UNITAT 2. ÁLGEBRA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

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1 UNITAT. ÁLGEBRA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI U poliomio co idetermiada x es ua expresió de la forma: Los úmeros que acompaña a la icógita se llama coeficietes y so úmeros reales..la variable es la icógita. Los expoetes de x so úmeros aturales Cada uo de los sumados se llama térmio. Los poliomios compuestos de u solo térmio se llama moomios, de dos biomios, de tres triomios.. Llamamos moomios semejates a aquellos que tiee la misma variable y el mismo grado Grado de u moomio es el expoete de la icógita a que acompaña, y de u poliomio al mayor de los grados de los moomios que lo forma. Coeficiete pricipal de u poliomio es aquel que acompaña al térmio de mayor grado, y térmio idepediete es aquel que o lleva idetermiada (térmio de grado 0) Diremos que u poliomio es móico si su coeficiete pricipal es 1 Valor umérico de u poliomio es el resultado de sustituir la variable idepediete por u úmero. Las raíces de u poliomio so los úmeros para los que el valor umérico del poliomio es OPERACIONES. REGLA DE RUFFINI Suma/Resta: Para sumar o restar poliomios efectuamos la suma o resta de los moomios semejates, sumado/restado sus coeficietes Producto: El producto de dos moomios es otro moomio que tiee por coeficiete el producto de sus coeficietes, y, por grado, la suma de los grados. El producto de dos poliomios es otro poliomio que se obtiee multiplicado cada uo de los distitos térmios de uo de ellos (moomios) por el otro, realizado a cotiuació la suma de todos los poliomios obteidos Cociete: El cociete de dos moomios es otro que tiee por coeficiete el cociete de los coeficiete, y, por grado la diferecia de los grados Procedimieto para dividir poliomios. Regla de Ruffii Cuado el divisor es de la forma x-a, podemos abreviar la divisió co el procedimieto siguiete, 4 3 llamado Regla de Ruffii (E el ejemplo dividimos (5x 3x x 7x 3) : x 1 a) Colocamos, e horizotal los coeficietes, ordeados de mayor a meor b) A la izquierda, más abajo, colocamos a co el sigo cambiado c) Bajamos directamete el primer térmio del dividedo d) Multiplicamos a por cada térmio del cociete, y sumamos el resultado co el térmio siguiete del siguiete e) El cociete es u poliomio de u grado meor que el divisor. Sus coeficietes so los que obteemos tras este proceso, y el resto, el último úmero FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 1

2 Teorema del resto: El resto que obteemos al dividir u poliomio P( etre el biomio x-a es el valor umérico del poliomio para x = a Teorema del factor El poliomio P( es divisible etre el biomio x-a x=a es ua raíz de P( Factorizar u poliomio es descompoerlo como producto de poliomios más secillos. U poliomio co coeficietes reales puede factorizarse como producto de factores de primer y segudo grado Procedimieto para factorizar poliomios: a) Buscamos los divisores del térmio idepediete b) Probamos, co cada uo de ellos: utilizado Ruffii (o bie co por el teorema del factor). c) ua vez que hemos localizado ua raíz, debemos comprobar si ése úmero vuelve a ser raíz (raíz múltiple). Dicha comprobació la haremos e el poliomio cociete obteido d) A cotiuació probaremos co el siguiete divisor. *Cada vez que localizamos ua raíz el grado del uevo poliomio dismiuye e ua uidad BINOMIO DE NEWTON. NÚMEROS FACTORIAL Y COMBINATORIO Número factorial y combiatorio Se lee m sobre y se calcula como sigue: Biomio de Newto Es cualquier potecia atural de u fórmula: 0 Los coeficietes so los úmeros combiatorios 1 1 a b a a b... b biomio. Se calcula mediate la La potecia del primer térmio, a, del biomio comieza e y va bajado de 1 e 1 La potecia del segudo térmio b, va de 0 a subiedo de 1 e 1 Si e u biomio el sigo es + todos los térmios so positivos, si teemos u sigo meos, se va alterado los sigos + y Termio geeral del biomio de Newto a i i b i FRACCIONES ALGEBRAICAS. OPERACIONES. SIMPLIFICACIÓN Defiició Se llama fracció algebraica al cociete de dos poliomios. Co las fraccioes algebraicas se opera de forma aáloga a como se hace co las fraccioes uméricas. Así podemos obteer fraccioes equivaletes a ua dada dividiedo o multiplicado umerador y deomiador por u mismo poliomio Cuado los térmios de ua fracció algebraica o se puede dividir por u mismo poliomio diremos que dicha fracció es irreducible. E caso cotrario es reducible Simplificació El proceso por el que, a partir de ua fracció reducible, se obtiee ua irreducible equivalete recibe el ombre de simplificació.

