valor absoluto de sus términos, se tiene la serie: que si es convergente, entonces también es convergente la serie alternada.

Transcripción

1 (Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CONVERGENCIA ABSOLUTA TEOREMA. Si e la serie alterada ( ) valor absoluto de sus térmios, se tiee la serie: a + a + + a + a se toma el = que si es covergete, etoces tambié es covergete la serie alterada. DEFINICIÓN. La serie a es absolutamete covergete si = la serie que resulta de tomar el valor absoluto de cada térmio es covergete. DEFINICIÓN. La serie a es codicioalmete = covergete si, por u lado, la serie es covergete, pero la serie costruida co el valor absoluto de sus térmios, esto es, = a Si la serie, es divergete. a es de térmios positivos, etoces a = a = y e este caso, covergecia absoluta es lo mismo que covergecia. Ejemplo. Determiar si las siguietes series so absolutamete covergetes: i) ( ) = + + = 4 + ii) ( ) = =

2 Ejemplo. Ivestigar la aturaleza de la serie π cos = Solució Si se desarrolla la serie co alguos de sus térmios, se tiee: π π 4π 5π 7π cos cos cos cos cos cosπ cos π = = Se aaliza co los valores absolutos de sus térmios y: π cos =

3 Como se sabe, para todo " " etero positivo se cumple π cos π que cos y además. La serie es = ua serie " p " co p = > por lo que es covergete y, como domia por el criterio de la comparació, etoces la π cos serie es covergete y se cocluye que la serie = e estudio es absolutamete covergete y por lo tato, covergete. Ejemplo. Ivestigar si la serie armóica alterada es absolutamete covergete, codicioalmete covergete o divergete. TEOREMA. PRUEBA DE LA RAÍZ. Sea la serie a de térmios = positivos o alterada y supógase que lim a = L Etoces: i) L< a es covergete = = ii) L> o a es divergete iii) L = el criterio o decide

4 4 Ejemplo. Utilizar el criterio de la raíz para determiar la aturaleza de las siguietes series: 4 i) ; ii) = 8 + = 5+ + iii) + ; iv) = 4 = ( )

5 TEOREMA. PRUEBA DEL COCIENTE (D ALEMBERT). Sea ua serie que Etoces: a de térmios positivos o alterada y supógase = = lim a + a = M i) M< a es covergete ii) M> o a es divergete = iii) M = el criterio o decide 5 Ejemplo. Ivestigar la aturaleza de las siguietes series a partir del criterio del cociete: + i) ( ) ; ii)! = = = = ( ) iii) ; iv) ( )! +

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7 SERIES DE POTENCIAS 7 E diversas aplicacioes so de importacia y trascedecia las series ifiitas cuyos térmios cotiee ua o más variables, como es el siguiete caso: DEFINICIÓN. Sea " " ua variable del campo de los reales. Etoces ua serie de la forma: a a a a a = = se deomia serie de potecias e Para simplificar el térmio geeral se asume que =, au e el caso de que =. Es evidete que e ua serie de potecias lo que se pretede es determiar los valores de la variable " " para los cuales la serie es covergete. Lo primero que se observa, de acuerdo co la defiició aterior, es que la serie de potecias es covergete cuado =. Para determiar los demás valores de " " dode la serie es covergete, se utilizará básicamete el Criterio del cociete tratado co aterioridad. TEOREMA. Sea ua serie de potecias = a. Etoces: i) La serie es covergete solamete para =. ii) La serie es absolutamete covergete para todo valor real de " ", esto es, e. iii) Eiste u valor positivo " r ", llamado radio de covergecia, tal que la serie es absolutamete covergete si < r, esto es, si r < < r (itervalo de covergecia), y divergete si > r, es decir, si < r > r Como se observa e la tesis de este teorema, el cetro del itervalo de covergecia es el orige, esto es, =, y el

8 radio de covergecia es, e el caso ( ) caso ( ii ) tiede a ifiito; y e el caso ( ) covergecia es " r ". i, igual a cero; e el iii, el radio de Tambié se puede dar el caso e que el cetro del itervalo de covergecia sea otro valor diferete de cero. DEFINICIÓN. Sea c. Etoces ua serie de la forma: a ( c) = a + a( c) + a( c) + + a ( c) + = se deomia serie de potecias e c Tambié e esta serie se asume que ( c) caso de que = c. 8 =, aú e el. = TEOREMA. Sea ua serie de potecias a ( c) Etoces: i) La serie es covergete solamete para c=, esto es, si = c. ii) La serie es absolutamete covergete para todo valor real de " ", esto es, e. iii) Eiste u valor positivo " r ", llamado radio de covergecia, tal que la serie es absolutamete covergete si c < r, esto es, si c r < < c+ r (itervalo de covergecia), y divergete si c > r, es decir, si < c r > c+ r Ejemplo. Determiar los valores de " " para los cuales la serie de potecias siguiete es absolutamete covergete: =!

