6.2.- Funciones cóncavas y convexas

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1 C APÍTULO 6 PROGRAMACIÓN NO LINEAL 6..- Itroduccó a la Programacó No Leal E este tema vamos a cosderar la optmzacó de prolemas que o cumple las codcoes de lealdad, e e la fucó ojetvo, e e las restrccoes. E geeral, se puede epresar u prolema de Programacó No Leal (PNL) de la maera sguete: ecotrar los valores de las varales (,,, ) que Ma (m) z= f(,,, ) st g (,,, ) (, =, ) g (,,, )(, =, ). (6.) g m (,,, )(, =, ) m 0, Ates de etrar de lleo e el tema, veamos ua sere de coceptos sore fucoes cócavas y coveas Fucoes cócavas y coveas Las fucoes cócavas y coveas represeta u papel fudametal e la Teoría de la Optmzacó ya que puede garatzaros la gloaldad de los óptmos locales. Por ello vamos a car este apartado troducedo el cocepto de fucó cócava y covea para luego más tarde troducr codcoes que os permta recoocer s ua fucó es cócava o covea depededo de sus propedades de dferecaldad. 69

2 70 Ivestgacó Operatva Defcó 6.. Dremos que ua fucó f() es estrctamete cócava e u cojuto S coveo s todo segmeto que ue dos putos de la gráfca esta estrctamete por deajo de la gráfca. Defcó 6.. Dremos que ua fucó es cócava (o estrcta) s o todas las cuerdas que ue putos de la gráfca e dcho tervalo queda estrctamete por deajo. Defcó 6.3. Sea f() ua fucó defda e u tervalo de R, dremos que dcha fucó es covea e el tervalo s todo segmeto que ue dos putos de la gráfca queda por ecma de la gráfca. S sempre queda estrctamete por ecma, decmos que la fucó es estrctamete covea. Defcó 6.4. Sea S u sucojuto coveo de R y sea f: S R. Dremos que f() es ua fucó covea e S s para cualquer par de putos, ys y para cualquer [0,] f[(-)+y] (-)f()+f(y) Defcó 6.5. f() es ua fucó estrctamete covea e S s para cualquer par de putos, ys y para cualquer [0,] f[(-)+y] < (-)f()+f(y) E la fgura sguete se represeta gráfcamete ua fucó covea: Defcó 6.6. f() es ua fucó cócava e S s para cualquer par de putos, ys y para cualquer [0,] f[(-)+y] (-)f()+f(y)

3 Programacó o Leal 7 Defcó 6.7. f() es ua fucó estrctamete cócava e S s para cualquer par de putos, ys y para cualquer [0,] f[(-)+y] > (-)f()+f(y) E la fgura sguete se represeta gráfcamete ua fucó cócava: Ejercco 6.. Demostrar por defcó que f()= es estrctamete covea e R. Para hacer esta demostracó, cosderemos dos putos cualesquera de R, por ejemplo,. Teemos que demostrar que f((- ) + ) (- )f( )+ f( ) y comparar co ((- ) + ) =(- ) + +(- ) (- ) + Osérvese que o es fácl demostrar la cocavdad o covedad de ua fucó por defcó. Por ello es ecesaro o coveete dspoer de uas codcoes ecesaras y sufcetes que os permta determar s ua fucó es cócava o covea estudado otros elemetos más operatvos. Propedad 6.. S f es cócava e S, etoces -f es covea e S y s f es covea e S, etoces -f es cócava e S.

4 7 Ivestgacó Operatva Propedad 6.. S f es estrctamete covea e S, etoces -f es estrctamete cócava e S y, s f es estrctamete cócava e S, etoces -f es estrctamete covea e S. Propedad 6.3. S f, =,..., so coveas e S, etoces co 0 es covea e S. Del msmo modo, s f, =,..., so cócavas e S, etoces co 0 es cócava e S. f Demostracó. Demostramos sólo la prmera: S f es covea e S para todo, etoces para cualquer par de putos, ys y para cualquer [0,] f [(-)+y] (-)f ()+f (y) Esto quere decr que para cualquer >0 etoces f [(-)+y] ((-)f ()+f (y)) f ( y esto últmo es certo s y sólo s f ( ( ) y ) (( ) f ( ) f ( y)) ( ) y ) ( ) f ( ) f ( y) co lo que queda demostrado que es covea. Propedad 6.4. El producto de fucoes cócavas (coveas) o ha de ser ecesaramete ua fucó cócava (covea). Teorema 6.. Sea S u sucojuto coveo de R, sea f:s R. Etoces: a) S f es covea e S para todo R, se verfca que el cojuto A ={S / f() } es u cojuto coveo. f

