OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

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1 MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió Recoociedo la estructura de moomios y poliomios Mismas variables, mismas reglas: térmios semejates Operacioes co moomios y poliomios Recoociedo las solucioes de operacioes Simplificació de operacioes co sigos de agrupació Poteciació y radicació Características de ua potecia Potecia como relació matemática Deduciedo las leyes de los expoetes Resolució de problemas usado radicales Relació etre poteciació y radicació Productos otables y factorizació Factores comues e expresioes algebraicas Estructuras algebraicas de sumas y productos Recoociedo expresioes algebraicas de productos otables Factorizació de expresioes algebraicas poliómicas Relacioes etre factores biomiales y productos otables 22 Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas

2 MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES Competecia matemática. Sitetiza expresioes algebraicas utilizado operacioes elemetales para la solució de problemas matemáticos de forma adecuada. 2. SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios E matemáticas se emplea las expresioes algebraicas para represetar relacioes etre catidades, variables u objetos y estudiar situacioes de la vida diaria o feómeos propios de la aturaleza. Por ejemplo, el costo de u viaje e taxi puede expresarse como x, dode x represeta la catidad de kilómetros recorridos; o bie, el área de cualquier rectágulo a través de la expresió a b o ab, dode a y b represeta las logitudes de la altura y la base, respectivamete. De acuerdo a lo que se trató e la Experiecia de Apredizaje 2.1, las expresioes algebraicas se distigue por la forma e que se relacioa las catidades variables y costates, por ejemplo, las expresioes x y ab cueta co diferete estructura. De forma global, la primera expresió represeta ua relació de adició etre catidades y la seguda, ua relació multiplicativa. Por lo tato, la estructura de las expresioes algebraicas depederá de cómo se relacioe matemáticamete las catidades variables y costates. E álgebra se recooce dos formas estructurales algebraicas: los moomios y los poliomios. U moomio es ua expresió algebraica que represeta ua catidad o ua relació multiplicativa etre catidades costates, variables o ambas. Ejemplos: 56axy 5 ó 3x 2 + x 5x 2 3x. La estructura de u moomio puede expresarse de la siguiete maera: Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 6

3 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 Coeficiete 56axy 5 Relació multiplicativa Expoete Parte literal: variables o costates De acuerdo a esta estructura y los elemetos que la coforma, el grado absoluto de u moomio es la suma de los expoetes de su parte literal. E el ejemplo, el grado absoluto del moomio es 7. Tambié puede hablarse del grado de algua literal. E el ejemplo, el grado relativo a la literal a es 1, a la literal x es 1 y a la literal y es 5. U poliomio es ua expresió algebraica formada por relacioes aditivas o sustractivas etre catidades costates, variables o ambas. Ejemplos: 3x 3 y + 45x 7xy o 3x 2 x + 5x 4 3x. La estructura de u poliomio puede expresarse de la siguiete maera: Expoete Coeficietes 3x 3 y + 45x 7xy Parte literal: variables o costates Relació aditiva o sustractiva De acuerdo a esta estructura y los elemetos que la coforma, el grado absoluto de u poliomio será el mayor de los grados de los moomios que lo coforma. E el ejemplo presetado, el grado absoluto es 4. Tambié puede obteerse el grado relativo a ua literal, por ejemplo el grado relativo a la literal x es 3, a la literal y es 1. De igual maera, su omeclatura hace referecia al úmero de térmios que compoe la expresió, pues el vocablo moo se refiere a u solo térmio y poli a muchos térmios. Por lo que u poliomio puede clasificarse e biomio si tiee dos térmios, triomio si es de tres térmios, cuatriomio de cuatro térmios, etc Mismas variables, mismas reglas: te rmios semejates Para el estudio de las expresioes algebraicas es importate el recoocimieto de sus estructuras. Dos estructuras algebraicas básicas so los moomios y los poliomios, los cuales se diferecia por el tipo de relació etre los térmios que los coforma a partir de catidades costates, variables o ambas. Estas expresioes algebraicas puede operarse etre sí, por ejemplo al sumar u moomio co otro moomio puede resultar u biomio, o bie, e la suma de u Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 7

