Unidad 2. Descuento simple

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1 Unidad 2. Descuento simple 0. ÍNDICE. 1. EL DESCUENTO. 2. CONCEPTO Y CLASES DE DESCUENTO SIMPLE. 3. EL DESCUENTO COMERCIAL O BANCARIO Concepto Operaciones de descuento comercial. 4. EL DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO. 5. RELACIÓN ENTRE EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL DESCUENTO RACIONAL Comparación entre ambos tipos de descuento Equivalencia entre el tanto de descuento comercial y el racional. ACTIVIDADES FINALES. 22

2 1. EL DESCUENTO. El descuento es la cantidad que se deja de percibir por anticipar la disponibilidad de un capital. Una de las operaciones de descuento más frecuentes es la negociación de efectos comerciales (documentos acreditativos de pagos o cobros pendientes), utilizada normalmente en períodos de baja liquidez, y que consiste en el anticipo por parte de una entidad financiera, del crédito (formalizado en uno o varios efectos) que la empresa tiene sobre sus clientes. En estos casos, se establece una línea de descuento en la que se especifica el importe máximo de efectos, que la entidad financiera está dispuesta a descontar. En cualquier caso, la entidad financiera no entrega a la empresa el nominal del efecto, sino el resultado de restar a éste el importe del descuento (intereses), las comisiones y otros gastos. Esquema 1. Figuras que intervienen en una letra de cambio emitida para el descuento (1) Le manda la letra con la orden de pago (3) Nominal de la letra menos intereses y otros gastos LIBRADOR (VENDEDOR DE LA MERCANCÍA) (3) Dto. de la letra (2) Le devuelve la letra, aceptando el pago TENEDOR (ENTIDAD FINANCIERA) LIBRADO (COMPRADOR DE LA MERCANCÍA) (4) Cobro de la letra (4) Nominal de la letra 23

3 2. CONCEPTO Y CLASES DE DESCUENTO SIMPLE. Se entiende por descuento simple la operación financiera que consiste en la sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente. Llamemos: E : valor efectivo o cantidad adelantada. N : nominal o importe del capital que se pretende adelantar. D : descuento o diferencia entre el nominal y el efectivo. La representación gráfica de la operación sería la siguiente: D N E 0 n Por lo tanto: D = N E, de donde N = E +D Utilizando los términos del tema anterior, y teniendo en cuenta que N = C n y E = C 0, obtenemos la siguiente expresión: D = C n C 0 La problemática que plantea este tipo de operaciones es, precisamente, el cálculo del descuento. Para ello podemos utilizar dos criterios que dan lugar a dos tipos de descuento simple: el descuento comercial o bancario (D c ) y el descuento racional o matemático (D r ). Ejemplo 1. Una letra de nominal se ha descontado en una entidad financiera. Si el descuento ha ascendido a 223, calcula la cantidad que ha adelantado el banco. Teniendo en cuenta que D = N E, se obtiene que E = N - D. Por lo tanto: E = =

4 3. EL DESCUENTO COMERCIAL O BANCARIO Concepto. En la práctica, el denominado descuento comercial o bancario es el criterio más usado para el cálculo del descuento, sobre todo en la negociación de efectos comerciales. Se caracteriza porque su importe se calcula sobre el nominal C n del efecto. Es decir, el descuento comercial simple D c será igual a C n i n, donde i representa el tanto unitario de descuento anual o descuento correspondiente a la unidad de capital (un euro) durante la unidad de tiempo (un año). De la expresión anterior se deduce que: C n = D c i n i = D c C n n n = D c C n i Ejemplo 2. Calcula el descuento comercial de una letra de nominal a la que se aplica un tanto de descuento anual del 7% y que vence dentro de 90 días. AÑO CIVIL 1ª FORMA DE SOLUCIONARLO (tanto de descuento unitario y tiempo expresados en términos anuales): D c = C n i n / m = ,07 90 / 365 = 22,44 2ª FORMA DE SOLUCIONARLO (tanto de descuento unitario y tiempo expresados en días): i 365 = i / 365 = 0,07/365 = 0, Por lo tanto: D c = C n i 365 n = , = 22,44 COMO SE ACABA DE COMPROBAR, EN EL DESCUENTO SIMPLE (AL IGUAL QUE EN EL INTERÉS SIMPLE), LOS TANTOS EQUIVALENTES SON PROPORCIONALES 25