5 Programacó o Leal 73 ) S f es cócava e S para todo R se verfca que el cojuto B ={S / f() } es u cojuto coveo. Demostracó. a) Cosderemos u úmero real cualquera. Como f es covea e u cojuto S (coveo de R ), vamos a demostrar que el cojuto es coveo. Cosderemos dos putos cualesquera, y y sea u [0,] Como dchos putos so del cojuto, etoces verfca que f() f(y) pues, y Como además f es covea se verfca que f[(-)+y] (-)f()+f(y) (-) luego se cumple que [0, ] y, y f[(-)+y], por tato el cojuto es coveo. ) Se demuestra de forma aáloga. Propedad 6.5. Regó factle para u prolema de PNL es el cojuto de valores =(,,, ) que satsface las restrccoes de (6.). Propedad 6.6. Mámo local: sea S u cojuto coveo tal que, S, f( ) f( ) sería u mámo local. Propedad 6.7. Mímo local: sea S u cojuto coveo tal que, S, tal que f( ) f( ) sería u mímo local. Propedad 6.8. Sea el prolema Mamzacó de z e u prolema de programacó o leal (PNL). S para todo este tal que f( ) f(), sería la solucó óptma (cumpledo la Propedad 6.6). Propedad 6.9. Sea el prolema Mmzacó de z e u prolema de programacó o leal (PNL). S para todo este tal que f( ) f(), sería la solucó óptma (cumpledo la Propedad 6.7).

6 74 Ivestgacó Operatva Teorema 6.. Cosderemos u PNL de mamzacó. Supógase que la regó factle, S, para el PNL es u cojuto coveo. S f() es cócava sore S, etoces cualquer mámo local de PNL es ua solucó óptma para el prolema de PNL. Demostracó Supogamos que este que es mámo local y que o es solucó óptma, es decr, / f() > f ( ). Podemos formar comacó leal: f( + (- ) ) f( ) + (-) f() Como f() > f ( ), teemos f( + (- ) ) f() + (-) f() > f( ) + (-) f( )= f( ) Podemos tomar + (-) o puede ser u mámo local, e cotra de la hpótess cal. Luego, llegamos a ua cotradccó, por lo que el teorema es certo. Es decr, s es mámo local, etoces es ua solucó óptma para el PNL. Defcó 6.8. La matrz Hessaa asocada a ua fucó f()= (,,, ) es ua matrz cuadrada, H, tal que sus elemetos h j so de la forma: h j = z j Defcó 6.9. Deomamos Hessao al determate asocado a la matrz Hessaa. E, el hessao es H: H = z z z z Para u prolema de Mamzacó co dos varales, las codcoes que se ha de verfcar so: z z z = 0, < 0 = 0, H( ) > 0

7 Programacó o Leal 75 dode es el puto de estudo correspodete al mámo. Para u prolema de Mmzacó co dos varales, las codcoes que se ha de verfcar so: z z = 0, > 0 z z = 0, H( ) > 0 dode es el puto de estudo correspodete al mímo. Defcó 6.0. El meor prcpal de orde de ua matrz H es el determate de cualquer matrz que se otee al suprmr las - flas y las - columas correspodetes de la matrz. Defcó 6.. El meor prcpal domate de orde de ua matrz H es el determate de cualquer matrz que se otee al suprmr las - últmas flas y columas de la matrz. Teorema 6.3. Sea la fucó f() co dervadas parcales de segudo orde cotuas para cada puto de S (cojuto coveo de solucoes factles). Etoces f() es covea sore S s y sólo s, para cada S, todos los meores prcpales, H, so o egatvos. Teorema 6.4. Sea la fucó f() co dervadas parcales de segudo orde cotuas para cada puto S (cojuto coveo de solucoes factles). Etoces f() es cócava sore S s y sólo s, para cada S, los meores prcpales, H, o ulos tee el sgo que (-) Optmzacó s restrccoes e R Estudaremos cómo oteer ua solucó óptma (s este) o u etremo local para el sguete prolema de PNL: Ma (m) z = f(,,, ) st = (,,, ), R (6.)

8 76 Ivestgacó Operatva Supogamos que este las prmeras y las segudas dervadas parcales de f() y que so cotuas e todos los putos. Ua codcó ecesara para que u puto sea u etremo local para el PNL (6.) os la proporcoa el teorema sguete: Teorema 6.5. S =(,,..., ) es u etremo local para (6.), etoces f ( ) = 0,. f ( ) Defcó 6.. U puto que satsfaga = 0 es puto estacoaro de la fucó f(). Teorema 6.6. S H ( ) > 0, (=,,..., ), etoces u puto estacoaro será u mímo local para (6.). Teorema 6.7. S H ( )0 (=,,..., ) y tee el sgo que (-) k, etoces u puto estacoaro será u mamo local para (6.). Teorema 6.8. S H ( )0 (=,,..., ) y o se da guo de los casos aterores (teoremas 6.6 y 6.7), f() preseta u puto de fleó e ese puto. Ejercco 6.. Oteer el etremo de z = La codcó ecesara para que esta etremo es: z = - = 0, z = 3 - =0, z 3 z = 0, para =,, 3. = = 0 Resolvedo el sstema ateror, oteemos, para el etremo, el puto ojeto de estudo ( /, /3, 4/3 ) = 0 Codcó sufcete:

9 Programacó o Leal 77 H = z z z z z z z z z = Estudo de los meores prcpales: Orde : H = - < 0 sgo (-) Orde : H = 0 0 = 4> 0 sgo (-) Orde 3: H 33 = = -8+= -6 < 0 sgo (-) 3 Por tato, teemos el sgo de (-). Así pues, e el puto 0, teemos u posle mámo. Como el valor de los meores prcpales o depede del puto, e ese puto teemos u mámo Búsqueda de la seccó Áurea Cosderemos ua fucó f() para la cual la dervada de f(), f (), es dfícl de oteer o o este. El prolema de PNL a resolver es Ma z = f() st a (6.3)

10 78 Ivestgacó Operatva Defcó 6.3. Ua fucó f() es umodal e el tervalo [a,] s se verfca que este u puto, tal que f() es crecete e [a, ] y decrecete e [, ]. E la úsqueda de la Seccó Áurea, elegmos dos putos,,, de maera razoada, de forma que podamos estudar los sguetes casos: CASO : f( ) < f( ) CASO : f( ) = f( ) a a I = (, ] I = [ a, ) ó I =(, ] CASO 3: f( ) >f( ) a I = [ a, ) Seccó Áurea se deoma al coefcete r, el cual se determa de la sguete forma: ( logtud de todo el segmeto) = r ( logtud de la parte más l arg a del segmeto) r ( logtud de la parte más l arg a del segmeto) = r ( logtud de la parte más corta del segmeto) r = -r r +r-=0, r = 0,68

11 Programacó o Leal 79 E cada caso, podemos demostrar que la solucó óptma para (6.) estará e u sucojuto [a, ]. La úsqueda de la Seccó Áurea empeza co la evaluacó de f() e los putos y, dode =-r(-a) y =a+r(-a). r(-a) a r(-a) Defcoes 6.4. L k : logtud del tervalo de certdumre después de realzar k teracoes. I k : tervalo de certdumre después de realzar k teracoes. - = r(-a) = - r(-a) - a = r(-a) = a + r(-a) y queda perfectamete defdos. L = r(-a) CASO : f( ) < f( ) L = r(-a) I = (, ], - = r(-a), r = -r r(- ) 3 4 r(- ) 3 = - r(- ) = r r(-a) = - r (-a) 3 = - (-r) (-a)= 4 = + r(- ) = + r r(-a) = + r (-a) L = - 3 = r( ) = r (-a), I = ( 3, ] Sguedo el msmo proceso, llegamos a ua epresó geeral para la logtud del tervalo de certdumre después de realzadas k teracoes del algortmo:

12 80 Ivestgacó Operatva L k = r k (-a), r k = L k a Tomado logartmos k log r = log L k - log (-a) k = log L k log( a) log r Poedo la codcó de que la logtud de certdumre sea meor o gual que u valor prefjado,, teemos que el úmero de teracoes, k, vee dado por log log( a) L k k = log r El valor que tomamos para k es el etero más prómo por eceso, [k]+. CASO : f( ) f( ) L = r(-a) I = [a, ), -a= r(-a), r = -r r( - a) 3 4 a r( - a) 3 = - r( - a) = - r (-a) 4 = a + r ( -a) = a + r (-a) 4 = a + (-r)(-a) = a+-a-r(-a) = -r(-a) = = - r (-a) L = 4 - a= r( 3 - a) = r (-a) Sguedo el msmo proceso, llegamos a ua epresó geeral para la logtud del tervalo de certdumre después de realzadas k teracoes del algortmo:

13 Programacó o Leal 8 L k = r k (-a), r k = L k a log log( a) L k k = ; log r El valor que tomamos para k es el etero más prómo por eceso, [k]. CASO 3: f( ) < f( ) Caso 3.: f( 3 ) < f( 4 ) Caso 3.: f( 3 ) f( 4 ) Caso 3.: f( ) < f( ) L = r(-a); I = (, ] f( 3 ) < f( 4 ) r(- 3 ) r(- 3 ) L = r ( - ), L < L I = ( 3, ] 5 = - r (- 3 ) 6 = 3 + r (- 3 ) y así sucesvamete. Ejemplo: Ma z =f() st - Cuáto tee que valer k para que el error sea 0 3? k = log0 3 log = 5 79 k=6 log 0'68

14 8 Ivestgacó Operatva Método del gradete El método del gradete se aplcará para apromar u puto estacoaro de ua fucó cuado sea dfícl ecotrar ese puto estacoaro. E este apartado, se estudará cómo oteer ua solucó óptma (s este) para u prolema de PNL s restrccoes: Ma (m) z = f() st Defcó 6.5. El gradete es u vector cuyas compoetes so dervadas parcales de la fucó f() que queremos estudar. f ( ) f() = (, f ( ),, f ( ) ) f ( ) El vector ormalzado del gradete es: u = f ( ) El gradete os proporcoa la dreccó de mámo camo. 0 f ( ; f( ) < ) Los pasos a segur so: ) Fjamos u puto cal 0 y e la dreccó del gradete, os desplazamos hasta otro puto. ) Fjamos el grado de apromacó a la solucó a través de ( f( ) < ). ) S se cumple la codcó, se ecotrará cercao a u puto f ( ) estacoaro ( = 0 ). v) S o se cumple, uscaremos de forma teratva u puto j e el que se verfque f( j ) <. Ma z = f( 0 + t 0 f( 0 )) 0 f () : = 0 + t 0 f( 0 ) st t 0 0 Nos pregutamos es f( ) <? S lo es, hemos termado.

