VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

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1 VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode a u resultado de u epermeto aleatoro Alguos ejemplos so: úmero de caras obtedas al lazar ses veces ua moeda, úmero de llamadas que recbe u teléfoo durate ua hora, tempo de fallo de ua compoete eléctrca, etc El estudo que se hará e este tema será aálogo al que se hace co las varables estadístcas e descrptva Así retomaremos el cocepto de dstrbucó y las característcas umércas, como la meda y varaza El papel que allí jugaba la frecueca relatva lo juega ahora la probabldad Esto va a proporcoar aspectos y propedades referetes a feómeos aleatoros que permtrá modelos muy estudados e la actualdad - VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL Dado u epermeto aleatoro y asocado al msmo, u espaco probablístco (E, Ą,P), ua varable aleatora es ua aplcacó Χ : Ε R, a cada valor de X, del espaco muestral le hace correspoder u úmero real Se dce que X es ua varable aleatora s para cualquer perteecete a R, el cojuto de los sucesos elemetales le hace correspoder u valor que verfca: Χ R X ( S) X Ejemplo: Cosderamos u epermeto aleatoro de lazar ua moeda al are tres veces y aotamos el resultado Se defe la varable aleatora X como úmero de caras aparecdas e los tres lazametos

2 _Aputes de Estadístca II 6 a) Calcular el espaco muestral y comprobar que es ua varable aleatora b) Calcular los subespacos: { X,75} {,5 X,75} a) La solucó es la sguete, E (C,X,X),(X,C,X),(X,X,C),(C,C,X),(C,X,C),(X,C,C),(C,C,C),(X,X,X) / X (X,X,X) X X ( S) X (C,C,C)(X,C,X)(X,X,C) X (C,C,X)(C,X,C)(X,C,C) X (C,C,C) X X,75 X < X < b) { } X<,, {,5 X,75} es lo msmos que decr, X -TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS Las varables aleatoras se clasfca e dscretas y cotuas: o DISCRETA: La varable aleatora X se dce que es dscreta s los úmeros asgados a los sucesos elemetales de E so putos aslados Sus posbles valores costtuye u cojuto fto o fto umerable Por ejemplo, supogamos el epermeto cosstete e lazar tres veces ua moeda o trucada; s cosderamos la varable aleatora X úmero de caras obtedas e los tres lazametos, los valores que puede tomar esta varable aleatora so ftos (,,,) o CONTINUA: La varable aleatora X será cotua s los valores asgados puede ser cualesquera, detro de certos tervalos, es decr, puede tomar cualquer valor de R Por ejemplo, s cosderamos el epermeto aleatora cosstete e medr el vel de agua e u embalse y tomamos la varable aleatora X vel de agua, esta puede tomar valores etre y más fto 4- DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Es u modelo teórco que descrbe la forma e que varía los resultados de u epermeto aleatoro, es decr, os da todas las probabldades de todos los posbles resultados que podría obteerse cuado se realza u epermeto aleatoro Se clasfca como dscretas o cotuas E la dstrbucó de probabldad dscreta está permtdo tomar sólo u úmero lmtado de valores E la cotua, llamada fucó de

3 Varable aleatora y fucó de dstrbucó 7 desdad, la varable que se está cosderado puede tomar cualquer valor detro de u tervalo dado 4- Dstrbucó de probabldad dscreta Sea u espaco probablístco y sea X ua varable aleatora dscreta que toma como posbles valores,,, se defe la dstrbucó de probabldad de X como el cojuto de pares (, p ) que a cada valor de la varable le asoca ua probabldad, dode p P(X ), tal que la suma de todas las probabldades es gual a la udad Del ejemplo realzado aterormete se desprede que la dstrbucó de probabldad vee dada por: (,/); (,/); (,/); (,/) 4- Dstrbucó de probabldad cotua S la varable aleatora es cotua, hay ftos valores posbles de la varable y etra cada dos de ellos se podría defr ftos valores E estas codcoes o es posble deducr la probabldad de u valor putual de la varable como se puede hacer e el caso de las varables dscretas Pero sí es posble calcular la probabldad acumulada hasta u certo valor (fucó de dstrbucó) y cómo camba esa probabldad acumulada e cada puto (desdad de probabldad) Por tato, cuado la varable aleatora sea cotua hablaremos de fucó de desdad Sea X ua varable aleatora cotua, se llama fucó de desdad y se represeta como f() a ua fucó o egatva defda sobre la recta real, tal que para cualquer tervalo que estudemos se verfca: Α Ρ ( Χ Α) f ( )d 5- FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN La fucó de dstrbucó descrbe el comportameto probablístco de ua varable aleatora X asocada a u epermeto aleatoro y se represeta como: F() ó F Para estudar la fucó de dstrbucó dstguremos etre el caso dscreto y el caso cotuo o CASO DISCRETO Sea X ua varable aleatora dscreta asocada a u espaco probablístco, se defe la fucó de dstrbucó: ( ) : R [, F ] que verfca F ( ) Ρ[ X X ] Ρ <

