PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

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1 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder (como máximo) a cuatro de las cico pregutas. - Cada ua de las pregutas tiee ua putuació máxima de.5 Prueba A 1.- Se hizo ua ecuesta a 35 persoas mayores de 16 años y se ecotró que 10 iba al teatro regularmete: Datos del problema: Tamaño muestral = Proporció muestral de persoas que va regularmete al teatro: p ˆ = = a) Hallar, co u ivel de cofiaza del 94%, u itervalo para estimar la proporció de los ciudadaos que va al teatro regularmete. Nivel de cofiaza = 1 α = 0,94 α = 0,06 El itervalo de cofiaza para ua proporció es: pˆ(1 pˆ) 0.369( ) 0.33 pˆ ± zα / = ± z0,03 = ± 1.89 = (0.318, 0.40) b) E las mismas codicioes del apartado aterior, se realiza la experiecia para coseguir ua cota de error del Cuál sería el tamaño de la muestra? El térmio del error es, zα / pˆ(1 pˆ), queremos que sea meor que 0,01, por tato z α / pˆ(1 pˆ) < 0,01 1,89 0,369 (1 0,369) < 0, 01 1,89 0,33 < 0, 01 0,33 0,01 < 1, 89 0,33 < 0,0053 0,33 < 0,0053 0,33 < 0, ,33 = = 831, ,00008

2 .- Ua fábrica de coches laza al mercado el modelo Mathe del que se sabe que sus pesos sigue ua distribució ormal de media kilos y ua desviació típica de 130 kilos. Datos del problema: X = Peso de u coche modelo Mathe X N(3100,130) a) Cuál es la probabilidad de que, al comprar u coche Mathe, pese más de kilos? Nos pide la probabilidad, PX> ( 3130), primero tipificaremos y luego buscamos la probabilidad correspodiete e la N(0,1). X PX ( > 3130) = P > = PZ ( > 0.3) = 0, b) Qué distribució seguirá la media de las muestras de tamaño 100 de coches Mathe? La media, X, de ua muestra de tamaño, de ormales idepedietes de media µ y desviació σ típica σ, sigue ua distribució, N µ,, e uestro caso es: 130 X N 3100, X N( 3100,13) 100 c) Cuál será la probabilidad de que al comprar u coche pese más de 900 kilos y meos de 3500? Nos pide la probabilidad, P(900 < X < 3500), primero tipificaremos y luego buscamos la probabilidad correspodiete e la N(0,1) X P(900 < X < 3500) = P < > = = P < Z < = P Z > P Z < = = 1 > 3, 08 > 1,54 = 1 0, 001 0, 0618 = 0,9381 ( 1,54 3, 08) 1 ( 3, 08) ( 1,54) P( Z ) P( Z )

3 3.- Ua empresa fabrica, etre otros, u tipo de artículo que vede a 50 la uidad. Los costes de producció que tiee la empresa e la fabricació de dicho artículo viee dados por la fórmula C( x) = x + 0x , e dode x represeta las uidades producidas. Sabiedo que el beeficio que obtiee la empresa, co este artículo, es la diferecia de los igresos meos el coste, se pide: a) Expresar, e fució de las uidades de fabricació, el beeficio que obtiee la empresa co dicho artículo. Represetar gráficamete dicho beeficio. La fució de beeficos es igresos meos gastos, es decir, Bx x Cx x x x x x ( ) = 50 ( ) = 50 ( ) = b) Cuátas uidades de dicho artículo se debe producir para que el beeficio sea máximo? E el gráfico, al ser ua parábola, su máximo lo alcaza e el puto medio de sus dos raíces, o obstate, vamos a calcularlo. Derivamos la fució de beeficios e igualamos a cero f '( x) = x+ 500; f '( x) = 0; x+ 500 = 0 x = 50 f ''( x ) = < 0, por tato, x = 50 es u máximo

4 4.- La etrada de u túel tiee ua superficie limitada por las rectas x = 4, x = 4 y la 1 parábola y = x Se pide: a) Dibujar la superficie de la boca del túel. b) Podría pasar por el túel u vehículo de 0 metros de altura? No ya que la altura máxima del túel es de 16 metros. c) Podría pasar por el túel u vehículo de ocho metros de acho y 9 metros de alto? Si el vehículo tiee forma rectagular de 8x9 metros, e los extremos, el túel solo tiee 8 16 metros de altura, + 16 = 8, y por tato NO pasaría por el túel. d) Calcular la superficie de la boca del túel. La superficie de la boca del túel es exactamete el area que hay bajo curva etre los putos 4 y 4. Esto es la itegral de la de la curva etre 4 y x x dx = + 16x = = + 18 = 106,

5 f xy, = 3x+ 4yy las restriccioes: x 0; y 0; x y; x+ y Se pide: a) Represetar la regió de posibles solucioes. 5.- Se tiee la fució objetivo ( ) Regió Factible f ( x) = 3x+ 4y y = x f ( x) = 3x+ 4y y = x x +y= b) Hallar el puto de la regió dode la fució objetivo se miimiza. La regió sólo tiee dos putos extremos, el (0,) y el (1,1), al querer miimizar desplazamos la fució objetivo e la direcció (-3,-4). La fució objetivo evaluada e los dos putos extremos da: f (0,) = = 8 f (1,1) = = 7 co lo cual el míimo lo alcaza e el puto (1,1) c) Puede alcazar la fució objetivo el máximo e esa regió? No ya que la regió es o acotada e la direcció del gradiete, (3,4).

