Variables aleatorias. Distribución binomial y normal
|
|
- Guillermo Carmona Ávila
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Variables aleatorias. Distribució biomial y ormal Variable aleatoria Def.- Al realizar u experimeto aleatorio teemos u espacio muestral E. A cualquier ley o aplicació que a cualquier suceso de E le asocie u úmero real se le llama variable aleatoria, y se suele escribir co letras mayúsculas: X, Y, Z X: Suceso de E R Se laza 2 dados, se defie la variable aleatoria X como la suma de los úmeros que aparece arriba E = {(1,1); (1,2); (6,6)} hay 36 = 6x6 casos Posibles valores de la variable aleatoria X: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 Se laza 2 dados y se suma los úmeros que aparece arriba, se defie la variable aleatoria X salga u úmero múltiplo de 3 E = {(1,1); (1,2); (6,6)} hay 36 = 6x6 casos Posibles valores de X: 3, 6, 9, 12 Lazo 3 moedas y defio la variable aleatoria X como el º de caras que sale E tiee 2x2x2 = sucesos elemetales Posibles resultados de X: 0,1,2,3 E u cultivo elijo 100 habichuelas co la vaia etera. Defio la variable aleatoria X como la logitud de la vaia. Alumos de 2º de Bachillerato de u IES. Defio la variable aleatoria X como su altura Alumos de 2º de Bachillerato de u IES. Defio la variable aleatoria X como su peso Levatamos ua ficha de domio y defio la variable aleatoria X como la suma de los putos de arriba E tiee 28 elemetos (la ficha 0-1 es la misma que la 1-0, y se cueta sólo ua vez) fichas 0-0, 0-1, 0-2,, , 1-2,, posibles resultados de X: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 Sacamos dos cartas de ua baraja. Variable X º de ases obteidos; posibles resultados X: 0,1,2, U alumo ha estudiado 12 temas de 30 de los que costa el exame. El exame costa de dos temas elegidos al azar. Variable X pregutas que se sabe posibles resultados de X: 0,1,2 Nota.- De los ejemplos ateriores hemos visto que hay variables aleatorias que se les asocia u úmero fiito de valores y otras que e teoría todos los valores de u itervalo umérico. (ejercicios ateriores 4, 5 y 6) Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 1
2 Def.- Ua variable aleatoria X decimos que es discreta si se le asocia u umero fiito de valores. Def.- Ua variable aleatoria X diremos que es cotiua si se la asocia, e teoría, todos los valores de u itervalo. Variable aleatoria discreta Fució de probabilidad Supoemos que teemos ua variable aleatoria discreta X co valores x 1, x 2,., x, y coocemos las siguietes probabilidades p(x= x 1 ) = p 1, p(x= x 2 ) = p 2,.., p(x= x ) = p. Def.- Dada ua variable aleatoria discreta X co valores x 1, x 2,., x, de los cuales coocemos sus probabilidades p 1, p 2, p 3,.., p. Se defie su fució de probabilidad como la ley o aplicació que asocia a cada valor x i su probabilidad p(x=x i )=p i, verificado: 1) p i > o 2) p 1 + p 2 + p p = 1 Ejemplos Determiar la fució de probabilidad de los ejemplos 1,2,3,7,8, 9 Del 1) Se laza 2 dados, se defie la variable aleatoria X como la suma de los úmeros que aparece arriba E = {(1,1); (1,2); (6,6)} hay 36 = 6x6 casos Posibles valores de X: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 p(x=2)=p(x=12) = 1/36 p(x=3)=p(x=11) = 2/36 p(x=4)=p(x=10) = 3/36 p(x=5)=p(x=9) = 4/36 p(x=6)=p(x=8) = 5/36 p(x=7) = 6/36 Del 2.- Se laza 2 dados y se suma los úmeros que aparece arriba, se defie la variable aleatoria X salga u úmero múltiplo de 3 E = {(1,1); (1,2); (6,6)} hay 36 = 6x6 casos Posibles valores de X: 3, 6, 9, 12 p(x=3) = 2/36 p(x=6) = 5/36 p(x=9) = 4/36 p(x=12) = 1/36 Del 3.- Lazo 3 moedas y defio la variable aleatoria X como el º de caras que sale E tiee 2x2x2 = sucesos elemetales Posibles resultados de X: 0,1,2,3 p(x=0) = 1/8 p(x=6) = 3/8 p(x=9) = 3/8 Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 2
3 p(x=12) = 1/8 Del 7.- Levatamos ua ficha de domio y defio la variable aleatoria X como la suma de los putos de arriaba E 28 fichas 0-0, 0-1, 0-2,, , 1-2,, posibles resultados de X: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 Dos cartas de ua baraja X = º de ases X = 0,1,2, A = As P(X=0) = igú as = (36/40)(35/39). Sigo la líea dode o hay ases P(X=1) = aparezca u as = (4/40)(36/39) + (36/40)(4/39) P(X=2) = aparezca dos ases = (4/40)(3/39). Se sabe 12 de 30 que costa el libro X = 0,1,2; A = sabe P(X=0) = (18/30)(17/29). Sigo la líea P(X=1) = (12/30)(18/29) + (18/30)(12/29) P(X=2) = (12/30)(11/29). Fució de distribució Def.- La fució de distribució de ua variable aleatoria discreta X, que se escribe F(x i ), es la suma de todas las probabilidades de la variable aleatoria X hasta el valor x i, es decir F(x i ) = p(x x i ) = p(x = x 1 ) + p(x = x 2 ) + p(x = x 3 ) p(x = x i ) = = p 1 + p 2 + p p i. Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 3
4 Es parecido a las frecuecias relativas acumuladas. X p = p(x = x i ) x 1 x 2 x 3... x p1 p 2 p 3...p Su fució de distribució es: 0 si X<x1 p1 si x1 X<x 2 p 1+p2 si x2 X<x3 F(x)= p 1+p pi si xi X<xi+1 p +p +...+p =1 si x X<x Propiedades: 1) F(x) es costate (toma el mismo valor) e cada itervalo [x i, x i+1 ) 2) F(x) es creciete 3) p(a < X b) = F(b) F(a) X = Nº de caras al lazar 3 moedas P i = p(x = x i ) 1/8 3/8 3/8 1/8 Su fució de distribució es: 0 si X<0 1/8 si 0 X<1 F(x)= 1/8+3/8=4/8 si 1 X<2 4/8+3/8=7/8 si 2 X<3 7/8+1/8=1 si X 3 Se puede represetar gráficamete y calcular alguas probabilidades Media, variaza y desviació típica de ua variable aleatoria discreta. Nota: Supoemos ua variable aleatoria discreta X que toma los valores x 1, x 2, x 3,., x co probabilidades p 1, p 2, p 3,, p, dode p i = p(x = x i ) Def.- Se defie la media o esperaza matemática de la variable aleatoria X, que se escribe µ X, como el siguiete úmero: µ X = p 1 x 1 + p 2 x p x = px i i Def.- Se defie la variaza de la variable aleatoria X, que se escribe (σ X ) 2, como el siguiete úmero: (σx) 2 = p 1 ( x 1 - µ X ) 2 + p 2 ( x 2 - µ X ) p ( x - µ X ) 2 = p (x -μ ) = p (x ) -(μ ) Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 4 i= i i X i i X i=1 i=1
