Conceptos y ejemplos básicos de Programación Dinámica

Transcripción

1 Coceptos y eemplos báscos de Programacó Dámca Wlso Julá Rodríguez Roas ularodrguez@hotmal.com Trabao de Grado para Optar por el Título de Matemátco Drector: Pervys Regfo Regfo Igeero Uversdad Nacoal de Colomba Fudacó Uverstara Korad Lorez Facultad de Matemátcas Bogotá D.C. 005

2 Itroduccó...4 Programacó dámca...5 Eemplos de fucoes recursvas...6 Eemplo.:...6 Eemplo.:...6 Eemplos de Programacó Dámca...7 Eemplo. (El problema de la dlgeca)...7 Teorema de optmaldad... Eemplo.4: (Problema de la dstrbucó de la versó)... Eemplo.5: (Proble ma de la subdvsó óptma)...7 Eemplo.6: (Problema de Programacó Leal)... Eemplo.7: (Problema de Programacó Leal Etera)...5 Eemplo.8: (Problema de Programacó o Leal)...7 Comparacó etre los métodos basados e ecuacoes recursvas de avace y los basados e ecuacoes recursvas de retroceso... Eemplo.9:... Coclusó... Bblografía...

3 Resume Se preseta alguos resultados de la teoría matemátca de Programacó Dámca y se epoe eemplos que muestra la gra versatldad de la técca. També se muestra u esquema de demostracó del Prcpo de Optmaldad. Abstract Some results of the Mathematcal theory of Dyamc Programmg are preseted ad some of the cosequeces of these results are eposed through eamples that demostrate the great versatlty ths techque ows; There s here also cluded a demostrato scheme of the Optmal Prcple.

4 Itroduccó El presete trabao comprede la eposcó de la teoría y alguos eemplos de Programacó Dámca (P.D.). La P.D. está compredda detro de u couto de téccas matemátcas que a su vez forma parte de u área más ampla, coocda como Ivestgacó de Operacoes. Esta últma puede defrse como ua ceca terdscplara que tee por obeto la búsqueda de estrategas que permta obteer resultados óptmos e el desarrollo de actvdades por parte de sstemas hombremáqua (estos sstemas puede estar formados eclusvamete por hombres, por máquas o por ua combacó de los dos). Como se verá más adelate, los problemas propos de la P.D. so aquellos que puede ser dvddos e subproblemas, los cuales, a su vez, tee ua estructura gual al problema orgal (e este setdo podría decrse que tee ua estructura fractal ). Para este propósto, el método cosste e dvdr el problema e etapas, resolver la prmera de estas, utlzar esta solucó para resolver la etapa sguete y cotuar así sucesvamete hasta ecotrar la solucó del problema e su totaldad. So característcas esecales de la P.D. por u lado, la versatldad co respecto a la ampla gama de problemas que puede atacar y, por otra parte, que la P.D. se lmta a aportar u esquema de solucó (ya mecoado arrba) deado al geo de que resuelva el problema la costruccó del modelo matemátco para realzar la optmzacó de cada caso e partcular. E este setdo el trabao e P.D. está más e relacó drecta co la labor del matemátco que del geero, pues este últmo o ecesta compreder la base teórca e la cual descasa el procedmeto, so úcamete coocer el algortmo propo del problema partcular que pretede resolver. Para lograr la compresó de la técca el trabao se ha estructurado sobre eemplos que lustra la versatldad de la P.D., co este fí se preseta solucoes de problemas propos del trabao e Programacó Leal, Programacó Leal Etera, Programacó No Leal etc. El obetvo es más presetar la poteca de la P.D. que propoerla como la paacea de los métodos de Ivestgacó de Operacoes, pues també se verá que auque fucoa, e ocasoes la técca puede resultar mpractca al mometo de resolver problemas de certa evergadura. 4

5 Programacó dámca Las característcas propas de la Programacó Dámca (PD) como so: el o teer u tpo específco de problemas sobre el cual operar, el carecer de u algortmo estádar de solucó, etc.,hace que esta ua gra dfcultad e el mometo de tetar dar ua defcó de ella. S embargo, para comezar, se debe teer algua defcó que, auque parcal e completa, srva para r demarcado el terreo al que se crcuscrbrá este trabao. Defcó.0: La programacó dámca es u procedmeto matemátco dseñado prcpalmete para meorar la efceca de cálculo de problemas de programacó matemátca seleccoados, descompoédolos e subproblemas de meor tamaño y por cosguete mas fácles de calcular. La PD ormalmete resuelve el problema e etapas. Los cálculos e las dferetes etapas se elaza a través de cálculos recursvos de maera que se geere ua solucó óptma factble a todo el problema. Para ayudar a aclarar alguos coceptos presetes e la defcó ateror y e el trabao posteror se da las sguetes defcoes: Defcó. (Mámo): sea { a k } k,,,..., que a m es el mámo de { a k } k,,,..., m Defcó. (Mímo): sea { a k } k,,,..., que a m es el mímo de { a k } k,,,..., m ua sucesó fta, se dce = s a a = k para k =,,,...,. ua sucesó fta, se dce = s a a = k para k =,,,...,. Defcó. (Fucó Recursva): Sea f : N S, dode N es el couto de los úmeros aturales y S cualquer couto, a F se le deoma ua sucesó e S, y se deota f ( ) = s, dode s se deoma el -ésmo elemeto de la sucesó. A ua fucó se le llama fucó de recurreca s es ua sucesó dode el -ésmo elemeto se Tomado de [Tah95] 5

