A2.1 SUMA PRESENTE A SUMA FUTURA

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1 A2. APÉNDICE MATEMÁTICAS FINANCIERAS E este apédce se preseta las fórmulas tradcoales para hallar las sumas equvaletes e el tempo y ua coleccó de fórmulas para equvaleca de tasas omales y efectvas. Para usar estas fórmulas se maejará las sguetes varables: TABLA A2. Varables Varable Símbolo Excel Tempo NPER Tasa de terés TASA Suma presete P VA Suma futura F VF Cuota o sere uforme C PAGO A2. SUMA PRESENTE A SUMA FUTURA Para hallar el valor de ua suma futura F al fal de períodos, equvalete a ua suma presete, a ua tasa de terés compuesto %, se utlza la sguete fórmula: F=P(+) (A2.) Dode las varables correspode a las dcadas e la tabla. El cálculo del valor futuro se hace aplcado e forma sucesva la fórmula básca F=Px(+) Esta aplcacó se hzo e el ejemplo sobre terés compuesto e el capítulo. E Excel (e español) = VF(;;C;P;tpo). Esta fucó e Excel srve para calcular F a partr de C o de P; també permte calcular el valor de F dcado s es cuota atcpada

2 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 7 (tpo=) o vecda (tpo=0). S se desea calcular F a partr de P, se omte el valor de C; s se desea que la cuota sea vecda, se omte el valor tpo. E la versó 97 de Excel, se recomeda el uso del botó Pegar fucó, o Asstete de fucoes e versoes aterores, que se actva co u botó de la barra de herrametas de Excel. Al oprmr este botó aparece el meú de fucoes y allí se escoge la fucó que se desea. Gráfcamete se tee: 0 0 P F Para trabajar los ejemplos que se preseta a cotuacó, se recomeda usar la hoja de cálculo y costrur ua tabla como ésta: EJEMPLO A2. Supoga que se verte $ e ua cueta de ahorros que produce el 22% aual. S o se retra gua catdad y se paga terés compuesto, cuáto se podrá retrar al falzar el año 5?

3 72 IGNACIO VÉLEZ PAREJA E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo F=? =VF(22%;5;; )=$ ,08 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel, y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores. Excel es cosstete co la covecó que se adoptó ates: cosderar que u greso es ua cfra postva y que u egreso es ua cfra egatva, de maera que cuado se troduce los valores de los flujos e las fucoes, se debe teer e cueta troducrlos co sgo egatvo s so egresos y Excel calculará el resultado como u greso, y vceversa. S embargo, se da casos e los cuales, por ejemplo, o se desea saber cuáto hay que vertr para obteer certos beefcos, so a cuáto equvale hoy certos beefcos futuros, o a cuáto equvale hoy certos pagos futuros; e estos casos o se aplca lo dcho, so que es ecesaro ajustar los sgos para que se produzca el resultado deseado. S se desea saber a cuáto equvale uos gresos futuros, esos gresos habrá que troducrlos a la fucó, co sgo egatvo, para que arroje u resultado postvo.

4 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 73 Ejercco de autocorreccó (La solucó se ecuetra al fal del apédce). Cuáto se tedrá al cabo de 2 meses, s se ha depostado ua suma de $ a ua tasa del 2% mesual? A2.2 SUMA FUTURA A SUMA PRESENTE Para hallar la suma presete e el state cero, equvalete a ua suma futura stuada al fal del período, a ua tasa de terés compuesto, %, se utlza la sguete fórmula que se desprede de la ateror (A2.). F P = + ( ) (A2.2) Dode las varables correspode a las dcadas e la tabla. El cálculo del valor futuro se hace aplcado e forma sucesva la fórmula básca F=P/(+) E Excel = VA(;;C;F;tpo) Esta fucó e Excel srve para calcular P a partr de C o de F; també permte calcular el valor de P, dcado s es cuota atcpada (tpo=) o vecda (tpo=0). S se desea calcular P a partr de F, se omte el valor de C; s se desea que la cuota sea vecda, se omte el valor tpo. Gráfcamete se tee: 0 0 F P EJEMPLO A2.2 S se ecesta teer $ detro de 3 años para pagar ua matrícula, cuáto debe ahorrarse hoy, por ua sola vez, e ua cueta de ahorro que ofrece ua tasa de terés de 25% aual? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo 0 P=? =VA(25%;3;; )=-$ Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel; y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores.

5 74 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Ejercco de autocorreccó 2 (La solucó se ecuetra al fal del apédce). Cuáto se debe depostar hoy a ua tasa del 3% mesual, para teer $ al fal de 2 meses? A2.3 SERIE DE CUOTAS UNIFORMES A SUMA PRESENTE A su vez, para hallar la suma al fal del state cero (o sea hoy) a la tasa de terés compuesto %, que sea equvalete a ua suma uforme durate períodos al fal de cada uo,, 2,...,, se utlza la fórmula: P = C ( + ) ( + ) Dode las varables correspode a las dcadas e la tabla. (A2.3) Esta fórmula resulta de la sucesva aplcacó de la expresó ya coocda F=P(+) o de su versa P=F/(+). Ua vez hecho esto, se utlza el maejo de seres y progresoes de artmétca de escuela secudara. La deduccó matemátca de esta expresó o aporta a la compresó de la dea básca cocepto de equvaleca de todo el aálss que se trata de hacer; por lo tato, o se preseta ya que hay varos textos que sí lo hace (Baca 998a, 998b y 999). Se debe sstr al lector e que o es ecesaro memorzar las fórmulas. E detalle: C C C C P = L+ 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) Esta expresó da orge a la fórmula (A2.3) E Excel = VA(;;C;F;tpo). Esta fucó e Excel srve para calcular P a partr de C o de F; també permte calcular el valor de P, dcado s es cuota atcpada (tpo=) o vecda (tpo=0). S se desea calcular P a partr de C, se omte el valor de F; s se desea que la cuota sea vecda, se omte el valor tpo. Gráfcamete se tee: + C 0 0 C C C C C P Dode P es la suma stuada al fal del state 0; C es la suma uforme al fal de cada período,2,..., ; es la tasa de terés y el úmero de períodos.