5 Def.- Se defie la desviació típica de la variable aleatoria X, que se escribe (σ X ), como el siguiete úmero: (σ X ) = (σ X ) 2 = p (x -μ ) = p (x ) -(μ ) i i X i i X i=1 i=1 Calcular la media, variaza y desviació típica de la variable aleatoria X salir cara al lazar 3 moedas x i pi pi.xi pi.(x i ) 2 0 1/ /8 3/8 3/8 2 3/8 6/8 12/8 3 1/8 3/8 9/8 Σ 1 12/8 24/8 Media µ X = px i i = 12/8 i=1 Variaza (σ X ) = p (x ) μ -( ) = 24/8 (12/8) 2 = 3/4 i=1 i i X Desviació típica (σ X ) = (σ X ) = p i(x i) μ -( ) X = 3 = 3 0' i=1 Hacerlo de los ejercicios resueltos ateriormete Distribució Biomial (como ejemplo de variable aleatoria discreta) Defiició de distribució biomial: Si realizamos veces u experimeto e el que podemos obteer éxito, A, co probabilidad p y fracaso, A C, co probabilidad q (q = 1 p), la obteció de éxito o fracaso es idepediete de u experimeto a otro. La variable aleatoria discreta X = º de éxitos, decimos que sigue ua distribució biomial de parámetros y p, y lo represetaremos por X B(;p). Nota.- La fució de probabilidad de la variable X = º de éxitos, que sabemos sigue ua distribució biomial de parámetros y p ( B(,p) ), viee dada por: p(x = k) = ( sobre k).p k.q (-k) =.p k.q (-k). k ** ( sobre k) = {úmero combiatorio} = = (!)/(k!.(-k)!) k E la calculadora ( sobre k) = tecla Cr k! = factorial de u º = (-1)(-2)(-3) Por coveio 0! = 1, para poder demostrar las propiedades (5 sobre 1) = 5 = (5!)/(1!.(5-1)!) = 5 1 (7 sobre 3) = 7 = (7!)/(3!.(7-3)!) =35 3 Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 5
6 8 (8 sobre 4) = = (8!)/(4!.(8-4)!) = 70 4 (100 sobre 98) = 100 = (100!)/(98!.(100-98)!) = Nota: Observar que las probabilidades de éxito y fracaso so complemetarias, es decir, q = 1 p y p = 1 q, por lo que basta saber ua de ellas para calcular la otra. Ates teíamos B(7; 1/6), y queríamos calcular p(x=3) (obteer 3 éxitos). Aplicado la fórmula: p(x = 3) = (7 sobre 3).(1/6) 3.(5/6) 4 = Supogamos que la probabilidad de que ua pareja tega u hijo o ua hija es igual. Calcular la probabilidad de que ua familia co 6 descedietes tega 2 hijos. E este caso Éxito = A = teer hijo y p(a) = 0 5. Fracaso = A C teer hija y p(a C ) = 0 5. Estamos por tato ate ua biomial B(6;0 5) y os pide p(x=2). Si aplicamos la fórmula es: p(x = 2) = (6 sobre 2).(0 5) 2.(0 5) 4 = Probabilidades acumuladas Nota.- Es posible que os pida o sólo la probabilidad de que ocurra u cierto umero de éxitos e cocreto, sio que ocurra como mucho k éxitos o pregutas similares. E el ejemplo aterior, por ejemplo, podría pediros: Cuál es la probabilidad de que apruebe como mucho 2 alumos?. Si éxito = aprobar y fracaso = suspeder, p= 0 7 y q = 0 3, etoces os pide p(x 2). E este caso, basta pesar e que para que apruebe 2 alumos como mucho, puede que apruebe 2, 1 o iguo, es decir: p(x 2) = p(x = 0)+p(X = 1)+p(X = 2) = = Nota.- A veces es más fácil por la probabilidades cotrario Cuál es la probabilidad de que apruebe etre 3 y 6 alumos (iclusive)?. Del mismo modo: p(3 X 6) = p(x = 3)+p(X = 4)+p(X = 5)+p(X = 6) = = = Los alumos de cierta clase se ecuetra e ua proporció del 67% que estudia iglés y el resto fracés. Tomamos ua muestra de 15 alumos de la clase, calcular: a) Probabilidad de que al meos ecotremos tres alumos de iglés. b) Probabilidad de que los 15 alumos estudie iglés. c) Probabilidad de que estudie iglés etre 7 y 10 alumos. Sol Si éxito = estudiar iglés, p = 0 67 y fracaso = estudiar fracés, q = = Maejamos por tato ua Bi(15;0 67) a) p(x 3) = p(x = 3)+p(X = 4)+p(X = 5)+p(X = 6)+...+ p(x = 15). Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 6
7 Ua opció es calcular estas 13 probabilidades y sumarlas. Como hay que aplicar la fórmula para calcular cada ua, la tarea se puede hacer bastate larga. Otra opció, mas secilla, es pasar al complemetario. El complemetario de ecotrar al meos 3 alumos de iglés es ecotrar como mucho 2 alumos de iglés, p(x 2). Es decir, p(x 3) = 1 p(x <3) = 1 p(x 2) = 1 (p(x = 0)+p(X = 1)+p(X = 2)) y sólo teemos que calcular 3 probabilidades: p(x = 0) 0, p(x=1) = , p(x=2) = (!compruébalo!). Por lo cual, p(x 3) = 1 ( ) = = b) p(x=15) = (aplica la fórmula). c) p(7 X 10) = p(x = 7)+p(X = 8)+p(X = 9)+p(X = 10) = = = Media y desviació típica e ua distribució biomial Nota.- Auque o se demostrará, e ua distribució biomial B(;p), el umero esperado de éxitos o media, viee dado por x =.p. (Recordemos que la media es ua medida de cetralizació). La variaza es σ 2 = (.p.q), y la desviació típica, σ, s la raíz cuadra de la variaza, es decir σ = (.p.q). Ejercicios E ua B(7;0 4) determia: p(x=2), P(X=5), P(X=0), P(X>0), P(X>5). Determia su media y desviació típica. Lazamos u dado 5 veces seguidas. Calcula la probabilidad de obteer: a. Más de 3 uos. b. Nigú uo. c. Determia su media y desviació típica. Sol ( = 5, éxito= obteer 1 al lazar u dado., P (éxito) = 1/6) La probabilidad de que u cierto producto se rompa cuado es trasportado es del 2%. Si se trasporta 20 de éstos, calcula la probabilidad de que: a. Se rompa más de 2. b. No se rompa iguo. c. Determia su media y desviació típica. Sol (= 20, éxito= que se rompa u producto.; P (éxito) = 0,02 = 2% = 2/100 = 0,02) u exame tipo test tiee 10 pregutas, cada ua de ellas co 3 opcioes para elegir. Si u alumo cotesta al azar; calcula la probabilidad de que: a. Acierte más de 8 pregutas. b. No acierte igua. c. Acierte todas. d. Determia su media y desviació típica. Sol ( =10, éxito= acertar la preguta. P (éxito) = 1/3) El 53% de los trabajadores de ua empresa so mujeres. Si elegimos 8 persoas de esa empresa al azar. Calcula la probabilidad de que haya: Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 7