6 obtee a partr de u elemeto o varos elemetos aterores de la sucesó. Eemplos de fucoes recursvas Eemplo.: Iterés Compuesto Supógase que se cosga $00 e ua cueta que produce u redmeto del 5% mesual. Cuál será el moto 4 meses mas tarde?. Se defe M = moto e el -ésmo mes. Y etoces se tee M =00 0 M = M M =. 05M =,,... a la parea ( M, M =. M ), se le llama fórmula de recurreca. 0 = Y esto mplca: M =.0500 M =.05(.0500) = M =.05(.05 00) = M4 =.05(.05 00) = =.55 Eemplo.: La sucesó de Fboacc se defe segú la fórmula recursva: s = 0 s = s s s para =,,4, = + S se desarrolla la formula de recurreca geeral se obtee S = S = S4 = 5 S5 = 8 etc. 6

7 Eemplos de Programacó Dámca El sguete eemplo fue desarrollado por el profesor Harvey M. Wager cuado estaba e la uversdad de Staford co el f de lustrar los elemetos y la termología propos de la PD. Eemplo. (El problema de la dlgeca) Ua dlgeca debe atravesar el oeste estadoudese e plea febre del oro. Cada uo de los tramos de su recorrdo está cuberto por ua pólza de seguro, cuyo costo es drectamete proporcoal al resgo presete durate el vae. El recorrdo se ca e la cudad A y tee como desto la cudad J. La fgura. lustra la stuacó. Los úmeros e los arcos dca el costo de la pólza que cubre el vae etre las dos cudades, por eemplo, la pólza del vae etre A y C tee u costo de. El coductor supoe que la ruta más segura es aquella para la cual la suma total de los costos de las pólzas sea míma. B 7 4 E A 4 6 C 4 F 4 6 H J D 4 5 G I 4 Fgura. 7

8 Solucó del problema E prmer lugar debemos otar que la estratega de escoger, e cada etapa, la ruta co el costo mímo o coduce a la solucó óptma, pues al segur esta táctca se obtee la ruta A B F I J la cual tee u costo total de. S embargo u pequeño sacrfco e ua etapa puede coducr a meores resultados más adelate. Para este caso teemos que A D F ofrece u meor resultado que A B F. U procedmeto que sí coduce a ecotrar la solucó óptma es la eumeracó ehaustva de todas las posbldades, las cuales e este caso so: = 8. Se procedería de la sguete maera: Ruta. A B E H J costo total Ruta. A B E I J costo total 7 Μ Ruta 8. A D G I J costo total 5 Recuérdese que la defcó de PD habla de meorar la efceca de cálculo y por lo tato, se observa que la eumeracó ehaustva de casos o es efcete porque, por eemplo, al calcular los costos de las rutas y se repte el trabao correspodete al segmeto A B E y a su aporte al costo total, que e este caso es de 9. U procedmeto más efcete guarda este resultado termedo para evtar la redudaca e los cálculos, este es precsamete el efoque de la PD para este tpo de problemas. E prmer lugar debe otarse que cualquera que sea la solucó la dlgeca deberá realzar 4 etapas de camo. Por lo tato se resolverá el problema para cada ua de las etapas, agregado e cada paso ua etapa más hasta llegar a la prmera y co ello a la solucó del problema. S embargo, ates de comezar a resolver el problema se troducrá alguos coceptos que, auque ecesvos para este problema e partcular, (pues este problema puede resolverse desde el puto de vsta de la PD pero s tata paraferala) va ambetado los elemetos propos del efoque de la PD. Sea ( =,,) las varables de decsó que represeta la cudad por la cual deberá pasar la dlgeca e la etapa. Por eemplo, el couto de valores que puede tomar es { E, F, G }, los elemetos de este 8