4 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 moomio co u biomio se puede obteer u triomio como es el caso de la suma del moomio 6x co el biomio x de la cual se obtiee 6x + x 2 + 1, si embargo o siempre es así. Hay ocasioes e que la suma de u moomio co u biomio puede resultar otro biomio, por ejemplo de la suma del moomio 5x co el biomio 2x + 4y se obtiee el biomio 7x + 4y. O bie, ua expresió algebraica poliomial se puede ver reducida a ua expresió equivalete más simple como por ejemplo el poliomio 5x + 2x + 4y 2y es equivalete al poliomio 7x + 2y 6. Muchas veces estas reduccioes o trasformacioes simplifica procedimietos, por ejemplo para el fucioamieto de algú software dode ua expresió más sitética permite que la computadora realice u cálculo e meos tiempo. Tambié hay situacioes de la vida diaria e las que el cotexto platea la ecesidad de recoocer variables de la misma aturaleza para poder operarlas por algú fi específico, tal es el caso de las utilidades de ua aseguradora, e la cual para operar se recurre a ua agrupació de térmios de la misma aturaleza o semejates. E térmios estructurales, e Álgebra la palabra semejate sigifica que ua expresió algebraica tiee el mismo tipo de estructura que otra, por ejemplo, la expresió: 3xy 2 es semejate a la expresió 4xy 2. Dos térmios algebraicos so semejates si se costituye por el mismo tipo de estructura algebraica, por lo que tedrá ua misma estructura de la parte literal. Por ejemplo, el térmio 25x 2 y es semejate al térmio 1000 x 2 y, porque ambos cueta co las mismas variables x e y, cada ua co la misma estructura expoecial. Alguos ejemplos de térmios o moomios semejates so: 25x 2 y es semejate a 1000 x 2 y 8 x + y 2 es semejate a 13 x + y 2 Alguos ejemplos de térmios o moomios que o sería semejates so: 8 x + y 2 o es semejate a 8 xy 2 8 x + y 2 o es semejate a 13 x 2 + y 2 E geeral, para recoocer dos térmios semejates es ecesario idetificar: 1. Qué represeta cada ua de las variables e las expresioes algebraicas. 2. La estructura de cada uo de los térmios de las expresioes algebraicas. 3. La semejaza puede estar expresada a partir de la agrupació de térmios de la misma aturaleza, por ejemplo, el tipo de seguro e la situació de apredizaje. Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 8

5 Operacioes algebraicas fudametales Uidad Operacioes co moomios y poliomios Toda expresió algebraica tambié puede cosiderarse como ua expresió o estructura aritmética a medida que las relacioes aditivas o multiplicativas que coforma su estructura se traduzca e operacioes como suma, resta, multiplicació y divisió para obteer u valor o u cojuto de valores específicos, o bie para reducir las expresioes a u meor úmero de térmios. Es importate recoocer las estructuras algebraicas aditivas, sustractivas y multiplicativas expresadas e los moomios y poliomios para operarlas aritméticamete a través de la adició, sustracció o multiplicació, respectivamete. Ua estructura algebraica aditiva se caracteriza por ua relació aditiva etre catidades costates y variables, o bie, etre estructuras algebraicas poliomiales. Este tipo de estructuras algebraicas se puede operar a través de la operació de adició. Por ejemplo: 3x xy + 22xyz La operació adició o suma algebraica se simboliza co el sigo +. Así, si teemos ua colecció de moomios como: 3x 2, 2x, 22xz, 14x 3. La suma algebraica queda expresada como: 3x 2 + 2x + 22xz + 14x 3. Ua estructura algebraica sustractiva se caracteriza por ua relació sustractiva etre catidades costates y variables, o bie, etre estructuras algebraicas poliomiales. Este tipo de estructuras algebraicas se puede operar a través de la operació de sustracció. Por ejemplo: 12x 14x 2 La operació sustracció o resta algebraica se simboliza co el sigo. Tato e la operació de adició como e la operació de sustracció sólo se opera los térmios semejates. Ua estructura algebraica multiplicativa se caracteriza por ua relació multiplicativa etre catidades costates y variables, o bie, etre estructuras algebraicas poliomiales. Este tipo de estructuras algebraicas se puede operar a través de la operació de multiplicació. Por ejemplo: 3x 2 2x 22xz Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 9