8 a. Algua mujer. b. Más de 6 mujeres. c. Determia su media y desviació típica. Sol ( =8, éxito= obteer mujeres. P(éxito)= 0,53 ; fracaso=0,47) Distribucioes Cotiuas. Distribució Normal Itroducció Ya hemos visto que la las variables aleatorias cotiuas X e teoría tomaba todos los posibles valores de u itervalo, que puede ser todo R. E las variables aleatorias discretas teíamos el cocepto de fució de probabilidad, que verificaba las propiedades: 1) p i > 0, co p(x=x i ) = p i 2) p 1 + p 2 + p p = 1 Sabemos que si ua fució f(x) es cotiua si su gráfica se dibuja si levatar el lápiz del papel. Por ejemplo El cocepto de el cocepto de fució de probabilidad, e las variables aleatorias discretas, lo hará ahora la fució f(x) que se llamará fució de desidad, y las propiedades: 1) p i > 0, co p(x=x i ) = p i de la discreta, se trasformará e que f(x) 0, es decir esté por ecima del eje OX. 2) p 1 + p 2 + p p = 1 de la discreta, se trasformará e que el área bajo f(x), etre - y + (e el dibujo es etre c y d ) y el eje OX, valga 1. + b Si se cooce el cálculo itegral esto se expresa como f(x)dx = f(x)dx = 1. Fució de desidad de ua variable aleatoria cotiua. Def.- Ua fució f(x) decimos que es ua fució de desidad de ua variable aleatoria cotiua X si verifica: 1º f(x) 0, para todo puto x del itervalo e que está defiida, es decir siempre es positiva (recordar que e las variables discretas p i 0) Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 8 a
9 2º El área ecerrada bajo la curva y = f(x) y el eje OX es igual a la uidad, es decir + f(x)dx = 1. (recordar que e las variables discretas p 1 + p p p - i=1 i=1 = ). 3º La probabilidad de f(x) e u itervalo [a,b] es el área bajo f(x), el eje OX y las abscisas x=a y x=b, es decir Área = p(a X b) = f(x)dx. b a Propiedades 1.- No existe la probabilidad de u puto x= a, es decir p(x=a) = 0 = a f(x)dx=0 a 2.- Por la propiedad aterior las siguietes probabilidades so iguales p(a X b) = p(a<x b) = p(a X<b) = p(a<x<b). Fució de distribució de ua variable aleatoria cotiua Def.- La fució de distribució F(x) de ua fució de desidad f(x) de ua variable aleatoria cotiua (v.a.c.) es la fució F(x) que verifica la siguiete codició de probabilidad F(X) = p(x x), es decir el área bajo f(x) etre - y x, y el eje OX.(si se cooce el cálculo itegral F(X) = p(x x) = - fució área. x f(t)dt ), que es lo que se cooce como Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 9
10 Si se cooce el cálculo itegral la fució la fució de distribució F(x)se obtiee itegrado la fució de desidad f(x). Fució de desidad f(x) Fució de distribució F(x) 0 si x<0 1 f(x)= si 0 x si x>3 Itegrado 0 si x<0 x F(x)= si 0 x si x>3 Propiedades de las fucioes de distribució: 1. Puesto que F(x) es el valor de ua probabilidad, se verifica: 0 F(x) 1 2. La fució de distribució F(x) es ula para todo valor de x aterior al meor valor de la variable aleatoria, es decir F(x) = 0, si x < a. (Supoiedo defiida f(x) e [a,b] ) 3. La fució de distribució F(x) es igual a la uidad para todo valor de x posterior al mayor de la variable aleatoria, es decir F(X) = 1, si x > a. (Supoiedo defiida f(x) e [a,b] ) 4. La fució F(x) siempre es creciete. (Se dibuja hacia arriba, de izquierda a derecha) 5.- Las probabilidades se calcula mediate la fórmula p(a X b ) = b' a' [ ] b' f(x)dx = F(x) = F(b ) F(a ), co F (x) = f(x), si se cooce el cálculo itegral a' Media de ua variable aleatoria cotiua Recordemos las expresioes de la media de ua variable estadística y de ua variable aleatoria discreta: Variable estadística Variable aleatoria discreta i.xi i=1 x= μ= p i.xi N i=1 Nota.- De forma similar a como defiimos la media de ua variable aleatoria discreta, defiiremos ahora la media de ua variable aleatoria cotiua. Úicamete tedremos e cueta que e aquel caso se trataba de sumar u úmero fiito de sumados, e cambio ahora tratamos de «sumar» u úmero ifiito de sumados ifiitesimales (itegral defiida). Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 10
11 Def.- Sea X ua variable aleatoria cotiua cuyo recorrido es el itervalo [a, b] y sea f(x) su fució de desidad. Se llama media de la variable cotiua X al valor de la siguiete itegral: μ= b x.f(x)dx a sobre el cetro de los datos. ( si se cooce el cálculo itegral), si ó diremos que es u valor Nota.-La media de ua variable aleatoria cotiua tambié recibe el ombre de esperaza matemática o valor esperado. Variaza y desviació típica de ua variable aleatoria cotiua X Siguiedo co el paralelismo establecido co las otras variables ya estudiadas, recordemos ahora la expresió de la variaza y desviació típica para el caso de variable estadística y para el caso de variable aleatoria discreta. Variable estadística 2 2 i.(xi-x) i.(x i) 2 i=1 i=1 2 σ = (x) N = N Variable aleatoria discreta 2 σ = σ σ = p.(x -μ) = p.(x ) -(μ) i i i i i=1 i=1 2 σ = σ Def.- Sea X, ua variable aleatoria cotiua cuyo recorrido es el itervalo [a, b] y sea f(x) su fució de desidad. Se llama variaza de la variable aleatoria cotiua X al valor de la siguiete itegral: b b X = (xμ).f(x)dx (x).f(x)dx (μ) a a σ = Def.- Se llama desviació típica de la variable aleatoria cotiua X a la raíz cuadra a positiva de la variaza, es decir : σ X b b X= μ) (x-.f(x)dx (x).f(x)dx (μ) a a. = σ = Ejercicios resueltos de distribucioes cotiuas 1. Hallar la media, la variaza y la desviació típica de ua variable aleatoria cotiua que tiee la siguiete fució de desidad: Sol a) Media: b)variaza: si x<0 f(x)= 1/3 si 0 x 3 0 si x> x 9 μ= x.f(x)dx = x. dx= 1' = = 6 6 σ X = (x ( x 1' 5) μ).f(x)dx = (x-1'5). dx= 0' 75 3 = 9 c) Desviació típica: σ = σ 2 X = 0'75 = 0'866 Se supoe que se cooce el cálculo itegral, para resolver el ejercicio. Distribució Normal (Como ejemplo de Distribució Cotíua) Nota.- La gráfica de ua distribució ormal tiee forma de campaa. Es simétrica y cetrada e la media µ, y es de la forma: 3 0 Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 11