15 Programacó o Leal 83 E caso cotraro Ma z=f( + t f( )) f () : = + t f( ) st t 0 Es f( ) <? S lo es, hemos termado. E caso cotraro, segumos co el proceso hasta ecotrar u puto que lo verfque. El proceso ateror se repte hasta cumplr la codcó de parada,( f( ) < ). Ejercco 6.3. Utlzado el método del gradete aprome la solucó de Ma z = f (, ) = -( -) - ( -) st (, ) R Para resolverlo elegmos de forma artrara el puto 0 = (, ) y calculamos el gradete e ese puto f ( ) f() = (, f ( ) )= (-( -)-( -)) = 0 + t 0 f( 0 ) = (, )+ t 0 (0, )= (, + t 0 ) Ma z = f( 0 + t 0 f( 0 ))= Ma f(, + t 0 ) f(, + t 0 )= ( t 0 -) = f (t 0 ) Dervado e gualado a cero la dervada, f (t 0 )= 0, teemos f = 4( t 0 -)= 8 t 0-4 = 0, t 0 = / Desplazádoos e la dreccó del gradete haca el uevo puto,, teemos = 0 + t 0 f( 0 )= (, )+ ½ (0, )= (, ) Calculado f (, )= (0, 0), os dca que hemos falzado. Al ser f (, ) ua fucó cócava, hemos ecotrado la solucó óptma del prolema.

16 84 Ivestgacó Operatva Multplcadores de Lagrage Se puede utlzar los multplcadores de Lagrage para resolver prolemas de PNL e los cuales las restrccoes so de gualdad. Ma (m) z = f() = f(,,, ) s.t. g (,,, ) = g * = - g () = 0 g (,,, ) = g * = - g () = g m (,,, ) = m g m * = m - g m () = 0 (6.3) Para resolver el prolema ateror, asocamos a cada restrccó u multplcador (=,,..., m) y formamos la fucó lagragaa m L(, ) = f() + g *(, ) = f() + m [ - g ()] dode (=,,..., m) so costates (descoocdas) deomadas multplcadores de Lagrage. Buscaremos ua solucó de L(, ). Para ello, segú se ha vsto e el apartado 6., la codcó ecesara para que L(, ) tega u mámo o u mímo e el puto (, ) = =(,...,,,..., ) es,, m L = 0, (=,,, ) L = 0, (=,,, m) (6.4) Teorema 6.9. Supogamos que (6.3) es u prolema de mamzacó. S f() es ua fucó cócava y s cada g () es ua fucó leal, etoces cualquer puto (, ) que satsfaga (6.4) proporcoará ua solucó óptma =(,,, ) para el prolema (6.3). Teorema 6.0. Supogamos que (6.3) es u prolema de mmzacó. S f() es ua fucó covea y s cada g () es ua fucó leal, etoces cualquer puto (, ) que satsfaga (6.4) proporcoará ua solucó óptma =(,,, ) para el prolema (6.3).

17 Programacó o Leal 85 Ejercco 6.4. Comproar que el puto (4,-;4,8) es estacoaro para la fucó lagragaa asocada al prolema: Ma z = (-) +(y-) st -+y 0 +y Ejercco 6.5. Ua compañía plafca gastar euros e pulcdad. Cuesta euros u muto de pulcdad e la televsó y.000 euros u muto de pulcdad e la rado. S la empresa compra mutos de pulcdad e la televsó e y mutos de pulcdad e la rado, su greso, e mles de euros, está dado por f(,y)=- -y +y+8+3y. Platear y resolver el prolema de maera que la empresa mamce sus gresos. Solucó: La formulacó del prolema o leal queda de la forma: Ma z =- - y +y+8+3y st 3+y=0 Formamos la lagragaa L(, y, ) =- - y +y+8+3y+ (0-3-y) Operado teemos L L y = -4+y+8-3=0 y= = -y++3- =0 = y-3+ L =(0-3-y) = y = 0 Vamos a poer las epresoes de e y e fucó de. Susttuyedo e y = 4-8+3, teemos

18 86 Ivestgacó Operatva y =4(y-3+) y =0-7 y =0/7- Llevado este valor de y a = y-3+, teemos = y-3+= (0/7-)-3+=9/7- Susttuyedo los valores de e y e 3 + y = 0, teemos 3 + y = 0=3(9/7-)+0/7-=-4 =/4 Susttuyedo este valor de =/4 e las epresoes de e y, teemos y =0/7-=0/7-/4=73/8 = 9/7-/4=69/8 La matrz hessaa asocada co la fucó f(, y) = - - y +y+8+3y es 4 H(, y)= Los meores prcpales de prmer orde so egatvos y H =7 > 0, luego f(, y) es ua fucó cócava. La restrccó es leal, por el Teorema 6.9, coclumos que la solucó es óptma para el prolema o leal. Así, la empresa tedría que comprar 69/8 mutos de tempo de televsor y 73/8 mutos de tempo de rado Iterpretacó de los multplcadores de Lagrage Estamos teresados e estudar e qué medda varía el valor de la fucó ojetvo e cuado varamos el recurso. Teemos que e el puto (, ) =(,,...,,,,..., m ) el valor de la fucó ojetvo, z =f(), es óptmo. S tomamos dervadas parcales e ese puto respecto a los recursos, teemos:

19 Programacó o Leal 87 L(, ) = f() + m [ - g ()], f ( ) (=,,, m) lo que os dca que los multplcadores de Lagrage vee a represetar los precos margales (precos somra) ya mecoados al estudar la terpretacó ecoómca del DUAL. E el ejercco ateror =/4, el gasto de u catdad etra pequeña, (e mles de euros) aumetaría los gresos de la empresa e apromadamete Codcoes de Kuh -Tucker E esta seccó se estuda las codcoes ecesaras y sufcetes para que el puto =(,,..., ) sea ua solucó óptma para el PNL, co restrccoes de desgualdad. Las codcoes de Kuh-Tucker sólo so aplcales s las g () (=,,..., m) satsface certas codcoes de regulardad: ) Ser leales e depedetes o ) Restrccoes lealmete depedetes: cotuas y los gradetes e la solucó óptma forma u sstema de vectores lealmete depedetes. Para aplcar los resultados de este apartado, todas las restrccoes del PNL tee que ser del tpo. Estudaremos los dos casos sguetes: Caso : s restrccó de sgo Ma (m) z= f() s.t. g () g (). (6.5) g m () m El prolema ateror lo trasformamos e u prolema de multplcadores de Lagrage troducedo varales de holgura h : g () + h = g * =( - (g () + h )) = 0 g () + h = g * =( - (g () + h )) = 0

20 88 Ivestgacó Operatva g m () + h m = m g * m =( m - (g m () + h m )) = 0 Formamos la fucó lagragaa Y, operado, teemos m L(, h, ) = f() + [ - (g () + h )] L j L L h = 0 = f() - j m g ( ) = 0 = [ - (g () + h )] h = - g () = 0 = - h h = [ - g ()] j Las codcoes de Kuh-Tucker se estalece como m f ( ) j g ( ) j = 0 (j=,,..., ) [ - g ( )] = 0 (=,,..., m) 0 (=,,..., m) (6.6) Tomaremos e la epresó ateror el sgo: - para u prolema de mamzacó. + para u prolema de mmzacó. Teemos que teer presete que puede haer óptmos locales y gloales que o verfque las codcoes Kuh-Tucker. S u puto satsface las codcoes de K-T este puto es u óptmo local. S u puto es u óptmo local o tee por qué satsfacer las codcoes de K-T. Los teoremas sguetes os da las codcoes ecesaras y sufcetes (s satsface las codcoes de regulardad), para que u puto =(,,..., ) sea solucó de (6.5). Teorema 6.. Sea el prolema (6.5) de mamzar f(). S el puto =(,,..., ) es ua solucó óptma de (6.5), etoces tedrá que

21 Programacó o Leal 89 satsfacer las m restrccoes del prolema de PNL (6.5) y deerá estr multplcadores,,, m, que verfque las codcoes de Kuh-Tucker (6.6). Teorema 6.. Sea el prolema (6.5) de mmzar f(). S el puto =(,,..., ) es ua solucó óptma de (6.5), etoces tedrá que satsfacer las m restrccoes del prolema de PNL (6.5) y deerá estr multplcadores,,, m, que verfque las codcoes de Kuh-Tucker (6.6). Caso : co restrccó de sgo ( 0) Cuado se poe restrccoes de o egatvdad para las varales, las codcoes de Kuh-Tucker para el PNL (6.5) se estalece Ma (m) z= f() st. g () g (). (6.7) g m () m - 0 para (=,,...,) Operado de forma aáloga a como se hzo para el Caso, teedo e cueta que aquí teemos que troducr dos varales de holgura h, (=,,..., m) y t j (j=,,..., ) y dos multplcadores de Lagrage y j, escrremos la fucó lagragaa m L(, h, t,, ) = f() + [ - (g () + h )]+ j [ j - t j )] y oteemos las codcoes de Kuh-Tucker: j f ( ) j m g ( ) j j = 0 (j=,,..., ) [ - g ( )] = 0 (=,,..., m) f ( ) [ j m g ( ) ] j = 0 (j=,,..., ) j

