TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

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1 TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a optimizar. - Restriccioes: estas vedrá determiadas por las codicioes e las que os ecotramos a la hora de optimizar la fució. - Liealidad: tato la fució objetivo como las restriccioes, so fucioes lieales de las variables cosideradas. La Programació Lieal, e térmios geerales, va a cosistir e: Optimizar ua fució objetivo z=c.x sujeto a uas restriccioes Ax ó b 2.- Costrucció de u modelo. Resolució por el método gráfico. Costrucció del modelo: Los pasos a seguir so los siguietes:.- E primer lugar hay que idetificar las variables de decisió del problema. 2.- Buscar la fució objetivo. Que es la fució que queremos optimizar 3.- Ecotrar las restriccioes. 4.- Codició de o egatividad: Esta es otra restricció. Por lo tato: x i 0 i Gráficos: Normalmete los gráficos o so el mejor método para resolver los problemas de programació lieal del mudo real. No obstate, ua solució gráfica os sirve para eteder mejor la estructura de los modelos de programació lieal. Lo primero que haremos será, represetar el cojuto de los putos que verifica las restriccioes. Para ello dibujamos las rectas que os da las restriccioes y elegimos la regió de los putos que verifica la desigualdad. Resume del Tema 2

2 Etoces, el cojuto de los putos que verifica todas las restriccioes, (icluida la codició de o egatividad), será la itersecció de todas estas regioes. Este cojuto es u cojuto covexo, por ser itersecció de covexos, y como ua fució lieal es ua fució covexa, sabemos que el óptimo de la fució se obtiee e u puto extremo del covexo. Etoces, basta calcular el valor de la fució objetivo e estos putos para saber e cuál de ellos se alcaza el óptimo. Este método de obteer la solució o es práctico cuado teemos muchos putos extremos. Es más secillo dibujar la recta de utilidad y ver para qué puto(s) de la regió que hemos determiado se alcaza el óptimo. Ua vez obteida ua solució hay que iterpretarla. Es decir, explicar qué es lo mejor que se puede hacer para optimizar uestro objetivo. 3.- Resolució de sistemas de ecuacioes simultáeas. El problema fudametal de la programació lieal cosiste e determiar ua solució para u sistema de ecuacioes lieales simultáeas (las desigualdades se trasforma e igualdades), que optimice ua determiada fució objetivo. Vamos a ver ahora alguos coceptos como los de base y solució básica, que so fudametales para el desarrollo y compresió de la programació matemática lieal. Sea el sistema de ecuacioes lieales simultáeas, co m ecuacioes y variables ( > m): a x a x = b a 2 x a 2 x = b a m x a m x = b m que podemos escribir de forma matricial: Ax = b dode a, a2,..., a a2, a22,..., a2 A =... am, am2,..., a m x b x2 b2 =( a, a 2,..., a ) ; x=... ; b=... x b m Si supoemos que rago de A es r(a)=m, tomado cualquier submatriz B de A o sigular de orde m, y haciedo iguales a cero las restates -m variables asociadas a los vectores columa de A que o está e B, la solució del sistema resultate B.x B = b Resume del Tema 2 2

3 de m ecuacioes co m icógitas, se deomia solució básica y la represetaremos por x B. Defiició.- Se deomia variables básicas a las variables del vector x B formado por las m variables asociadas co la solució básica y variables o básicas a las -m restates variables que se ha igualado a cero. Defiició.- Se deomia base o matriz básica a toda matriz cuadrada B o sigular de orde m, formada por u cojuto de vectores a i de A. Como B es o sigular, sus columas so liealmete idepedietes. Las variables básicas puede tomar valores positivos, egativos o cero, y si e particular ua o más variables básicas toma el valor cero, la solució básica de deomia degeerada. Notar que hay posibles solucioes básicas para el sistema de ecuacioes A.x=b. m 4.- Forma geeral de los modelos de programació lieal y formas equivaletes A partir de la formulació algebraica de los ejemplos ateriores, podemos establecer e forma geeral el problema de programació lieal como sigue: determiar x=(x,...,x ) T de R tal que: optimice ua fució objetivo z=c.x sujeto a uas restriccioes Ax (=, ó )b dode: z : es la fució objetivo o fució ecoómica a optimizar. x : es el vector de las variables de decisió o actividades. c : es el vector de costos uitarios o vector de precios. b : es el vector de dispoibilidad de recursos. A : es la matriz de coeficietes tecológicos. Si e el modelo aterior todos los sigos so igualdades, y los elemetos de b so todos o egativos, y se pide que las variables sea o egativas, se dice que el problema de programació lieal está e forma estádar. Es decir: max (ó mi) z=c.x s. a: Ax = b (b 0) El método del Simplex, que es el método que utilizaremos para resolver los problemas de programació lieal, se aplica a problemas lieales e forma estádar. Resume del Tema 2 3