6 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 75 Cuado es muy grade, etoces: P = lím C P = lím C ( + ) ( + ) ( + ) = lím C 0 = C = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) C (A2.4) Dode las varables correspode a las dcadas e la tabla. E este caso se llama costo captalzado. Se puede demostrar que cuado las sumas de dero futuras expermeta u crecmeto porcetual de g, etoces esta expresó queda modfcada así: P = C g (A2.5) Esto es váldo para >g; para g=, el valor de P o está determado. Tato la ecuacó A2.4 como la A2.5 so útles cuado se trata de calcular el valor de salvameto o termar el de u proyecto o frma (véase capítulos 6 y 9). EJEMPLO A2.3 S hoy se debe 0 cuotas de $43.077,28, calculadas al 2,76% mesual, cuáto se debe pagar e este mometo, para cubrr la totaldad de la deuda? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo 0 P=? , , , , , , , , , ,28

7 76 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Esta fórmula resulta de la sucesva aplcacó de la expresó ya coocda F=P(+) o de su versa P=F/(+). Ua vez hecho esto, se utlza el maejo de seres y progresoes de artmétca de escuela secudara. La deduccó matemátca de esta expresó o aporta a la compresó de la dea básca cocepto de equvaleca de todo el aálss que se trata de hacer; por lo tato, o se preseta ya que hay varos textos que sí lo hace (Baca 998a, 998b y 999). Se debe sstr al lector, e que o es ecesaro memorzar las fórmulas. =VA(2,76%;0;43077,28)=-$37.999,92 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Calcule el valor de P, cuado es muy grade, por ejemplo, =500. Explore qué sucede cuado troduce e la caslla tpo, el valor. Por qué camba el resultado? Ejercco de autocorreccó 3 (La solucó se ecuetra al fal del apédce). A cuáto equvale hoy ua sere de gresos de $.000 mesuales, recbdos al fal de cada mes, durate 2 meses, s la tasa de terés es del 2,5% mesual? A2.4 SUMA PRESENTE A SERIE DE CUOTAS UNIFORMES Para hallar la suma uforme durate determado úmero de períodos,2,...,, equvalete a ua suma presete e cero a ua tasa de terés compuesto %, se utlza la fórmula: C ( + ) ( + ) = P (A2.6) Dode las varables correspode a las dcadas e la tabla. Esta fórmula es la versa de la ateror. La deduccó matemátca de esta expresó o aporta a la compresó de la dea básca cocepto de equvaleca de todo el aálss que se trata de hacer; por lo tato, o se preseta (hay varos textos, ya mecoados, que sí lo hace). Se debe sstr al lector e que o es ecesaro memorzar las fórmulas.

8 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 77 S se despeja C de C C C C P = L ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) se tee C = P L ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) y cuado se hace smplfcacoes basadas e seres y progresoes de la artmétca, se obtee la fórmula (A2.6). E Excel = PAGO (;;P;F;tpo). Esta fucó e Excel srve para calcular C a partr de P o de F; també permte calcular el valor de C, dcado s es cuota atcpada (tpo=) o vecda (tpo=0). S se desea calcular C a partr de P, se omte el valor de F; s se desea que sea vecda, se omte el valor tpo. Cuado es muy grade, de maera smlar al caso ateror: + + C C = lím P lím P ( + ) ( + ) ( + ) = lím P = lím P = P 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (A2.7) Dode las varables correspode a las dcadas e la tabla. Gráfcamete se tee: 0 0 P C C C C C

9 78 IGNACIO VÉLEZ PAREJA EJEMPLO A2.4 Exste la posbldad de dferr ua compra co tarjeta de crédto por valor de $ e 2 cuotas guales, a 2,76% mesual. Cuál es el valor de la cuota C? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo C=? 2 C=? 3 C=? 4 C=? 5 C=? 6 C=? 7 C=? 8 C=? 9 C=? 0 C=? La fórmula (A2.6) se deduce de la msma expresó de la fórmula (A2.3) y es exactamete la versa: E Excel: =PAGO(2,76%;2;435000) = -$43.077,28 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel; y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores. Esta cuota se compoe de dos partes: u aboo a captal que aumeta co el tempo y u pago de terés que dsmuye. E geeral, es certo que ua cuota para pagar u préstamo se compoe de u aboo o amortzacó más los tereses pactados; esto es certo e todos los casos. Hay u caso muy partcular, que es el estudado aquí, dode la suma de esas dos compoetes es sempre gual, porque se trata de ua cuota uforme. Para eteder esto, se sugere resolver el ejercco 3 del fal del capítulo. E forma matemátca, sempre se tedrá: Cuota = tereses + aboo o amortzacó Co los datos del ejemplo 4, se tee:

10 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 79 Mes Saldo cal Itereses Aboo Cuota Saldo fal Tasa , ,0 3.07, , ,7 2,76% ,7.48, , , ,9 2,76% , , , , ,8 2,76% ,8 9.36, , , ,2 2,76% ,2 8.43, , , ,0 2,76% , , , , ,6 2,76% , , , , ,5 2,76% , , , , ,7 2,76% , , , , ,3 2,76% , , , , ,6 2,76% 82.74, , , , ,3 2,76% ,3.57, , ,3 0,0 2,76% Calcule el valor de C cuado es muy grade, por ejemplo, =500. Calcule el valor de P, cuado es muy grade, por ejemplo, =500. Explore qué sucede cuado troduce e la caslla tpo, el valor. Por qué camba el resultado? Ejercco de autocorreccó 4 (La solucó se ecuetra al fal del apédce). S se deposta $ e ua caja de ahorros al,5% mesual, cuáto se podrá retrar mesualmete durate 2 meses, al fal de cada mes, de modo que después del últmo retro el saldo sea cero? A2.5 SERIE DE CUOTAS UNIFORMES A SUMA FUTURA Para calcular la suma futura al fal del período equvalete a ua sere uforme durate períodos, a la tasa de terés compuesto %, al fal de cada uo,, 2,...,, se utlza la fórmula: ( + ) F = C (A2.8) Dode las varables correspode a las dcadas e la tabla. Esta fórmula resulta de la sucesva aplcacó de la expresó ya coocda F=P(+) o de su versa P=F/(+). Ua vez hecho esto, se utlza el maejo de seres y progresoes de artmétca de escuela secudara. La deduccó matemátca de esta expresó o aporta a la compresó de la dea básca cocepto de equvaleca de todo el aálss que se trata de hacer; por lo tato, o se preseta (hay varos textos, ya mecoados, que sí lo hace). Se debe sstr al lector e que o es ecesaro memorzar las fórmulas.

11 80 IGNACIO VÉLEZ PAREJA F = = C 2 C( + ) + C( + ) + L+ C( + ) + C( + ) 2 ( + ) + ( + ) + L+ ( + ) + ( + ) o [ ] Al hacer las smplfcacoes se llega a la fórmula (A2.8) E Excel = VF(;;C;P;tpo). Esta fucó e Excel srve para calcular F a partr de C o de P; també permte calcular el valor de F, dcado s es cuota atcpada (tpo=) o vecda (tpo=0). S se desea calcular F a partr de C, se omte el valor de P; s se desea que la cuota sea vecda, se omte el valor tpo. Gráfcamete se tee: 0 0 o C C C C C F EJEMPLO A2. 5 Se desea calcular cuáto se tedrá e ua cueta de ahorros al fal de 27 meses, s se deposta $ mesuales y la cueta de ahorros paga el 2,5% mesual. E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo F=? =VF(2,5%;27; )=$ ,03 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores. Explore qué sucede cuado troduce e la caslla tpo el valor. Por qué camba el resultado?