6 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 La operació multiplicació o multiplicació algebraica se puede simbolizar co el sigo o co los parétesis ( ). Por ejemplo 3 x o 3 x. O bie, puede represetarse úicamete co escribir jutas las variables y costates 3x. Existe tres tipos de estructuras multiplicativas etre moomios y poliomios: Multiplicació etre moomios Se multiplica cada coeficiete de los moomios y cada literal o variable correspodiete. Ejemplo: 2x 8y 20y = 320xy 2 Multiplicació etre moomios y poliomios E este caso se emplea la propiedad distributiva de la multiplicació. Ejemplo: 2x 8y 12xyz = 2x 8y + 2x 12xyz = 16xy + 24x 2 yz Multiplicació etre poliomios E este caso se emplea la propiedad distributiva de la multiplicació de maera reiterada. Ejemplo: 2x y 3x 6xy = 2x y 3x + 2x y 6xy = 6x 2 3xy 12x 2 y + 6xy Recoociedo las solucioes de operacioes Las situacioes que ivolucra actividades relacioadas co agregar, jutar, añadir, avazar o uir tiee e su aturaleza a las relacioes aditivas. Recoocer este tipo de relacioes permite represetar y resolver la situació a partir de la operació de suma algebraica. Cuado ua o varias estructuras algebraicas, coformadas co catidades variables y/o costates, se relacioa a partir de ua relació aditiva, se puede operar aritméticamete por medio de la suma algebraica. Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 10

7 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 Por otro lado, las situacioes que ivolucra actividades relacioadas co perder, dismiuir, diferecia u obteció de egresos tiee e su aturaleza a las relacioes sustractivas. Recoocer este tipo de relacioes permite operar a partir de la resta algebraica. Cuado ua o varias estructuras algebraicas, coformadas co catidades variables y/o costates, se relacioa a partir de ua relació sustractiva, se puede operar aritméticamete co ayuda de la resta algebraica. Las situacioes que ivolucra el producto de dos o más catidades tiee relacioes multiplicativas. Por ejemplo al determiar el producto de medidas uidimesioales para obteer áreas. Recoocer este tipo de relacioes permite operar a partir de la multiplicació algebraica. Cuado ua o varias estructuras algebraicas, coformadas co catidades variables y/o costates, se relacioa a partir de ua relació multiplicativa, se puede operar aritméticamete co ayuda de la multiplicació algebraica. E el caso de la operació divisió o simplemete divisió algebraica, dado que la maera de proceder algebraicamete correspode a la operació aritmética de la divisió se puede recoocer relacioes multiplicativas, sustractivas y aditivas ivolucradas e el procedimieto. Por ejemplo, como parte del procedimieto de la divisió algebraica del biomio x etre el biomio x + 1 puede ecotrarse la siguiete relació etre el dividedo, el divisor, el cociete y el residuo: x = x + 1 x Simplificacio de operacioes co sigos de agrupacio Como parte del procedimieto de simplificar expresioes co operacioes algebraicas, los sigos de agrupació cumple ua fució de orgaizar los térmios y las operacioes para establecer u orde de proceder e la simplificació. Los sigos de agrupació más comues so los parétesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Así por ejemplo, la expresió algebraica a b c idica que la diferecia b c debe restarse de a. Complemetariamete a los sigos de agrupació se ecuetra la jerarquía de las operacioes fudametales, las cuales ayuda a simplificar co u orde uiforme. Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 11

8 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 De esta maera, los sigos de agrupació se emplea para idicar que las catidades ecerradas e ellos debe cosiderarse como u todo, especialmete para mateer u orde específico. Si hay ua expresió a operar detro de los símbolos de agrupació, se simplifica co ayuda de la jerarquía de las operacioes. La simplificació de expresioes algebraicas se lleva a cabo de acuerdo a la siguiete jerarquizació de operacioes aritméticas: 1. Efectuar las operacioes etre parétesis, corchetes y llaves. Se efectúa primeramete aquel sigo de agrupació que se ecuetre coteido e todos los sigos de agrupació o bie, que o cotega detro de él a otro sigo de agrupació. 2. El orde de las operacioes será de la siguiete maera: a. Primero se efectúa las potecias y raíces. b. Posteriormete se efectúa los productos y cocietes. c. Fialmete se efectúa las sumas y restas algebraicas de acuerdo a los térmios semejates. 3. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 3.1. Caracterí sticas de ua potecia E matemáticas regularmete se estudia situacioes dode importa coocer cómo cambia las catidades y respecto a qué cambia co la fialidad de caracterizar tipos de comportamieto. Los comportamietos que implica ua relació multiplicativa se caracteriza por ua rapidez mayor que los comportamietos asociados a ua relació de adició. U ejemplo se puede ecotrar e el comportamieto expoecial. E u comportamieto expoecial, cada valor se obtiee multiplicado el valor aterior por ua catidad costate, dado como resultado ua colecció de potecias. Por ejemplo: , 4, 16, 64, 256, 1024 E este caso, la colecció de potecias de expoete atural se puede expresar algebraicamete como: 4 0, 4 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5 Crecimieto expoecial Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 12