4 Si embargo, la mayoría de los problemas o so iicialmete modelizados e esa forma, sio que tiee muchas restriccioes de desigualdad. Por ello vamos a ver la forma caóica de u problema lieal, y que es lo suficietemete geeral como para que cualquier programa lieal se pueda poer de esa forma, para posteriormete estudiar su paso a la forma estádar. La forma caóica de u problema de programació lieal es aquella e la que: - El objetivo es de maximizació. - Todas las restriccioes so de desigualdad, del tipo ( ) - Todas las variables so o egativas. E forma matricial: max z=c.x s. a: Ax b Dado u problema escrito e forma caóica, siempre podemos escribirlo de forma equivalete e forma estádar. * Llamaremos variable de holgura, a ua variable que itroducimos e el sistema para pasar de ua desigualdad a ua igualdad. 5.- Termiología ( defiicioes y teoremas) Basádoos e el problema de Max. z = c.x s. a: A.x + y = b Es decir : Max z = c x c x s. a: a x a x + x + = b a m x a m x + x +m = b m x = (x,..., x, x +,..., x +m ) 0 ( las variables de holgura tiee costo cero e la fució objetivo) * Diremos que u puto x R es ua solució factible, o posible, sii verifica las restriccioes del problema. * Ua solució factible, es básica, cuado tiee a lo sumo m compoetes positivas, (m= º de restriccioes). * Ua solució factible, se dice que es básica o degeerada, sii tiee exactamete m compoetes positivas. Resume del Tema 2 4

5 * Diremos que B es ua base factible sii B - b 0 * Llamamos regió de factibilidad, K, al cojuto de putos de R que verifica las restriccioes. ( K = { solucioes factibles} ). Si K=, el problema lieal asociado se deomia ifactible. Como hemos otado, ua base B está formada por m vectores liealmete idepedietes de A, B=(b, b 2,...,b m ), y cada columa a j de A que o está e B, (columa o básica), se puede poer como combiació lieal de los elemetos de la base. m Es decir: a j = i= y ij. b i = B.y j Como B es o sigular, se puede escribir que: y j = B -.a j dode y j = (y j, y 2j,...,y mj ) T, e y ij es u escalar e el que el subídice i se refiere al vector columa b i de B, y el j al vector columa a j de A. Otro escalar de iterés, es z j, asociado a cada vector a j de A y que se defie: m z j = c B.y j = i= y ij c Bi La diferecia c j - z j, va a ser fudametal e la coducció del método del Simplex. * Llamamos solució óptima, a aquella solució factible e la que se alcaza el óptimo. U problema de programació lieal se dice o acotado, cuado o tiee u óptimo fiito ( es decir: max z = ó mi z = ) U problema de programació lieal se dice que tiee solucioes óptimas alterativas o múltiples, si tiee más de ua solució óptima. Vamos a dar ahora ua serie de resultados y defiicioes que se utilizará posteriormete: Teorema.- La regió de factibilidad, K, es u cojuto covexo y cerrado o es el vacío. (Si es o vacío se deomia politopo) Defiició.- Dos putos extremos x, x 2 de K, co x x 2, so putos extremos adyacetes, sii el segmeto que los ue es ua arista del cojuto (covexo) K. Teorema 2.-Sea A ua matriz m x, co r(a)=m, y sea b u vector mx. Sea K el poliedro A. x = b covexo formado por los vectores x que verifica:. U vector x es ua solució básica factible del sistema aterior, si y solo si x es u puto extremo (vértice) de K. Teorema 3.- La fució objetivo de u problema de programació lieal estádar (factible acotado), alcaza su óptimo e u puto extremo de la regió de factibilidad. Resume del Tema 2 5

6 Coclusioes de los teoremas:.- Cada solució factible básica de u problema de programació lieal, correspode a u puto extremo de la regió de factibilidad. 2.- Cada puto extremo, tiee asociados u cojuto de m vectores liealmete idepedietes. 3.- Existe u puto extremo de la regió de factibilidad e el que se alcaza el óptimo. El método del Simplex, que es el algoritmo que vamos a estudiar, es u algoritmo sistemático de búsqueda de la solució que de ua maera eficiete evalúa ua parte del cojuto de solucioes básicas factibles, y garatiza la covergecia e u úmero fiito de etapas, detectado además la ifactibilidad, o acotació o la existecia de solucioes óptimas alterativas. 6.- Variables artificiales. E la fase iicial del método del Simplex, ecesitaremos dispoer de ua solució básica factible, de forma rápida. Mediate la itroducció de las variables de holgura, esto es secillo, pero hay situacioes e las que esto o es así. Para resolver este problema, hay varios métodos, el más coocido de todos es el de las variables artificiales. El método comieza poiedo el problema de forma estádar, añadiedo las variables de holgura ecesarias. A cotiuació, se suma variables artificiales wi, a las restriccioes que origialmete fuera igualdades, y a aquellas e las que se itrodujo la variable de holgura co sigo egativo (las de ). Es decir: Si la restricció era: a pj x j bp, pasará a ser: a pj x j - sp + wp = bp j= Si la restricció era: a pj x j = bp, pasará a ser: a pj x j + wp = bp j= j= Como cualquier solució básica factible del sistema trasformado, e el que las variables artificiales tome el valor cero, es ua solució básica factible del sistema origial, itetaremos llevar a cero las variables artificiales lo ates posible, para que o aparezca e la solució fial. Ua forma de llevar a cero las variables artificiales, cosiste e asigarles como coeficiete e la fució objetivo del problema trasformado u valor muy grade egativo(e el caso de maximizació), que represetaremos por M, de modo que sea demasiado costoso mateer esas variables e la base. (Método de pealizació) j= Resume del Tema 2 6