TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIERA

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1 TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIEA 1. AUMENTOS Y DISMINUCIONES POCENTUALES Si expresamos u porcetaje % como u úmero decimal: tato por uo: r = 23 23% = 0, 23 obteemos el Para calcular el porcetaje % de ua catidad multiplicamos esa catidad por el tato por uo, r : el 23% de ua catidad C es 0,23 C Vamos a calcular e cuáto se trasorma ua catidad C al surir u aumeto del 23%: C + 0,23 C = 1,23 C. Vamos a calcular e cuáto se trasorma ua catidad C al surir ua dismiució del 23%: C 0,23 C = 0,77 C. U aumeto porcetual cosiste e añadir a ua catidad C u % y esto equivale a calcular el ( + )% de C o, lo que es lo mismo, a multiplicar (1 + r) C Ua dismiució porcetual cosiste e quitar a ua catidad C u a% y esto equivale a calcular el ( )% de C o, lo que es lo mismo, a multiplicar (1 r) C x (1+ r) aumeto x (1 - r) dismiució Catidad iicial Catidad ial : (1+ r) aumeto : (1- r) dismiució 1º) Después de subir u 20% u artículo vale 45,60 Cuáto valía ates de la subida? 2º) E ua de las promocioes de ua marca de bicicletas, Aa ha comprado ua bici que paga a plazos si itereses: a. Si la bici vale 110 y ya ha pagado el 70%, qué catidad ha pagado? b. Si la bici vale 110 y ha pagado 79,20, cuál es el porcetaje que ha pagado? c. Si lleva pagados 88,80, que supoe el 74% del precio, cuál es el precio de la bici? [120] 3º) El año pasado u ordeador costaba 938. Primero aumetaro su precio e u 9%, y luego lo rebajaro u 13%. Cuáto vale ahora? 4º) U ordeador os ha costado 770. Ates había aumetado el precio origial e u 10% y después lo bajaro u 20%. Cuál era el precio iicial del ordeador? 5º) El coste de la vida, e u cierto país, subió el 15% u año y el 6% al año siguiete, y bajó el 5% durate el tercer año. Cuál ue la subida total e esos tres años? 1/7 IB IES LA NÍA

2 6º) U comerciate vede los artículos de su tieda aumetado u 40% el precio de coste. A sus amiliares y amigos ítimos quiere vedérselos al precio de coste. Para ello, da a los depedietes la orde de que les rebaje u 40% del precio de veta al público. Qué error está cometiedo el comerciate? Qué debería hacer para que el descueto sea el correcto? 2. INTEÉS SIMPLE Si igresamos diero e u baco os paga uos determiados itereses por depositarlo allí. El diero o queda guardado e el baco sio que realiza egocios co él. El beeicio que obtiee co esas operacioes les permite pagar a sus clietes los itereses. E este caso el cliete está prestado diero al baco a cambio de los itereses. El baco tambié presta diero (por ejemplo u préstamo hipotecario para comprar ua casa) y, e ese caso, cobra itereses. Por supuesto, cobra más itereses por prestar diero de los que paga por que se lo preste a él. Ese es su egocio. El tato por cieto aual que paga u baco a sus clietes por el diero depositado e él se llama rédito. Si depositamos u capital C al % de iterés, al cabo de u año tedremos C (1 + r), siedo r = el tato por uo. Si el iterés es simple los itereses geerados se aboa al cliete e lugar de sumarlos a la catidad depositada. Cuado trascurra otro año se volverá a aplicar el iterés sobre la catidad iicial depositada C, obteiedo la misma catidad. Así, al cabo de años, habremos obteido veces el iterés: I = C r, y el capital ial será C = C + C r = C (1 + r ) U capital C, depositado al %, de iterés simple durate años produce u iterés de I = C r y se covierte e u capital ial de : C = C (1 + r ), siedo r = 7º) Ua caja de ahorros orece a sus clietes u iterés simple aual del 5% por ua imposició de 000 durate 7 años. Cuál es el importe de los itereses obteidos por el cliete? Cuál será el capital ial? 8º) A qué iterés simple se ha depositado u capital de sabiedo que e 10 años se ha covertido e 7 000? 9º) Se deposita e ua libreta durate seis meses y se obtiee uos itereses de A qué iterés simple aual está depositado el capital? 10º) Cuáto tiempo tardará e duplicarse u capital al 6,25% de iterés simple? 2/7 IB IES LA NÍA