3 Operacioes: Suma y resta Producto Cociete.-ECUACIONES.1.- ECUACIONES E IDENTIDADES Las expresioes uméricas o algebraicas (combiació de úmeros y letras ligadas por operacioes aritméticas) separadas por el sigo = recibe el ombre de igualdades. E ua igualdad etre dos expresioes algebraicas la parte situada a la izquierda del igual se llama primer miembro, y la parte de la derecha segudo miembro. Llamamos variables o icógitas a las catidades descoocidas. Las igualdades puede ser: - Idetidades: So ciertas para cualquier valor de la variable o variables que e ellas iterviee - Ecuacioes: Ta sólo se cumple para determiados valores determiados de la variable. A los valores de la variable/icógita que verifica la igualdad los llamamos solucioes o raíces de la ecuació. Resolver ua ecuació es obteer todas sus solucioes Existe varios criterios para clasificar las ecuacioes: - Por el úmero de icógitas - Por la aturaleza de las expresioes que las compoe *Las ecuacioes poliómicas se clasifica atediedo al grado del poliomio que las geera...-ecuaciones DE SEGUNDO GRADO Y BICUADRADAS Ecuacioes de segudo grado Ua ecuació de segudo grado co ua icógita es ua expresió del tipo: ax bx c 0 ; a 0 Ua ecuació de segudo grado se dice icompleta si le falta el térmio idepediete, el de 1r grado, o ambos. Resolució de ecuacioes icompletas. b Resolució de ua ecuació cualquiera Aplicado la fórmula: x b 4ac a El radicado b 4ac se llama discrimiate, y se represeta por. Si >0; la ecuació tiee dos solucioes o raíces reales y distitas b Si =0; la ecuació tiee ua solució o raíz doble: x a Si <0; la ecuació o tiee solucioes reales 3

4 Ecuacioes bicuadradas 4 So de la forma: ax bx c 0 ; a 0 Se resuelve haciedo u cambio de variable t= x y después se ha de deshacer el cambio, buscado su raíz cuadrada. Puede teer hasta 4 solucioes. Relacioes etre raíces y coeficietes (Cardao) - La suma de las raíces es igual al coeficiete de x cambiado de sigo - El producto es igual al térmio idepediete dividido por el coeficiete pricipal.3.- MÉTODO DE FACTORIZACIÓN Para coocer les solucioes de ua ecuació poliómica de cualquier grado habremos de factorizarla. Si coocemos ua solució r de la ecuació poliómica p(= 0, podemos factorizarla así: p(= (x-r) q(= 0 Las posibles raíces (o solucioes) eteras de ua ecuació poliómica so divisores del térmio idepediete, si tiee. Para ecotrar q( utilizaremos Ruffii..4.- ECUACIONES RACIONALES E IRRACIONALES Ua ecuació es racioal si la x aparece e el deomiador Los deomiadores algebraicos, al igual que los uméricos se suprime multiplicado por su mcm. De este modo se llega a ua ecuació que, probablemete se sabe resolver. A veces este proceso geera solucioes falsas. Por tato siempre que lo utilicemos, deberemos comprobar todas las solucioes Ua ecuació es irracioal si la icógita está bajo el sigo radical. El procedimieto para resolver la ecuació irracioal es: a) Aislamos el radical lo dejamos e u úico miembro b) Elevamos ambos miembros al ídice de la raíz. Si todavía queda algú radical repetiremos el proceso. c) Resolvemos la ecuació obteida (si radicales). d) Comprobamos la solució o solucioes.5.- ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES Ua ecuació es logarítmica si la icógita aparece afectada por u logaritmo. Ex: log (x+9)+log x=1 Para resolver estas ecuacioes, aplicamos las propiedades de los logaritmos hasta coseguir que cada térmio sea el logaritmo de ua expresió. Después las igualamos. Ua ecuació es expoecial si la icógita aparece como expoete. Para resolverla podemos: a) Poer ambos miembros como potecias de la misma base. Etoces igualamos expoetes. b) Tomar logaritmos e ambos miembros. c) Cambio de variable (ver ejercicios) 4

5 3.- INECUACIONES Ua iecuació es ua desigualdad etre dos expresioes algebraicas. Si p( es ua expresió poliómica o racioal, les iecuacioes posibles so las expresioes de la forma: p ( 0; p( 0; p( 0; p( 0 Solució de ua iecuació es u valor de x para el cual se verifica la desigualdad. Resolver ua iecuació cosiste e ecotrar todas sus solucioes. (Habitualmete tiee ifiitas que se agrupa e itervalos de R) Las llamaremos lieales si las geera poliomios de primer grado, y cuadráticas si las geera poliomios de segudo grado INECUACIONES LINEALES, DE PRIMER GRADO Para resolver ua iecuació lieal co ua icógita de primer grado, se procede de forma similar a las ecuacioes, pero teiedo e cueta las propiedades de las desigualdades. 1) ) a b a c b c si a b si c 0 : c 0 : Sus solucioes so todos los putos de u itervalo ifiito 3..- INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Procedimieto de resolució 1) Sustituimos el sigo de la desigualdad por el de igualdad ) Resolvemos la ecuació resultate 3) Los valores obteidos los represetamos e ua recta a c b c a c b c 4) Probamos u puto de cada itervalo e la iecuació: Si el puto la verifica, el itervalo correspodiete es solució. Habitualmete tiee ifiitas solucioes que se agrupa e itervalos de R. Ej: x 6x 8 0. Igualamos y resolvemos. Las solucioes so -4 y -. Luego estudiamos el sigo.. Sol:, 4, *AMPLIACIÓN: INECUACIONES RACIONALES Defiicioes previas: Llamamos ceros o raíces de ua ecuació a los valores que la hace cero (verifica la igualdad) Llamamos polos de ua ecuació a los valores que hace cero al deomiador. Procedimieto de resolució: 1) Substituimos el sigo de la desigualdad por el de igualdad ) Ecotremos los ceros y polos de la ecuació resultate 3) Represetamos los valores obteidos e ua recta 4) Probamos u puto de cada itervalo e la iecuació; si el puto verifica la iecuació, el itervalo correspodiete es la solució * Los polos o so uca solucioes; es decir, los itervalos para estos extremos so siempre abiertos 5