5 Ejemplo 3. El descuento comercial de un efecto que vence dentro de 96 días ha ascendido a 26,12. Si el tanto de descuento anual es del 6%, calcula el nominal del efecto. AÑO CIVIL Podemos solucionar el ejercicio de dos formas. En este caso, optamos por expresar el tanto de descuento unitario y el tiempo en términos anuales: D c 26,12 C n = = = 1.655,17 i n / m 0,06 96 / 365 Ejemplo 4. El descuento comercial de un efecto de nominal ha ascendido a 29,04. Si el tanto de descuento anual es del 5% y el efecto vence el 17 de noviembre, en qué fecha se descontó el efecto?. AÑO CIVIL Podemos solucionar el ejercicio de dos formas. En este caso, optamos por expresar el tanto descuento unitario y el tiempo en días: i 365 = i / 365 = 0,05/365 = 0, D c 29,04 n = = = 106 días C n i , Por lo tanto, el efecto se descontó el 3 de agosto. El valor efectivo C 0 se puede calcular a partir del nominal C n de la siguiente forma: C 0 = C n D c = C n - C n i n = C n (1 - i n) 26

6 Ejemplo 5. Calcula el efectivo que resultará de aplicar a un nominal de 1.625, que vence el 27 de septiembre, un tanto de descuento anual del 7,6%. El descuento se efectúa el 31 de marzo. AÑO CIVIL. Optamos por expresar el tanto de descuento unitario y el tiempo en términos anuales: Desde el 31 de marzo al 27 de septiembre han transcurrido 180 días. C 0 = C n D c = C n - C n i n / m = C n (1 - i n / m) = (1 0, / 365) = 1.564,10 El valor nominal C n se puede calcular a partir del valor efectivo C 0 de la siguiente forma: Despejamos C n de la expresión C 0 = C n (1 - i n); de esta forma obtenemos que: C n = C 0 (1 - i n) Ejemplo 6. Calcula el nominal de una letra que vence dentro de cuatro meses, sabiendo que se ha descontado a un tanto de descuento anual del 4,5% y que el valor efectivo que se ha obtenido ha ascendido a 1.723,75 Optamos por expresar el tanto de descuento unitario y el tiempo en términos anuales: C ,75 C n = = = (1 - i n / m) 1 0,045 4 / 12 27

7 3.2. Operaciones de descuento comercial. En la primera pregunta de este tema se ha estudiado en qué consiste el descuento de efectos comerciales, y se ha comentado que el descuento comercial es el más utilizado en este tipo de operaciones. El cliente, para el cálculo de la cantidad a recibir por el descuento de un efecto, debe tener en cuenta que al nominal del mismo hay que deducir el descuento comercial, las comisiones bancarias y otros gastos (como por ejemplo, el correo). Las comisiones cobradas por las entidades financieras no son fijas, dependiendo de la propia entidad y del cliente en cuestión. En cualquier caso, estas comisiones se aplican sobre el nominal del efecto (pudiendo existir una comisión mínima por efecto). A veces, las entidades financieras acuerdan con sus clientes, aplicar en las negociaciones de efectos un tanto único (llamado FOR-FAIT), que incluye a la vez el descuento, la comisión y los gastos. Ejemplo 7. CHUSMA S.A. necesita liquidez para efectuar unos pagos pendientes. Para ello se plantea acudir a una entidad bancaria para descontar tres efectos: el primero, de nominal y vencimiento el 27 de octubre; el segundo, de nominal y vencimiento el 5 de noviembre; el tercero de nominal y vencimiento el 7 de diciembre. El descuento se efectúa el 1 de junio, aplicando el banco un tanto de descuento anual del 5,50% a los efectos con vencimiento inferior o igual a 150 días, y un tanto de descuento anual del 6,50% a los efectos con vencimiento superior a 150 días. Las comisiones que se aplican son del 3 por mil sobre el nominal (mínimo 10 por efecto). El banco cobra, además, 1 euro por efecto en concepto de gastos de correo. Efectúa la correspondiente liquidación. AÑO CIVIL. La primera tarea a realizar es calcular el descuento comercial que se aplicará a cada uno de los efectos: 1º EFECTO 2º EFECTO 3º EFECTO C n n 148 días 157 días 189 días i 0,055 0,065 0,065 D c = C n i n / m 66,90 64,31 225,51 28