3 3. INTEÉS COMPUESTO Los bacos o suele aplicar el iterés simple, sio que aplica el iterés compuesto. Si el iterés aboado al ial de cada período se añade al capital iicial para geerar uevos itereses e el período siguiete, se llama iterés compuesto. Si u baco paga el % aual, u capital iicial C después de u año se trasorma e C (1 + r) Como los itereses obteidos sigue e la cueta bacaria la catidad depositada es C (1 + r), de uevo al % ; al cabo de otro año tedremos que multiplicar de uevo por (1 + r) : C (1 + r) (1 + r) = C (1 + r) Catidad depositada 2 Catidad ial Año 1 C C (1 + r) Año 2 C (1 + r) 2 C (1 + r) (1 + r) = C (1 + r) Año 3 2 C (1 + r) Año 1 C (1 + r) C (1 + r) (1 + r) = C (1 + r) 2 3 C + r + r = C + r 1 (1 ) (1 ) (1 ) U capital C, depositado al %, de iterés compuesto durate años se covierte e u capital ial de : C (1 ) = C + r, siedo r = Ejercicios 11º) E cuáto se covierte al 7,25% aual e 4 años a iterés compuesto? 12º) Calcula qué capital tedremos al cabo de tres años por u depósito de sujeto a u iterés aual del 4,5% si: a. etiramos los itereses cada año. b. No retiramos los itereses 13º) Depositamos al 6% de iterés aual. Calcula los itereses y el capital obteido e: a) u año b) cuatro años c) 15 años y tres meses 14º) Qué catidad debemos ivertir al 5% de iterés aual para teer a los 10 años de la imposició? 15º) Se colocaro a iterés compuesto durate dos años, resultado u capital de A qué rédito se colocaro? 16º) Hacemos ua imposició de e ua etidad bacaria al 6% aual de iterés compuesto. Qué capital tedré al cabo de 5 años? Cuáto tiempo tiee que pasar para obteer uas gaacias de 1.000? 17º) Ua etidad bacaria orece u iterés compuesto aual del 4% para los depósitos iiciales igresados al abrir ua ueva cueta. Cuátos años ha de estar depositada ua catidad para que se duplique? 3/7 IB IES LA NÍA

4 Los bacos o siempre aboa los itereses al cabo de u año, sio que lo hace e otros itervalos de tiempo: u mes, u trimestre, u semestre,. Estos itervalos de tiempo se cooce como períodos de capitalizació. Por ejemplo, si el baco aboa los itereses cada mes el rédito (porcetaje aual) se tiee que dividir etre 12 meses para hallar el iterés mesual, y el expoete debe ser el º de pagos, es decir, el º de meses. Período de capitalizació Capital ial Período de tiempo Aual C = C (1 + r) º de años Mesual Trimestral m r C = C t r C = C 1+ 4 m º de meses t º de trimestres 18º) A ua persoa le ha tocado u premio de Averigua cuál de las siguietes oertas bacarias le resultará más beeiciosa: a. Ua imposició a plazo ijo de dos años co u iterés del 6,5% aual. [68053,50] b. Abrir ua cueta co u tipo de iterés del 6,3% aual, y co período de capitalizació mesual. Y si uera del 6,4%? [68034,50; 68169,99] 19º) Depositamos al 6% de iterés aual. Calcula el capital obteido e u año, 4 años, 15 años y tres meses, si el período de capitalizació es: (compara co el ejercicio º 13) a. Mesual 15925,17; 19057,34; 37366,34] b. Trimestral [15920,45; 19034,78; 37198,02] 20º) ecibimos u préstamo de al 5,5% aual que hemos de devolver, juto co sus itereses, e u úico pago 3 años después. Averigua a cuáto ascederá el pago, si los períodos de capitalizació so: a) auales b) mesuales c) diarios [58712,07; 58947,43; 58968,92] 21º) E cuáto tiempo, a iterés compuesto, u capital de al 5% de iterés co aboo de itereses aual se covertirá e ? 4. ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN Ua aualidad de capitalizació es ua catidad de diero ija que se deposita periódicamete co la iteció de reuir u capital al cabo de u cierto tiempo. U ejemplo sería los plaes de pesioes para la jubilació. El cliete aboa al iicio de cada año u capital ijo (aualidad) y la etidad iaciera le da u iterés que se va acumulado. Cuado llega los 65 años el cliete recibe el capital acumulado. Ejemplo: U deportista estima que le queda cuatro años de vida activa. Para poder motar u egocio cuado se retire, decide ahorrar cada año euros, que deposita e u baco al pricipio de cada uo de esos cuatro años. Qué catidad tedrá al retirarse si le aboa u 6% de iterés compuesto? 4/7 IB IES LA NÍA