9 couto se deoma estados de la etapa. Etoces la ruta seleccoada es A J. Sea f ( s, ) el costo total de la meor polítca global para las etapas aterores, dado que la dlgeca se ecuetra e la cudad s y acaba de llegar de. Dados s y, sea el valor de (o ecesaramete úco) que mmza f s, ), y sea f ( s ) el valor mímo correspodete ( de f s, ). Etoces ( e dode f ( s) = mí f s, ) = f ( s, ) () ( f ( s, ) = costo medato (etapa ) + costo mímo etapas,,..., - e otras palabras f s, ) = ( C + f ( s, ) () s Co la otacó troducda se tee que el obetvo es ecotrar f ( ). S algua de estas defcoes o ha logrado ser etedda completamete esto deberá lograrse vedo el proceso de solucó, el cual etrae la formacó de la fgura. y de las tablas que se vaya geerado: Para =, 0 = A y o este opcoes de camos para s { B, C, D} por lo tato se tee úcamete solucoes óptmas 4 J 9

10 Para = se tee, por eemplo: s f ( s) 0 B A C 4 A D A Tabla. f ( E, B) = c + EB f ( ) = 7+ = 9 B esta ecuacó tee el sguete sgfcado: el costo mímo para llegar a E desde A pasado por B es gual al costo de r de B a E ( c EB ) este dato aparece e la fgura.-más el costo mímo del vae de A hasta B ( f ( B) ) -este dato se toma de la tabla., e geeral se tomará de la tabla ateror -. De esta forma se calcula todas las etradas de la tabla.. La tabla. os permte ver ya u resultado teresate: e este mometo hemos resuelto el problema s el desto de la dlgeca fuera algua de las cudades E, F o G. Por eemplo, el costo mímo para r de A a E es de 7 ( f ( E) ) y se cosgue llegado a E desde C o D ( ), s por eemplo se llega por D la tabla. os forma que a D debe llegarse e la ruta óptma desde A, auque este últmo resultado es trval la atecó se cetra e la lógca que sgue la costruccó y lectura de las tablas. s f ( s, ) c s f ( ) B C D f ( s) E C o D F D G B o C o D Tabla. 0

11 Para = se tee Y falmete para =4 s f ( s, ) = cs + f ( ) E F G f ( s) H E I 7 7 F Tabla. s f 4 ( s, ) = cs + f ( ) H I f 4 ( s) J H o I Tabla.4 De la tabla.4 se cocluye que el costo mímo es y que puede llegarse a J tato de H como de I. S se escoge la ruta que llega por H de la tabla. se tee que la ruta óptma llega a H a través de E. A su vez la tabla. forma que este rutas óptmas que llega a E a través de C tato como de D. Falmete, s se escoge la ruta que llega a E por C la tabla. dca que la ruta optma llega a C a través de A (trval). Co la formacó ateror se cocluye que ua ruta óptma es A C E H J Aálss smlares arroa las sguetes rutas óptmas alteratvas A D E H J A D F I J Obvamete todas tee u costo total de. Nota: este msmo eemplo se ecuetra resuelto e la pága 5 de [Hl0] sguedo u procedmeto coocdo como de retroceso, el cual cosste e atacar el problema de adelate haca atrás. S embargo, se ha cosderado que el procedmeto de avace, segudo aquí, es mas tutvo. Más adelate se dscutrá las vetaas de cada uo.

12 Teorema de optmaldad El eemplo. també permte ambetar la dscusó de la base fudametal de la PD que es el llamado Teorema (o prcpo) de optmaldad, cuyo eucado es el sguete: Ua polítca óptma solo puede estar formada por subpolítcas óptmas. E eseca lo que sgfca es que las dferetes restrccoes de la solucó al problema total (polítca óptma) a cada uo de los subproblemas (subpolítca) es també solucó óptma de dcho subproblema. Acudedo al eemplo, se tee que la ruta A C E H J es ua polítca óptma y que C E H es ua subpolítca de A C E H J. Lo que afrma el teorema es que, e estas codcoes, C E H es a su vez subpolítca óptma, o sea, que es solucó óptma del subproblema que surge al cosderar como puto cal C y como desto H. La ustfcacó es tutva: supógase que la afrmacó es falsa, estrá etoces u odo X tal que C X H es meor que C E H, pero de ello surge ua cotradccó, pues e ese caso se tedría que A C X H J sería meor que A C E H J co lo cual esta últma o sería polítca óptma. Co esto se tee ua motvacó, o a ua demostracó, so a u esquema de demostracó del prcpo de optmaldad. Cosste e ua geeralzacó de lo dscutdo e el párrafo ateror: sea,,..., k,..., k+r,...., ua sucesó de solucoes óptmas a los subproblemas e los cuales se ha dvddo uo mayor o, e otras palabras, ua solucó óptma del problema geeral. Supógase además que k,..., k+r o costtuye ua solucó optma al subproblema restrgdo que las posee como varables de decsó, etoces debe estr k,..., k+r tales que costtuye ua solucó óptma del mecoado subproblema, co lo cual se tedría que,,..., k,..., k+r,...., sería ua solucó meor que,,..., k,..., k+r,...., y esto cotradce el hecho de que esta últma sea ua solucó óptma. Este esquema debe ser adaptado para que costtuya ua demostracó de cada caso partcular al cual se esté aplcado la PD. Esto últmo o debe verse como ua dfcultad gratuta, so como u paso adelate e el empeño por adqurr el domo total de las característcas del modelo matemátco partcular que se pretede aplcar.

