RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- I FUNTAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

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1 RENTILIDD Y RIESGO DE CRTERS Y CTIVOS TEM 3- I FUNTMENTOS DE DIRECCIÓN FINNCIER Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I

2 RIESGO y RENTILIDD ( decsoes de versó productvas) EXISTENCI DE RIESGO ( los FNC o se cooce co certeza ) Descotar FNC co resgo El coste de oportudad del captal (tasa de actualzacó del proyecto) depederá del vel de resgo del proyecto La tasa de actualzacó ha de ser lo que el accosta (versor) espera gaar s vrtese e proyectos de smlar resgo e los mercados faceros - Meddas de redmeto y resgo para u actvo dvdual y para ua cartera - Toma de decsoes de versó a ttulo dvdual - ao qué hpótess, y cuado los mercados está e equlbro, se establece ua compesacó etre retabldad esperada y resgo Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I

3 Medda del redmeto y del resgo de actvos dvduales y de carteras RENDIMIENTO Varacó epresada e térmos relatvos de La rqueza de u versor como cosecueca de la adquscó de u determado actvo facero Redmeto de u actvo facero e u perodo determado Gaacas recbdas como dvdedo o tereses y por las deomadas gaacas de captal ~ ~ ~ R D t + t Redmeto varable aleatora, e-post - Retabldad s se cooce co certeza, e-ate es ua varable aleatora de carácter subetvo RÁMETROS DE L FUNCIÓN - (R) varable aleatora - El valor esperado E (R) h R ; E (R) R f (R) dr H - H úmero de estados. - h la probabldad de obteer R - f(r) la fucó de desdad - Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I 3

4 La varaza o desvacó típca Observacó: S se descooce la dstrbucó de probabldad del actvo cosderado, o coocemos los parámetros de los que estamos hablado. Habrá, por tato, que estmarlos a partr de datos muestrales (las seres hstórcas de redmetos). ermte coocer la aturaleza de la fucó de dstrbucó (forma dea de la dspersó de los redmetos co respecto a la meda), es ua medda del Resgo) (R) (R) H h [ R E(R) ] [ R E(R) ] f (R) dr U estmador sesgado de la esperaza poblacoal es la meda muestral, y u estmador sesgado de la varaza poblacoal es la cuasvaraza. R ˆ N t N N t R t ( R N t R ) - N úmero de observacoes - R t redmeto observado e el mometo t Covaraza Estadístco que va resultar relevate, mde e qué medda los redmetos de dos actvos está terrelacoados S o se cooce el parámetro poblacoal se deberá estmar, como estmador de la covaraza poblacoal se usará la covaraza muestral Sea y dos actvos cuyas respectvas retabldades (R y R ) so varables aleatoras., Como estmador: Cov(R,R ) E (R [ E(R ))(R E(R ))] Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I 4

5 ˆ, N t (R,t R )(R N,t R ) Covaraza Es u úmero que solo da ua dea del setdo de la relacó etre los redmetos de los dos actvos (s es postva es que opera e la msma dreccó, s es egatva e dreccoes dsttas), pero o de la tesdad de la msma Coefcete de correlacó Se mueve etre - y, resuelve el problema ateror ya que proporcoa ua dea del grado de terrelacó ρ ρ +, correlacó perfecta postva. ρ -, correlacó perfecta egatva. ρ 0, varables depedetes. Eemplo: Estado Naturaleza robabldad R R R 3 0, 0,5 0,5 0,0 0,4 0,0 0,5 0,5 3 0,4 0,5 0,0 0,0 4 0, 0,0 0,0 0,5 E(R )0,.0,5+0,4.0,0+0,4.0,5+0,.0,00,75 E(R )0,75 E(R 3 )0,75 (0,5-0,75).0,+(0,0-0,75).0,4+(0,5-0,75).0,4+(0,-0,75).0,0,0065 0,0065 Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I 5

6 3 0,0065 Cov(R,R ), 0,5-0,75)(0,5-0,75).0,+(0,-0,75)(0,5-0,75).0,4+(0,5-0,75)(0,- 0,75).0,4+(0,-0,75)(0,-0,75).0,6, Cov(R,R 3 ),3-6,5.0-4 Cov(R,R 3 ),3-6,5.0-4 ρ, 4 6,5 0 (0,0403)(,0403) 4 6,5.0 0, ,0065 ρ,3 - ρ,3-0, Co datos muestrales se tedría: Mometos del tempo R R R 3 t 0,5 0,5 0,0 t 0,0 0,5 0,5 t3 0,5 0,0 0,0 t4 0,0 0,0 0,5 05, + 0, + 05, + 0, R 0, 75 4 R 0, 75 R 3 0, 75 ˆ (0,5 0,75) 0, (0, 0,75) + (0,5 0,75) 4 + (0, 0,75) ˆ ˆ 3 ˆ, 0, , (0,5 0,75)(0,5 0,75) + (0, 0,75)(0,5 0,75) + (0,5 0,75)(0, 0,75) + (0, 0,75)(0, 0,75) 4 0, ˆ, 3 ˆ, 3 0, , Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I 6