12 Experimeto de Galto Sobre u tablero icliado está distribuidos regularmete u sistema de clavos. Éstos permite deslizar u gra úmero de bolas que procede de u depósito superior del aparato. Las bolas, al chocar co los clavos, se aleja e mayor o meor medida de la líea cetral de caída, segú la ley del azar. Recogiedo estas bolas e compartimietos estrechos, distribuidos a lo largo del borde iferior del tablero, las alturas que alcaza las bolas e las distitas columas da ua idea, bastate clara, de la distribució ormal. Nota.- Hay muchos feómeos que sigue distribucioes so ormales, por ejemplo: los pesos, las alturas, etc de los idividuos de cualquier especie. Nota.- No todas las distribucioes so ormales, por ejemplo: El ivel de reta de los españoles, porque hay pocos co reta muy alta, y muchos co retas bajas Defiició de la distribució ormal de media μ y desviació típica σ.- Decimos que ua variable aleatoria cotiua X sigue ua distribució ormal de media μ y desviació típica σ, y se desiga por N(μ, σ), si se cumple las siguietes codicioes: 1ª La variable recorre toda la recta real, es decir (-,+ ) = R. 2ª La fució de desidad, que es la expresió e térmios de ecuació matemática 2 1 x μ σ de la curva de Gauss, es: f(x)=.e σ 2π Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 12
13 dode: e = 2, , costate: base de los, logaritmos eperiaos π = 3, relació de la logitud de ua circuferecia a su diámetro x = abscisa, valor cualquiera de u puto del itervalo. μ = media de la variable aleatoria X (parámetro). σ = desviació típica de la variable aleatoria X (parámetro). f(x) = ordeada de la curva. A los valores μ y σ se los deomia parámetros de la distribució ormal. Nota.- Algo sobre la gráfica de la fució de desidad de la N(μ, σ). 1- La curva tiee forma campaiforme y es simétrica respecto a la recta vertical x = μ. 2- La ordeada máxima se obtiee precisamete para el valor de x = μ. 3- El área del recito ecerrado bajo la campaa y el eje X es igual a la uidad, es decir + f(x)dx - = 1, por tratarse de ua fució de desidad. Al ser simétrica respecto al eje vertical que pasa por μ, dicho eje de simetría deja u área igual a 0 5 a la izquierda y otra igual a 0 5 a la derecha. 4. A ambos lados del valor x = μ las ordeadas de la curva decrece, primero letamete, y después co mayor rapidez, hasta hacerse su ordeada ula a medida que la abscisa se aleja hacia la derecha o hacia la izquierda del valor cetral. E la práctica, o es ecesario alejarse mucho de los valores cetrales para que la ordeada sea casi ula. (Posteriormete veremos que fuera del itervalo (μ - 3σ, μ + 3 σ) es muy improbable ecotrar ua observació). La compresió de estas propiedades facilitará mucho el maejo de las tablas. Media y variaza de la distribució ormal Por la propia defiició de la distribució se tiee que las características estadísticas de ua distribució N(μ, σ) so: a) Media: = μ b) Variaza: = σ 2 c) Desviació típica: = σ Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 13
14 Distribució ormal estádar Def.- De las ifiitas distribucioes N(μ, σ), tiee especial iterés la distribució N(0,1); es decir, aquella que tiee por media el valor cero (μ = 0) y por desviació típica la uidad (σ = 1). Esta distribució se llama ley ormal estádar, o bie distribució ormal reducida. La fució de desidad para μ = 0 y σ = 1 es: 1 f(x)=.e 2π cuya represetació gráfica es parecida a la de la ormal N(μ; σ), pero u poco mas achatada. Nota.- La fució de distribució es F(x) = p(x x), e el caso de la ormal, la variable siempre es z o x, y se escribe F(z) = p(z z) = Ф(z). Recordamos que la fució de distribució de la ley ormal estádar proporcioa el área del recito sombreado de la figura. 2 x - 2 Recordamos que la fució de distribució es F(x) = p(x x), e el caso de la ormal, la variable siempre es z o x, y se escribe F(z) = p(z z) = Ф(z). Nota.- Recordamos que las propiedades de la fució de distribució era: 1. Puesto que F(z) es el valor de ua probabilidad, se verifica: 0 F(z) 1 2. La fució de distribució F(z) es ula para todo valor de x aterior al meor valor de la variable aleatoria, es decir F(z) = 0, si z < a. (Supoiedo defiida f(z) e [a,b] ) 3. La fució de distribució F(z) es igual a la uidad para todo valor de x posterior al mayor de la variable aleatoria, es decir F(z) = 1, si x > a. (Supoiedo defiida f(z) e [a,b] ) 4. La fució F(z) siempre es creciete. (Se dibuja hacia arriba, de izquierda a derecha) 5.- Las probabilidades se calcula mediate la fórmula p(a X b ) = b' a' [ ] b' f(x)dx = F(x) = a' F(b ) F(a ), co F (x) = f(x), si se cooce el cálculo itegral. Como el cálculo de esta itegral es complicada, se ha realizado ua tabla co los valores más usuales de la ormal N(0,1), que es lo que se cooce como tabla de la ormal. Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 14
