GUIA DE ESTUDIO Nro 1

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1 MATERIA: MATEMÁTICA I CURSO: I AÑO EJE ESTRUCTURAL I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA GRUPOS CONCEPTUALES: - Epresioes algebraicas. Poliomios. - Ecuacioes. Iecuacioes. TEMARIO: GUIA DE ESTUDIO Nro -TEMA : Epresioes algebraicas. Poliomios. Defiició. Algoritmo de la divisió. Teorema del Resto. Divisió sitética. Raíces Racioales. Teorema de Gauss. -TEMA : Ecuacioes. Iecuacioes. Ecuacioes lieales e ua variable. Ecuacioes cuadráticas. Ecuacioes algebraicas fraccioarias. Ecuacioes irracioales. Ecuacioes co valor absoluto. Iecuacioes de primer grado, de segudo grado e iecuacioes co valor absoluto.. INTRODUCCION: a. Orietació geeral: La presete guía de Estudio complemeta el desarrollo de los coteidos tratados e clase. Preseta u resume de los pricipales aspectos teóricos y ua selecció cometada y resuelta de ejemplos. Ua autoevaluació al fial de la Guía permite que el cadete pueda evaluar sus coocimietos respecto del cojuto de temas estudiados. Mapa Coceptual Epresioes Algebraicas Racioales Irracioales Eteras o Poliomios Fraccioarias Operacioes Ecuacioes e iecuacioes Algoritmos de la divisió Divisió sitética T. del Resto Factorizació T. de Gauss

2 b. Bibliografía: Nro CONTENIDOS Y TEMAS Epresioes algebraicas. Poliomios Ecuacioes e iecuacioes FUENTE BIBLIOGRÁFICA Haeussler, Paul, E.F.,Richard, S.P. Matemática para Admiistració, Ecoomía, Cs. Sociales y de la Vida Editorial Pretice may 8ª Ed. Méico 997 Capítulo 0 parágrafos 0.6 y sig Haeussler, Paul, E.F.,Richard, S.P. Matemática para Admiistració, Ecoomía, Cs. Sociales y de la Vida Editorial Pretice may 8ª Ed. Méico 997 Capítulo Alledoerfer - Oakley Matemáticas Uiversitarias Editorial. Mc Graw Hill Cap. 6 y 7 (Se ecuetra e la biblioteca del CMN ).. DESARROLLO: a. Tema : Poliomios U poliomio de grado es ua epresió de la forma : P(= a i i= 0 térmio idepediete. i dode a i R, N o. Además, a es el coeficiete pricipal (o ulo) y a 0 es el Desarrollado: P( = a0 + a + a + + a + a co a 0 O bie: P( = a + a + + a + a + a0 co a 0 De acuerdo a la defiició, so poliomios: P ( ) 6 = + 7 de segudo grado. P ( = + de primer grado. P de grado cero o poliomio costate. ( ) 6 4 ( 6 = P = + de cuarto grado. 4 Por el cotrario, las epresioes: o so poliomios, ya que e la primera epresió el epoete N 0 y e la seguda epresió el epoete - N 0. Sea P(= a + a a + a +a 0 co a 0 Si P ( = 0, etoces obteemos la ecuació poliómica: a + a a + a +a 0 = 0 Segú lo aterior, so ecuacioes poliómicas: + = = = 0

3 Los valores de la variable, que satisface cada ecuació, se deomia raíces de esa ecuació. Los siguietes teoremas muestra alguos procedimietos que os permite calcular (cuado sea posible) las raíces de ua ecuació poliómica P ( = 0 Teorema: Algoritmo de la divisió. Dados dos poliomios P( y S( siedo S( o ulo, eiste y so úicos dos poliomios Q( y R( que verifica: i) P( = S(. Q( + R( ii) R( = 0 o bie grado de R( < grado de S(. Los poliomios P( y S( se deomia, respectivamete, dividedo y divisor. Los poliomios Q( y R( so, respectivamete, el cociete y el resto de dividir P( por S(. Importate: grado de Q( = grado de P( - grado de S(. Ejemplo 4 Calcule Q( y R( si P ( = y S ( = E este caso: P( = Q( = R( = S( = grado de S( = grado de R( = 0 grado de P( = 4 grado de Q( = Observe que el grado de Q( = grado de P( grado de S(). Cuado R( = 0 resulta P( = S( Q(. Luego, la divisió es eacta. E tal caso decimos que S( y Q( so los factores de P(. O bie, que S( y Q( so los divisores de P(. Ejemplo Sea P ( = + + y S ( = +. Calcule P(:S( y verifique que su resultado es: Q(= + 7 co resto R( = 0. (Tarea para el cadete).