12 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 8 Ejercco de autocorreccó 5 (La solucó se ecuetra al fal del apédce). S ua persoa ahorra mesualmete $2.500 y le lquda tereses mesuales del 3%, cuáto podrá retrar al fal de 24 meses? A2.6 SUMA FUTURA A SERIE DE CUOTAS UNIFORMES Para obteer el valor de la sere uforme al fal de cada período, 2,...,, equvalete a ua suma futura al fal del período, a la tasa de terés compuesto %, se utlza la fórmula: C = F + (A2.9) ( ) Esta fórmula es la versa de la ateror. Dode las varables correspode a las dcadas e la tabla. La deduccó matemátca de esta expresó o aporta a la compresó de la dea básca cocepto de equvaleca de todo el aálss que se trata de hacer, por lo tato o se preseta (hay varos textos, ya mecoados, que sí lo hace). Se debe sstr al lector e que o es ecesaro memorzar las fórmulas. C = F 2 ( + ) + ( + ) + L+ ( + ) + ( + ) (A2.0) E Excel = PAGO(;;P;F;tpo). Esta fucó e Excel srve para calcular C a partr de P o de F; també permte calcular el valor de C, dcado s es cuota atcpada (tpo=) o vecda (tpo=0). S se desea calcular C a partr de F, se omte el valor de P; s se desea que la cuota sea vecda, se omte el valor tpo. Gráfcamete se tee: 0 0 F C C C C C

13 82 IGNACIO VÉLEZ PAREJA EJEMPLO A2.6 Supógase ahora, que se desea retrar de ua cueta de ahorros la suma $ , después de haber ahorrado ua cuota mesual durate 36 meses, a ua tasa de 2,5% mesual. Cuál debe ser esa cuota? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo 0 0 C=? 2 C=? 3 C=? C=? 32 C=? 33 C=? 34 C=? 35 C=? 36 C=? E Excel: =PAGO(2,5%;36; )=-$60.805,9 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel, y al utlzar el Pegar fucó, o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores. Explore qué sucede cuado troduce e la caslla tpo el valor. Por qué camba el resultado? Ejercco de autocorreccó 6 (La solucó se ecuetra al fal del apédce). Cuáto debe ahorrar mesualmete esa msma persoa durate 36 meses, s quere retrar al fal $ y la cueta de ahorros le paga 3% mesual? A2.7 CÁLCULO DE NÚMERO DE PERÍODOS E estos factores sólo se ha trabajado e el cálculo de P, F o C, pero se puede també calcular las otras varables e. Para calcular, se utlza la fucó: =NPER(;C;P;F;tpo) para Excel. Dode las varables correspode a las dcadas e la tabla.

14 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 83 EJEMPLO A2.7 Supógase ahora que se desea retrar de ua cueta de ahorros, la suma $ después de haber depostado $5.000 por ua sola vez a ua tasa de 2,5% mesual. Cuáto se debe esperar? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo =? =NPER(2,5%;;-5000;35000)=78,8 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores. Ejercco de autocorreccó 7 (La solucó se ecuetra al fal del apédce). E cuáto tempo se duplca u ahorro de $ , s se recooce tereses de 3,5% mesual? La fucó que calcula el úmero de períodos, que se expresa =NPER(tasa;pago;va;vf;tpo), cotee las varables P ( VA), C (pago) y F (VF), lo cual sgfca que se puede ecotrar el úmero de períodos, combado o sólo P y F como e el ejemplo ateror, so també P y C, C y F y P, C y F. Se deja al lector el ejercco de jugar co esta fucó. A2.8 CÁLCULO DE TASA DE INTERÉS E el caso del cálculo de, vale la pea precsar que dados valores de P, F, C y, el valor calculado es aquella tasa de terés que hace equvaletes dos flujos de caja de dstto sgo. Por lo tato, los sgos de las cfras volucradas e el cálculo debe ser cosstetes co el dagrama de flujo de caja respectvo; esto es, ua versó debe ser u egreso, co sgo egatvo, y u greso debe teer sgo postvo. Cuado se trabaja co Excel, se utlza =TASA(;C;P;F;tpo; semlla) o =TIR(rago; semlla). La prmera se emplea, como ya se lustró, e el caso e que haya cuotas uformes; la seguda, cuado los flujos de caja o so uformes. E Pegar fucó o Asstete de fucoes para la fucó TIR, aparece estmar e lugar de semlla; cuado o se escrbe gú valor, el programa supoe que es 0,. Esta tasa de terés cal que se le troduce a la fucó es el valor que utlza el programa para car ua secueca de teracoes.

15 84 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Por ejemplo, s se tee la sguete versó: Período Flujo $ El lector, que es telgete, sabrá de medato que la tasa que hace equvalete el flujo postvo co el flujo egatvo es 40%. El computador, que es torpe, pero veloz, tedrá que hacer u proceso de prueba y error, e tetará co 20% y después co 50%, etcétera, hasta que después de varos tetos, descubrrá que es 40%. La tasa de terés que utlza para la prmera prueba es la semlla o estmar de las fucoes Tasa o TIR de Excel. La fucó de Excel TASA, se utlza cuado se tee flujos de caja uformes y sólo hay que troducr u valor C o Pago e Excel, para dcar el flujo de caja uforme. Cuado el flujo de caja o es uforme, obvamete o hay u valor úco, uforme, para troducr e la fucó. E ese caso, o es posble utlzar la fucó TASA y deberá utlzarse la fucó TIR. Co esa fucó hay que dcar el rago dode se halla los valores, desde el state cero hasta el fal del período. E el caso de la fucó de Excel TIR, se le debe dcar al programa el rago dode aparece todos los flujos que se desea aalzar. Rago se refere al rago cotuo e la hoja de cálculo dode se ecuetra los datos. Este rago debe clur todos los valores, desde el state cero hasta el fal o período. Las cfras de las versoes debe escrbrse co sgo egatvo. S e los flujos aalzados se ecuetra u período co valor cero (0), debe escrbrse como tal; Excel o cosdera ua celda e blaco como cero. E caso de hallar ua celda e blaco, o la toma e cueta como período del flujo de caja lbre aalzado. Co las fucoes que utlza rago e sus parámetros se puede utlzar u flujo de caja lbre o uforme. Estas fucoes respode a la preguta a qué tasa de terés se vrtó u dero que produjo determado flujo de beefcos? EJEMPLO A2.8 S ua persoa puede retrar la suma de $ después de haber depostado $5.000 hace 36 meses, a qué tasa de terés mesual ahorró? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo = =TASA(36;;-5.000;35.000) =2,38%

