Fundamentos y Aplicación de las Matemáticas Financieras

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1 CAPITULO 3 INTERÉS COMPUESTO OBJETIVO Al finalizar el estudio de éste capítulo el estudiante podrá: Definir el interés compuesto y la diferencia con el interés simple. Deducir de un valor presente, valor futuro, períodos y tasa de interés utilizando la calculadora HP y como hoja electrónica Excel. TEMAS 3.1 Introducción 3.2 Valor futuro Utilizando la fórmula Utilizando las tablas Utilizando la HP Utilizando Excel 3.3 Valor Presente Utilizando la fórmula Utilizando las tablas Utilizando la HP Utilizando Excel 3.4 Cálculo del número de períodos Utilizando la fórmula Utilizado la HP Utilizando el Excel 3.5 Calculo de la tasa de interés Utilizando la HP Utilizando el Excel 3.6 Problemas resueltos 3.7 Problemas propuestos

2 3.1 INTRODUCCIÓN El dinero y el tiempo son factores que se encuentran estrechamente ligado con la vida de las personas y de los negocios. Cuando a las personas y negocios le sobran dineros o efectivo, se ahorran o se invierten durante un periodo determinado, con el propósito de ganar un rendimiento o interés y por consiguiente aumentar el capital. Si en caso contrario las personas o los negocios les hace falta efectivo se debe acudir a préstamos y pagar un interés por uso. En el interés simple el capital inicial siempre permanece constante. Mientras que en el interés compuesto los intereses que se van acumulando van aumentando el capital y a su vez, ese nuevo capital va a generar un mayor interés para el siguiente período. En otras palabras, los intereses generan intereses. 3.2 VALOR FUTURO El valor futuro es la suma de dinero recibido o pagado en un futuro,, por un dinero prestado o recibido tiempo atrás, en el interés compuesto está dado por el capital inicial más los intereses que se van capitalizando cada periodo, esto lo podemos ver en el siguiente cuadro, con el siguiente ejemplo: Pedro Carvajal deposita $ en el Banco Bogotá, el cual reconoce una tasa del 24 % anual, con capitalización trimestral, Cuánto recibirá al final del año?. Cómo la capitalización es trimestral, eso quiere decir que el interés que es 24 % anual, se divide en 4 trimestres que tiene el año. Nos da como resultado 0.06 % trimestral. 0,24 = 24% 4 = Trimestres Periodos ( n ) Valor Presente o Capital Inicial ( P ) Intereses de cada Periodo ( i ) Valor Futuro ( F ) , Podemos concluir, que el señor CARVAJAL depositó hoy $ y después de un año retiro $ ,96, porque el banco Bogotá pagó el 24% anual, capitalizado trimestral neto, eso quiere decir, que reconoció la entidad financiera un 6 % de intereses por cada uno de los periodos del años en este caso 4 períodos CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO LA FORMULA El valor futuro se calcula mediante la formula que es: Donde: F = Valor futuro F = P (1+ i) n

3 P = Valor Presente (Capital depositado, capital tomado en préstamo) n = Períodos de Capitalización o número de veces que el interés se capitaliza. i = Tasa de interés fijada por períodos de capitalización El ejemplo anterior lo podemos resolverlo así: P = n = 4 trimestres tiene el año i = 0.06 trimestral 24 % = 6 % = 0,06 F =? 4 F = P (1 + i) n F = ( ) 4 F = ( 1,06 ) 4 F = ( 1, ) F = , CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO TABLAS El cálculo del valor futuro se puede realizar a través de las tablas que han sido elaboradas con base en la fórmula anterior. Para éste caso se busca la tabla I (Valores del Factor de Valor Futuro a Interés compuesto) en otras tablas la notación estándar sería ( F/P, i %, n ). Para un interés del 6 % y buscamos la intersección del 6 % con un n igual a 4 en este caso es de ( 1, ). Teniendo el valor de la tabla lo multiplicamos por el capital o valor presente ( 1, ) = , CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO LA CALCULADORA HEWLETT - PACKARD Para calcular el valor futuro utilizando la HP. Tomemos nuevamente el ejercicio del señor CARVAJAL PRIMER PASO Estando encendida la calculadora se oprime la tecla con los siguientes menú o tecla. FIN y nos da una nueva pantalla VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla 12 pagos / año: MODO FINAL N %IA VA PAGO VF OTRO Esta pantalla está dada por la parte superior y por la parte inferior.