4 ( ) ( ) Q = + 7 R = 0 Luego P( = S( Q(. O sea, + + = ( + 7) ( + ) Por lo que ( + 7) y ( + ) so factores de + +. Podemos cocluir que: si R ( = 0, etoces P( se puede factorizar como S(.Q( o, lo que es lo mismo, la divisió de P( por S( es eacta. Es por lo tato útil coocer el resto de la divisió de P( por S(. El siguiete teorema brida ua maera rápida de coocer el resto de la divisió de P( por S( para el caso e que S( = a. Teorema del resto El resto R( que se obtiee al dividir P( por S( = a, es R( =P(a). Ejemplo Calcule el resto al dividir P ( = por S( = - R ( = P() = () + 5() 8 = 4, luego el resto es R(=4 Ejemplo Factorice P ( = de la forma P( = ( + 4) Q( Como P ( 4) = ( 4) ( 4) + 0( 4) + 88 = 0 Etoces la divisió es eacta. Compruebe que la divisió da por resultado: + 7 (Tarea para el cadete) Luego = ( + 4) ( + 7). El siguiete teorema os permite ecotrar raíces de ecuacioes poliómicas, si coocemos factores del poliomio, o factorizar (trasformar e producto) si coocemos las raíces. Teorema del factor Si P( es u poliomio de grado y si ( a) es u factor de P(, etoces a es ua raíz de P(. Además, si a es ua raíz de P(, ( a) es u factor de P(. Ejemplo Como ( ) ( ) = 5 + 6, etoces y so raíces del poliomio P ( = Ejemplo Factorice P ( si ; 5 y - so las raíces de P ( = 0 Por el teorema del factor: P( = a ( ) ( 5) ( + ) co a 0 Ejemplo Halle las raíces de P ( = 0, si P( = ( 5) ( 5

5 Para poder utilizar el teorema, cada factor debe epresarse de la forma P = 5 5 ( ( ) ( ) 5 P( = ( 0) P( = 0 ( 0) 5 5 Por lo tato, las raíces de P ( so 0; y. 5 a, por lo que P( es: Divisió sitética: se aplica cuado el divisor es u biomio de primer grado, de la forma S( = -a Este tipo de divisió se realiza aplicado la Regla de Ruffii. Es u procedimieto que se cooce co el ombre de regla de Ruffii, que permite obteer los coeficietes del cociete y el resto de la divisió etre u poliomio P ( y u biomio de la forma -a, si efectuar la operació habitual. = + + Ejemplo: Calcular el cociete y el resto de la divisió de P ( 8 por S ( = + La regla cosiste e lo siguiete: (a) E ua fila se escribe los coeficietes del dividedo completo segú las potecias decrecietes de la variable. -8 (b) Se traza ua cruz, como idica la figura, y e el águlo izquierdo se escribe el opuesto del térmio idepediete del divisor (c) (d) E la tercera fila se obtiee los coeficietes del cociete, el primero de los cuales es el primero del dividedo Los restates coeficietes del cociete se obtiee multiplicado al aterior obteido por el úmero que figura e el águlo izquierdo y sumado este producto (que se coloca e la seguda fila), al correspodiete coeficiete de la primera fila. Así: (e) El último úmero así obteido es el resto. Nota: Como el grado del divisor es siempre uo, el grado del cociete será e ua uidad meor, que el del dividedo. El grado del resto es cero, es decir, se trata de ua costate, o bie es el poliomio ulo. Luego, e uestro ejemplo: Q ( = + ; R( = -0

6 Raíces racioales Ejemplo 4 Ecuetre las raíces de P ( = Hallado respectivamete los divisores de -9 y, ±, ±, ± 9 Divisores de -9 = { } Divisores de ={, } 9 ± ±, etoces las posibles raíces so: ±, ±, ± 9, ±, ±, ± Utilizaremos la divisió sitética para verificar cuáles de las ateriores so raíces de P(. Lo itetamos, por ejemplo, co el : Como el resto es cero, etoces P( = ( ) ( ) y es ua de las raíces de P(. Es claro que u factor de Q( es tambié u factor de P(, por tato ua raíz de Q( es tambié ua raíz de P(. Utilizaremos etoces Q( para obteer las otras raíces de P(. Como Q ( = tiee todos los coeficietes positivos, igú úmero positivo puede hacer Q(=0; esto es Q( o tiee raíces positivas. Cotiuado co el procedimieto teemos ahora : Como el resto es 4 0, - o es raíz. Eamiado u uevo valor, teemos: Como el resto es cero, etoces - es raíz y queda: P ( = ( )( + )( ) Por lo tato, - es tambié ua raíz. Auque podemos utilizar uevamete la divisió sitética co b ± b 4ac el poliomio + 7 +, al ser este cuadrático, usaremos la fórmula = para a ecotrar las raíces de = 0, dado que éste es u proceso rápido y secillo. 7± 49 4()() Luego = = 4 Co este último cálculo hemos ecotrado todas las raíces de P( que so: ; -; -; - Como - aparece dos veces, se llama raíz de multiplicidad. Por lo aterior, debemos utilizar como regla cotiuar el procedimieto de divisió sitética co ua misma raíz, hasta que el resto sea diferete de cero.