9 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 Coveció: La potecia cero de cualquier úmero a es uo: a 0 = 1 La potecia b represeta ua relació multiplicativa sucesiva del úmero b al cual se le cooce como base y dode el expoete idica el úmero de veces que se multiplica la base por sí misma. Esto es: Expoete b = b b b b b Base veces Alguas características pricipales de la potecia so las siguietes: Es ua estructura algebraica que represeta u comportamieto expoecial. El crecimieto o decrecimieto de este comportamieto depederá del valor que represete la base b. Expresa ua relació multiplicativa sucesiva de la base b, ua catidad de veces. La operació aritmética correspodiete a la multiplicació reiterada de u úmero por sí mismo se deomia poteciació Potecia como relacio matema tica Tal como se otó e la experiecia de apredizaje 3.1, las potecias de u úmero etero al ser el producto de multiplicar ua catidad por sí misma, represeta ua relació de aumeto (o dismiució) de esa catidad co u comportamieto expoecial. Así, al cuatificar el cambio de ua catidad y represetarlo simbólicamete co expresioes de potecias, es posible aticipar resultados de cierto feómeo o situació para tomar decisioes. Por ejemplo, el capital moetario geerado a u plazo específico cuado determiada catidad de diero es ivertida e u baco y mesualmete se multiplica por la misma tasa de iterés produce u aumeto de dicha catidad. Tambié, las potecias de u úmero puede teer u comportamieto expoecial decreciete, Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 13

10 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 cuado ese úmero represeta ua catidad fraccioaria, cosidérese las potecias de expoete atural de 1, por citar u ejemplo: 3 Equivaletes a: ( ), ( ), ( ), ( ),, ( 1 3 ) 1 3, 1 9, 1 27, 1 81,, 1 3 Los comportamietos expoeciales de las potecias de cierta catidad a puede ser de forma creciete o decreciete segú lo siguiete: Cuado a > 0 y asume valores eteros positivos, la colecció de potecias de a sigue u crecimieto expoecial. Cuado a > 0 y asume valores eteros egativos, las potecias de a sigue u decrecimieto expoecial. Dicho comportamieto es equivalete al de las potecias de ( 1 a ) co : etero positivo, pues recuérdese que 1 a = a Deduciedo las leyes de los expoetes E las operacioes algebraicas fudametales tales como la adició, sustracció, multiplicació y divisió se utiliza ciertas propiedades matemáticas de gra importacia como las leyes de los expoetes. Es importate teer e cueta que las leyes de los expoetes para expresioes algebraicas so equivaletes a las empleadas e las expresioes aritméticas. LEYES DE LOS EXPONENTES Producto de potecias: Cociete de potecias: Potecia de u producto: Potecia de ua potecia: a a m = a +m a am = a m ab m = a m b m a m = a m Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 14

11 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 Así mismo, existe ciertos casos particulares de las leyes de los expoetes: cuado el expoete es cero y cuado es u úmero egativo. LEYES DE LOS EXPONENTES (Casos particulares) Expoete cero: a 0 = 1 Expoete egativo: a = 1 a Es importate recoocer que las leyes de los expoetes so válidas para cualquier estructura algebraica, sea ésta u moomio o u poliomio. Observa las siguietes simplificacioes de expresioes algebraicas: 1. Empleo de la ley del cociete y del expoete egativo: x + y 2 2x x + y 4 = 1 2x x + y 2 = 2 x + y 2x 2. Empleo de la ley del producto y del expoete cero: 2 7xyz xyz x 3 + x = 2 7xyz Resolucio de problemas usado radicales 1 = 2 7xyz Se dice que u úmero b es raíz eésima de u úmero a si y sólo si b = a, dode es el ídice y a es el radicado: Ídice a = b Raíz Radicado Por ejemplo, los úmeros +2 y 2 so raíces cuadradas de 4, ya que tato +2 como 2, al elevarlas a la potecia dos, se obtiee el 4. Así, ua estructura algebraica como a hace referecia al radical eésimo de a. Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 15