7 RENDIMIENTO Y RIESGO DE UN CRTER (Combacó de actvos faceros) Cómo se puede determar el redmeto de ua cartera? El redmeto de ua cartera, p, para u perodo, que está compuesta por dos actvos y. S el versor verte la mtad de su rqueza e cada uo de los actvos: Supoemos que la rqueza es de u.m., s al fal del perodo el redmeto del actvo ha sdo R, y el del actvo ha sdo R, el redmeto de la cartera sería: R R p p R R ,5 R + 0,5 R 0,5 es la proporcó vertda e cada uo de los actvos, luego geeralzado y s se llama a la proporcó de la rqueza vertda e el actvo : R R + R S la cartera estuvese compuesta por actvos: R R dode. Redmeto de ua cartera para u perodo Suma poderada de los redmetos de los actvos que la compoe (la poderacó es la proporcó de la rqueza vertda e cada actvo epresada e tato por uo) E el caso de dos actvos: ~ ~ ~ R R + R p plcado el operador esperaza: ER ( ~ ) ER ( ~ ) + ER ( ~ ) p plcado el operador Varaza: + +, p ara actvos: R ~ p R ~ + R ~ + L + R ~ E(R ~ p ) E(R ~ ) + E(R ~ ) + L + E(R ~ ) R ~ Como el redmeto del actvo facero es ua varable aleatora, el redmeto de la cartera també lo será, pues es ua combacó leal de varables aleatoras Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I 7

8 Coclusó: Redmeto de ua cartera para u perodo Es la suma poderada de los redmetos esperados de los actvos que la compoe, sedo la poderacó la proporcó vertda de la rqueza cal e cada actvo El resgo total meddo por la varaza (o su raíz cuadrada, la desvacó típca): p L + +,,, +, 3,3 + L + ρ,, Observacoes S se verte e actvos (.) el total de la versó ha de ser el 00% de la rqueza luego: S o se dca ada más de las varables puede ser postvos o egatvos- - S so postvos sgfca que se está tomado poscoes largas e el actvo (se está comprado) - S las so egatvas se está tomado poscoes cortas e el actvo, es decr se está vededo al descuberto Coclusó El resgo de la cartera va a depeder de la covaraza etre los actvos que la compoe Dado que el resgo de la cartera depede de la varaza de los actvos que la compoe que sempre so postvas y de la covaraza etre ellos, la gestó del resgo de la cartera da mportaca a las covarazas etre los actvos, ya que estas puede ser també egatvas Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I 8

9 Ua covaraza postva etre los actvos añade resgo a la cartera Dada ua determada varaza de los títulos Ua covaraza egatva reduce la varaza de toda la cartera S la cartera está formada por dos actvos, cuado uo tede a subr el otro tede a baar, los dos actvos se está compesado etre sí. S ambos actvos sube o baa utos o se está compesado y el resgo de la cartera será más alto Coclusó: el efecto e el resgo de ua cartera de u actvo dvdual o solo vee dado por su resgo total (la varaza) so també por la terrelacó de este actvo co el resto Eemplo. Sea tres actvos faceros cuya esperaza y varaza so: ER ( ~ ) 0, 75 0, , 5 0, ER ( ~ ) 0, 75 0, , 6 0 3, ER ( ~ ) 0, 75 0, , , Como los redmetos esperados de los tres actvos so détcos, el redmeto esperado de cualquer cartera formada por cualquer proporcó de los actvos y, y 3, y 3 o, y 3 es el msmo 0,75, por eemplo: ER ( ~, ) 0, 5 0, , 5 0, 75 0, Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I 9

10 or cotra s calculamos la varaza de la cartera, el resgo depederá de los dos actvos que ela, ya que auque el resgo dvdual es el msmo també se ve afectado por la covaraza etre los actvos: 0, 5 0, , 5 0, , 5 0, 5 6, 5 0 4, 4 3, 0, 5 0, , 5 0, , 5 0, 5 6, , ,,,,,, (, ) La combacó de actvos que meor resgo proporcoa es la formada por los actvos y 3 que tee covaraza egatva. Qué aporta u actvo dvdual al redmeto y resgo de ua cartera? S observamos la epresó del redmeto esperado: E(R ~ p ) E(R ~ ) + E(R ~ ) + L + E(R ~ ) + L+ E(R ~ El actvo aportará a la retabldad de la cartera ). ero al resgo de la cartera, s hacemos refereca al msmo como desvacó típca, o aporta, ya que el efecto e el resgo de la cartera també depede de la relacó etre el redmeto del actvo y el redmeto del resto de actvos que compoe la cartera: E(R ~ ),, [, +, + L +, ] [ Cov(R ~, R ~ + R ~ + L + R ~ )],como R ~ + R ~ + L+ R ~ R ~ como + L, etoces: R ~ R ~ + + R ~ R ~ Cov(R ~,R ~ ) Coclusó: La varaza de la cartera se puede epresar como suma poderada de las covarazas de los redmetos de los actvos co el redmeto de la cartera, y la cotrbucó al resgo de la cartera de u actvo será:, (depede o del resgo dvdual, so de la relacó del actvo co el resto de actvos que compoe la cartera) Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I 0