16 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 85 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel, y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores. Ejercco de autocorreccó 8 (La solucó se ecuetra al fal del apédce). S ua persoa ahorra $5.000 mesuales durate 36 meses y retra $ el últmo mes a qué tasa de terés ahorró? La fucó que calcula la tasa de terés, que se expresa =TASA(per;pago;va;vf;tpo; semlla), cotee las varables P (VA), C (pago) y F (VF), lo cual sgfca que se puede ecotrar la tasa de terés combado o sólo P y F, como e el ejemplo ateror, so també P y C, C y F y P, C y F. Se deja al lector el ejercco de jugar co esta fucó. EJEMPLO A2.9 S ua persoa verte $ y recbe e el prmer mes $9.000, e el segudo mes $5.000 y e el tercer mes $7.000, a qué tasa de terés mesual vrtó? B C 30 Mes Flujo $ =TIR(Rago)=2,6% Rago se refere al rago cotuo e la hoja de cálculo dode se ecuetra los datos. Este rago debe clur todos los valores, desde el state cero hasta el fal, o período. Las cfras de las versoes debe escrbrse co sgo egatvo.

17 86 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores. Ejercco de autocorreccó 9 (La solucó se ecuetra al fal del apédce). S se recbe u préstamo de $0.000 y se paga e cuatro cuotas así: la prmera, $3.400; la seguda, $3.75; la tercera, $2.950, y la cuarta, $2.725, a qué tasa de terés prestaro? A2.9 SUMA PRESENTE EQUIVALENTE A FLUJO NO UNIFORME Exste u caso muy comú que cosste e saber cuál es el equvalete e pesos de hoy (valor actual o valor presete) de u flujo de caja lbre que o tee u patró determado; es decr, que los flujos de caja puede ser dferetes. E Excel esto se calcula co la fucó =VNA(;rago). Estas fucoes calcula la suma equvalete e el state cero de u flujo de caja lbre a la tasa de terés dcada y lo expresa e udades moetaras del período medatamete ateror al que ca el rago que se dcó e la fucó. Esto es, que s se calcula el valor presete de ua sere de flujos desde hasta, el resultado será ua cfra e valor presete o actual, e el state 0. El lector debe pesar e udades moetaras de qué período se obtee el resultado s se utlza todo el rago desde 0 hasta. Gráfcamete: P EJEMPLO A2.0 Co los datos del ejemplo 9, s esa persoa desea veder el derecho a recbr los flujos de caja futuros de su versó, y su tasa de terés es de 2% mesual, por cuál suma míma debe hacer la trasaccó? Mes Flujo $ =VNA(2%;Rago desde hasta 3-)=$20.225,63 Rago se refere al rago cotuo e la hoja de cálculo dode se ecuetra los datos. Este rago debe clur sólo los valores, desde el período uo hasta el fal, o período. Las cfras de las versoes debe escrbrse co sgo egatvo.

18 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 87 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel, y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores. Ejercco de autocorreccó 0 (La solucó se ecuetra al fal del apédce). Calcule la suma presete e state cero 0 del sguete flujo de caja lbre a ua tasa de terés de 25% por período: Año Flujo $ A2.0 CONCLUSIONES Obsérvese que e Excel sólo se requere tres fucoes para maejar los casos de trasformacó etre sumas de dero P, F y C. Éstas so: = VF (;;C;P;tpo) para trasformar P a F o C a F. = VA (;;C;F;tpo) para trasformar F a P o C a P. = PAGO (;;P;F;tpo) para trasformar P a C o F a C. Obsérvese que estas fucoes se puede utlzar co más de ua varable; por ejemplo, se puede calcular ua cuota uforme equvalete a ua suma cal VA o P y ua suma futura VF o F. Se puede calcular ua suma presete equvalete a ua sere de cuotas uformes pago o C y ua suma futura VF o F, etcétera. Al llegar a este puto es posble que alguos lectores famlarzados co el tema haya extrañado que certas fórmulas tradcoales, como los gradetes, o aparezca e el texto. La razó es muy smple: muchas de las smplfcacoes que se ha vedo utlzado e este tema, como los gradetes, era váldas hace más de ccueta años. E esa época, era ecesaro asmlar el comportameto de costos o gresos crecetes (o decrecetes) a ua líea recta que aumeta o decrece por u gradete costate g para poder codesar su cálculo e ua fórmula compacta. Después de que se ha desarrollado el cojuto de fucoes de hojas electrócas, como Excel, que se presetó arrba, se tee la esperaza de que ya o se utlce más estos malabarsmos algebracos que cumplero su fucó muy be e la prmera mtad del sglo XX y comezos de la seguda. Las fucoes e forma resumda y e fucó de los patroes típcos cuado hay cuota uforme, suma presete o suma futura so: Operacó Patró típco (a partr de P, F, C, per y/o %) Patró o típco (rregular) A suma presete VA VNA A suma futura VF No hay A cuota uforme PAGO No hay Tasa de terés TASA TIR Número de períodos NPER No hay

19 88 IGNACIO VÉLEZ PAREJA A2. FACTORES Y FUNCIONES DE EXCEL =VF(;;;P) Coverte ua suma presete P al comezo del período, o sea fal del state 0, e ua suma futura F al fal del período. =VA(;;;F) Coverte ua suma futura F al fal del período e ua suma presete P al comezo del período, o sea fal del state 0. =VA(;;C) Coverte ua sere uforme de valor C, que se ca al fal del período y terma al fal del período, e ua suma presete P al comezo del período, o sea fal del state 0. =PAGO(;;P) Coverte ua suma presete P al comezo del período, o sea fal del state 0, e ua sere uforme de valor C, que se ca al fal del período y terma al fal del período. =VF(;;C) Coverte ua sere uforme de valor C, que se ca al fal del período y terma al fal del período, e ua suma futura F, al fal del período. =PAGO(;;;F) Coverte ua suma futura de valor F, stuada e el fal del período, e ua sere uforme de valor C, que se ca e el fal del período y terma al fal del período. =TASA(per;pago;va;vf;tpo;semlla), =TIR(rago; semlla): Calcula la tasa de terés que hace equvaletes uos flujos egatvos a uos postvos. Respode a la preguta a qué tasa de terés se vrtó u dero que produjo determado flujo de beefcos? Para la fucó TASA se le debe dcar los parámetros C, F, P, e semlla. Para la fucó TIR se le debe dcar al programa ua tasa de terés cal ( semlla), co la cual ca los cálculos y el rago dode aparece todos los flujos que se desea aalzar. =VNA(;rago) Calcula el valor presete de u flujo de caja lbre a la tasa de terés dcada y lo expresa e udades moetaras del período medatamete ateror al que ca el rago que se dcó e la fórmula. =NPER(tasa;pago;va;vf;tpo;semlla) Ecuetra el úmero de períodos que se requere para que ua versó se coverta e u determado moto al fal de esos períodos o el úmero de cuotas que se requere para pagar u préstamo co ua cuota determada o el úmero de depóstos guales ecesaros para obteer ua certa suma de dero al fal de los períodos calculados. E todos los casos se debe estpular ua tasa de terés. Se repte esta tabla (mecoada e el capítulo 2, umeral 2.7) co el f de facltar la recordacó de las deas.

