Estimación puntual y por Intervalos de Confianza

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1 Capítulo 7 Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza 7.1. Itroducció Cosideremos ua v.a X co distribució F θ co θ descoocido. E este tema vemos cómo dar ua estimació putual para el parámetro θ y cómo costruir u itervalo de cofiaza para el mismo, dos formas segú se cometó de estimar el parámetro. 7.. Estimació putual Sea X ua variable poblacioal co distribució F θ, siedo θ descoocido. El problema de estimació putual cosiste e, seleccioada ua muestra X 1,..., X, ecotrar el estadístico T (X 1,..., X ) que mejor estime el parámetro θ. Ua vez observada o realizada la muestra, co valores x 1,..., x, se obtiee la estimació putual de θ, T(x 1,..., x )=ˆ θ. Vemos a cotiuació dos métodos para obteer la estimació putual de u parámetro: método de los mometos y método de máxima verosimilitud. 107

2 108 Capítulo 7. Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza Métodos de estimació putual Método de los mometos: cosiste e igualar mometos poblacioales a mometos muestrales. Deberemos teer tatas igualdades como parámetros a estimar. Mometo poblacioal de orde r α r = E(X r ) X Mometo muestral de orde r a r = X r i Método de máxima verosimilitud: cosiste e tomar como valor del parámetro aquel que maximice la probabilidad de que ocurra la muestra observada. Si X 1,..., X es ua muestra seleccioada de ua població co distribució F θ odesidad f θ (x), la probabilidad de que ocurra ua realizació x 1,..., x viee dada por: Y L θ (x 1,..., x )= f θ (x i ) A L θ (x 1,..., x ) se le llama fució de verosimilitud.(credibilidad de la muestra observada). Buscamos etoces el valor de θ que maximice la fució de verosimilud, y al valor obteido se le llama estimació por máxima verosimilitud de θ. Nota:silavariableX es discreta, e lugar de f θ (x i ) cosideramos la fució masa de probabilidad p θ (x i ). Ejemplo 7.1: Sea X N(µ, σ), co µ descoocido. Seleccioada ua m.a.s. X 1,..., X, co realizació x 1,..., x, estimamos el parámetro µ por ambos métodos. Segú el método de los mometos: E(X) = X X i = X, yalserµ = E(X) se obtiee que ˆµ = x. Por el método de máxima verosimilitud: L µ (x 1,..., x ) = = Y f µ (x i )= Y 1 πσ e (x i µ) σ,

3 7.3. Estimació por Itervalos de cofiaza 109 y maximizamos e µ tal fució; e este caso resulta más fácil maximizar su logaritmo: l L µ (x 1,..., x )= 1 σ µ l L µ(x 1,..., x )= 1 σ X (x i µ) l( πσ) X (x i µ) = x µ σ =0 ˆµ = x 7.3. Estimació por Itervalos de cofiaza E lugar de dar ua estimació putual para el parámetro θ buscamos ahora u itervalo [θ(x 1,..., x ), θ(x 1,..., x )] que cotega al parámetro co ua alta probabilidad. Esta probabilidad recibe el ombre de ivel de cofiaza del itervalo, se deota por (1 α) ylafija el ivestigador Costrucció de u Itervalo de Cofiaza (I.C.) Sea X F θ, co θ descoocido. Seguimos los siguietes pasos para costruir u I.C. para θ : 1. Seleccioamos ua m.a.s. X 1,..., X.. Buscamos u estadístico que icluya el parámetro a estimar θ y que tega distribució coocida. 3. Fijamos el ivel de cofiaza (1 α). 4. Ecotramos θ (x 1,..., x ) y θ(x 1,..., x ) tal que P µ θ (x 1,..., x ) θ θ(x 1,..., x ) 1 α Diremos etoces que [θ(x 1,..., x ), θ(x 1,...,x )] es u I.C. para θ al (1 α)100 % de cofiaza. Eso sigifica que de cada 100 itervalos que pudiera obteerse (segú distitas muestras que pudiera haber sido seleccioadas al azar), (1 α)100 cotedría el verdadero valor del parámetro θ. Ejemplo 7.: Como ejemplo costruimos u I.C. al (1α)100 % de cofiaza para la media µ de ua ormal co variaza coocida σ 0. Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Uiversidad de Jaé.

4 110 Capítulo 7. Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza E este caso el estadístico es: Z = X µ σ 0 / N(0, 1) Por lo tato, X µ P z 1 α σ 0 / z 1 α =1 α, y despejado se obtiee que µ σ 0 P x z 1 α µ x + σ 0 z 1 α =1 α. El Itervalo para µ al (1 α)100 % de cofiaza es etoces Observacioes: - El itervalo depede de la muestra seleccioada x ± σ 0 z 1 α - La amplitud del itervalo mide la precisió de la estimació. Cocretamete, el error cometido e la estimació de µ por x viee dado por E = µ x y es meor o igual que σ 0 z 1 α co ua probabilidad (1 α). - A mayor tamaño muestral, meor amplitud, y por lo tato mayor precisió e la estimació. Por otro lado, cuato mayor es el ivel de cofiaza, mayor es la amplitud del itervalo. Supogamos que lleva a cabo pruebas de la resistecia a la tesió de ua clase de largueros de alumiio utilizado e la fabricació de alas de aeroplaos. De la experiecia se cosidera ua desviació típica de 1 kg/mm. Ua muestra de 10 largueros proporcioa ua resistecia promedio de 87.6 kg/mm. Vamos a obteer u I.C. al 95 % de cofiaza para la resistecia promedio de esta clase de largueros.. X = Resistecia a la tesió N(µ, 1) σ 0 Sabemos que el I.C. al (1 α)100 % es x ± z 1 α. E este caso, el ivel de cofiaza es del 95 %, por lo que (1 α) =0,95 y α =0,05. El itervalo resulta por lo tato: σ 0 x ± z 1 α = 87,6 ± 1 1,96 =[86,98, 88,] 10