12 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 Como tuviste oportuidad de trabajar e las actividades, las propiedades de los radicales se puede expresar de la siguiete maera: PROPIEDADES DE LOS RADICALES Propiedad 1: Propiedad 2: ab a b = a = a b b Propiedad 3: Propiedad 4: m a a p m = a = a p Las propiedades de los radicales tiee estrecha relació co las propiedades de los expoetes ya que los radicales tambié puede expresarse de la siguiete maera: a = a Relacio etre poteciacio y radicacio Tato la poteciació como la radicació so procesos relacioados co comportamietos dode los valores de ua variable cambia de maera expoecial. Recuerda que: La poteciació es el proceso de elevar u determiado valor a u expoete específico, por ejemplo, elevar u valor a a u expoete, e símbolos: a. La potecia es el valor que resulta al hacer dicho proceso. La radicació es el proceso mediate el cual se obtiee u valor que es el resultado de extraer el radical-ésimo a u valor específico, e símbolos: a. La relació etre la poteciació y la radicació se obtiees a partir de las propiedades vistas e la secció 3.3 y 3.4. Pues co ellas se puede geeralizar la siguiete expresió: a = a. Si embargo, el uso de esta propiedad debe hacerse co especial cuidado. Cosidérese el siguiete ejemplo: = 2, que se obtiee co solo aplicar la idetidad: a = a Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 16

13 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 Pero, obsérvese que si el 2 es elevado al cuadrado y después se calcula el radical, se obtedría lo siguiete: = 4 = 2 De maera que: = 2 y 2 2 = 2 El resultado correcto es 2 debido a ua restricció que tiee la propiedad. Dicha restricció es la se describe e la siguiete tabla. Propiedades de los radicales Codicioes La represetació a, se lee: valor absoluto de a y se defie como: a = a impar a = a, a, si a es positivo o cero si a es egativo a = a par a = a La poteciació es operació iversa de la radicació para cualquier base e ídice etero Restriccioes de la propiedad a = a y a = a Esto quiere decir, que el valor absoluto de u úmero es el mismo úmero si éste es u úmero positivo o cero. Y será su iverso si éste es egativo. Por ejemplo 6 = 6, así, 6 = 6 porque 6 es u úmero egativo. Mietras que, para u úmero positivo como 6, se tiee que 6 = 6. Por ser positivo, su valor absoluto es el mismo úmero. Así se cocluye que la radicació y la poteciació so operacioes iversas bajo las codicioes represetadas e la tabla aterior. 4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 4.1. Factores comues e expresioes algebraicas E la aritmética se estudia los úmeros reales y las relacioes uméricas. Así por ejemplo, se puede decir que cuado e u cojuto de relacioes uméricas se aplica las propiedades de los úmeros reales, siempre es posible geeralizarlas obteiedo expresioes algebraicas equivaletes. Como es el caso de la propiedad distributiva de los úmeros reales que establece la siguiete igualdad: a b + c = ab + ac Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 17

14 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 La propiedad distributiva establece ua relació de igualdad etre dos expresioes algebraicas equivaletes. Ua de esas expresioes es ua relació multiplicativa y la otra ua relació aditiva. La igualdad es posible si la expresió algebraica tiee u factor comú, es decir, si existe dos o más térmios algebraicos semejates. Por ejemplo, al cosiderar la siguiete expresió algebraica: mx + my + mz... (1) se observa que el factor comú de los tres térmios es m. Alguas veces es coocido como factor comú moomio ya que dicho factor tiee u úico térmio algebraico. La expresió algebraica aterior (1), es igual a la siguiete expresió algebraica (2): m x + y + z... (2) E esta estructura multiplicativa, el primer factor es el comú de los térmios de la expresió (1) y el segudo factor es el cociete de cada uo de los térmios de la expresió (1) etre el factor comú, por ejemplo, mx m = x para el primer sumado y así sucesivamete Estructuras algebraicas de sumas y productos Al realizar cálculos algebraicos resulta idispesable idetificar ciertas estructuras algebraicas co el propósito de facilitar dichos cálculos. Esas estructuras se cooce como estructuras algebraicas otables. A cotiuació se preseta alguas: Biomios co u térmio comú: a + b a + c Biomio al cuadrado: a + b 2 Biomios cojugados: a + b a b Biomio al cubo: a + b Recoociedo expresioes algebraicas de productos otables Los productos otables so aquellos productos algebraicos co ua estructura particular y cuyos resultados so ivariates: Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 18

