1.1. Campos Vectoriales.

Transcripción

1 1.1. Campos Vectoriales. Las fucioes, ampliamete empleadas e la igeiería, para modelar matemáticamete y caracterizar magitudes físicas, y cuyo domiio podría ser multidimesioal, puede teer u rago uidimesioal o multidimesioal. El primer tipo de fucioes (rago uidimesioal) se defie como campo escalar, y esta se correspode a ua magitud física que requiere sólo de u úmero para su caracterizació. U campo escalar, por tato, es ua fució, escalar, cuyo valor depede del puto que se estudie. U ejemplo de este tipo de fucioes puede ser la distribució de temperaturas detro de u cuerpo, la presió ejercida sobre u cuerpo por u fluido, o u potecial eléctrico. Por otro lado, u campo vectorial se correspode co el segudo tipo de fucioes (rago multidimesioal) e dode ua magitud física requiere de u vector para su descripció, como puede ser, por ejemplo, el flujo de u fluido o u campo de fuerzas gravitacioales o eléctricas. Defiició. U campo vectorial e cada puto X ( x x x ) ( ) ( 1( ), 2( ),, ( )) F X = F X F X F X. R es ua fució F : A R R que asiga a = 1, 2,, de su domiio A u vector Si F: 2 2 A R R, etoces se deomia como campo vectorial e el plao, a esta fució F( x, y ) defiida para putos e 2 R hacia el cojuto de vectores bidimesioales, y se escribe E dode, F1 ( xy, ) y F2 (, ) ( x, y) ( x, y) F1 F( x, y) = = F ( ) ( ) 1 x, y i+ F2 x, y j F2 xy so fucioes escalares. Si F: 3 3 A R R, etoces se deomia como campo vectorial e el espacio, a esta fució F( x, y, z ) defiida para putos e R 3, hacia el cojuto de vectores tridimesioales, deotádose de la siguiete maera

2 ( x, y, z) ( ) ( x, y, z) F1 F( xyz,, ) = F ( ) ( ) ( ) 2 xyz,, = F1 xyzi,, + F2 xyz,, j+ F3 xyzk,, F 3 E dode, F1 ( x, y, z ), F2 ( x, y, z ) y F3 (,, ) x y z so fucioes escalares. E la Figura 1 se muestra ua forma esquemática de represetar u campo vectorial, de R R X F F(X) A R R Figura 1. Represetació esquemática de u campo vectorial defiido por F : A R R Si embargo, para visualizar de ua maera mejor lo que el campo represeta e R, se preferible dibujar el vector X A R como u puto sobre el espacio R y a ( ) R F X como u vector sobre ese mismo espacio, como se preseta e la siguiete figura. F(X) X A R Figura 2. Represetació de u campo vectorial e defiido por F : A R R R,

3 La represetació de u campo vectorial bidimesioal e el plao cartesiao, se realiza represetado u cojuto de vectores F( x, y ) para varios putos ( x, y ) del domiio, represetado el vector F( x, y) ( F( x, y), F ( x, y) ) = de tal maera que el puto iicial 1 2 del vector esté localizado e ( x, y ); este procedimieto tambié puede ser aplicado para la represetació de u campo vectorial e el espacio. EJEMPLO 1. Represete gráficamete los campos vectoriales defiidos de la maera que se muestra a cotiuació: a) F : R 2 R 2 / F( x, y) = ( y, x) b) G: R 3 R 3 / G( x, y, z) = ( y, x, z) Solució. a) Para represetar este campo vectorial se evaluará alguos putos ( x, y ) e la fució F ( xy,, ) como por ejemplo F ( 1,1) = ( 1,1), F ( 1,1) = ( 1, 1), ( 1, 1) ( 1, 1) F ( 1, 1) = ( 1,1 ). Luego tomamos, el primer vector resultate ( 1,1) F = y y se grafica teiedo como puto iicial al puto ( 1,1 ). Aplicado sucesivamete este procedimieto co los otros vectores se obtiee la represetació gráfica del campo vectorial que se muestra e la Figura 3. Figura 3. Represetació gráfica de u campo vectorial e el plao. b) Para obteer la represetació gráfica de este campo vectorial se evaluará alguos putos ( x, yz, ) e la fució G( x, y, z ), obteiédose ( 1,1,1) ( 1,1,1) G ( 1,1,1) = ( 1, 1,1 ), G ( 1, 1,1) = ( 1, 1,1 ) y ( 1, 1,1) ( 1,1,1 ) G =, G =. Luego para represetar el primer vector resultate ( 1,1,1), se grafica, teiedo como puto iicial