15 Tipificació de la variable Nota.- Todas las distribucioes ormales N(μ,σ) se puede trasformar e la distribució N(0,1), se ecuetra tabulada (tablas), mediate u cambio de variable que se deomia tipificació de la variable. Dicho cambio de variables es: Si X sigue ua N(μ,σ), etoces Z = X µ σ Maejo de tablas sigue ua N(0,1). Sea Z ua variable que sigue ua distribució ormal N(0,1). Veamos co ejemplos, y e orde creciete de dificultad, los casos más frecuetes que se suele presetar. (Utilizar la tabla aterior que es la que da e Selectividad.) Caso 1. p(z 1,45) (Se mira directamete e las tablas) Recuerda que p(z 1,45) = F(z) = Ф(z) La probabilidad pedida es igual al área sombreada (mira la gráfica de la tabla), y se ecuetra directamete e la tabla, si más que buscar 1,4 e la columa 1ª y 0,05 e la fila 1ª; su itersecció os da la probabilidad p(z 1,45) = 0,9265 Esto quiere decir que el 92,65 % de las observacioes se distribuye etre - y 1,45. Caso 2. p(z -1,45) (Simetría y probabilidad del cotrario) La probabilidad pedida es igual al área sombreada de la figura de abajo. La tabla sólo proporcioa probabilidades para valores de Z positivos. Pero teiedo e cueta la simetría de la fució de desidad f(x), y que el área ecerrada por toda la curva es igual a la uidad (probabilidad del suceso cotrario p(a C ) = 1 p(a) ), resulta: p (Z < -1,45) = p (Z > 1,45) = 1 - p (Z 1,45) = 1-0,9265 = 0,0735 Este resultado idica que úicamete u 7,35 % de las observacioes se distribuye etre - y -1,45. Caso 3.- p(1,25 < Z 2,57) [ F(2 57) F(1 25), se mira directamete e tabla ] La probabilidad pedida es el área sombreada que muestra la figura de abajo. Su cálculo lo realizaremos restado al área mayor la meor: p(1,25 < Z - 2,57) = p(z < 2, - 57) - p(z < 1,25) = 0,9949-0,8944 = 0,100 5 Caso 4. p(-2,57 < Z -1,25) (Simetría co probabilidad del cotrario) Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 15
16 La probabilidad pedida es igual al área sombreada (figura de abajo), y como cosecuecia de la simetría de la fució de desidad se tiee: p(-2,57 < Z -1,25) = p(1,25 < Z - 2,57) = 0,1005 Tambié puede hacerse por la defiició de probabilidad y por la probabilidad del suceso cotrario, es decir p(-2,57 < Z -1,25) = p(z -1,25) p( Z (-2,57) = [1- p(z 1,25)] - [1- p(z 2,57)] = = p(z 2,57) - p(z 1,25) = p(1,25 < Z - 2,57) = 0,1005 Es decir, úicamete el % de las observacioes se distribuye etre 1,25 y 2,57, o bie etre y Caso 5. p(-0,53 < Z 2,46) La probabilidad pedida es igual al área sombreada (figura de abajo). E este caso, uo de los valores de la abscisa Z es egativo y el otro es positivo. Teiedo e cueta todo lo aterior, resulta: p(-0,53 < Z 2,46) = p(z 2,46) - p(z -0,53) = p(z 2,46) - p(z > 0, 53) = = p(z 2,46) [1 - p(z 0, 53)] = 0, (1-0,7019) = 0,695 Lo que quiere decir que el 69,5 % de las observacioes se ecuetra etre -0,53 y 2,46. Nota.- Cualquier otro caso que se pueda presetar cabe reducirlo, adecuadamete, a los que acabamos de expoer. Nota.- El 68,26% de las observacioes (o de los idividuos) se ecuetra e el itervalo (μ - σ, μ + σ). El 95,4% de las observacioes está e (μ - 2σ, μ + 2σ) y el 99,7% de las observacioes está e (μ - 3σ, μ + 3σ). Ejercicios resueltos de la ormal Los pesos de los idividuos de ua població se distribuye ormalmete co media 70 kg y desviació típica 6 kg. De ua població de 2000 persoas, calcular cuátas persoas tedrá u peso etre 64 y 76 kg. Sol Se trata de ua distribució N(70,6). Como el 68,2% de los idividuos está e el itervalo (70-6,70+6), habrá que calcular el 68,2% de 2000; es decir: Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 16
17 68,2.(2000/100) = 1364 Tambié se puede hacer calculado la probabilidad p(64 < X < 76) y después multiplicarlo por el º de persoas que es Luego se espera que haya 1364 persoas co pesos compredidos etre 64 y 76 kg. Se ha aplicado a 300 alumos de 4º de ESO u test de agresividad y se ha observado que se distribuye ormalmete co media 30 y desviació típica 12. Se pide: a) Qué proporció de alumos tedrá ua putuació e dicho test etre 20 y 35? b) Cuátos alumos tedrá ua putuació superior a 42? Sol Se trata de ua distribució N(30,12). Calculemos las probabilidades pedidas: a) p(20 < X 35) = p < Z = p(-0 83 < Z 0 42) = = p(z 0,42) - [1 - p(z 0,83)] = = 0, (1-0,7967) = 0,4595 Es decir, aproximadamete el 46% de los alumos tiee ua putuació de agresividad etre 20 y b) p(x > 42) =1 - p(x 42) = 1 - p Z 12 = 1 p(z < 1) = 1-0,8413 = 0,1587 Es decir, el 15,87% de los idividuos tiee putuacioes superiores a 42. El úmero de idividuos se obtedrá multiplicado el total de alumos por la proporció; es decir: 300.(15,87/100) = 48 alumos. Aproximació de la biomial por la ormal Teorema.- Si X, variable aleatoria discreta, sigue ua B(,p), verificado que es muy grade y que p y q 5, co q = 1 p, etoces la variable X se puede aproximar por ua ueva variable X cotiua que sigue ua ormal N(p, (pq) ). Esta ueva variable X, después por tipificació Z = X' - p pq seguirá ua ormal N(0;1) Nota.- Gracias a esta aproximació es fácil hallar probabilidades biomiales pues la probabilidad de la distribució biomial para valores grades de resulta muy complicada de calcular y, e cosecuecia, prácticamete iutilizable. Nota.- Recordemos que la distribució biomial es de variable aleatoria discreta X y, por tato, tiee setido calcular probabilidades putuales; por ejemplo, p(x = 2). E cambio, la variable aleatoria cotiua X sigue ua distribució ormal y, por tato, o tiee setido calcular probabilidades putuales, pues so todas ulas; e este caso p(x = 2) = 0. Para resolver este problema se itroduce uas correccioes (correccioes de Yates), que cosiste e cosiderar los valores de la variable aleatoria discreta X como marcas de clase de itervalos del siguiete modo: X sigue ua B(,p) y X sigue ua N(p, (pq) ). p(x = a) = p(a 0 5 < X' a + 0 5) p(x a) = p(x' a - 0 5) Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 17