15 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 i. Biomios co u térmio comú: a + b a + c = a 2 + a b + c + bc ii. Biomio al cuadrado: a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 iii. Biomios cojugados: a + b a b = a 2 b 2 iv. Biomio al cubo: a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Obsérvese que los primeros tres biomios ateriores se puede agrupar como casos del biomio co u térmio comú, por ejemplo, si c = b, se obtiee el caso del biomio al cuadrado: a + b a + b = a 2 + a b + b + b b = a 2 + 2ab + b 2 Si c = b, se obtiee u caso de biomios cojugados: a + b a + b = a 2 + a b b + b b = a 2 b 2 El biomio al cubo es meos frecuete, si embargo es deducible a partir de métodos algebraicos o geométricos más elaborados: Los productos otables so comues y de aparició frecuete e la obteció y fudametació de muchos resultados de matemáticas, además de que simplifica operacioes tato algebraicas como uméricas. Aaliza la siguiete situació e la cual se emplea los productos otables: Supó que se cueta co dos úmeros cosecutivos eteros: y + 1. Etoces los cuadrados de los úmeros so 2 y + 1 2, respectivamete. La seguda expresió es justamete u biomio al cuadrado, que puede expresarse como Si se sabe que el cuadrado de 200 es 40,000, la expresió algebraica aterior sirve para calcular el valor de 201 al cuadrado, si teer que realizar ua poteciació. Por ejemplo, si = 20, etoces: = 40, = 40,401 Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 19

16 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 De modo que = 40,401. E este caso se obtuvo ua forma de calcular el cuadrado del úmero cosecutivo, coociedo el aterior, de modo que el esfuerzo requerido para calcularlo fue mucho meor que efectuar la operació De hecho, podría ecotrarse ua forma de ecotrar el cuadrado de 210, sabiedo que (210 2 = Este tipo de razoamietos es muy útil para desarrollar la habilidad de calcular potecias de valores si teer que usar calculadora, claro está, empleado diversos productos otables Factorizacio de expresioes algebraicas polio micas E la secció de actividades se trabajó co la factorizació de estructuras poliomiales, de dode se pudo cocluir que: La factorizació de u poliomio cosiste e determiar los factores de dicho poliomio. E la factorizació por factor comú, se observó que cuado todos los térmios e u poliomio tiee u factor comú, se toma ese factor como coeficiete y el cociete de los térmios se agrupa como el producto del factor comú. Por ejemplo: a 2 + 2a = a a + 2 E caso de que el factor comú sea u poliomio, se procede de la misma maera: a x b x + 1 = a + b x + 1 Cuado e u poliomio se tiee térmios co alguos factores comues etre ellos, se procede a la agrupació de térmios: ax + bx + ay + by = ax + bx + ay + by = x a + b + y a + b = x + y a + b Respecto a los triomios co u térmio al cuadrado, se tiee e primer lugar los triomios cuadrados perfectos. Éstos se puede recoocer a partir de sus térmios. U triomio es cuadrado perfecto cuado su primer y último térmio so cuadrados perfectos y el segudo térmio es el doble producto de sus raíces cuadradas.. Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 20

17 Operacioes algebraicas fudametales Uidad 2 Para factorizar u triomio cuadrado perfecto, basta co calcular la raíz cuadrada del primer y último térmio, se separa por el sigo del segudo térmio, y el biomio resultate se eleva al cuadrado: a 2 + 2a + 1 = a + 1 a + 1 = a Por último, para factorizar u triomio de la forma x 2 + bx + c, se descompoe e dos factores cuyo primer térmio es la raíz cuadrada del primer térmio del poliomio, y cuyos segudos térmios sea los factores del último térmio del poliomio: x 2 + 5x + 6 = x + 3 x + 4 Cuerpo Académico Eseñaza de las Matemáticas 21

18 Operacioes algebraicas fudametales Uidad Relacioes etre factores biomiales y productos otables E la secció de actividades se trabajó co productos otables y co técicas de factorizació de poliomios. A partir de ellas se ha podido idetificar que hay ua relació etre éstos: al factorizar cierto tipo de poliomios se obtiee alguos productos otables. Por ejemplo: Biomios co u térmio comú: a + b a + c = a 2 + a b + c + bc Biomio al cuadrado: a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Biomios cojugados: a + b a b = a 2 b 2 Es útil recoocer estas estructuras ya que la factorizació es más directa y facilita la realizació de cálculos algebraicos. 22