covergecia de las SP y estudia el comportamieto e los extremos: (i) x (ii) x (iii) x Para calcular el radio de covergecia R de la serie de potecias (SP) a x : Criterio de la raíz: R ; Criterio del cociete: R a ; a + a (i) x a, aplicamos el criterio de la raíz: R a R ; e los extremos hacemos x ±. x : Teemos la serie que es divergete porque el térmio geeral o tiede a 0: a 0 x : Teemos la serie ( ) que es divergete porque el térmio geeral o tiede a 0: a ( ) 0

7 (ii) x ; a ; Criterio de la raíz: R a 0 (iii) x ; a Criterio de la raíz: R a ;e los extremos hacemos x ± x : x que coverge (armóica geeralizada) x : x (Serie alterada, por Leibiz coverge)

8 P6) Halla el radio de covergecia y estudia el comportamieto e los extremos de la SP: Usamos el criterio del cociete co a!!! x. Etoces a! + (+)! +! R a + ( + )! +! +! a +! +!!!!!! Dividimos etre el umerador y el deomiador de la fracció: R ; Para x ±4 las series!! 4 y!! 4 diverge Porque el térmio geeral o tiede a cero.

9 P extra) Escribe p x 3x 4 + 7x x + 33x e potecias de x +. Si tomamos e cueta que la fució p x es 5 veces difereciable, el desarrollo de Taylor para p(x) de orde 4 alrededor de a es: p x p + p! x + + p ( )! x + + p ( ) 3! x p IV ( ) 4! x + 4 p x 3x 4 + 7x x + 33x p 4 p x x 3 + 5x + 70x + 33 p p x 36x + 0x + 70 p 0 p (x) 7x + 0 p ( ) 4 p IV (x) 7 p (IV) ( ) 7 p V (x) 0 p (V) ( ) 0 Sustituyedo estos valores obteemos que: p x 4 + x x + 7 x x + 4