4 La parte superior significa que son 12 períodos o capitalizaciones al año o sea mensualmente y MODO FINAL significa vencido, como en el ejemplo la capitalización es trimestral, o sea, 4 períodos en el año, tengo que cambiar a 12 / año por 4 pagos / año y se hace de la siguiente forma. TERCER PASO Se oprime la tecla OTRO de la pantalla inferior y da la Siguiente pantalla: P/AÑO INIC FINAL AMRT. CUARTO PASO Se oprime el número 4 seguido de la tecla P/AÑO EXIT y da una nueva pantalla: y la tecla de la calculadora 4 Pagos/Año MODO FINAL N %IA VA PAGO VF OTRO La parte inferior significa lo siguiente N = Número de periodos %IA = Interés anual V.A = Valor Presente o actual PAGO = Esta tecla es para anualidades ( no la usamos ) V.F = Valor Futuro OTRO = Para cambiar los periodos Retomando el ejercicio anterior se tiene lo siguiente: P = n = 4 i = 0, 06 Trimestral Cómo en la calculadora pide interés anual, multiplica por 4 0,06 x 4 = 0,24 y procede a suministrar la información a la calculadora para pedirle la respuesta o el F o Valor Futuro de la siguiente manera: QUINTO PASO Cómo los períodos son cuatro se oprime el número 4 en la calculadora seguida de la tecla N, como el dinero depositado fue $ Y es el valor presente se coloca en números en el tablero más la tecla +/- y luego se oprime, VA, luego como el interés anual es el 24% se coloca el número 24 en la pantalla y oprimo %IA.

5 Hasta acá, se ha suministrado la información necesaria para que nos de la respuesta. Como lo que estamos buscando es el valor futuro se oprime la tecla VF y nos da la respuesta y en este caso la pantalla nos dice que el V F = , CALCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO EXCEL Retomando el Ejemplo anterior, queda así: queda así con los siguientes pasos: 1. Construimos el Excel, inicialmente no tiene archivados todos los comandos, para activarlos se hace click en Herramientas de la barra de ese mismo menú, se hace click en complementos y aparece un, cuadro titulado COMPLEMNTOS y se debe activar Herramientas para el análisis y se hace click en la casilla del frente. 2. Construimos la estructura o tabla. 3. Dejamos el cursor en B6 y se hace click en el icono fx. 4. En categoría de función se hace click en financiera y el nombre de función click en VF. 5. Se hace click en aceptar.

6 6. Para introducir la información se hace click en B3, se hacer click en Nper y luego click en B4, se hacer click en VA y luego click en B2. 7. Se hace click en aceptar y aparece la respuesta en B VALOR PRESENTE Es la suma de dinero que se deposita hoy o se entrega en préstamo hoy y se representa con la letra P. Para poder ver más claramente, se hace un ejemplo Sí al cabo de un año quiero tener en el Banco $ , cuánto tengo que depositar hoy, si el Banco reconoce el 30 % anual, capitalizable mensualmente?

7 3.3.1 CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LA FORMULA La formula del valor presente es: Conocemos F = N = 12 períodos i = 0,30 /12 = 0,025 P = F (1+i )n P= F = =1.200 =1 = , (1+i)n ( ) (1, 025) 1, Hoy tengo que depositar $ ,94 para que dentro de 12 meses pueda tener $ si el interés mensual es del 0,025 o 2,5 % CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LAS TABLAS Para el valor presente se busca la tabla II, llamada: valores del factor del valor presente a interés compuesto. O en otras tablas la anotación estándar (P/F, i%, n); se busca en la tabla II el interés 2,5 % para un n = 12; la tabla muestra el factor, que es (0, ); ese factor se multiplica por el valor futuro ($ ) ( ) = $ CALCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LA H.P. Para calcular el valor presente se hace en el ejercicio anterior, de la siguiente manera: PRIMER PASO Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla con los siguientes menú o teclas. VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla 12 pagos / año: MODO FINAL N %IA VA PAGO OTRO La parte superior de la pantalla 12 PAGOS / AÑO: MODO FINAL significa que los periodos son 12 en el año y como ejercicio de capitalización es mensual se deja así. La parte inferior de la pantalla se describió anteriormente cuando se calculó el valor presente.