13 Como ya se do, el eemplo. fue creado co el propósto de troducr los elemetos y la termología propos de la P.D. Se tee etoces las sguetes característcas:. El problema se puede dvdr e etapas que requere ua polítca de decsó e cada ua de ellas. Esta es quzá la prcpal característca de los problemas de P.D. y se verá que la eseca de la solucó será detfcar las etapas, e alguos eemplos, como el ateror, estas será evdetes, s embargo, se verá casos e los cuales esto o será sempre así.. Los estados so las dsttas codcoes posbles e las que se puede ecotrar el sstema e cada etapa del problema.. El procedmeto de solucó está dseñado para ecotrar ua polítca óptma para el problema completo, a partr de u procedmeto que ca aalzado ua etapa y que e cada uo de los pasos agrega ua ueva, hasta abarcar el problema e su totaldad. 4. La decsó medata óptma depede sólo del estado actual y o de cómo se llegó ahí. E el eemplo ateror, esta afrmacó se evdeca e el hecho de que e cada paso úcamete se cosultaba la tabla ateror y o el couto total de tablas. 5. El procedmeto de solucó emplea ua relacó recursva que detfca la polítca óptma para la etapa, dada la polítca óptma para la etapa -. Para el caso del eemplo ateror esta relacó teía la forma: f s, ) = ( C + f ( s, ) () s Co la ayuda de estas uevas herrametas coceptuales se atacará otro problema típco de la P.D. Eemplo.4: (Problema de la dstrbucó de la versó) Ua corporacó recbe propuestas de sus tres platas respecto a la posble epasó de las stalacoes. La corporacó tee u presupuesto de 5 mlloes de dólares para asgarlo a las tres platas. Cada plata epoe sus prop uestas dcado el costo total (C) y el greso total (R) para cada propuesta. E la tabla.5 se muestra los costos e gresos (e mlloes de dólares). Las propuestas de costo cero

14 dca la posbldad de o asgar fodo alguo a la plata. El obetvo, obvamete, es mamzar el greso total resultate. Plata Plata Plata Propuesta C R C R C R Tabla.5 Las platas defe las etapas. Las varables de decsó, y se defe de la sguete maera: = moto de captal asgado a la plata. = moto de captal asgado a las platas y. = moto de captal asgado a las platas, y. Ua solucó es ua trpla (P, P, P) dode P correspode a la propuesta que se escoge de la plata, por eemplo (,, ) sgfca escoger la propuesta para la plata, la propuesta para la plata y la propuesta para la plata ; esta solucó tedría u costo de = 4 mlloes y producría u greso de = 5 mlloes. Este solucoe o factbles como (, 4, ) pues tee u costo de 7 mlloes. Solucó del problema Como correspode al moto que se asgará a la plata, se debe cosderar todas las posbldades desde hacer = 0 lo que sgfcaría emplear los $5 mlloes e las otras dos platas, hasta hacer = 5 e cuyo caso se asgaría la totaldad de los recursos a la plata (Este últmo caso, evdetemete, o correspode a ua solucó óptma, pues la máma catdad que puede aprovechar la plata es $ mlloes). Se recurre a la sguete otacó: R ( P ) = greso de la propuesta P e la etapa. f ( ) = redmeto óptmo de las etapas,,..., dado el estado. 4

15 P = propuesta óptma asocada a f ) Por lo tato se tee ( f ( ) = má { R )} (4) propuestas factblesp ( P e esta ecuacó se relacoa dos varables dferetes: por u lado, que como ya se do correspode a la catdad asgada a la plata, y por otro lado P que represeta la propuesta que se elge de las presetadas por la plata. Depededo del valor de o todas las propuestas so factbles, por eemplo para = la propuesta P = o es factble pues tee u costo de. La tabla.6 resume la relacó de todos los posbles valores de co todos los posbles valores de P, los asterscos represeta la o factbldad de alguos casos. = R ( ) P P = P = P = ( ) Tabla.6 f P La tabla.5 forma cual es la polítca óptma que debe segurse para cada uo de los posbles valores de. Puede parecer redudate e su costruccó pues para cada estado la propuesta más alta que puede cubrrse es la que geera el mayor greso, s embargo, como ocurre e la realdad, o sempre la mayor versó geera el más alto beefco. Ahora se defe la parte faltate de la ecuacó recursva y que correspode a las etapas,,... 5