7 E el ejemplo dado, tega e cueta que a 0 = -9 es el térmio idepediete y a = es el coeficiete del térmio co el mayor epoete. Las raíces de P( puede obteerse de la maera idicada. Lo aterior puede geeralizarse mediate el siguiete teorema: Teorema Si P( = a a + a + a0 es u poliomio co coeficietes eteros, y si p / q es ua raíz racioal de P ( = 0, etoces p es divisor de a 0 y q es divisor de a. El teorema aterior o garatiza la eistecia de raíces racioales. De hecho, o todos los poliomios tiee raíces racioales. ± 5 Ejemplo: las raíces de + + = 0 so, que so úmeros irracioales. E los ejemplos aplicaremos el teorema para obteer las raíces racioales de u poliomio siempre y cuado éstas eista. Corolario Si P( = a a + a + a0 y a =, etoces las raíces racioales de P ( = 0 so úmeros eteros y dichas raíces so divisores de a 0. Ejemplo 4 Halle las raíces de P ( = Como a =, por el corolario, las raíces de P( debe ser úmeros eteros y además divisores de 8. Por tato las posibilidades so ±, ±, ± 4, ± 8. Aplicado la regla de Ruffii, lo itetamos co y después co -. E ambos casos se verifica que estos úmeros o so raíces. Luego y teemos: Luego es ua raíz y P ( = ( )( + 4 4). Cotiuado co el procedimieto, y teiedo e cueta lo dicho ateriormete, utilizaremos uevamete a como posible raíz Por lo que es uevamete ua raíz. Como el poliomio Q ( = + + es cuadrático, utilizaremos la fórmula coocida y señalada e el ejemplo 8, para ecotrar las otras raíces, así: + + = ( + )( + ) por lo que las raíces de P( so: de multiplicidad dos, -,- Luego, P( factorizado e fució de sus raíces es: P( = ( ) ( ) ( + ) ( + ) o bie, P( = ( ) ( + ) ( + )

8 b. Tema : ECUACIONES E INECUACIONES Ecuació: ua ecuació es ua igualdad que se satisface para alguos de los valores de la o las variables que e ella figura. Ejemplos + 5= + 5 = + = 5 + = La solució de ua ecuació es el cojuto S formado por los elemetos que verifica la ecuació. Se llama cojuto solució. Ecuacioes lieales o de primer grado, e ua variable Ua ecuació lieal e ua variable tiee la forma: a + b = 0 dode a y b so úmeros reales y a 0. Ecuacioes equivaletes Defiició: Dos o más ecuacioes so equivaletes si, y solamete si, tiee el mismo cojuto solució. La trasformació de ua ecuació e otra más secilla es resultado de la aplicació de ua serie de propiedades que permite epresar la ecuació iicial e ua equivalete. Estas propiedades so: Sumar y/o multiplicar a ambos miembros de ua ecuació ua misma epresió algebraica. Los siguietes ejemplos ilustra el uso de estas operacioes. Ejemplo Resuelva la ecuació 5 = 6. Primero, se suma 5 a ambos miembros: = resulta: = Después multiplicar por ambos miembros y se obtiee: = Nota: e todos los casos verifique el resultado obteido, reemplazádolo e la ecuació dada. E uestro caso:. 5 = 6 6 = 6 Verdadero Por cosiguiete el cojuto solució es S =

9 Ejemplo : Resuelva la ecuació 5 + = + 9 Se suma - e ambos miembros y se obtiee 5 = + 6 Se suma - e ambos miembros y se obtiee = 6 Fialmete se multiplica ambos miembros por y se obtiee: = Verificació: 5. + =. + 9 = Verdadero El cojuto solució es S = {} Ecuacioes cuadráticas o de segudo grado, e ua variable. So de la forma a + b + c = 0 co a 0 La fórmula b ± b 4ac = permite resolver esta clase de ecuacioes. a Ejemplo Resuelva: 48 = 0 ()( ) ( ) ± ( ) 4 48 = 8 = = () = 6 Verificació: Para = 8: = 0 0 = 0 Verdadero Para = -6: (-6) (-6) 48 = 0 0 = 0 Verdadero El cojuto solució es: S = {8; -6} Ejemplo : Resuelva: + = 0 Dode a =, b =, c = - Etoces + 5 = ± + 4 ± 5 = = = 5 = Verificació: se deja a cargo del cadete. El cojuto solució es: S = + 5 ; 5