8 TERCER PASO Estando en la pantalla anterior procedemos a incluir la información que tenemos: n = 12 F = IA = 30 % A =? Se escribe el número 12 en la pantalla seguida de la tecla N Se escribe 30 y se oprime la tecla %IA Se escribe en la pantalla y oprimo la tecla VF Hasta que el momento se ha suministrado la información; para que de la respuesta, se oprime la tecla VA y la respuesta es $ , CALCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO EL EXCEL Utilizando el ejemplo anterior, queda así: Construimos la estructura o tabla 1. Dejamos el cursor en B6 y se hace click en el icono fx 2. En categoría de función se hace click en financiera y el nombre de función click en VP. 3. Se hace click en aceptar 4. Para introducir la información, se hace click en B3, se hace click en Nper y luego en B4, se hace click en VF y click en B2. 5. Se hace click en aceptar y aparece la respuesta en B6.

9 3.4 CALCULO DEL NUMERO DE PERIODOS Así como se ha calculado el valor presente y futuro, también se puede calcular el número de períodos n. Es importante resaltar que los intereses pueden pagarse o cobrarse anualmente, semestral, trimestral, mensual, entre otros. Esto se denomina períodos de capitalización. Es de anotar que la tasa de interés está expresada anualmente y los períodos de capitalización están dados en meses, se tiene que dividir el interés anual en 12, para que dé un interés mensual, que es igual al período de capitalización meses. De la Fórmula de F = P (1 + i) n

10 Log F Se despeja n y queda P n= Log (1+i ) CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS UTILIZANDO LA FORMULA Ejemplo: Hoy, deposito $ en un banco y el banco reconoce el 24 % anual capitalizable mensualmente. Cuántos meses tengo que dejar el dinero en el banco para tener $ ?. Como el interés es 24 % y el período de capitalización es mensual = 2% Log F P n= Log (1+i ) Log n= Log (1,0. 2 ) Log 2, log 1, 02 n= 0, n= 0, n=36 Como el período de capitalización son meses, la respuesta es 36 meses CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS UTILIZANDO LA H.P. Retomando el ejemplo anterior PRIMER PASO

11 Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla con los siguientes menús. VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO Se Oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla: 12 PAGOS / AÑO: MODO FINAL N %IA VA PAGO OTRO Como en la parte superior de la pantalla aparece 12, pagos eso significa que la capitalización es mensual y se deja así. TERCER PASO Como se conoce P = F = y el interés anual que es 24 % procede a suministrar la información así: Cómo $ es lo que se deposita debe incluir con signo negativo así: se escribe luego oprimimos la tecla +/- y luego la tecla VA. Luego se escribe 24 en la pantalla, que son los intereses anuales y se oprime la tecla, %IA sigue escribiendo y se oprime la tecla VF y para que dé la respuesta se oprime la tecla N y da 36 meses CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS UTILIZANDO EXCEL Recurriendo al ejemplo anterior 1. Construimos la estructura o tabla 2. Dejamos el cursor en B6 y hacemos clic en el incono fx

12 3. En categorías de función clic en FINANCIERA y en el nombre de función clic en Nper. 4. Hacemos clic en aceptar. 5. Para introducir la información hacemos clic en B3, hacemos clic en Va y clic en B2, hacemos clic en VF y clic en B4. 6. Hacemos clic en aceptar y nos aparece la respuesta en B CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CON LA FORMULA i = n F P - 1 Ejemplos si hoy deposito y dentro de 3 años obtengo $ ,17 y el banco reconoce los intereses trimestralmente, Que tasa me reconoció?.