5 La primera imposició produce itereses durate 4 años: (1,06) 4 = , 85 La seguda imposició produce itereses durate 3 años: (1,06) 3 = , 88 La tercera imposició produce itereses durate 2 años: (1,06) 2 = La cuarta imposició produce itereses durate 1 año: (1,06) = Luego el capital acumulado es: ,73 euros Si multiplicamos por 1,06 se obtiee ; si multiplicamos esta última catidad otra vez por 1,06 se obtiee la catidad siguiete, ,88, y así sucesivamete. Cuado e ua sucesió de úmeros cada térmio se obtiee a partir del aterior multiplicado por u úmero, se llama progresió geométrica. Las catidades que hemos sumado ates está e progresió geométrica. Pues, bie hay ua órmula que permite sumar los primeros térmios de ua a r a1 progresió geométrica: S =, dode a 1 es el primer térmio, a es el último térmio y r es r 1 la costate por la que se multiplica cada térmio (razó de la progresió) Como e este caso el úmero de años o es muy grade, hemos podido calcular el capital directamete. E la práctica, es más ácil calcular el capital total utilizado la órmula : dode A es ua aualidad, el úmero de años y r = C, co % el iterés aual. (1 + r) 1 = A(1 + r), r 22º) Comprueba co la órmula el capital obteido del ejemplo aterior. 23º) Halla el capital acumulado al 5% aual, si igresamos 2000 euros al año durate 15 años [45314,98] 24º) Ua persoa tiee plaeado dejar de trabajar detro de 10 años. Cuál debe ser el importe de la aualidad que debe igresar al pricipio de cada año para que al 6% acumule euros? [5010,15] 25º) Durate cuátos años debo ivertir cada año, al 6% aual, para poder acumular e la cueta ? 5. ANUALIDADES DE AMOTIZACIÓN La mayoría de las persoas que quiere adquirir ua vivieda o tiee el diero ecesario para pagarla al cotado, por ello acude a los bacos para solicitar préstamos, geeralmete hipotecarios, que se lo cocede co u tipo de iterés, a pagar e u período de tiempo determiado. Para la devolució (amortizació) de u préstamo se suele hacer varios pagos aplazados. Estos pagos debe saldar tato la catidad prestada como los itereses que va produciedo la deuda hasta su cacelació. 5/7 IB IES LA NÍA