20 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 89 Estos factores se ecuetra e calculadoras faceras y otras hojas electrócas de maera que puede obteerse co gra precsó y rapdez. També se puede utlzar tablas de factores de terés que se ecuetra e los lbros vejos de matemátcas faceras. A2.2 TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA E el texto del capítulo se presetaro las fórmulas báscas que relacoa las tasas atcpadas y vecdas y las tasas omales y las efectvas. A cotuacó se preseta otras fórmulas que permte hallar e forma drecta las equvalecas etre cualquer tasa omal y su efectva correspodete, y vceversa. S se desea calcular la tasa omal atcpada a partr de ua tasa de terés efectva, se despeja de (2.8) y se obtee: om A = = = ( + ) ef ( + ) ef ( + ) ( ) ef + ef (A2.) Escoja el lector la que le parezca meos complcada 2. EJEMPLO A2. Se tee ua tasa de terés omal del 24% aual, mes vecdo ( = 2) etoces, la tasa de terés efectva es: = INT.EFECTIVO(24%;2)=26,82% Sugerecas: escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores. EJEMPLO A2.2 S la tasa de terés omal fuera 32% y se lquda trmestralmete por atcpado, la tasa de terés efectva aual será: 2 Esta fórmula la dedujo Fabá Ruz Gutérrez estudate de m curso e la Uversdad Javeraa e II-99

21 90 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Tasa de terés trmestral atcpada = 0,32/4 = 0,08= 8% Tasa de terés trmestral vecda = 0,08/(-,08)=0,087 =8,7% Tasa de terés efectva aual = (+,087) 4 -=, = 0,39588 = 39,59% efectvo aual. Obsérvese que sempre hay que reducr el terés omal al terés peródco que se dca e la forma de lqudar. E Excel, =t. efectvo(8,7%*4;4)=39,59% ef 0 =VF(-32%/4;-4;;-)- = 39,59% Sugerecas: escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores. Ejercco de autocorreccó (La solucó se ecuetra al fal del apédce). S u préstamo está pactado al 36% aual, trmestre vecdo, cuál es la tasa de terés efectva que se está pagado aualmete? Recuerda la cfra que se le pdó guardar e el ejemplo del capítulo 2? Basádose e este ejercco de autocorreccó, se puede coclur que cuado se calcula la tasa de terés efectva aual, se supoe, e el caso de u préstamo, por ejemplo, que que recbe el dero prestado tee la posbldad de ahorrar a la msma tasa a la que le presta. Es este supuesto razoable? Para el caso de ua persoa que guarda su dero e ua caja fuerte (o e ua lata de galletas, que para el caso es lo msmo), qué sgfcado tedrá decr que s el préstamo es de 36% TV, etoces, la tasa de terés efectva aual es la obteda e el ejercco de autocorreccó? Ese dvduo, Cuál de las dos formas de pago preferrá, e el caso del ejemplo? Se podrá decr que la tasa de terés efectva aual es la msma para él, que para aquél que puede ahorrar al 9% trmestral? EJEMPLO A2.3 S u baco dce cobrar ua tasa de terés de 42,87% efectva aual, A qué tasa de terés mes atcpado correspode esa tasa de terés efectva? La tasa de terés omal mes vecdo es 36,2%. La tasa de terés peródca, mesual vecda es 3,02%. La tasa de terés peródca mesual atcpada es: E Excel, ma 3,02% = = 2,93% + 3,02% = tasa. omal(42,87%;2)/2= 3,02% mv

22 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 9 La tasa de terés peródca mesual atcpada es: ma 3,02% = = 2,93% + 3,02% Sugerecas: escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel y al utlzar el Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas, o los valores. Ejercco de autocorreccó 2 (La solucó se ecuetra al fal del apédce). S la tasa de terés efectva aual de u préstamo es de 42% y se sabe que se lqudó por trmestre atcpado, Cuál fue la tasa omal de terés que se pactó? Así msmo, s se quere covertr drectamete ua tasa omal atcpada co 2 períodos a ua tasa omal atcpada co períodos, se puede utlzar esta ecuacó: 2 oma = 2 oma 2 (A2.2) El lector puede verfcar el resultado de esta fórmula co el del ejemplo 25. De gual maera, para trasformar ua tasa omal vecda co 2 períodos a ua tasa omal vecda co períodos se puede utlzar la sguete relacó: omv 2 omv = (A2.3) Para trasformar ua tasa omal vecda co 2 períodos a ua tasa omal atcpada co períodos se puede utlzar la sguete relacó: oma = + 2 omv2 2 (A2.4)

23 92 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Para trasformar ua tasa omal atcpada co 2 períodos a ua tasa omal vecda co períodos se puede utlzar la sguete relacó: omv = 2 oma 2 2 (A2.5) Estas fórmulas muestra que la utldad de la tasa de terés efectva queda reducda a hacer comparacoes etre tasas que se lquda de maera dferete. No es ecesaro squera el cálculo de la tasa de terés efectva para hacer las trasformacoes etre tasas. El lector debe comprobar estas fórmulas co los datos del ejemplo 25. A2.3 RESUMEN DE ECUACIONES De A Fórmula Efectva Nomal atcpada om A = + Nomal atcpada co 2 períodos Nomal vecda co 2 períodos Nomal vecda co 2 períodos Nomal atcpada co 2 períodos Nomal atcpada co períodos Nomal vecda co períodos Nomal atcpada co períodos Nomal vecda co períodos oma omv oma omv = = ( ) ef ( + ) ef ( + ) ( ) ef + ef 2 oma = omv = = 2 omv = oma 2 2 2