22 90 Ivestgacó Operatva 0 (=,,..., m) j 0 (j=,,..., ) (6.8) Tomaremos e la epresó ateror el sgo: (-, +) para u prolema de mamzacó. (+, -) para u prolema de mmzacó. Como j 0, la prmera restrccó de (6.8) puede escrrse como f ( ) j m - g ( ) j 0 (j=,,..., ) (prolema de mamzacó) f ( ) j m + g ( ) j 0 (j=,,..., ) (prolema de mmzacó) Geeralzado los Teoremas 6. y 6., teemos: Teorema 6.3. Sea el prolema (6.7) de mamzar f(). S el puto =(,,..., ) es ua solucó óptma de (6.7), etoces tedrá que satsfacer las m restrccoes del prolema de PNL (6.7) y deerá estr multplcadores,,, m ;,,,, que verfque las codcoes de Kuh-Tucker (6.8). Teorema 6.4. Sea el prolema (6.7) de mmzar f(). S el puto =(,,..., ) es ua solucó óptma de (6.7), etoces tedrá que satsfacer las m restrccoes del prolema de PNL (6.7) y deerá estr multplcadores,,, m;,,, que verfque las codcoes de Kuh-Tucker (6.8). Podemos estalecer dos teoremas, correspodetes a los Teorema 6.3 y 6.4, que recoja las codcoes ecesaras y sufcetes para que =(,,..., ) sea ua solucó óptma de (6.5) o (6.7). Teorema 6.5. Sea el prolema (6.7) de mamzar f(). S f() es ua fucó cócava y las g () (=,,..., m) so fucoes coveas, etoces cualquer puto =(,,..., ) que satsfaga las codcoes de Kuh-Tucker (6.8) y las m restrccoes del prolema de PNL es ua solucó óptma de (6.7).

23 Programacó o Leal 9 Teorema 6.6. Sea el prolema (6.7) de mmzar f(). S f() es ua fucó covea y las g () (=,,..., m) so fucoes coveas, etoces cualquer puto =(,,..., ) que satsfaga las codcoes de Kuh-Tucker (6.8) y las m restrccoes del prolema de PNL es ua solucó óptma de (6.7). Para poder aplcar los resultados aterores es mportate que el prolema se platee e la forma que aparece descrta; de o ser así, los sgos de los multplcadores podría ser dferetes. ) Dee tamé verfcarse la hpótess de regulardad que olga a que los vectores gradetes de las restrccoes saturadas sea lealmete depedetes e el óptmo. De o ser así, el puto podría o verfcar el teorema correspodete, como ocurría e el caso de restrccoes de gualdad. ) Los multplcadores de Kuh-Tucker (, ) tamé se cooce como varales duales del prolema. ) Para prolemas de mamzacó (mmzacó) se tedría u resultado smlar, co la úca dfereca de que los multplcadores dee ser egatvos (camo de sgo). v) Estos teoremas srve para determar los posles óptmos de u prolema; para ello, haría que resolver u sstema de +m ecuacoes co +m cógtas. Ua vez resuelto este sstema haría que seleccoar aquellas solucoes que verfca las desgualdades. Por aalogía co los prolemas co restrccoes de gualdad, a estos putos se les llama putos estacoaros. A cotuacó, veremos u caso práctco de localzacó de posles óptmos medate las codcoes de Kuh-Tucker. Ejemplo 6.3. Ecotrar las posles solucoes del prolema M z = (-7) +(y-0) st y-8 0 (-0) +(y-0) Para resolver el prolema, comezamos por oservar que las restrccoes está dadas e la forma estádar. Segú las codcoes de Kuh-Tucker, todo mímo del prolema deería verfcar el sstema: (-7)+ *(-0)=0 (y-0)+ + *(y-0)=0

24 9 Ivestgacó Operatva (y-8)=0 [(-0) +(y-0) -36]=0 Las solucoes de este sstema so: y , ,3 -, ,3435 8,3-0,46967 S de esas solucoes seleccoamos las que correspode a putos factles y co multplcadores postvos (por tratarse de u prolema de mmzacó), se otee u úco caddato a mímo del prolema: =7, y=8, =4, =0. Co las codcoes estudadas hasta ahora, o se está e dsposcó de asegurar que dcho puto correspoda realmete a u mímo local del prolema. Se hace ecesaro, por tato, el estudo de codcoes sufcetes de optmaldad. La sguete seccó se dedca precsamete a eso. Codcoes sufcetes de optmaldad. Ua vez seleccoadas las posles solucoes de u prolema de optmzacó co restrccoes de desgualdad, dee estudarse codcoes sufcetes que permta decdr s realmete los putos localzados correspode a verdaderas solucoes. Teorema 6.7: S el prolema es coveo (restrccoes coveas), etoces las codcoes ecesaras de Kuh-Tucker so además sufcetes. El ejemplo ateror es u caso de prolema coveo, por lo tato se puede coclur que el puto estacoaro ecotrado es mímo y además gloal Programacó cuadrátca La programacó cuadrátca es u caso partcular de la programacó o leal e el que la fucó ojetvo es cuadrátca y las restrccoes so leales.