6 Prueba B 1.- Se quiere hacer ua ecuesta etre los jóvees para ver lo que se gasta los sábados. Supoiedo que dicho gasto es ua variable ormal, se pide: a) Hallar el tamaño de la muestra supoiedo que la desviació típica es igual a 10,75, el ivel de sigificació es del 3% y el error máximo admitido es de euros. Datos del problema: σ α = = 10, 75; E = ; = 0, 03; α / 0.015; z =,17 σ 10,75 10,75 zα / < E z0,015 <,17 < α / 3,375 3,375 < < > 11, 6638 > 136, b) Si el ivel de cofiaza aumeta como afecta al tamaño de la muestra? Justifica la respuesta tomado como ivel de cofiaza el 99%. Si se aumeta el ivel de cofiaza, se tiee que aumetar el tamaño muestral para seguir cometiedo el mismo error máximo. Datos del problema: σ = 10,75; E = ; α = 0,01; α / = 0,005; z 0,005, se obtiee iterpolado etre los putos (,57, 0,00508) y (,58, 0,00494). O bie, auque es algo meos preciso, tomar el mas próximo a 0,005, que e este caso es,58. σ 10,75 10,75 zα / < E z0,005 <,58 < 7, 735 7, 735 < < > 11,8675 > 19,

7 .- Se realiza 100 lazamietos de ua moeda, correctamete fabricada, y se observa que sólo e 36 ocasioes ha salido cruz: a) Co u ivel de cofiaza del 99%, el resultado aterior permite rechazar la hipótesis de que la probabilidad de obteer cruz es de 1? Se os platea u cotraste de hipótesis de la forma: H0 : p = p0 H1 : p p0 Para este cotraste la regió de aceptació es: p0( 1 p0) p0( 1 p0) R.A.= p0 zα /, p0 + z α / Si pˆ RA.. aceptamos la hipótesis ula y caso cotrario la rechazamos. Datos del problema: 36 = 100; pˆ = = 0,36; p0 = 0,5; α = 0, 01; α/ = 0, 005; z0,005 =, ,5( 1 0,5) 0,5( 1 0,5) RA.. = 0,5,58, 0,5 +,58 = 0,371, 0, , , 0.69 rechazamos la hipotesis ula. Como ( ) ( ) b) Qué coclusió podemos sacar si se obtiee 4 cruces e 100 lazamietos? Datos del problema: 4 = 100; pˆ = = 0, 4; p0 = 0,5; α = 0, 01; α/ = 0, 005; z0,005 =, ,5( 1 0,5) 0,5( 1 0,5) RA.. = 0,5,58, 0,5 +,58 = ( 0,371, 0,69) , , 0.69 aceptamos la hipótesis ula. Como ( )

8 3.- La estatura de los estudiates de º de bachillerato e la Comuidad Autóoma de Caarias sigue ua ormal N ( 170,15). Se pide: a) Si cosideramos muestras de 144 estudiates cuál es la distribució de la variable media muestral? La media, X,de ua muestra de tamaño, de ormales idepedietes de media µ y σ desviació típica σ, sigue ua distribució, N µ,, e uestro caso es: 15 X N 170, X N( 170,1.5) 144 b) Calcular la probabilidad de que, e ua muestra de 144 estudiates, la estatura media sea mayor que 180 cetímetros. X PX ( > 180) = P > = PZ ( > 1, 6) = 0, ,5 1,5 c) Calcular a partir de qué valor se ecuetra el 15% de las estaturas medias superiores. Teemos que ecotrar u valor x 0 de maera que PX ( > x0 ) = 0,85 X 170 x0 170 PX ( > x0 ) = 0,15 P > = 0,15 1, 5 1, 5 x0 170 x0 170 x0 170 P Z > 0,15 z0,15 1,04 1, 5 = = = 1, 5 1, 5 x = ,04 1,5 =

9 4.- E ua potabilizadora se puede producir P( x ) toeladas de agua potable si se emplea u úmero x de trabajadores. Si la producció de las toeladas de agua viee dada por la fórmula P( x) = x( 60 x), se pide: a) Cuátos trabajadores tiee que cotratar para que la potabilizadora produzca lo máximo posible? Teemos que derivar e igualar a cero la fució de producció ( ) P' ( x) = x+ 60 P' ( x) = 0 x+ 60= 0 x= 30 P'' ( x ) =, quiere decir que e x = 30 hay u máximo. = + 60 P x x x b) Hacer la gráfica de la producció y averiguar a partir de cuátos trabajadores la empresa tiee que dejar de producir. A partir de 60 trabajadores la empresa tiee que dejar de producir.

10 5.- Ua empresa compra barriles de petróleo de tres tipos. El tipo A lo compra a 7 el barril, el petróleo del tipo B a 8 y el del tipo C a 31, el barril. El precio total asciede a Si el primer sumiistrador vede a la empresa el 30% del total, se pide: a) Platear las ecuacioes que correspoda al euciado. A+ B+ C = 5400 A+ B+ C = A+ 8B+ 31C = A+ 8B+ 31C = A = 160 A = b) Cuál es la catidad de petróleo de cada tipo comprado? A+ B+ C = 5400 B+ C = A+ 8B+ 31C = B+ 31C = A = 160 B+ C = B 8C = B+ 31C = B+ 31C = C = = 640 C = 140 B = 3780 C B = 1640