8 Ejemplo 7 (continuación). El líquido que se obtendrá por cada efecto será igual a: LÍQUIDO = NOMINAL DESCUENTO COMERCIAL COMISIÓN GASTOS CORREO 1º EFECTO 2º EFECTO 3º EFECTO NOMINAL DTO COMERCIAL 66,90 64,31 225,51 COMISIÓN (3 por mil del nominal) 10 (se aplica el mínimo) 10 (se aplica el mínimo) GTOS CORREO ,1 LÍQUIDO 2.922, , ,39 Por lo tanto, el líquido total que obtendrá CHUSMA S.A. será igual a: 2.922, , ,39 = ,18 El descuento de efectos se pacta con la cláusula salvo buen fin, es decir, si al llegar el vencimiento el librado no paga el efecto, la entidad financiera se lo devolverá al librador, lo que implica que le cargará en cuenta: a) el nominal del efecto; b) la comisión de devolución (que se calcula sobre el nominal); c) los gastos de protesto (si los hay); d) otros gastos (correo). Ejemplo 8. Debido a que el tercer efecto (del ejemplo anterior) resulta impagado, CHUSMA S.A., recibe una liquidación de la entidad bancaria, que incluye una comisión de devolución del 7 por mil, gastos de notaría (protesto) por importe de 40 y de correo por importe de 1. Efectúa la correspondiente liquidación. El importe que el banco le cargará en cuenta a CHUSMA S.A. resultará de sumar las siguientes cantidades: NOMINAL DEL EFECTO + COMISIÓN DE DEVOLUCIÓN + GTOS DE PROTESTO + CORREO Es decir: , = 6.787,9 29

9 4. EL DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO. Este descuento se caracteriza porque su importe se calcula sobre el valor efectivo C 0 Por lo tanto, el descuento racional simple D r será igual a C 0 i n. De la expresión anterior se deduce que: C 0 = D r i n i = D r C 0 n n = D r C 0 i Ejemplo 9. Calcula el descuento racional de un efecto por el que nos entregaron un efectivo de 3.600, sabiendo que se aplicó un tipo del 5% anual y que vencía dentro de 85 días. AÑO CIVIL. Optamos por expresar el tanto de descuento unitario y el tiempo en términos anuales: D r = C 0 i n / m = ,05 85 / 365 = 41,92 Ejemplo 10. Calcula los meses que duró una operación de descuento de la que sabemos que su efectivo es de 4.500, el tipo aplicado es el 10% anual y el descuento racional asciende a 150. Optamos por expresar el tanto de descuento unitario y el tiempo en términos anuales: D r 150 n = = = 0,333 años = 4 meses C 0 i ,1 El valor efectivo C 0 es igual al nominal C n menos el descuento racional D r. Es decir: C 0 = C n D r. = C n C 0 i n De esta expresión, se deduce que C 0 = C n 1 + i n 30