25 Programacó o Leal 93 Ma (m) z = C T X+X T D X st AX X0 La fucó X T D X defe ua forma cuadrátca dode D es smétrca. La matrz D, se defe: >0 defda postva (mímo) 0 semdefda postva (cuasmímo) <0 defda egatva (mámo) 0 semdefda egatva (cuasmámo) =0 defda (putos de fleó) Tedremos u mímo s los meores prcpales asocados co D so todos postvos y u mámo s los meores prcpales tee el sgo (-). Ejercco 6.6. Ua empresa puede vertr 000 mlloes de euros e tres títulos de olsa. Sea X la varale aleatora que correspode al terés aual por cada mlló de pesetas vertdo e el título -ésmo. Se cooce los valores sguetes: E(X)=0.4, E(X)=0., E(X3)=0.0; Var(X)=0., Var(X)=0.08, Var(X3)=0.8; Cov(X,X)=0.05, Cov(X,X3)=0.0, Cov(X,X3)=0.03. a) Formule u prolema de programacó cuadrátca que se pueda utlzar para ecotrar la cartera de varaza míma que alcace u terés aual esperado de por lo meos u 0%. ) Resuélvalo medate LINDO. Solucó: a) Defamos: j =úmero de mlloes de euros vertdos e el título j- ésmo. X X X E M Var X X X 3 =Mz M z= st = 000 0, =,, 3. E el programa LINDO se troduce de la forma sguete: M X+X+X3+L+L+L3 st 0.40X+0.0X+0.04X3-0.4L+L-L3=>0

26 94 Ivestgacó Operatva 0.0X+0.6X+0.06X3-0.L+L-L3=>0 0.04X+0.06X+0.36X3-0.0L+L-L3=>0-0.4X-0.X-0.0X3<=-00 X+X+X3<=000 -X-X-X3<=-000 END QCP 5 ) Salda: OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X L L L ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ) ) ) ) ) ) E la tala sguete se recoge las versoes: Título 3 Euros vertdos Programacó separale A los prolemas de programacó o leal se les deoma de programacó separale cuado las varales de decsó aparece e térmos separados tato e la fucó ojetvo como e las restrccoes. Ma (m) z = f j ( j ) = f ( ) + f ( ) + + f ( ) j st g j ( j ) (=,,..., m) j

27 Programacó o Leal 95 E la fgura sguete represetamos ua fucó y su apromacó e u tervalo de u puto j, a j r j a j r+ f( j) fˆ ( j) a j r j a j r+ dode fˆ ( j ) es la fucó leal que emplearemos para estmar f( j). E ese tervalo j, se puede epresar como ua comacó leal de los etremos, es decr, j = a j r + (- ) a j r+, f( j ) = f(a j r ) + (- ) f(a j r+) Vamos a cosderar que todas las varales tee el msmo recorrdo dvddo e k celdllas. a j ; a = a j a j a j k- a jk = k j = jr a jr ; jr = (j=,,..., ) r r ĝ j( j) = jr g j (a jr ) k Aplcado la fucó de estmacó a la fucó ojetvo y a las restrccoes, teemos fˆ ( j ) = jr f j (a jr ) j k r k r Para que la apromacó sea uea, deemos teer e cueta la suposcó de adyaceca, que dce que, a lo sumo, dos jr puede ser postvos. S para u j

28 96 Ivestgacó Operatva dado (j=,,..., ), dos jr so postvos, etoces tee que ser adyacetes. Es decr, deerá ser postvos jr- y jr+. Ahora ya podemos formular el prolema: Ma (m)z = fˆ j( j ) = jr f j (a j r ) j j st ĝ j ( j ) = jr g j (a j r ) j j k r k r k r jr = (j=,,..., ), jr 0 (j=,,..., ; r =,,..., k) Ejercco 6.7. Resuelva el prolema sguete: Ma z= s.t (=, ) Como ua de las restrccoes es o leal, so cuadrátca, o podemos aplcar Kuh-Tucker, por lo que recurrremos a la programacó separale. z = f j ( j ) = f ( ) + f ( ) + + f ( ) j j g j ( j ) g ( ) + g ( ) + + g ( ).. g m ( ) + g m ( ) + + g m ( ) m f ( ) = 30 - f ( ) = 35-3 g ( ) = g ( ) = g ( ) =

29 Programacó o Leal 97 g ( ) = a 0 0 a 0 0 a = a = 0; a = 5 ; a 3 = 0 ; a 4 = 5 ; a 5 = 0 = ; a = a = 0; a = 5 ; a 3 = 0 ; a 4 = 5 ; a 5 = 0 = ; Camamos las fucoes f y g j por sus estmacoes: fˆ ( ) = f (a ) + f (a ) f (a 5 ) fˆ ( ) = f (a ) + f (a ) f 5 (a 5 ) = a + a a 5 a, a a, a a 3, a 3 a 4, a 4 a 5, a f f g g g g Ma z ˆ = fˆ + fˆ = s.t = = jr 0 (j=, ; r =,, 3, 4, 5) Para oteer la solucó fal tedremos e cueta la codcó de adyaceca. Dcha solucó es: = =; =5, =5, z=00

30 98 Ivestgacó Operatva Programacó Estocástca La programacó aleatora o estocástca se preseta cuado alguo o todos los parámetros del prolema se puede descrr medate varales aleatoras. Nuestro ojetvo es epresar la aturaleza proalístca del prolema e térmos determístcos. Dado el prolema de programacó o leal e forma caóca Ma z = c st j a j j j 0 j =,,, supodremos que los coefcetes del prolema so varales aleatoras que sgue dstrucoes ormales. Los casos que se os puede presetar so: Caso : El coefcete de la fucó ojetvo es aleatoro. S el coefcete c es ua varale aleatora co valor esperado E[c ] y varaza Var (c ), etoces el prolema, e forma determístca, se estalece: Ma z = E[c ] st j a j j j 0 j =,,, Caso : Los a j sgue ua dstrucó ormal, a j N( E[a j ], Var (a j ) ). La covaraza de a j y a j vee dada por Cov (a j, a j ). Cosderemos que la -ésma restrccó se produce co ua proaldad míma de -.