16 f ) = ( má { R P ) + f )} (5) propuestas factblesp ( ( pero como f ( ) es fucó de eclusvamete, el lado derecho també debe serlo, esto se cosgue teedo e cueta que = C ( P ) (6) dode C ( P ) es el costo de la propuesta P e la etapa. Esta ecuacó lustra la forma e que opera el procedmeto recursvo: de u dado se asga ua parte ( C ( P ) ) para cubrr la propuesta P de la etapa y la catdad restate ( = C ( P ) ) se desta a cubrr las propuestas de las etapas,,...,-. Se tee, etoces: f ) = ( má { R ( P ) + f ( C ( P ))} =,,... (7) propuestas factblesp tabulado para = R ( ) + f C ( )) P ( P P = P = P = P = 4 f ( ) P 0 0+0= = =6 8+0= =6 8+5= 9+0= =6 8+6=4 9+5=4 +0= 4 o 5 0+6=6 8+6=4 9+6=5 +5=7 7 4 Tabla.7 Como e el eemplo ateror, la tabla.5 cotee la solucó total del problema restrgdo a las dos prmeras etapas, esto es, s el problema total se lmtara a las platas y, ya estaría resuelto, pues e la fla correspodete a = 5 vemos que se obtee ua gaaca máma de 7, sguedo la propuesta 4 de la plata y como por la tabla.5 sabemos que esta tee u costo de 4 teemos = 5 4 = y para = la tabla.6 os dce que se debe segur la propuesta de la plata. Se 6

17 tedría etoces la solucó al problema reducdo (,4) que tee u costo de 5 mlloes y, como ya se do, reporta ua gaaca de 7. La tabla para la últma etapa posee solamete ua fla, pues al o haber etapas restates o debe cosderarse todas las posbldades de versó so, úcamete, el caso =5. R ( ) + f C ( )) P ( P P = P = ) f ( P = = 7 7 o Tabla.8 Se tee, por lo tato, de la tabla.8, que el greso mámo es de 7 mlloes, el cual se obtee mplemetado las propuestas o de la plata. E el caso de escogerse la propuesta la cual, segú la tabla.5 tee u costo de 0 se tee = 5 0 = 5, y e la tabla.7 se ve que para este valor de se debe mplemetar la propuesta 4 de la plata, la cual, segú la tabla.5 tee u costo de 4, co lo cual se tee = 5 4 =, falmete, la tabla.6 dca que para este valor de el procedmeto óptmo es mplemetar la propuesta de la plata. Resumedo la dscusó ateror, se tee como ua solucó optma (, 4, ). U procedmeto aálogo permte ecotrar otras dos solucoes óptmas: (,, ) y (,, ), cada ua de las cuales reporta gresos de 7 mlloes. Los dos últmos eemplos comuca la sesacó de que la P.D. cosste e la resolucó de problemas que volucra varables dscretas y que so susceptbles de ua represetacó tabular, los eemplos que se epoe a cotuacó muestra que ese o es el hecho. Eemplo.5: (Problema de la subdvsó óptma) El problema cosste e dvdr ua catdad q, mayor que cero, e partes. El obetvo es determar la subdvsó óptma de q que mamza el producto de las partes. 7

18 Solucó del problema Sea la -ésma parte de q ( =,,..., ). Etoces el problema puede epresarse de la sguete forma = mamzar p = sueto a = Se hace las sguetes defcoes: = q, > 0 para toda. La etapa represeta la -ésma parte de q.. El estado y es la parte de q que se asga a las etapas,,...,. Es evdete que, segú esta defcó, y = q.. La alteratva es la parte de q asgada a la etapa. Sea f y ) el valor óptmo de la fucó obetvo para las etapas,,... (, dado el estado y y sea el asocado co f ( y ). Por lo tato las ecuacoes recursvas asume la sguete forma f ( y ) = má{ } (8) y f y ) = má f ( y )} ( { y (9) Para = es evdete que f ) = má } ( y { = y y y por lo tato = y. Para = se debe calcular má{ f( y )} pero como f ( y ) = y etoces se tee o y f ( y ) = má ( y )} (0) { y f ( y ) = má{ y )} y () para ecotrar este mámo se acude al cálculo elemetal y se sgue el coocdo recurso de dervar e gualar a cero, como la ecuacó es de ua 8