18 p(x < a) = p(x' < a - 0,5) Ejercicios resueltos de aproximació de ua biomial a ua ormal Se sabe, por ua estadística sociológica realizada recietemete, que el ivel de aceptació de u determiado partido es del 25% de la població. De u muestreo aleatorio realizado sobre 40 persoas, se desea saber cuál es la probabilidad de que 15 de ellos acepte a dicho partido. Sol Es obvio que e pricipio se trata de ua distribució biomial: A = Éxito = «aceptar el partido» p = p(a) = 0,25 A C = «o aceptar el partido» q = p(a C ) = 0,75 Sea X la variable que expresa el úmero de persoas de la muestra que acepta el partido. Se verifica etoces que X sigue ua distribució B(40; 0 25). Como se verifica que: p = y q = , por tato podemos aproximarlo por ua ormal, es decir aproximamos la variable X que sigue ua biomial B(40; 0 25) por la variable X' que sigue ua distribució ormal N(p, (pq) ) = = N(10;2 74). Calculemos la probabilidad pedida: p(x=15) = p(14,5 < X' 15,5)=p ( (14,5-10)/ 2,74 < Z (15,5-10)/2,74) ) = = p(1,64 < Z 2) = p(z 2) - p(z 1,64) = 0,9772-0,9495 = 0,0277 Después de realizar varios sodeos sobre ua població co escasa cultura, se ha coseguido averiguar que úicamete el 15% de la misma es favorable a los tratamietos de psicoterapia. Elegida al azar ua muestra de 50 persoas de dicha població, se desea saber: a) La probabilidad de que haya más de cico persoas favorables a dichos tratamietos. b) La probabilidad de que a lo sumo haya seis persoas favorables. Sol Se trata de ua distribució biomial: A = Éxito = «ser favorable» p = p(a) = 0,15 A C = «ser desfavorable» q = p(a C ) = 0,85 Sea X la variable aleatoria que expresa el úmero de persoas de la muestra favorables a los tratamietos de psicoterapia, sigue ua distribució B(50;0 15). Como se cumple que: p = y q = , por tato podemos aproximarlo por ua ormal, es decir aproximamos la variable X que sigue ua biomial B(50;0 15) por la variable X' que sigue ua N(p, (pq) ) = N( ; ( )) = = N(7 5;2 52). Calculemos las probabilidades pedidas: a) p(x>5)=p(x'>4,5)=p(z>(4,5-7,5)/ 2,52))=p(Z>-1 19)=1- p(z 1 19) = 1-0,8830 =0,1170 b) p(x 6)=p(X' 6,5)=p(Z (6,5-7,5)/ 2,52))=p(Z - 0,4)=1-p(Z 0,4)=1-0,6554=0,3446. Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 18
Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza.
Tema 9. Iferecia Estadística. Itervalos de cofiaza. Idice 1. Itroducció.... 2 2. Itervalo de cofiaza para media poblacioal. Tamaño de la muestra.... 2 2.1. Itervalo de cofiaza... 2 2.2. Tamaño de la muestra...
Más detallesINFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN
INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Págia 98 Cuátas caras cabe esperar? El itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 95% (cosideramos casas raros al 5% de los casos extremos)
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO.001-.00 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella,
Más detallesESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)
Más detallesEstimación puntual y por intervalos de confianza
Ídice 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.1 6.1 Itroducció.......................................... 6.1 6. Estimador........................................... 6. 6.3 Método de costrucció
Más detallesUNIVERSIDAD DE ATACAMA
UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL N o 3 Profesor: Hugo S. Salias. Primer Semestre 2012 1. El ivel
Más detallesSELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las
Más detallesOPCIÓN A EJERCICIO 1_A
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 x -1 Se cosidera la matriz A = 1 1 1. x x 0 (1 5 putos) Calcule los valores de x para los que o existe
Más detallesINFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN
3 INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Págia 99 REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas caras cabe esperar? Repite el razoamieto aterior para averiguar cuátas caras cabe esperar si lazamos 00 moedas
Más detalles16 Distribución Muestral de la Proporción
16 Distribució Muestral de la Proporció 16.1 INTRODUCCIÓN E el capítulo aterior hemos estudiado cómo se distribuye la variable aleatoria media aritmética de valores idepedietes. A esta distribució la hemos
Más detallesMatemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton
Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete
Más detalles= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de
Más detallesMedidas de Tendencia Central
EYP14 Estadística para Costrucció Civil 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los
Más detallesFórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)
Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio
Más detallesOPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)
IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 01 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -1-1 1 Sea las matrices A =
Más detalles5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 03 MODELO (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO (A) ( 5 putos) U fabricate elabora
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la regió defiida por las siguietes iecuacioes: x/2 + y/3 1 ; - x + 2y 0; y 2. (2 putos) Represete
Más detallesSOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN
Más detallesTema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor
Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació
Más detallesModelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo
Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada
Más detallesMétodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B
Métodos Estadísticos de la Igeiería Tema 9: Iferecia Estadística, Estimació de Parámetros Grupo B Área de Estadística e Ivestigació Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragó Abril 200 Coteidos...............................................................