31 Programacó o Leal 99 P ( a j j ) - j Tomemos h = j a j j, etoces la proaldad asocada a la -ésma restrccó la escrmos como P( h ) - - k - Tpfcado P( h ), teemos: h E[ h ] E[ h ] P Var( h ) Var( h ) - La varaza asocada a h es Var (h )=X T D X, y su desvacó típca T Var ( h ) = X D X sedo D la matrz de la -ésma covaraza. D = Var( a ) Cov( a, a ).. Cov( a, a ) Cov( a Var( a... Cov( a, a ), a ) ) Cov( a, a ) Cov( a, a ).. Var( a ) dode h E[ h ] N(0, ) Var( h )

32 00 Ivestgacó Operatva por tato, h E[ h ] Var( h ) = - El cuatl correspodete verfca E[ h ] k - Var( h ) Operado llegamos al resultado E[h ]+ k - Var h ) ( Susttuyedo e la epresó ateror h = a j j, teemos para la -ésma restrccó j j E[a j ] j + k - X T D X =,,,m S las v.a. a j so v. a.. (caso partcular del ateror), teemos Var( a D = 0 ) Var( a... ) Var( a ) Así, podemos escrr: j E[a j ] j + k - Var j ( a j ) j

33 Programacó o Leal 0 Caso 3: Los coefcetes de las restrccoes,, so v.a., es decr, N(E[ ], Var( )) Operado de forma smlar al Caso, fjamos la proaldad de que ocurra la -ésma restrccó P( a j j ) j P( a j j ) =- P( a j j ) j j Tpfcado la últma epresó y operado -P ) ( ] [ ) ( ] [ j j j Var E a Var E P ) ( ] [ ) ( ] [ j j j Var E a Var E - dode ) ( ] [ Var E N(0, ) por tato, ) ( ] [ j j j Var E a = - El cuatl correspodete verfca ) ( ] [ j j j Var E a k -

34 0 Ivestgacó Operatva por tato k - Var( ) aj j E[ ] j Operado llegamos al resultado para la -ésma restrccó j a j j E[ ]+ k - Var ( ) Caso 4: Los coefcetes a j y so v. a. j a j j, a j j - 0 j Como todas las a j y sgue dstrucoes ormales, es decr, a j N(E[a j ], Var(a j )), N(E[ ], Var( )) a j j - tamé sgue ua dstrucó ormal. Por tato, podemos hacer u estudo aálogo al Caso. Ejercco 6.7. Ua empresa mera dspoe de tres cateras, X, X y X 3, las catdades a eplotar sgue dstrucoes ormales: N(50m 3, =65m 6 ), N(00m 3, =500m 6 ) y N(00m 3, =65m 6 ), respectvamete. Por otra parte, el materal dee trasportarse a los lugares X 4, X 5, X 6, X 7 y X 8, e dode se requere respectvamete 00 m 3, 00 m 3, 50 m 3, 50 m 3 y 50 m 3. Dedo a las restrccoes e la flotlla de camoes, e el equpo de eplotacó de las cateras y e los camos de acceso, las capacdades de trasporte de cada ua de las cateras a los lugares de descarga resulta como se muestra e la sguete tala: Desto Orge X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X X X

35 Programacó o Leal 03 Tomar como dato, para las cateras, el cuatl correspodete a F ()= (=,, 3). Cómo se puede satsfacer las demadas al mámo? e qué destos o se satsface la demada al rtmo deseado y e qué catdades? Resolvedo el prolema medate LINDO, teemos ) Plateameto del prolema: Sea j (=,,..., 5) la catdad de producto que evaremos del orge al desto. Este ejercco correspode al Caso 3 de programacó estocástca a j j E[ ]+ k - Var ( ) Las catdades a eplotar so: = = 00, = = 300, 3 = = 50 Ma st <=60 <=40 3<=80 4<=80 5=0 6<=60 7<=60 8<=60 9<=80 0<=60 =0 <=40 3<=30 4<=70 5<= <= <= <=50 +6+>=00 +7+>= >= >= >=50

36 04 Ivestgacó Operatva ) Resolucó medate LINDO OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X X X X X X X Resumedo los resultados e ua tala, teemos z=650 m 3 Desto Orge X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X X X Demadado Dado Demada o satsfecha El lugar X 7 o satsface sus ecesdades, ecesta 0 m 3 más y el X 8 tee u sorate de 0 m 3.