19 parábola que abre haca abao o debe realzarse más cálculos. Se defe la fucó h como: etoces h ( ) = y () h '( ) = y () se resuelve la ecuacó h ( ) = 0 y se tee ' = / (4) y como cosecueca de esto se tee que = / (5) y que es la coocda solucó para el caso =. De dode f ( y ) = y / 4 (6) Para = se debe calcular f ) = má f ( y )} ( y { y lo cual, aplcado el resultado que se acaba de obteer para la etapa, es gual a o f ( y ) = má{ ( y ) / 4} (7) y f ( y ) = má{( y y )/ 4} (8) + y Se defe h ( ) = ( y y + )/ 4 y se procede como e el caso ateror: h ( ) = ( y 4y + ) / 4 = 0 (9) ' factorzado y traspoedo el 4 ( = y )( y ) 0 (0) 9

20 Se tee, e cosecueca, dos solucoes: = y / y = y. El cálculo de la seguda dervada permtrá determar la raíz correcta auque el modelo ya súa que se trata de la prmera. h ' '( ) =(-4 y +6 )/4 () h ' ( y / ) = y / 0 () ' < '' ( y ) = y / > 0 h () Estos resultados cofrma la predccó hecha. Se tee el sguete couto de resultados: = y / (4) f ( y ) = y /7 (5) Los cálculos realzados co =, y súa que para cada etapa los resultados sgue el sguete patró: = y (6) / ( y ) = ( y / (7) f ) Se recurrrá a la duccó matemátca para demostrar este hecho. Para = ya se tee el resultado. Supógase que se cumple para y calcúlese para +. f ( y ) = má f ( y )}(8) + + { y+ que aplcado la hpótess de duccó se trasforma e defedo ( ) f y = má (( y )/ ) } + + { y + h ) ( + ) = + (( y+ + ) / (0) (9) y hacedo los respectvos cálculos h ' ( ) = (( y ) / ) (( y ) / ) 0 () = 0

21 factorzado (( y + + ) / ) (( y+ + ) / + ) = 0 () el modelo permte descartar la posbldad = + y+ e cosecueca solo es ecesaro resolver ( = y ) / 0 () que da como resultado + = y + /( + ) (4) co lo cual se tee f ( y ) = + + y y+ + + y+ + y+ = + + (5) co lo cual falza la demostracó. Este resultado permte pasar drectamete a la evaluacó de la etapa. Para = se tee = y / = q (6) / ( ) ( ) y = y = y y / = y = q (7) la fórmula lo tato = y / permte coclur que y q = /( ) = / y por q ( ) y = y = q = q (8)

22 de dode, aplcado la msma fórmula = q / (9) esto permte calcular q y = y = q = q (40) Cotuado estos cálculos se ve que = q / para todo =,,..., y co esto se cocluye el producto mámo es ( q / ) lo cual cofrma el resultado atcpado por la fórmula (7). La utlzacó del cálculo e la solucó de este eemplo muestra que la técca de la P.D. se lmta a la descomposcó e etapas pero o dce ada acerca de la forma como se optmza el problema e cada etapa. Refrédose a esta característca de la P.D. e la pága 5 de [Hl0] aparece la sguete afrmacó: La P.D. se trata de u efoque de tpo geeral para la solucó de problemas y las ecuacoes específcas que se usa se debe desarrollar para que represete cada stuacó dvdual. Etoces, se ecesta certo grado de creatvdad y u bue coocmeto de la estructura geeral de los problemas de P.D. para recoocer cuado y como se puede resolver u problema por medo de estos procedmetos. Solucó de problemas de Programacó leal El problema mamzar z = c + c c p p Nota: este eemplo se ecuetra resuelto e la pága 45 de [Tah95] sguedo u procedmeto de retroceso, el procedmeto de avace, segudo aquí, smplfca los cálculos.

23 sueto a a a a + a + a ΛΜ Λ Λ + a m ΛΜ Λ Λ a a p p a ΛΜ Λ Λ m mp,,..., p 0 p p b p b ΛΜ Μ b puede formularse como u problema de P.D. Cada actvdad ( =,,...,p) se cosdera como ua etapa. El vel de actvdad ( 0 ) represeta la alteratva e la etapa. Como e el eemplo ateror, al tratarse de varables cotuas, cada etapa posee u úmero fto de alteratvas detro del espaco factble. Los estados puede defrse como las catdades de recursos que se asga a la etapa actual y a las aterores. Ua dfereca co los problemas resueltos hasta el mometo radca e el hecho de que al estr m recursos los estados debe represetarse co u vector de m dmesoes. Sea ( v, v,..., vm ) los estados del sstema e la etapa, o sea, las catdades de los recursos,,..., m, asgadas a las etapas,,...,. Sea f v, v,..., v ) el valor óptmo de la fucó obetvo para las ( m etapas,,..., dados los estados f v ) = (, v,..., vm v,...,, v v. Por lo tato m má 0 a v =,,..., m { m c } (4) f v ) = (, v,..., vm má 0 a v =,,..., m { c + f v a,..., v a ) }, =,,...,p (4) ( m m m dode 0 v b para todas y. Eemplo.6: (Problema de Programacó Leal) Resolver mamzar z = 0 + 6