10 Por lo tanto, el descuento racional simple se deriva de una operación inversa a la de interés simple. Ejemplo 11. Calcula el descuento racional de un efecto de 5.700, sabiendo que se descontó durante 123 días a un tanto de descuento anual del 7%. AÑO CIVIL. D r = C n C 0 C n asciende a Por lo tanto, nos queda calcular el valor efectivo C 0 C n C 0 = = = 5.568, i n / m 1 + 0, / 365 De esta forma: D r = C n C 0 = ,64 = 131,36 5. RELACIÓN ENTRE EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL DESCUENTO RACIONAL Comparación entre ambos tipos de descuento. Partimos del supuesto de que i c = i r = i * 1ª forma de comparación: D c = C n i n D r = C 0 i n Dado que el nominal (C n ) es siempre superior al efectivo (C 0 ), el descuento comercial es superior al descuento racional (para un mismo tanto de descuento durante el mismo tiempo). * 2º forma de comparación: expresamos ambos descuentos en función del nominal. D c = C n i n C n C n i n D c D r = C n C 0 = C n = = 1 + i n 1 + i n 1 + i n 31

11 Como se puede comprobar, si se aplica el mismo tanto de descuento durante el mismo tiempo, el descuento comercial es siempre superior al racional (D c > D r ). Ejemplo 12. Calcula el descuento comercial y el descuento racional de un efecto de 3.680, que se descuenta cuando faltan 90 días para su vencimiento, sabiendo que el tipo que se aplica es de un 5% anual. AÑO CIVIL. Optamos por expresar el tanto de descuento unitario y el tiempo en términos anuales: D c = C n i n / m = ,05 90 / 365 = 45,37 C n i n / m ,05 90 / 365 D r = = = 44, i n / m 1 + 0,05 90 / 365 Como se puede comprobar, el descuento comercial es superior al racional. Ejemplo 13. En una entidad financiera, al ir a descontar un efecto de al que le quedan dos meses para su vencimiento, nos ofrecen aplicar un tanto de descuento anual del 8% (si la operación se realiza con descuento comercial) o un tanto de descuento anual del 8,25% (si la operación se realiza con descuento racional). Qué nos interesa más?. D c = C n i n / m = ,08 2 / 12 = 133,33 C n i n / m , / 12 D r = = = 135, i n / m 1 + 0, / 12 Por lo tanto, interesa más aplicar el descuento comercial, pues es menor que el descuento racional Equivalencia entre el tanto de descuento comercial y el racional. En este apartado tratamos de encontrar el tanto de descuento comercial i c y el tanto de descuento racional i r, que aplicados sobre el mismo nominal generan el mismo descuento. Es decir: D c = D r 32

12 Sabiendo que: D c = C n i c n Por lo tanto: D r = C n i r n 1 + i r n C n i c n = C n i r n 1 + i r n Despejando, se obtiene que: i c = i r 1 + i r n i r = i c 1 - i c n Ejemplo 14. Calcula el tanto de descuento racional i r equivalente a un 7% anual comercial, sabiendo que la operación financiera tiene una duración de 2 trimestres. Comprueba posteriormente la equivalencia entre ambos tantos de descuento, para un nominal de i c 0,07 i r = = = 0, i c n / m 1 0,07 2 / 4 COMPROBACIÓN: D c = C n i c n / m = ,07 2 / 4 = 210 C n i r n / m , / 4 D r = = = i r n / m 1 + 0, / 4 33