4 al puto ( 1,1,1 ). Sucesivamete se dibuja los demás vectores resultates para obteer la represetació gráfica del campo vectorial que se muestra e la Figura 4. Figura 4. Represetació gráfica de u campo vectorial e el espacio tridimesioal. Si se requiere teer ua represetació co mayor catidad de vectores de estos campos vectoriales puede recurrirse a calculadores gráfica o sistemas algebraicos computarizados, obteiédose represetacioes como las que se muestra e las Figuras 5(a) y 5(b). (a) (b) Figura 5. Represetació gráfica de campos vectoriales, utilizado sistemas algebraicos computarizados. (a) Campo Bidimesioal y (b) Campo Tridimesioal Como ejemplos físicos de campos vectoriales, teemos los flujos de fluidos, etre los que se puede ombrar: campos de velocidad de corrietes oceáicas, campos de velocidad del vieto durate u torado, campos de velocidad del vieto e cada puto de u automóvil y alrededor de éste (para mejorar la aerodiámica de los carros de la F1); tambié podemos mecioar el flujo de u campo eléctrico como u campo vectorial.

5 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. Represete gráficamete los campos vectoriales defiidos de la maera que se muestra a cotiuació: 1) F: R 2 R 2 / F( x, y) = ( y,2) 2) F: R 2 R 2 / F( x, y) = ( x 2, y) 3) F: R 2 R 2 / F( x, y) = ( xy,2x) 4) G: R 3 R 3 / G( x, y, z) = ( y, x,5) 5) G: R 3 R 3 / G( x, y, z) = ( 1, x, z) 6) G: R 3 R 3 / G( x, y, z) = ( z, x 2, y) Campo vectorial gradiete. Defiició. Si f es ua fució escalar de fució es u campo vectorial, que se deota por R R, etoces el gradiete de esta f y está defiido por ( x ( 1, 2,, ), x ( 1, 2,, ),, x ( 1, 2,, ) ) f = f x x x f x x x f x x x 1 2 y se le llama campo vectorial gradiete er. f xy, = x y. EJEMPLO 2. Determie el campo vectorial gradiete de la fució ( ) ( ) 2 Solució. El gradiete, o el campo vectorial gradiete de la fució f, viee dado por f f f x y = = x y x y x y ( ) (, ), 2 ( ), 2( ) Al represetar este campo vectorial e R 2, utilizado u sistema algebraico computarizado se obtiee la represetació gráfica mostrada e la Figura 6.

6 Figura 6. Campo vectorial gradiete del Ejemplo 2. EJEMPLO 3. Determie el campo vectorial gradiete de la fució ( ) Solució. El campo vectorial gradiete de la fució g, está dado por g g g x y = = y x x y (, ), ( 2, ) g x, y = xy 2x. Dode al realizar la gráfica de este campo se obtiee la siguiete represetació e el plao cartesiao mostrada e la Figura 7. Figura 7. Campo vectorial gradiete del Ejemplo 3. EJEMPLO 4. Determie el campo vectorial gradiete de la fució (,, ) h x y z = x + y + z. Solució. E este ejemplo teemos ua fució defiida de 3 R R, el gradiete, o el campo vectorial gradiete de la fució h, es u campo e el espacio tridimesioal y está dado por

7 h h h x y z h( x, y, z) =,, =,, x y z x + y + z x + y + z x + y + z Al dibujar los vectores correspodietes a este campo vectorial gradiete tridimesioal se obtiee la siguiete represetació gráfica mostrada e la Figura 8. Figura 8. Campo vectorial gradiete del Ejemplo 4. Como se observa el campo vectorial gradiete uitario de posició de u puto ( x, yz., ) h es la represetació del vector EJERCICIOS PROPUESTOS Determie el campo vectorial gradiete de las fucioes escalares que se preseta a cotiuació: ) f ( xyz,, ) = 2x 3xy+ y 4xz+ 6z y z x + z y + x 2) g( x, y, z) = z ) h( x, y, z) = e x + y + z 2 2 4) (,, ) ( ) m x y z = Log y + z + ye x