Más detallesREVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL
375 REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 376 Revisió de alguos idicadores para medir desigualdad Medidas de Desigualdad Para medir el grado de desigualdad e la
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 5 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A (3 putos) Para fabricar tipos de cable, A y B, que se vederá a 50 y 00 pts el metro, respectivamete,
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (1 5 putos) Represete gráficamete el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes:
Más detallesEjercicio 1. Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6.
Materiales producidos e el curso: Curso realizado e colaboració etre la Editorial Bruño y el IUCE de la UAM de Madrid del 1 de marzo al 30 de abril de 013 Título: Curso Moodle para matemáticas de la ESO
Más detalleswww.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com
Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la
Más detallesOPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A =
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y -1 3 0 - z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos)
Más detallesSELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2012 (Modelo 1 ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A -1-6 -1 1 2 a 0 1 Sea las matrices A
Más detallesMC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009
1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN APUNTES CURSO: ALGEBRA SUPERIOR INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Medoza Primavera 2009 2
Más detalles0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1
IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A JRCICIO 1 ( putos) Sea las matrices: -1 4-1 - 1 5 - -6 A ; B 0-1 y C 0-1 1 0 1-0 -1 Determie X e la ecuació matricial
Más detallesPropuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) =
Pruebas de Acceso a Eseñazas Uiversitarias Oficiales de Grado (0) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumo deberá cotestar a ua de las dos opcioes propuestas A o B. Se podrá utilizar
Más detallesSELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 4)
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 8 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 8 (MODELO 4) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U joyero fabrica dos modelos
Más detallesESTADÍSTICA. Al preguntar a 20 individuos por el número de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas:
ESTADÍSTICA Ejercicio º.- Al pregutar a 0 idividuos por el úmero de persoas que vive e su casa, hemos obteido las siguietes respuestas: Elabora ua tabla de frecuecias. Ejercicio º.- E ua empresa de telefoía
Más detallesAnálisis de datos en los estudios epidemiológicos II
Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 1) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Más detallesUna serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0
Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada
Más detallesSucesiones numéricas.
SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El
Más detalles1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)
1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :
Más detallesMuestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción
Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala Muestreo. Tipos de muestreo. Iferecia Itroducció Nota.- Puede decirse que la Estadística es la ciecia que se preocupa de la recogida
Más detallesCURSO 2.004-2.005 - CONVOCATORIA:
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD LOGSE / LOCE CURSO 4-5 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO 009-010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B).
Más detallesINTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL. 1. Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos
1 INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL La mayoría de estos problemas ha sido propuestos e exámees de selectividad de los distitos distritos uiversitarios españoles. 1. Ua muestra aleatoria de 9 tarrias
Más detallesEjemplos y ejercicios de. Análisis Exploratorio de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios.
ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS Ejemplos y ejercicios de Aálisis Exploratorio de Datos Descripció estadística de ua variable. Ejemplos y ejercicios..1 Ejemplos. Ejemplo.1 Se ha medido el grupo saguíeo de
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO.-.3 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe
Más detallesSoluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I
Ecoometría I. Solucioes Hoja 2 Carlos Velasco. MEI UC3M. 2007/08 Solucioes Hoja de Ejercicios 2 Ecoometría I 1. Al pregutar el saldo Z (e miles de euros) de su cueta de ahorro cojuta a u matrimoio madrileño
Más detallesEstimación puntual y por Intervalos de Confianza
Capítulo 7 Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza 7.1. Itroducció Cosideremos ua v.a X co distribució F θ co θ descoocido. E este tema vemos cómo dar ua estimació putual para el parámetro θ y cómo
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+
IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 009 (MODELO 3) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea la igualdad A X + B = A, dode
Más detallesREPASO CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIÓN NORMAL.
REPASO COCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIÓ ORMAL. Éste es un breve repaso de conceptos básicos de estadística que se han visto en cursos anteriores y que son imprescindibles antes de acometer
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 007-008 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN A
Más detallesCalculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Dibuje el recito
Más detallesSolución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004
Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 001 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Se quiere orgaizar u puete aéreo etre dos ciudades, co plazas suficietes de pasaje y carga,
Más detallesGradiente, divergencia y rotacional
Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para
Más detallesSELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 5)
SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 01 (MODELO 5) OPIÓN A EJERIIO 1_A ( 5 putos) U comerciate dispoe de 100 euros para comprar dos tipos de mazaas A y B. Las del tipo A las compra a 0 60 euros/kg
Más detallesCapítulo 2. Operadores
Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática
Más detallesProgresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general
5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 013 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea R la regió factible defiida por las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. (0 5 putos) Razoe si el puto (4 5,1 55) perteece
Más detalles(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro)
(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS Defiició: U feómeo o experiecia se dice aleatorio cuado al repetirlo e codicioes aálogas o se puede predecir el
Más detallesOPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)
IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices A = y
Más detallesA = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.
. POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes
Más detallesSELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A
IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 4, Opció A Reserva, Ejercicio 4, Opció A Reserva, Ejercicio 4, Opció
Más detallesESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...}
ESTADÍSTICA BÁSICA 1.) Coceptos básicos: Estadística: Es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de u equipo de balocesto, temperatura de los meses de verao, etc.)