13 ACTIVIDADES FINALES 1. Calcula el descuento comercial de un efecto de ,32 al que se aplica un tanto de descuento del 4,72% anual y que vence el 15 de agosto. Fecha de descuento el 15 de abril. Año civil. 2. El 22 de septiembre se ha descontado un efecto, ascendiendo el descuento comercial a 223,82. Si el vencimiento del efecto es el 2 de noviembre y se aplica un 6,72% anual, cuál es el nominal?. Año civil. 3. Cuál será el vencimiento de un efecto de nominal por el que se proporciona un efectivo de ,63?. Se aplica un tanto de descuento (comercial) del 5% anual y la fecha de descuento es el 7 de mayo. Año civil. 4. Ante la posibilidad de acudir a dos entidades financieras para realizar un descuento, se nos proporciona la siguiente información a fin de que elijamos: La entidad A, para un nominal de 1000, aplica un descuento comercial de 10 para 65 días. La entidad B, para el mismo caso, aplica un tanto de descuento comercial del 5,75% anual. Señala la opción más conveniente. Año civil. 5. Se desea saber si el descuento comercial de dos efectos, uno de y otro de , nos proporcionará liquidez suficiente para efectuar un pago de Al primer efecto le faltan 27 días para su vencimiento y al segundo 39 días. Tanto aplicado a ambos efectos: 6,91% anual. Año civil. 6. La empresa COLINA, S.A., dispone de tres efectos en su cartera con vencimiento inferior a 30 días que decide descontar en el Banco FLOR por problemas de liquidez. Los efectos tienen un nominal de 7.248,12, 8.123,71 y 1.874,73 y vencen respectivamente dentro de 20, 25 y 28 días. Efectúa la liquidación sabiendo que se aplica un tanto de descuento comercial del 7,14% anual, que se cobra una comisión del 3,25 por mil (mínimo 10 por efecto) y que los gastos de correo ascienden a 0,25 euros/efecto. Año comercial. 7. El último efecto de la remesa de letras del ejercicio anterior resulta impagado, por lo que el Banco FLOR presenta una liquidación a COLINA, S.A., que incluye una comisión del 3,75 por mil, unos gastos de notaría (protesto) de 35 y 1,25 de correo. Realiza la liquidación correspondiente. 34

14 8. Calcula el descuento racional de un efecto por el que se recibieron ,23. Su vencimiento fue el 22 de octubre y se aplicó un tanto del 5% anual. Fecha de descuento el 24 de junio. Año civil. 9. Cuál ha sido el efectivo percibido en un caso de descuento racional, en el que éste ha ascendido a 283,80, el efecto vence a los 45 días de su descuento y se ha aplicado un tanto anual del 6,22%?. Año civil. 10. El descuento racional de un efecto, hecho el día de hoy, asciende a 72,73 y el efectivo resultante es de 7.798,05. Si la operación se realiza a un tanto del 5,77% anual, cuántos días faltan para el vencimiento del efecto?. Año civil. 11. Un banco nos ofrece descontar racionalmente una letra de nominal ,85 a un tanto del 5,95% anual. Si la fecha de descuento es el 15 de abril y el vencimiento 30 días después, a cuánto asciende el descuento?. Año civil. 12. A qué nominal le han sido descontados 5,23 si restaban 10 días para su vencimiento y se ha aplicado un tanto del 4,71% anual?. Descuento racional y año civil. 13. Ante la propuesta de optar por un descuento racional al 4,10% anual o por un descuento comercial al 4% anual, cuál conviene más?. En nuestro caso, los datos son: nominal (6.010,12 ), tiempo (30 días). Año civil. 14. Busca en el ejercicio anterior, la fecha a partir de la cual el descuento comercial empiece a superar al racional y, por lo tanto, convenga más este último. Explicar la respuesta. 15. Si la diferencia entre el descuento comercial y racional de un efecto es de euros y el período de descuento es de 120 días, a cuánto ascendió el primero si se aplicó un 5,12% anual?, y el segundo?. Año civil. 16. Un efecto al que le faltan 25 días para su vencimiento es descontado comercialmente, resultando dicho descuento igual a 777,77. Si se aplica un tanto del 4,92% anual, a cuánto asciende el descuento racional?. Año civil. 17. Al descontar un efecto comercialmente al 6% anual se plantea la necesidad de calcular su equivalente racional. El nominal es de 4.207,08 y la duración de la operación es de tres meses. Realiza las comprobaciones oportunas. 18. Calcula el tipo de descuento comercial equivalente a un tipo de descuento racional del 7,39% anual para una operación a un semestre. 35

15 19. Calcula el tiempo en que debe efectuarse un descuento comercial de una letra para que éste sea igual al nominal, si el tanto de descuento anual es del 10%. 20. Partiendo de las fórmulas del descuento comercial y del descuento racional (en función del nominal), desarrollar las siguientes expresiones, suponiendo que el tanto de descuento comercial es igual al tanto de descuento racional. a. D c D r b. D c D r c. D c / D r Solución: 3,844% anual 36