9 9 Ejemplo. Determiar el radio y el itervalo de covergecia, así como los valores de " " dode la siguiete serie diverge: + ( ) =

10 Ejemplo. Aalizar la aturaleza de la siguiete serie de potecias: + = Ejemplo. Ivestigar la covergecia o divergecia de la siguiete serie de potecias: =! =

11 Ejemplo. Determiar el itervalo y el radio de covergecia, así como los valores de " " dode la serie de potecias siguiete es divergete: = ( ) + Ejemplo. Estudiar la aturaleza de la serie de potecias: ( ) ( 4 ) + =

12 SERIES DE POTENCIAS COMO REPRESENTACIONES DE FUNCIONES Ua determiada fució puede ser represetada mediate ua serie de potecias y es evidete que el domiio de la fució así represetada es el itervalo de covergecia de a, etoces, = = la serie. Si la serie de potecias es ( ) ; ( ) f = a f = a + a+ a + + a + luego, cuado se pretede calcular el valor de la fució e u valor c de su domiio, bastará co sustituirlo e la serie de potecias y se tedrá u valor aproimado de la fució. Ejemplo. Cosidérese la serie geométrica + ( ) Su razó es r = y a =. Como se sabe, si <, la serie es covergete y tiee como suma a: a S = = = r ( ) +, por lo que se puede escribir que ( ) + = ; Etoces, como se ve, se trata de ua serie de potecias que represeta a la fució, esto es, f( ) = = ( ) si + < = Tambié es posible derivar o itegrar estas series de potecias, lo que coduce a otras fucioes represetadas por uevas series. La derivada o la itegral de ua fució es a su vez otra fució cuyo domiio es el mismo que el de la fució origial; es lógico que esto sucede tambié e el caso de las series que represeta a la fució y a sus derivadas e itegrales. Véase el siguiete teorema.

13 TEOREMA. Sea ua serie de potecias a co u radio = de covergecia o ulo " r " y sea la fució " f " defiida por: = ( ) f = a = a + a+ a + + a + para toda " " e el itervalo de covergecia. Si r < < r, etoces: i) f' ( ) = a = a+ a + a + + a + = a + + () = + + ii) f t dt = = a + a + a + + a + Se puede probar que ambas series de potecias tiee el mismo radio de covergecia que a. = Nota. El radio de covergecia de la serie de potecias resultate de la derivació o de la itegració es el mismo, pero el itervalo puede diferir e sus etremos. Ejemplo. Obteer ua serie de potecias para represetar a la fució: f( ) = si < ( ) Además, utilizar los primeros doce térmios de la serie de potecias obteida para evaluarla e = y comparar el resultado co el valor eacto.

14 4 Ejemplo. Sea la fució siguiete y su serie de potecias: f( ) = = = Defiir las series de potecias que represeta a las siguietes fucioes y determiar sus respectivos itervalos de covergecia: i) f( ) ; ii) f' ( ) ; iii) f( ) d Solució i) f( ) = = = Se utiliza el criterio del cociete para determiar el itervalo de covergecia y, + + a+ lim lim = + = lim = lim = ( a + ) + < < < covergecia absoluta > < > divergecia

15 = = o hay iformació = ( ) = = = ( ) = = = alterada covergete = = = = = = Etoces el itervalo de covergecia es, ) ii) f '( ) = = = = = a+ lim lim a = = serie armóica serie armóica divergete < < < covergecia absoluta > < > divergecia = = = o hay iformació ( ) ( ) = = = divergete = = = = = = = divergete Luego el itervalo de covergecia de esta serie de, potecias es ( ) iii) f ( ) d = = = ( + ) 6 ( + ) ( )( ) ( + ) ( ) ( + )( + ) + a+ lim = lim = lim a = lim = + + 5

16 < < < covergecia absoluta > < > divergecia = = = o hay iformació = + + ( ) = ( ) = + = ( + ) + = ( ) = + + = ( + ) 6 lim = ( + ) y + f( y) = f' ( y) = < y y + y ( y + y) covergete = + + = = ( ) ( ) ( ) = = = = que es ua serie telescópica y por lo tato covergete. Luego el itervalo de covergecia de la serie de potecias es, Queda comprobado que el radio de covergecia es el mismo, pero el itervalo varía e sus etremos. 6 TEOREMA. SERIE DE TAYLOR Sea " " f ua fució tal que f( ) = a ( c) para toda = " " e u itervalo abierto que cotiee a " c ". Etoces es posible costruir la serie ( f'' ( c) ) f ( c) f( ) = f( c) + f' ( c)( c) + ( c ) + + ( c ) +!! f e ' c '. que se cooce como Serie de Taylor para ( )