24 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 93 La relacó etre tasas se puede ver e el sguete esquema elaborado por Adrés Mejía, profesor del Departameto de Admstracó de la Uversdad Javeraa e mayo de 2000.! ( + ) efectva = peródca El sgo postvo muestra que se está trabajado tasas vecdas Trasformacó de tasas equvaletes peródca TASA EFECTIVA ANUAL = ( ) = efectva ( + )! El sgo egatvo muestra que se está trabajado tasas atcpadas = ( + )! Nótese que la operacó que determa las tasas efectvas es la potecacó, puesto que se basa e el cálculo de tasas compuestas TASA PERIÓDICA VENCIDA = = peródca = omal = + omal = peródca TASA NOMINAL ANUAL TASA PERIÓDICA ANTICIPADA =! Nótese que la operacó que determa las tasas omales es la multplcacó, puesto que se basa e el cálculo de tasas smples A2.4 SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOCORRECCIÓN. Cuáto se tedrá al fal de 2 meses, s se ha depostado ua suma de $ a ua tasa del 2% mesual? F =VF(2%;2;; )=$ Cuáto se debe depostar hoy a ua tasa del 3% mesual, para teer $ al fal de 2 meses? P = VA(3%;2;; )=-$ ,76 3. A cuáto equvale hoy ua sere de gresos de $.000 mesuales, recbdos al fal de cada mes, durate 2 meses, s la tasa de terés peródca es del 2,5% mesual? P =VA(2,5%;2;-.000)=$0.257,76 4. S se deposta $ e ua caja de ahorros al,5% mesual, cuáto se podrá retrar mesualmete durate 2 meses, al fal de cada mes, de modo que después del últmo retro el saldo sea cero?

25 94 IGNACIO VÉLEZ PAREJA C =PAGO(,5%;2; )=$37.59,98 5. S ua persoa ahorra mesualmete $2.500 y le lquda tereses mesuales del 3% cuáto podrá retrar al fal de 24 meses? F=VF(3%;24;-2.500)=$86.066,7 6. Cuáto debe ahorrar mesualmete esa msma persoa durate 36 meses, s quere retrar al fal $ ? C =PAGO(3%;36; )=-$4.74,4 7. E cuáto tempo se duplca u ahorro de $ , s se recooce tereses de 3,5% mesual? =NPER(3,5%; ; )=20,5 meses. 8. S ua persoa ahorra $5.000 mesuales durate 36 meses y retra $ el últmo mes a qué tasa de terés peródca ahorró? = TASA(36;-5.000;; )=2,73% 9. S se recbe u préstamo de $0.000 y se paga e cuatro cuotas, así: la prmera, $3.400; la seguda $3.75; la tercera, $2.950 y la cuarta $2.725, a qué tasa de terés peródca prestaro? =TIR(Rago desde state 0 a 4)=9,0% Período Flujo de caja $ Calcule la suma presete e state 0 del sguete flujo de caja lbre a ua tasa de tasa de terés peródca de 25% por período: Año Flujo $ =VNA(25%, rago desde período hasta 4)=$7,97. S u préstamo está pactado al 36% aual, trmestre vecdo, cuál es la tasa de terés efectva que se está pagado aualmete? =INT.EFECTIVO(36%;4) = 4,6% 2. S la tasa de terés efectva aual de u préstamo es de 42% y se sabe que se lqudó por trmestre atcpado, cuál fue la tasa de terés omal que se pactó? c =TASA.NOMINAL(42%;4)=36,65% om trm vec =(36,65/4)/(+36,65/4)=8,39% trm at om aual trm at =8,39%*4=33,57%

26 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 95 A2.5 EJERCICIOS. Por qué es dstto el valor del derecho a $ hoy, de u derecho gual detro de u año? Segú esto, qué es el terés? Qué se etede por equvaleca? 2. Cuátos flujos de caja etos e años podría ser equvaletes a ua suma presete de $P al % aual? 3. Desarrolle los sguetes casos: 3.. Descrba el pla de pago de $0.000 para pagar esta deuda e cuatro pagos trmestrales guales (cuota uforme), que cluye tereses de 9% trmestral y se paga al fal de cada trmestre, sobre el saldo o pagado, al comezo del período Trmestre Saldo al co del trmestre Iterés Aboo a la deuda Cuota uforme Saldo al fal del trmestre Tasa 3.2 Resuelva també, bajo el supuesto de que los aboos a la deuda so guales: Trmestre Saldo al co del trmestre Iterés Aboo a la deuda Cuota Saldo al fal del trmestre Tasa Juegue co los aboos y ajuste los valores hasta lograr que el saldo fal se matega e cero. Al hacer esto e forma repetda, usted podrá verfcar la respuesta del ejercco 2. Este ejercco 3 equvale a lo que e los textos tradcoales se llama tablas de amortzacó. 4. Las sguetes afrmacoes so certas o falsas? Argumete la respuesta. 4. La tasa de terés es costate a través del tempo. 4.2 Para u aálss de u flujo de caja por períodos auales sólo puede cosderarse tasas de terés auales.

27 96 IGNACIO VÉLEZ PAREJA 4.3 La dfereca etre ua tasa terés omal y ua tasa de terés efectva radca e que la tasa de terés efectva es sempre u múltplo etero de la tasa omal. 5. E ua casa de cambos de Bogotá, le djero a ua secretara que le prestaba $ al 5%. Cuado llevó a su fador para recbr el dero y etregar los cheques para el pago del préstamo, se eteró de que le etregaría $98.000, pues le descotaba $2.000 por cocepto de estudo del crédto. Debó grar estos cheques: Mes $ Mes $ Como ecestaba el dero, ella y su fador le dero las gracas al amable señor de la casa de cambos. Verdaderamete le prestaro el dero al 5%? A qué tasa le prestaro? R. No. 9,7%. 6. La empresa debe pagar el mpuesto predal de su sede, el cual ascede a $ al año. S la ofca de recaudacó le ofrece u descueto por proto pago de 5%, s paga ates de abrl 30 de ese año, a qué tasa terés aual efectva correspode ese descueto, s el pago se hace el 30 de marzo? S, por el cotraro, o se acoge al descueto y debe pagar tereses de mora del 36% aual, lqudado mesualmete sobre el moto debdo, a partr del de mayo, cuál es la suma total que deberá pagar el de agosto? 7. S la lqudacó es mesual, a qué tasa de terés debe colocarse $ para: Acumular $ de tereses e 2 años? Acumular $ de tereses e 3 años y medo? 8. Cuál es el valor de la tasa de terés efectva, cuado ua tasa de terés omal del 5% se lquda: a) aualmete; b) semestralmete; c) trmestralmete; d. mesualmete. Haga el cálculo para dferetes tasas de terés omal, por ejemplo, 20%, 25%, 30%, 30%, 40%, 45%, 50%. E la hoja de cálculo, utlce pasos de %. 9. Cuál es la tasa de terés efectva semestral y la tasa de terés efectva aual de los sguetes certfcados de depósto a térmo: 90 días, 25% aual omal, trmestre atcpado. 80 días, 26% aual omal, trmestre vecdo. 0. Cuál es la tasa de terés efectva semestral y aual de los sguetes títulos de ahorro acoal: 90 días 22,86% aual omal, trmestre vecdo. 80 días, 25,4% aual omal, semestre vecdo. 360 días, 29,45% aual omal, año vecdo.