24 sueto a , Solucó del problema A partr de (4) se tee f v, v ) = má {0 } ( v v v v Como 5 v y v se cocluye que mí, pero 5 v v como se trata de mamzar se tee = mí, y por lo tato 5 f( v, v) = 0 mí v, v (4) 5 Resta hacer los cálculos de la seguda etapa: f v ) = (, v v v 4 má 6 + 0mí, (44) 5 0 v 0 4 v pero se tee v = 05 y v = 70, etoces, 05 y4 70 lo cual equvale a 5/. Se tee f v ) = (, v má mí, / Para 0= 5/ es ecesaro resolver como solucó 0. Co lo cual se tee (45) que tee 4

25 f ( v, v) = má (46) / o de forma equvalete f ( v, v) = má (47) / E el tervalo [0,0] la fucó es crecete y por lo tato tee su mámo e = 0 co u valor de 460; e [0,5/] la fucó es decrecete de dode el mámo está també e = 0 y tee el msmo valor, de dode se cocluye que e [0,5] el mámo se localza e = 0 y tee u valor de 460. Para obteer se tee e cueta que: y pero como v = v = 05 0 = 75 v = v 4 = = 0 v v = mí, etoces = 5. 5 Ua leve varacó a procedmeto ateror permte resolver problemas de Programacó Leal etera, esto se lustra e el sguete eemplo. Eemplo.7: (Problema de Programacó Leal Etera) Resolver mamzar z =

26 sueto a , eteros o egatvos Solucó del problema f ( v, v) = má {8 } v v etero v v Como v y 5 v se cocluye que mí, además 5 tratádose de u problema de mamzacó co valores eteros se tee v = mí tato v, 5 (dode represeta la parte etera de ) y por lo f( v, v) = 8 mí v, v (48) 5 Dado que v = 8 y v = 5 para la etapa se tee : f v ) = (, v mí 5, má (49) las desgualdades 8 y 5 equvale a 7, etoces para 8 5 este rago resolvemos la desgualdad que tee como 5 solucó 0 por lo tato se tee f ( v, v) = má (50) La tabla.9 permte ecotrar la solucó de (50) 6

27 Tabla.8 se ve que el mámo se cosgue co =7 y que tee u valor de 49. Como = 8 5, mí etoces =, 0 5 mí 5 =. U procedmeto smlar al segudo e los dos eemplos aterores srve també para resolver alguos problemas de programacó o leal como se verá e el sguete eemplo. Eemplo.8: (Problema de Programacó o Leal) Resolver el problema de Programacó o Leal: mamzar z = sueto a + 0, 9 0 7

28 Solucó del problema f( v, v) = má {7 + 6} 0 v 0 v (5) etoces { }. Sea h ( ) = etoces mí v,v h '( ) = (5) se resuelve la desgualdad h '( ) 0 y se obtee como 0 7 etoces la fucó h es crecete e el rago de terés y por lo tato y { v } = (5) mí,v f ( = + (54) v, v) 7 6 Para la etapa se tee v = má { 5 + f (0,9 + } f ) (, v (55) se tee etoces, que está e el rago [0,5] y sobre él debe optmzarse. Se resuelve la desgualdad y se obtee /5 co lo cual (55) se trasforma e 5 f ( v, v) = má 5 + 7( + 7( + 9) + 0) (56) + 6( + 9) + 6( + 0) 0 /5 /5 5 que smplfcado queda /5 f ( v, v) = má (57) / 5 5 8

29 para resolver esta optmzacó se defe h ( ) = y g ( ) = etoces h ( ) = 6 96 y g ) = 66 9 ' + ( resolvedo h ' ( ) 0 y g '( ) 0 se obtee 99 y 4 46 = 4.4 co lo cual, e los tervalos que os ocupa se tee que h() es crecete e [0,/5] y g() tee u mímo detro de [/5,5] por lo tato h() tee mámo e /5 y lo tee e alguo de los etremos de [/5,5], se calcula etoces: h (/5) = 70.9 g(/5) = 70.9 g(5) = 5 de lo cual se cocluye que = / 5 = 0. y f ( v, v) = 70.9 y como etoces { 0,9 } + = mí { 9.6,9.6} = = 9.6. mí Este problema de programacó o leal també puede ser resuelto por u método gráfco que sgue la msma dea que el empleado e programacó leal. La gráfca lustra el procedmeto. 9