Más detalles1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación)
Aputes: Matemáticas Fiacieras 1. Lecció 11 - Operacioes Fiacieras a largo plazo - Préstamos (Cotiuació) 1.1. Préstamo: Método de cuotas de amortizació costates E este caso se verifica A 1 = A 2 = = A =
Más detallesLey de los números grandes
Capítulo 2 Ley de los úmeros grades 2.. La ley débil de los úmeros grades Los juegos de azar, basa su sistema de gaacias, fudametalmete e la estabilidad a largo plazo garatizada por las leyes de la probabilidad.
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 1999-2. - CONVOCATORIA: Juio MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo
Más detallesTEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:
TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U cliete de u supermercado ha pagado u total de 156 euros por 24 litros de leche,
Más detalles-6-2 1 15 5-6 10 1-4 15 5-6 10 1-4
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 6 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 2 1-1 Sea la matriz A = 0 m-6 m+1 2 0 (1 puto) Calcule los valores de m para que dicha
Más detallesSOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso
Más detallesPRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O
PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros
Más detalles1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p.
Divisibilidad Matemática discreta Dados dos úmeros aturales a y b, escribiremos a b y leeremos a divide a b si existe u c N tal que ac = b. E este caso, decimos que a es u divisor de b o que b es divisible
Más detallesEstadística Descriptiva
Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO 009-010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y,
Más detallesTema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato.
UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Tema Poliomios y otras eresioes algebraicas Estos cocetos está etraídos del libro Matemáticas de achillerato McGrawHill Poliomios: oeracioes co oliomios
Más detalles2. LEYES FINANCIERAS.
TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),
Más detallesMARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009
1 MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1. Nocioes básicas De ició: Sea (; F; P ) u espacio de probabilidad y T 6= ; y sea (F t ) t2t ua ltració e F. Ua familia fx t g t2t de v.a. reales de idas sobre
Más detallesSELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2)
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 0 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A ( 5 putos) Halle la matriz X que verifique la ecuació
Más detallesESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA Autores: Ágel A. Jua (ajuap@uoc.edu), Máimo Sedao (msedaoh@uoc.edu), Alicia Vila (avilag@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Defiició Propiedades
Más detallesANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS COCOS. (Resolución por JMEB.)
ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS OOS. (Resolució por JMEB.) 1. Defiició. El problema cosiste e calcular la catidad de cocos que había iicialmete e u motó que... ierto día se reuiero moos para recoger
Más detallesDISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)
Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico
Más detallesSoluciones problemas del Tema 2
1 Solucioes problemas del Tema 1) a) E(W ) = E(X + Y + Z) = E(X) + E(Y ) + E(Z) = 0; V ar(w ) = V ar(x) + V ar(y ) + V ar(z) + (Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)) = 1 + 1 + 1 + ( 1 + 0 ) 1 4 4 = 3 b)
Más detallesLímite de una función
Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía
Más detallesPRUEBA A ( ) ( ) p z p z 0.4988 1 0.4988 0.4988 1 0.4988 0.4988 1.96,0.4988 + 1.96 = 0.4521, 0.5455 441 441
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD LOGSE CURSO 007-008 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC SS - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder
Más detallesEstimación puntual y por intervalos
0/1/011 Aálisis de datos gestió veteriaria Estimació putual por itervalos Departameto de Producció Aimal Facultad de Veteriaria Uiversidad de Córdoba Córdoba, 30 de Noviembre de 011 Estimació putual por
Más detallesT ema 6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. x 1. x 2 = 1 = 2. x 3 = 3. x 4. Variable aleatoria: definición y tipos:
T ema 6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Variable aleatoria: defiició y tipos: Ua variable aleatoria es ua fució que asiga u úmero real, y sólo uo, a cada uo de los resultados de u eperimeto aleatorio.
Más detallesLímite de una función
Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los
Más detallesCONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS.
GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 8º. PRESTAMOS. 1.- Coceptos básicos de préstamos. CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. Coceptos básicos de prestamos. Préstamo. U préstamo es la operació fiaciera que cosiste e la etrega,
Más detallesUNIDAD 7: ESTADÍSTICA INFERENCIAL
UNIDAD 7: ESTADÍSTICA INFERENCIAL ÍNDICE DE LA UNIDAD 1.- INTRODUCCIÓN.... 1.- VARIABLES ESTADÍSTICAS. PARÁMETROS... 3.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD... 3 3.1.- Distribució Biomial... 4 3..- Distribució
Más detallesMATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito.
MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES JOHN GOODRICK. Para cada sucesió ifiita abajo, determie si coverge o o a u valor fiito. (a) {! } e = (a): No coverge. El úmero e está etre
Más detallesDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010)
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferecial Parcial 3 (27/10/2010) 1. Cosidere la fució f (x) = 3(x 1) 2/3 (x 1) 2 a) Halle el domiio b) Ecuetre los putos críticos,
Más detallesINFERENCIA ESTADÍSTICA. CONTRASTE DE HIPÓTESIS
INFERENCIA ESTADÍSTICA. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 1. El peso medio de ua muestra aleatoria de 100 arajas de ua determiada variedad es de 272 g. Se sabe que la desviació típica poblacioal es de 20 g. A u ivel
Más detalles14 Intervalos de confianza
Solucioario 14 Itervalos de cofiaza ACTIVIDADES INICIALES 14.I. Calcula tal que P z < Z z α α = 0,87. P zα < Z zα = P Z zα P Z < zα = P Z zα 1= 0,87 P Z P Z P Z = 1,87 = 0,935. Buscado e el iterior de
Más detallesLOGARITMOS. Ejercicio 1 Determine los respectivos dominios de existencia de las siguientes funciones: 2
LOGARITMOS Como seguramete el estudiate recordará, e cuarto año apredió a traajar co los aritmos, y allí se eteró de que éstos se defie a partir de la ecesidad de despejar el expoete de ua potecia. Vamos
Más detallesPolinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios
Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua
Más detalles7.2. Métodos para encontrar estimadores
Capítulo 7 Estimació putual 7.1. Itroducció Defiició 7.1.1 U estimador putual es cualquier fució W (X 1,, X ) de la muestra. Es decir, cualquier estadística es ua estimador putual. Se debe teer clara la
Más detallesMEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco
MEDIDAS DE RESUMEN Jorge Galbiati Riesco Las medidas de resume sirve para describir e forma resumida u cojuto de datos que costituye ua muestra tomada de algua població. Podemos distiguir cuatro grupos
Más detalles