17 7 COROLARIO. SERIE DE MACLAURIN Sea " f " ua fució tal que f ( ) = a para toda " " e rr,, etoces se costruye la serie u itervalo abierto ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) = + f'' f + + +!! + f. f f f que se cooce como Serie de Maclauri para ( ) Nota. Para aalizar la covergecia e ambas series, se puede utilizar el criterio del cociete o de D Alembert. Ejemplo. Obteer la serie de Maclauri para las fucioes f( ) = se y f( ) = cos y probar que represeta a las fucioes para todo valor real de " ". Mecioar cómo se haría utilizado derivació e itegració de series de potecias.

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19 Ejemplo. Obteer el valor de (.) se mediate la serie de Maclauri y estimar el error que se comete si para ello se utiliza sus dos primeros térmios. Solució La serie ya obteida es: se = ( ) +! 5! 7! ( + )! Se sustituye " " por el valor de. y se llega a:.. se (.) =. + 6 Como se sabe, el error que se comete al usar los primeros dos térmios, y su suma como aproimació, es meor que.. Por lo que el valor aproimado de se (.), co 6 cifras decimales de eactitud, es de.998 Resulta iteresate epresar que es factible utilizar la fórmula poliomial se = dode el error que se comete es 6 meor que 5. 5! Ejemplo. Obteer la serie de potecias de Maclauri para represetar a las fucioes: i) f = cos ; ii) f = se ( ) ( ) 9

20 Ejemplo. Obteer la serie de Taylor para represetar a la π fució f( ) = se e potecias de. 6 Solució Al derivar y sustituir se tiee que: π f( ) = se f = 6 π f' ( ) = cos f' = 6 π f'' ( ) = se f'' = 6 π f''' ( ) = cos f''' = 6 de dode 4 π π π se = + 6 (! ) 6 + (! ) 6 El térmio geeral de esta serie está dado por: π ( ) si,,4.6,...! 6 = u = π ( ) si =,,5,7,...! 6 Se puede probar que esta serie de potecias de Taylor represeta a la fució para todo valor real de " ".

21 EJEMPLO. Utilizar la serie de Maclauri para aproimar a cuatro cifras decimales la itegral: se d Solució Aquí se pude ver ua gra utilidad de las series de potecias como represetacioes de fucioes, ya que la fució del itegrado o es itegrable por los métodos tradicioales de itegració. Y resulta secillo itegrar los térmios de la serie de potecias que la represeta. Para obteer la serie de Maclauri para la fució se bastará co sustituir, e la serie que represeta a se, a la " " por " ". Así, se = ( ) +! 5! 7! 9!! ( + )! se = ( ) +! 5! 7! 9!! ( + )! 6 4 se d = + + d! 5! 7! 7 5 se d = Si se utiliza los primeros tres térmios se obtiee se d = El cuarto térmio es igual a Como el error que se comete al tomar los primeros tres térmios es meor que el cuarto térmio, etoces la itegral pedida es eacta e sus cuatro primero térmios como: se d =.

22 Ejemplo. Obteer la serie de Taylor para la fució f( ) = + cetrada e c = y decir para qué valores de " " la represeta. Solució Se obtiee las derivadas respectivas y se sustituye e ellas el valor de c =. f( ) = f() = + f' ( ) = f' () = + 4 ( ) f'' ( ) = f'' () = 8 ( + ) 6 6 f''' ( ) = f''' 4 () = 6 ( + ) ( iv ) 4 ( iv ( ) ) 4 f = f 5 () = ( + ) ( v ) ( v ( ) ) f = f 6 () = 64 ( + ) Ahora se sustituye los valores obteidos e la serie de Taylor y se llega a: ( ( ) ) f'' f ( ) = f() + f' ()( ) + ( ) + + ( ) + +!! = ( ) + ( ) ( ) + ( ) + 4 8! 6! 4!! + ( ) ( + ) +! ( ) ( ) ( ) ( ) 4 + = ( ) ( + ) + = ( ) ( + ) + =

23 Se aplica el Criterio de la razó y se obtiee: + ( ) + + a + ( ) + lim = lim = lim = lim = a + ( ) ( ) + < < < < < < covergete > > < > < > divergete = = = = = = = ( ) ( ) = divergete + = = = ( ) ( ) = ( ) divergete + = = f = + cetrada e c = es e + Por lo tato, la fució ( ) represetada por la serie de potecias ( ) ( ) el itervalo (, ). =