28 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 97. Cuál es la tasa de terés efectva aual de ua versó que ofrece ua tasa de terés omal aual del 28%, pagado por semestre atcpado? 2. Exste títulos-valores que se egoca e la Bolsa que tee la estructura geérca de u boo; u boo es la promesa de pago que hace ua frma co la cual se compromete a pagar el valor omal (valor del boo) al vecmeto (maduracó o redecó) y uos tereses pactados (cupoes) que se paga peródcamete. La frma los puede veder a descueto o o (a descueto sgfca que los vede por meor valor que el omal). Así msmo, puede ofrecer tereses peródcos (cupoes) o o. Co qué descueto debe adqurr u versosta u título que se debe redmr a los 5 años, s al fal de cada año recbe tereses del 2% co respecto al valor omal del documeto mecoado y aspra a obteer u redmeto aual del 35%? Ayuda: el redmeto es la tasa de terés de equvaleca, o sea, que hace equvaletes los flujos etos postvos y los flujos etos egatvos. 3. Ua versó ofrece ua tasa de terés omal aual del 3%, pagado cada mes al vecmeto; s otra alteratva paga los tereses por trmestre atcpado, qué retabldad omal aual TA se debe exgr e esta seguda opcó para que las dos sea equvaletes? 4. Ua posbldad de facacó es la emsó de boos o títulos egocables e bolsa. Co qué descueto se debe emtr u título que o paga tereses, s se desea que su vecmeto ocurra a los 90 días y que el redmeto para el comprador sea del 28,5% omal aual? 5. S la cueta Protoahorro ofrece ua tasa de terés de 39% aual lqudado trmestralmete y vecdo y la cueta Ahorre-ya ofrece 37% aual lqudado mesualmete y vecdo, e cuál de las dos abrría ua cueta de ahorros para mateer allí u depósto por dos años? 6. Cuál es la tasa de terés efectva trmestral y aual, s ua tasa de terés omal aual del 48% se lquda mesualmete? 7. Ua persoa recbe e caldad de préstamo $ de ua corporacó, para ser pagados e 2 cuotas guales al fal de cada mes, co ua tasa de terés de % por mes. Sus pagos mesuales fuero calculados de la sguete maera: Suma del préstamo $ Iterés al % mesual $ Estudo de la solctud $ Total $ Pagos mesuales $ /2 = Qué opa usted de esta forma de lqudar los pagos? Determe la tasa de terés efectva y omal por año que pagó esa persoa.

29 98 IGNACIO VÉLEZ PAREJA 8. E u almacé deportvo le ofrece ua bccleta cuyo preco de lsta es de $ y se puede comprar a través de ua tarjeta de crédto a 6 o 2 meses. S embargo, s usted paga de cotado, le hace u descueto, y la bccleta valdría $ Los factores que utlza la tarjeta de crédto para calcular la cuota mesual (se multplca el valor del pagaré por el factor para calcular la cuota mesual) que se debe pagar e cada caso, so: Pla Factor 6 meses 0,804 2 meses 0,09699 Cuál es la tasa de terés que dce cobrar la tarjeta de crédto? Cuál es la verdadera tasa de terés que usted paga al comprar co la tarjeta? Supoga que se dfere la totaldad de la compra. R. 2,42%, 5,65% (6 meses), 4,20% (2 meses). 9. Supoga que u baco auca que las tasas auales de terés e cada uo de los próxmos cuatro años será 28%, 30%, 35% y 32%. 9. Elabore ua tabla que muestre la catdad acumulada al fal de cada año por cada peso depostado hoy. 9.2 Cuáto habrá que depostar hoy para teer $ al falzar el cuarto año? R. $ ,2 9.3 Qué tasa de terés aual costate sería equvalete a la sere de las tasas dadas, para algue que desea vertr hoy y recbr la versó después de cuatro años (e otras palabras, qué tasa de terés trasformaría la suma presete que se ecotró e el puto ateror e $ detro de cuatro años?). R. 3,22% 9.4 A la tabla del prmer puto añada ua columa que muestre la catdad que se debe depostar ahora s se desea teer u saldo de $ al fal del año. Al fal del año 2?, y del año 3?, Y del año 4? 20. Supoga que ua corporacó de ahorros paga ua tasa del 25% de terés aual y usted verte $ e eero de 992 y desea hacer tres retros auales guales a partr del año 994, de tal maera que al hacer el últmo retro (e 996) la cueta queda e $0. Cuál es el valor de los retros guales que se podría hacer? 2. Cuál es el costo efectvo aual de u crédto de $ que se paga al fal de u año, co ua tasa de terés del 28% aual omal, co tereses pagaderos por trmestre atcpado? 22. Ua corporacó paga ua tasa de terés del 2,5% mesual. 22. A qué tasa de terés efectva aual equvale esa cfra?

30 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS Cuál es la tasa de terés omal aual correspodete al 2,5% mesual? 22.3 S usted verte $ y o retra ada, cuáto tedrá detro de ses meses?, detro de tres años? 23. E cuáto tempo se duplcará ua versó de $ s la tasa de terés es del 0% semestral?, e cuáto tempo se trplca?, se cuadruplca? 24. S usted verte hoy $ y desea que e 0 años tal suma se haya trplcado, a qué tasa de terés deberá hacer su versó? S desea que su captal se duplque e ese msmo período, a qué tasa de terés debe vertrlo? 25. E cuáto tempo se duplcará u captal a ua tasa de terés del 8% aual?, del 2% aual?, del 8% aual?, del 24% aual?, del 30% aual? 26. S u captal se duplca cada cuatro años, qué tasa de terés está gaado?, s se duplca cada 0 años? 27. Ua aceptacó bacara es u documeto que expde u baco e favor de u tercero por cueta de u clete. El tercero puede hacer efectva la aceptacó y presetarse a cobrar al baco e la fecha de vecmeto de este título-valor, o descotarla e el mercado de valores. Las tasas a las que se descueta estos documetos varía depededo de la escasez o abudaca de efectvo e el mercado. S se tee ua aceptacó bacara a 90 días y se descueta al 38% aual trmestre atcpado, a qué tasa de terés efectva aual correspode esta operacó? 28. Co la formacó del ejercco ateror, s se desea obteer eto $ , cuáto debe ser el valor de la aceptacó bacara ates del descueto? 29. Cuáto se acumulará e u fodo al fal de 25 años s se verte hoy $ al 24% aual? 30. Cuál es el valor presete de $ , que se recbrá detro de 37 años, s la tasa de terés es del 30% aual? 3. Se desea teer $ al fal de 30 años, qué suma uforme de dero se debe vertr al fal de cada uo de los 30 años s la tasa de terés es del 8% aual? 32. Qué catdad de dero se debe vertr ahora para recbr $ al año a perpetudad, s la tasa de terés es del 20% aual? 33. Desarrolle los sguetes putos: 33. Cuáto debe ser el ahorro recbdo al fal de 5 años, para justfcar u gasto de $ ahora, otro gasto de $ al fal del tercer año y de $ al fal del cuarto año, teedo e cueta que la tasa de terés es del 36% aual? 33.2 Cuál es la suma acumulada de $ al fal de 60 años, s la tasa de terés es del 5%.