10 Ejemplo : Resuelva: = 0 0 ± ( 0) 4..5 = { = = 5. La úica raíz que se ecuetra es 5. Se dice que es ua raíz doble o de multiplicidad dos. Verificació: se deja a cargo del cadete. El cojuto solució es: S = { 5 }. Ejemplo 4: Resuelva: = 0 4± 6 44 = 6 4± 6 48 = 6 4± = 6 Como R, o eiste raíces reales para la ecuació. Luego: S = {}. De acuerdo a los ejemplos ateriores, podemos cocluir que: Si b 4ac > 0, eiste dos raíces reales y distitas. Si b 4ac = 0, eiste ua sola raíz real ( doble o de multiplicidad dos). Si b 4ac < 0, o eiste raíces reales Ecuacioes fraccioarias U ejemplo de ecuació co fraccioes algebraicas es: 7 6 Ejemplo = 5 siedo 5 5 Que es ua ecuació de segudo grado. La resolvemos: 7( + ) 6 = = = = 5( ) 7 + = 5 o bie = = 0

11 7± ( 6) = 0 7± = 0 7+ = = 0 7 = = 0 5 Verificació: queda a cargo del cadete. El cojuto solució es: S = ; 5 Ejemplo Resuelva: 4 = sabiedo que ; pues aula los deomiadores. Realizado las operacioes idicadas, obteemos: ( + ) 4( + ) = ( + )( + ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) 8= ( + ) 8= = 6= 0 = El úmero - está ecluido desde el pricipio del ejercicio, por lo tato o perteece al cojuto solució. Se dice que - es ua solució etraña y se descarta. La verificació para = : 4 = = 5 5 = Verdadero 5 5 Luego S = {} Ecuacioes irracioales Ejemplo + 4 = co = + E este caso, para suprimir el radical elevamos ambos miembros al cuadrado, ( + 4) = ( +

12 Obteemos 4( + 4) = = + + 5= 0 = 5 = Si remplazamos e la ecuació iicial a la variable por 5 y luego por -, comprobamos que - es ua solució etraña y se descarta. Luego S = {5} Ejemplo + 7 = (coviee dejar e u miembro u solo radical) + = + 7 Elevamos al cuadrado ambos miembros para elimiar el radical del primer miembro ( + ) = (+ 7 + = (7 + = 4 7 Elevamos uevamete al cuadrado para elimiar el radical del segudo miembro ( + ) = ( 4 7 ) = 6(7 ) = = 0 O bie = +6 7 = 0 = 9 Al remplazar e la ecuació iicial el valor de por, vemos que efectivamete es ua solució de la ecuació, mietras que o sucede lo mismo co el valor = -9. E este caso = -9 es ua solució etraña y se descarta. Luego S = {} Ecuacioes co valor absoluto Ejemplo Resolver + 5 = 7 Por defiició de valor absoluto, resulta: + 5 = = -7 = = - = = -6 Luego: = { 6;}

13 Iecuacioes Sea, por ejemplo: ) > 0 ) 9 ) > 7 4) - 0 5) Observamos que teemos e cada epresió, ua desigualdad del tipo >,, < o e la variable. Epresioes como estas se deomia iecuacioes. Cómo resolverlas?. ) > 0. Multiplicamos ambos miembros por :. > 0. Resulta: > 5 = ( 5; + ) ) ( + ).( ) Luego: = ( ; ] [ ; + ) ) > 7 Resulta: > < -7 4 > - 4 < -5 5 > < 4 4 Luego: 5 = ; ; ) 0 Restamos 0 a ambos miembros: CUIDADO!!!. Recuerde que cuado a ambos miembros de ua desigualdad se los multiplica por u úmero egativo, la desigualdad cambia de setido. E uestro caso multiplicamos ambos miembros por. O sea:..

14 Luego: = ; 5) Resulta: Sumamos - a cada miembro de esta epresió: ( ) ( ) 0 + ( ) Multiplicamos por a cada miembro de la ueva epresió: O sea: Luego: = ; 5 5

15 AUTOEVALUACIÓN ) Sea W( = y T( = Se pide. -) Obtega las raíces de los poliomios. -) Eprese los poliomios factoreados e fució de sus raíces. ) Resuelva las ecuacioes: -) + = + + -) + = 4 9 ) Resuelva las iecuacioes y represete sobre la recta real, el cojuto solució: -) 4( + ) > 7 -) ) + 8. Respuestas de la autoevaluació -) Las raíces de W( so: 0; y - Las raíces de T( so: - (doble) y + + -) W( = ( ) T( = ( ) ( ) -) 7 7 = + ; -) = {}. Se descarta = 8 -) ( ;) -) [ ;] -) 0 ;