30 Gráfca. La parte sombreada correspode a la regó factble. També se ha grafcado la fucó obetvo co dferetes valores para z. Es evdete que al aumetar z el gráfco de la fucó obetvo crece aleádose del cetro y que su últmo puto de cotacto co la regó factble cocde co la terseccó de las rectas que correspode a las restrccoes del problema, e cosecueca el puto solucó se halla resolvedo el sstema de ecuacoes que determa las rectas: que tee como solucó de dode 0 9 = = 9.6 = 0. que cocde co la solucó ecotrada empleado P.D. La secllez de este método parece cotradecr la defcó de P.D. dada al comezo, más adelate se hará alguas coclusoes al respecto de esta observacó. 0

31 Comparacó etre los métodos basados e ecuacoes recursvas de avace y los basados e ecuacoes recursvas de retroceso U aspecto mportate de la P.D. es la dfereca e el grado de dfcultad que se preseta al resolver u problema empleado ecuacoes recursvas de avace o de retroceso. E este trabao se ha optado por las prmeras y se ha dcado además, para alguos eemplos, la bblografía e la cual se puede cosultar las solucoes que emplea ecuacoes recursvas de retroceso. La razó de ello radca e que e la mayoría de los lbros se sgue u efoque cotraro, por lo cual se ha querdo llamar la atecó sobre la otra cara de la moeda. E alguos casos, como e los eemplos tratados hasta ahora, el grado de dfcultad es gual para ambos efoques, s embargo este o es sempre el caso, como se lustra co el sguete eemplo. Eemplo.9: Al comezo del año 0 u campeso posee k oveas. Al fal de cada año decde cuátas debe veder y cuatas coservar. La gaaca obteda por la veta de ua ovea e el año es p. Las oveas que coserve duplcará su úmero e el trascurso del año. El campeso vederá todas sus oveas al cabo de años. Para el año se cosderará las sguetes varables: : = úmero de oveas coservadas y : = úmero de oveas veddas z = + y La gráfca lustra la stuacó plateada Gráfca.

32 Se tee z = k 0 = z = =,,..., Ecuacó recursva de retroceso: f f ( z ) = má { p y y = z k ( z ) = má { p y + f + ([ z y z k Ecuacó recursva de avace: y = k } f( ) = má { p y} y ]}, =,,...,- f ( ) = má { p y + f ( y k ( + y ) / etero + y }, =,,..., Al comparar las formulacoes se ve que el método de avace cluye ua codcó de tegrdad lo que costtuye ua dfcultad adcoal que o está presete e el método de retroceso. El eemplo ateror lustra que e alguos casos puede resultar coveete preferr u método al otro e pro de la smplfcacó de los cálculos. Nota: el eemplo de las oveas tee más u propósto pedagógco que uo práctco, pues se trata de u caso e el cual la solucó se ecuetra determado el meor mometo para veder las oveas y vederlas todas e ese state, para ello se determa el mayor p. E caso de presetarse u empate estrá solucoes alteratvas a la veta de todas las oveas e u state dado, pero la gaaca será la msma. Por lo tato atacar este problema co el efoque de P.D. resultaría sumamete mpráctco.

33 Coclusó Las téccas de P.D. os ha permtdo resolver, etre otros, problemas de Programacó Leal, de Programacó Leal Etera, de Programacó No Leal etc. Esto o quere decr que la P.D. costtuya ua paacea para la solucó de los problemas de todos estos campos, por dos razoes: e prmer lugar, porque las téccas de P.D. so aplcables úcamete a u couto reducdo de problemas e cada campo. Y e segudo lugar porque, auque la técca sea aplcable, al resolver problemas grades (de Programacó Leal por eemplo) el úmero de evaluacoes de todas las alteratvas crece de forma eagerada (este problema se cooce como la plaga de la dmesoaldad ) lo cual hace que este efoque sea mpráctco. S embargo, el propósto buscado al resolver este tpo de problemas o ha sdo propoer ua alteratva a los métodos estádar de solucó de tales campos (como el método símple e el caso de la Programacó Leal) so secllamete poer e evdeca la versatldad propa de la P.D. Por otra parte, cuado efreta problemas propos de su campo la P.D. aporta ua marco de procedmeto que ayuda a dsmur eormemete el eceso de trabao ocasoado por la redudaca e los cálculos a la vez que estmula la creatvdad al dear espacos e blaco que debe ser lleados al resolver cada caso e partcular. Debe emplearse la P.D. cuado la forma del problema permta dvdrlo e subproblemas que tega la msma estructura del problema orgal. També es mportate teer e cueta que el tamaño de los cálculos tega proporcoes razoables.

34 Bblografía. [Hl0] Hller Frederck, Ivestgacó de Operacoes, Méco, D.F.: McGraw-Hll (00).. [Tah95] Taha Hamdy, Ivestgacó de Operacoes, Méco, D.F.: Alfaomega (995).. [Pra00] Prawda Jua, Métodos y modelos de Ivestgacó de Operacoes, Méco, D.F.: Lmusa (000). 4