11 La desvacó estádar de la cartera o vee dada como la meda poderada de las desvacoes típcas de los redmetos de los actvos dvduales que la compoe Cocepto de dversfcacó Resulta teresate comparar esta suma poderada co la desvacó típca de la cartera, co el f de aalzar que ocurre al combar actvos faceros e carteras, s es que ocurre algo La meda poderada de las desvacoes típcas y su cuadrado vee dada por la epresó: La desvacó típca de la cartera y su cuadrado (la varaza) será: + +, + + Sea los actvos y : + + ρ, S el coefcete de correlacó es gual a uo las epresoes so détcas, e el caso cotraro, la últma epresó sempre es más pequeña. Es decr la desvacó típca de ua cartera de dos títulos sempre es más pequeña (o como mucho gual), que la meda de las desvacoes típcas de los actvos dvduales. Esto es debdo al efecto de la dversfcacó (Dsmucó del resgo combado actvos e carteras, es decr gestó del resgo combado de forma adecuada actvos e carteras). Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I

12 La teoría de carteras de Markowtz Cuestó a resolver: Dado u couto de actvos faceros, cuáles so las combacoes óptmas de estos actvos y cuál de ellas escoger a la hora de tomar la decsó de vertr? (el modelo de Markowtz () os proporcoa, a partr de determadas hpótess sobre el comportameto del versor y sobre los redmetos de los actvos, ua solucó al problema plateado) portacó de Markowtz Calcularr de forma eplícta el comportameto racoal del versor, cosstete e buscar la composcó de cartera que mamce su redmeto para u determado vel de resgo, o que haga mímo el resgo de aquélla para u redmeto dado roblema plateado Mamzar la fucó de utldad de u dvduo racoal y adverso al resgo, que desee vertr la totaldad de su presupuesto e los actvos arresgados que se cotza e bolsa Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I

13 E relacó al comportameto del versor:.-el versor toma sus decsoes e base a dos parámetros de la fucó de dstrbucó de la varable aleatora retabldad, el valor medo y la varaza o desvacó típca (razó por la que deoma també modelo de dos dmesoes y modelo de decsó meda-varaza..-el comportameto del versor, se admte que es racoal (prefere más a meos), y adverso al resgo. or ello, su fucó de utldad, que se defe, úca y eclusvamete, e fucó de la esperaza y desvacó típca de la retabldad (debe recoger que prefere las carteras de mayor retabldad y meor varabldad o resgo), es decr: U U 0; 0 ER ( ~ ) 3.-E cuato a las curvas de soutldad ha de ser crecetes y cócavas: de( R ~ ) de( R ~ ) 0; 0 d d Hpótess Fudametales 4. Todos los versores tee u horzote temporal que cluye u úco perodo. E cuato a los mercados y actvos:.- Los redmetos de u actvo facero o cartera para u perodo de tempo dado es ua varable aleatora, y su fucó de probabldad para el período de refereca es coocda por el versor. demás se asume la hpótess de que se dstrbuye segú ua ormal (fucó de dstrbucó smétrca y estable, aceptado así que la varable aleatora retabldad del título o cartera, está perfectamete defda por los dos prmeros mometos, es decr, la meda y la varaza o desvacó típca) La esperaza matemátca o meda de dcha varable aleatora se acepta como medda del redmeto o retabldad de la versó. La varaza o desvacó típca se cosdera como medda del resgo. De este modo queda ustfcado el que los crteros de decsó se establezca e base al valor medo y a la varaza de los redmetos..- E el mercado este N actvos arresgados. 3.- Los mercados de captales so perfectos : 4.-Que todas las versoes so perfectamete dvsbles Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I 3

14 Obetvo del Modelo Determar la composcó de la cartera que mamce la utldad esperada del versor (cartera óptma) I Determacó del couto de posbldades de versó II Determacó de la Frotera Efcete (o couto efcete) Etapas del roceso. III Especfcacó de las preferecas del versor, esto equvale a determar el mapa de curvas de soutldad IV Determacó de la cartera óptma del versor a partr de sus preferecas y del couto efcete Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I 4