6 Lo habitual es que todos los pagos sea iguales. Esa catidad ija que permite amortizar la deuda se llama aualidad de amortizació, si el pago se realiza cada año, o mesualidad si se aboa mesualmete. Teemos, pues, ua deuda D, que se ve aumetada co sus iterese de años a u % de iterés compuesto. Hemos de pagar aualidades iguales, de valor A que cacele la deuda. La aualidad A que debemos pagar viee dada por la órmula: A = D r (1 + r) (1 + r) 1, siedo r =. Esta órmula tambié es válida cuado los pagos se realiza e períodos o auales modiicado el sigiicado de r y de. Ejemplo: Para la adquisició de ua vivieda hemos solicitado u préstamo de.000. El baco tiee u tipo de iterés de 4,5% a pagar e 10 años. Supoiedo que todos los años vamos a pagar ua catidad ija, qué aualidad deberemos pagar para cacelar la deuda y los itereses producidos por ella? , ( 1045, ) D=.000; =10; =4,5; r=0,045 A = = 12637, ( 1045, ) 1 26º) U préstamo de euros al 5,5% se devuelve e 20 años. Halla la aualidad de amortizació. Cuáto hemos pagado e total por dicho préstamo? [41,52; ,4] 27º) Qué deuda se habrá amortizado mediate el pago de seis aualidades de 5000 euros al 7% aual? Qué catidad se ha pagado de itereses? [23832,70; 6167,30] 28º) Se pide u préstamo de a u iterés aual del 9 5%. Para devolverlo hay que pagar ua cuota mesual de 125. Cuáto tiempo se tardará e devolver el préstamo? [376 meses]º 29º) U empresario solicita u préstamo de Se lo cocede a u iterés del 11%, debiédolo pagar e 8 aualidades. De cuáto será cada aualidad? [97.160,53 ] 30º) Cuáto tiempo se tardará e devolver ua hipoteca de al 3,6% si la cuota mesual es ija e igual a 2200? Cuátos iterese pagamos e total? [86386] 31º) Al acer su hijo u hombre le abre ua cartilla de ahorros al 7% e la que igresa 300 al año. De cuáto dispoe al cumplir la mayoría de edad? [10913,69] 32º) Qué aualidad deberemos dispoer para ormar e 10 años al 8%? [639,16] 33º) El señor Gómez, al cumplir los 40 años, decide cotratar u pla de pesioes al 7,2% hasta que ialice su edad laboral, por el que se compromete a pagar 150 al mes. De qué catidad podrá dispoer cuado cumpla 65 años? [126182,50] 34º) Ua amilia ha comprado ua casa co u préstamo hipotecario de El baco les proporcioa el diero al 5,4% durate 15 años. Qué catidad debe pagar mesualmete? [527,66] 35º) Calcula la catidad que le correspode a ua persoa cuado se jubile, sabiedo que ha suscrito u pla de pesioes co las codicioes siguietes: edad actual 50 años; cuota 250 trimestrales; iterés 6%. 36º) Ua persoa ha comprado ua bicicleta a plazos que vale 900. El vededor le ha propuesto amortizarla a u iterés del 15% e cuotas mesuales durate año y medio. Cuáto diero se ahorraría si la pagase al cotado? 6/7 IB IES LA NÍA

7 37º) U baco orece u depósito e el que los itereses se aboa cada año y se icremeta al capital ivertido. a. Si el depósito está al 4,5% aual e ivertimos , cuáto diero recibiremos e 5 años? b. Si queremos teer detro de 5 años al 4,5% aual, qué catidad hemos de depositar? [12036,77] c. Qué rédito orece el depósito si ivirtiedo os devuelve e 5 años? r = 0, 0456 = 4, 56% 38º) Se deposita e ua libreta de ahorro e, qué iterés simple os da si a los cuatro años obteemos u capital total de ? 39º) Pedimos u préstamo de al 6% aual co capitalizació semestral. Cuáto diero deberemos aboar trascurridos 3 años? 40º) Calcula el capital que se ha de ivertir para obteer e 4 años : a. Haciedo ua úica imposició iicial co u iterés simple del 5%. b. Haciedo ua úica imposició iicial co u iterés compuesto del 4% co capitalizació mesual. 41º) Calcula las aportacioes auales que tego que hacer a u pla de pesioes al 4,2% si me queda 23 años para jubilarme, y quiero recibir e ese mometo. 42º) Cuál es el valor de ua hipoteca al 6% si he pagado ua cuota aual de ,79 durate 20 años? 43º) Se igresa cada seis meses e u depósito que os orece u 4% aual. Calcula los beeicios que os reportará e 5 años. 44º) Cuál es la cuota mesual que deberemos pagar para amortizar e 20 años u crédito bacario de al 5,75%? 7/7 IB IES LA NÍA