13 Se Aplica la fórmula i = n F P - 1 Como la capitalización es trimestral y el año tiene 4 trimestres y el dinero se depositó durante 3 años, entonces 3 x 4 = 12 trimestres será n. i = , i = 12 2, i = 1,09-1 i = 0,09 = 9% trimestral CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CON LA H.P. Con base en el ejemplo anterior: PRIMER PASO Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla con el siguiente menú: VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC SEGUNDO PASO Se oprimo la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla: N %IA VA PAGO OTRO 12 PAGOS / AÑO: MODO FINAL Como los intereses son trimestrales, eso quiere decir que el año tiene 4 períodos, entonces se procede a cambiar la parte superior de la pantalla así: Se oprime OTRO y se escribe 4 en la pantalla seguido de la tecla P/AÑO y la tecla EXIT y da como una nueva pantalla: 4 PAGOS AÑ: MODO FINAL N %IA VA PAGOS OTROS

14 Como conocemos VA = VF = como conocemos n = 12 y no conocemos ia procedemos a meter la información así: Tercer Paso: Escribimos $ en la pantalla, se oprime la Tecla +/- y la tecla VA, Se escribe ,17 mas la tecla N y por último se oprime %IA y nos da como Respuesta 36% anual que es = 9% trimestral CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS UTILIZANDO EL EXCEL 1. Construimos la estructura o tabla 2. Dejamos el cursor en B6 y hacemos clic en el incono fx 3. En categoría de función hacemos clic en Financiera y en el nombre de función clic en TASA. 4. Hacemos clic en aceptar 5. Para introducir la información se hace clic en B4 y clic en VA, se hace clic en B2 y clic en VF luego se hace click en B3. 5. Se hace clic en aceptar y nos aparece la respuesta en B6.

15 Se oprime OTRO y se escribe 4 en la pantalla, seguido de la tecla P/AÑO y la Tecla EXIT y da una nueva pantalla: 4 PAGOS AÑO: MODO FINAL N %IA VA PAGO OTRO Como se conoce V.A = V.F = ,17, como se conoce n = 12 y no se conoce se procede a suministrar la información así: TERCER PASO Se escribe $ en la pantalla, se oprime la tecla +/- y la tecla VA se escribe ,17 más la tecla VF se escribe 12 en la pantalla más la tecla N y por último se oprime la tecla %IA y da como respuesta 36% anual, que es igual 9% trimestral. 4.5 PROBLEMAS RESUELTOS Hoy se depositan $ en el Banco Superior que reconoce un 18% anual capitalizable trimestralmente. Qué suma se retira al cabo de 3 años?. 4,5 % Trimestral F? Trimestres P = F = P (1+i ) n

16 F = (1+0,045) 12 F = (1, 045 ) 12 F = , Cuánto se debe depositar hoy en una entidad financiera que paga el 24% anual, capitalizable bimestralmente, si quiero tener dentro de 4 años $ ? 2 % Bimestrial F= P =? P = F (1+i ) n P = (1+0, 02 ) 24 P = (1, 02 ) 24 P = , P = , Hace 10 años se depositaron $ y hoy se recibieron $ ; si el banco paga intereses semestralmente Cuál fue la tasa de interés semestral? 10 años corresponden a 20 semestres = n i = n F P - 1 i = i = 20 3,5-1 i = 1, i = 0,0646 i = 0,046 x 100 = 6,46% semestral Un banco reconoce el 23,33% anual capitalizable mensualmente; si hoy deposito $ cuánto tiempo tengo que dejar el dinero si quiero retirar $ ?

17 Como el interés está anual lo dividimos en 12 23, = 1,944 n = Log F P Log (1+i ) n = Log Log (1+0, ) n = Log 2 Log 1, n = 0, , n = 36 meses Cuál es el valor futuro de $ del 7,8% anual capitalizable mensualmente en 5 años, 6 meses? 5 años x 12 = 60 meses + 6 meses = 66 meses 7,8% anual / 12 meses = 0,65% = 0,0065 F = P (1+i ) n F = (1, 0065 ) 66 F = Un banco reconoce el 23,33% anual capitalizable mensualmente; si hoy deposito $ cuánto tiempo tengo que dejar el dinero si quiero retirar $ ? Se Puede inventar para este ejemplo, cualquier valor presente. Ejemplo: $ para que se duplique el valor futuro será $ y el n es igual a 12 trimestres y buscamos i. i = n F P - 1 = i = i = 1, i = 0,05946 x 100 = 5,94% trimestral Una persona compra unas mercancías por valor de $ , que le será entregada dentro de un año, hoy tiene que pagar $ y un año