31 00 IGNACIO VÉLEZ PAREJA 33.3 Cuáto estaría dspuesto a pagar usted hoy por la promesa de recbr $ durate 5 años, al fal de cada año, s su tasa de terés es del 8% aual?, s su tasa de terés fuera 24%?, s fuera 2%? 34. S la tasa de terés es del 20%, hasta qué catdad se podría pagar hoy por $ auales (pagaderos al fal de cada año, empezado el año hoy), durate: a) 5 años; b) 0 años; c) tempo defdo. 35. S usted deposta $ al fal de 998 e ua cueta de ahorros a ua tasa de terés del 8% aual lqudado trmestralmete, cuáto tedrá usted e su cueta al fal del 2006? 36. S usted deposta e su cueta de ahorros $ al fal de cada año, comezado al fal de 998 y falzado e el 2004, qué suma tedrá usted e su cueta, s el terés aual es del 5%? 37. S usted desea dspoer, al fal del 2000, de ua suma de $ e ua cueta de ahorros al 24% aual, cuádo debería depostar la suma de $ ? 38. Qué catdad debe depostarse e ua cueta de ahorros a ua tasa de terés aual del 8% a fales de 998 para que se pueda retrar de la cueta $ auales, comezado al fal del 200 y termado a fes del 2028? 39. S usted se etera de que algue ha depostado $ e ua cueta bacara al fal de 998, 2000 y 200, y que esa cueta ha alcazado la suma de $ al falzar 2004, qué tasa de terés devegó esa cueta? 40. E septembre de 994 la Cooperatva Cafetera Cetral publcó u avso, cuya parte pertete dce: La Cooperatva Cafetera Cetral [...] ofrece BONOS EL CAFETERO 994 cuyas característcas [...] so las sguetes: [...] 2. Valor Nomal: la emsó costará de boos de u valor omal de $ cada uo. [...] 6. Vecmeto: el plazo de los boos será de 60 meses cotados a partr de la fecha de su suscrpcó. 7. Tasas de Iterés: La tasa de terés será del DTF+3,00% TA. Se etede por DTF la tasa promedo de captacó a 90 días de los bacos, corporacoes faceras, corporacoes de ahorro y vveda y compañías de facameto comercal, dvulgadas semaalmete por el Baco de la Repúblca o, e caso de desaparecer, por aquella tasa promedo de captacó que la susttuyó. Para la lqudacó de los tereses se tomará el DTF vgete el día e el cual se ca el período de causacó de los tereses, adcoado e los putos pactados. 8. Pago de Itereses: los tereses se pagará trmestre atcpado, trmestre vecdo, semestre atcpado o semestre vecdo a eleccó del suscrptor. [...]

32 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 0 Aalce esta oferta y, s hacer gú cálculo, decda cuál es la mejor forma de lqudar los pagos de tereses del boo (cupoes), supoedo que el pago de los tereses e las modaldades ofrecdas debe mateer la tasa de terés efectva que resulta del puto 7, y que el comprador o tee problemas de lqudez. S la tasa DTF fuera de 26,2% aual, calcule la tasa de terés aual efectva, bajo el supuesto de que los tereses se lqudara como dce la oferta. Cuál es la tasa de terés omal para cada modaldad de pago ofrecda, sabedo que la tasa de terés efectva debe ser la msma para cada caso? S su tasa de equvaleca (tasa de descueto o tasa de retabldad míma aceptable) fuera de 35% aual efectva, cuál modaldad de pago le covee más? S usted matee el boo durate los prmeros cuatro pagos y decde vederlo medatamete después de recbr el cuarto pago de tereses (bajo la modaldad de TA), cuál sería el mímo valor por el cual lo vedería, s su tasa de equvaleca (tasa de descueto o tasa míma aceptable) fuera de 35% aual? Usualmete ua emsó de boos se vede e u período corto y después de comprados los boos se puede decr que o puede volver a comprar los msmos boos e lo que se cooce como mercado prmaro, es decr, comprar los boos al emsor de éstos. Sugereca: lea el texto del ejercco 2 de esta msma seccó para formarse, s lo ecesta, sobre lo que es u boo. 4. Su empresa ha solctado ua facacó de cartera ordara a u baco al 36% aual, trmestre atcpado, co u plazo de 3 años; le cobra ua comsó del,5% del total del préstamo por ua sola vez, y la deuda la debe pagar trmestralmete; el gerete del baco ha sstdo e que es u préstamo muy barato, pues calcula que como máxmo le va a costar 36,5% al año, teedo e cueta que la comsó es por ua sola vez. Cuáto es el verdadero costo del préstamo e térmos de tasa de terés efectva aual? 42. Cuál es la retabldad de u papel de descueto a año, s se ha comprado co u descueto del 25% del valor omal? 43. Ua uversdad ha emtdo boos covertbles e matrícula, cuya adquscó se puede hacer por medo de ua facacó (u préstamo) del 70% del moto a ua tasa del 24% aual, pagadera por trmestre atcpado; la uversdad ofrece ua tasa de terés mesual del 3,5% vecdo sobre el valor omal y espera recbr al fal de los 36 meses de plazo sus boos por matrícula, cuyo valor es equvalete al 05% del valor omal de los boos. Usted ha estudado esta posbldad y decde comprar $ e boos, qué retabldad le produjero los $ que le correspodó aportar de su bolsllo? Supoga que el préstamo se devuelve al fal de los 36 meses. Sugereca: lea el texto del ejercco 2 de esta msma seccó para formarse, s lo ecesta, sobre lo que es u boo. 44. Cuáta es la retabldad efectva aual de u CDT de $ al 30% trmestre atcpado? 45. U amgo está ecestado de dero y lo úco co que cueta es u CDT de u baco muy coocdo. Le pde que sobre ese documeto le