4 _Aputes de Estadístca II Ejemplo: Cotuado co el ejemplo ateror, cuya dstrbucó de probabldad era: ( caras, /); ( cara, /); ( caras, /); (caras, /), Calcula la probabldad de obteer meos dos caras? Para resolver el problema lo que debemos de calcular es la probabldad de que la varable aleatora tome valores ferores a dos Esto vee dado por la epresó F () Prob [ X ] P Prob [ X ] + Prob [ X ] / + / 4/ < La fucó de dstrbucó para ua varable dscreta sempre verfca las sguetes propedades: A) F ( ) ; F( + ) B) Ρ [( a, b) ] F( b) F( a) C) Es ua fucó o decrecete: F ( ) F ( ), < o CASO CONTINUO: Sea X ua varable aleatora cotua co fucó de desdad f(), se defe la fucó de dstrbucó, F(), como: ( ) Ρ[ X ] F f ( ) d La fucó de dstrbucó para ua varable cotua sempre verfca las sguetes propedades: A) F( ) ; B) f ( ) d b C) P[ a b] f ( ) d F( b) F( a) a D) f ( ) F ( ) la fucó de desdad es la dervada de la fucó de dstrbucó

5 Varable aleatora y fucó de dstrbucó 9 Ejemplo: Sea X ua varable aleatora cuya fucó de desdad vee dada por f (X), calcula su fucó de dstrbucó: f ( ) X/ e otro caso Calculamos la fucó de dstrbucó, obteedo F ( X ) + f ( ) d f ( ) d d + d, 4 por tato, la fucó de dstrbucó será: F ( X ) 4 X < < X < X > 6- PARÁMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA E esta seccó estudaremos, de maera aáloga a las varables estadístcas, alguos parámetros de que va a resumr umércamete las dstrbucoes de las varables aleatoras, dstguedo como sempre, para el caso dscreto y cotuo 6- Esperaza matemátca para ua varable aleatora dscreta Dada ua varable aleatora X que toma valores,, co dstrbucó de probabldad Ρ( ) P, se defe la esperaza matemátca de ua varable aleatora como: Ε [] Ρ( X ) Ρ Ejemplo: Cotuado co el ejemplo ateror, cuya dstrbucó de probabldad era: ( caras, /); ( cara, /); ( caras, /); (caras, /), calcula la esperaza matemátca El resultado será: E [ X ] p + + +

6 _Aputes de Estadístca II 6- Esperaza matemátca para ua varable aleatora cotua Sea X ua varable aleatora cotua co fucó de desdad f(), se defe la esperaza matemátca de esa varable aleatora como: Ε + [] f ( ) d μ Tato para el caso dscreto como para el caso cotuo, la esperaza matemátca preseta las sguetes propedades: o S C es ua costate, E(C) C o a, b R, E(aX + b) ae(x) + b o S g(x) es ua fucó de X, etoces: o S X es dscreta, [ ( )] E g X g( ) p o S X es cotua, + E[ g( X )] g( ) f ( ) d o S X,, X so varables aleatoras, etoces E[ X ] E[ X ] 6- Varaza de ua varable aleatora A cotuacó vamos a defr la varaza de ua varable aleatora dferecado para el caso dscreto y cotuo Dada ua varable aleatora X que toma valores,, co dstrbucó de probabldad, se defe la varaza de X: o Dscreta: V [] E( )) ( μ) ( P μ + o Cotua: V [ ] ( μ) f ( ) d Ejemplo: Cotuado co el ejemplo ateror, cuya dstrbucó de probabldad era: ( caras, /); ( cara, /); ( caras, /); (caras, /), calcula la varaza El resultado será: V[ X ] σ p μ + + +,75 Propedades de la Varaza y la Esperaza matemátca: Sea X ua varable aleatora e Y otra varable aleatora tal que Y a X + b, etoces sempre se verfca:

7 Varable aleatora y fucó de dstrbucó o E [ Y ] ae[ X ] + b o V [ Y ] a V [ X ] o S X e Y so depedetes, etoces [ XY] E[ X ] E[ Y ] E 64- Covaraza Sea X e Y dos varables aleatoras, se defe la covaraza etre estas dos varables como, [ XY] E[ X ] E[ Y ] Cov E, dode el cálculo de las esperazas depederá de s las varables so dscretas o cotuas De esta defcó surge el sguete resultado Cuado X, Y so depedetes la covaraza es gual a E [ X Y ] E[ X ] E[ Y ], etoces [ XY] E[ X ] E[ Y ] E[ X ] E[ Y] E[ X ] E[ ] Cov E Y 65- Mometos de ua varable aleatora Dada ua va X, se defe su mometo de orde k (k,,,) respecto a la meda o mometo cetral de orde k como la esperaza de (X μ) k : μ k E[( X μ) k ] Del msmo modo se defe su mometo de orde k (k,,, ) respecto al orge o mometo o cetral de orde k como la esperaza de X k : α E[ X k De las defcoes se deduce que: o α o o α μ o μ o o μ o El segudo mometo cetral se llama també varaza, y se deota por V(X) o σ K ]