18 después de recibir la mercancía $ El día que recibe las mercancías la vende en $ Si puede invertir el dinero al 10% anual debe hacer el negocio?, cuánto interés ganó? años Como los $ los puede invertir al 10% esto significa (1,10) 1 = $ A los $ le restamos el pago de $ y nos queda $ eso significa que $ de pesos que cancele el primer mes se convierten en $ eso quiere decir que si hacen el negocio. 2. Para saber cuánto interés ganó, el valor inicial o valor presente fue $ El valor futuro $ los periodos son 2 años queda entonces: I = n F P - 1 i = I = 2 1,14-1 I = 1, I = 0, x 100 = 6,77% anual Una corporación me presta $ al 24% anual capitalizable trimestralmente para ser cancelado dentro de 3 años; la misma corporación me presta $ un año después del 24% anual capitalizable semestralmente par ser cancelados dentro de 2 años. Cuánto dinero tengo que pagarle al banco? años VF?

19 Para el primer $ como la capitalización es trimestral 24 4 = 6% F = P (1+i ) n F = (1, 06) 12 F = ,47 Para los $ como la capitalización es semestral = 12% F = P (1+i ) n F = (1,12) 4 F = ,72 Tendrá que hacer un solo pago por $ Si para la graduación de mi hijo necesito $ y se gradúa dentro 3 años cuanto tengo que ahorrar hoy si el banco recorre el 12% anual capitalizable mensualmente. P = F (1+i ) n P = P = (1, 01 ) P = , un cliente dentro de 3 años debe pagar $ y dentro de 5 años $ cuándo hace un solo pago en 4 año si la tasa de interés es del 12% capitalizable trimestralmente. Cuál es el valor del pago? Como los $ los tenia que pagar en el año 3 y se van a pagar en el año 4 se lleva a valor futuro. (1+i ) n F = P F = (1,03) 4 F = , = 3% trimestral

20 Como los $ los tenía que pagar en el año 5 y se van a pagar en el año 4 se lleva a valor presente. P = F (1+i ) n P = (1,03) 4 P = , P = ,48 $ , ,48 = $ ,91 Se hace un solo pago en el cuarto año por $ , PROBLEMAS PROPUESTOS Calcular el valor futuro de un deposito de $ al 9 % de interés anual capitalizable mensualmente durante dos años y 6 meses? Respuesta: $ Un cliente recibe un préstamo un préstamo de $ a 6 años con un interés del 12 % anual capitalizable semestralmente. Calcule cuanto tiene que cancelar al vencimiento?. Respuesta: $ Cuánto tengo que depositar hoy si dentro de 5 años quiero tener $ si el banco reconoce el 16% anual capitalizable trimestralmente?. Respuesta: $ , Si dentro de 18 meses tengo que pagarle al banco $ que reconoce el 14% anual capitalizable mensualmente. Cuánto fue el préstamo?. Respuesta: $ Cuántos semestres hay que dejar un deposito de $ para que se convierta en $ si el banco pago el 8% anual. Respuesta: 17,67 semestres Hoy deposita $ en un banco que reconoce el 12% de interés anual capitalizable trimestralmente si retira $ Cuántos años deja el dinero?. Respuesta: 3,43 años Qué es más conveniente invertir en un CDT que duplica el capital invertido cada 8 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 8% anual capitalizable trimestralmente?. Respuesta: Invertir en el CDT.

21 3.1.8 Hoy se invierten $ en una corporación que reconoce sin sus intereses trimestralmente y al cabo de 3 años se recibe $ Qué interés trimestral reconocieron?. Respuesta: 4% trimestral Un cliente me debe $ que vencen dentro de 1 año y $ que vencen dentro de 5 años si la tasa que cobra es de 12% anual capitalizable trimestralmente. El cliente decide hacerme un solo pago al tercer año. Cuánto dinero tendrá que pagarme?. Respuesta: $ Un cliente tiene la oportunidad de comprar una casa que costo $ hace 20 años y está dispuesto a reconocer un 20% anual. Cuánto debe ofrecer por la casa?. Respuesta: $