5 7.3. Estimació por Itervalos de cofiaza Itervalos de Cofiaza para medias, variazas y proporcioes - Itervalo de cofiaza para la media de ua ormal Sea X 1,..., X ua m.a.s. de X N(µ, σ). Variaza coocida (σ 0) Variaza descoocida µ µ x ± σ 0 z 1 α x ± S t 1 α,1 - Itervalo de cofiaza para la variaza de ua ormal Sea X 1,..., X ua m.a.s. de X N(µ, σ). Media coocida (µ 0 ) Media descoocida P (x i µ 0 ) σ χ, 1 α ; σ " ( 1)S χ 1 α ;1, P (x i µ 0 ) ( 1)S χ α ;1 χ α ; # - Itervalo de cofiaza para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales e idepedietes Sea X 1,..., X 1 ua m.a.s. de X N(µ 1,σ 1 ) y Y 1,..., Y ua m.a.s. de Y N(µ,σ ), idepedietes. r σ1 Variazas coocidas µ 1 µ x y ± z1 α + σ 1 r Variazas descoocidas pero iguales (σ 1 ) µ 1 µ x y ± t1 α ; 1+ S p co S p = s ( 1 1)S 1 +( 1)S Itervalo de cofiaza para el cociete de variazas de dos poblacioes ormales e idepedietes Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Uiversidad de Jaé.

6 11 Capítulo 7. Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza Sea X 1,..., X 1 ua m.a.s. de X N(µ 1,σ 1 ) y Y 1,..., Y ua m.a.s. de Y N(µ,σ ), idepedietes. Medias coocidas Medias descoocidas σ σ 1 σ σ 1 P (y i µ ) P 1 " S F α (x i µ 1 ) 1 F α ; 1,, ;11,1 S 1 P 1 P (y i µ ), S F 1 α ;11,1 S 1 (x i µ 1 ) 1 F 1 α # ; 1, - Itervalo de cofiaza para ua proporció Sea X 1,..., X ua m.a.s. de X Beroulli(p). p ˆp ± z 1 α s ˆ p(1 ˆp) - Itervalo de cofiaza para la diferecia de proporcioes Sea X 1,..., X 1 ua m.a.s. de X Beroulli(p 1 ) y Y 1,..., Y ua m.a.s. de Y Beroulli(p ). s p 1 p p ˆ 1 p ˆ ± z 1 α ˆ p T (1 p ˆ ˆ T ) p T (1 p ˆ T ) +, 1 siedo ˆ p T = ˆ ˆ 1p p Ejemplo 7.3: El hudimieto de u petrolero e las proximidades de la costa de ua determiada regió ha provocado u gra desastre tato ecoómico como ecológico. Co el fi de aalizar la composició del fuel que desprede el buque, ha sido seleccioadas 17 galletas de chapapote sobre las que medir la cocetració de cic, obteiédose por térmio medio 140 mg/l, co ua desviació típica de 30 mg/l. (a) Obté u itervalo de cofiaza al 95 % para la cocetració media de cic e el fuel que desprede el petrolero. X = Composició de cic N(µ, σ), co µ, σ descoocidas

7 7.3. Estimació por Itervalos de cofiaza 113 El I.C. para µ al 95 % es: S,1 x ± t 1 α = 140 ± 30,1 = [14,575, 155,45] 17 (b) Qué ocurriría al icremetar el tamaño de la muestra?. Razoa la respuesta. Al icremetar el tamaño de la muestra, se reduce el error de estimació de la media S t 1 α,1 y se cosigue por tato mayor precisió. Ejemplo 7.4 : U igeierio de cotrol de la calidad midió el espesor de la pared de 0 botellas de vidrio de litros. La media muestral resultó 4.05 mm y la desviació típica 0.08 mm. Obté u itervalo de cofiaza al 90 % para la variabilidad del espesor de la pared de las botellas. El I.C. para σ al 90 % es: " # ( 1)S ( 1)S χ, 1 α ;1 χ = α ;1 X = Espesor N(µ, σ), co µ, σ descoocidas 4(0,08) 30,15, 4(0,08) =[0,005, 0,015] 10,11 Ejemplo 7.5: Se piesa que la cocetració del igrediete activo de u detergete líquido para ropa está afectado por el tipo de catalizador utilizado e el proceso de fabricació. Por experiecias ateriores se supoe que la desviació estádar de la cocetració activa es de 3 g/l, si importar el tipo de catalizador utilizado. Se toma 10 observacioes co cada catalizador y se obtiee los siguietes datos: Cat Cat (a) Obté u itervalo de cofiaza al 90 % para el cociete de variazas?. Puede supoerse la misma variabilidad e la cocetració co el empleo de ambos catalizadores?. X = Cocetració co catalizador 1 N(µ 1,σ 1 ) Y = Cocetració co catalizador N(µ,σ ), so idepedietes y todos los parámetros se descooce. El I.C. para σ σ 1 al 90 % es: Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Uiversidad de Jaé.

8 114 Capítulo 7. Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza S F 0,05;9,9 S1, S F 0,95;9,9 4,946(0,314) S1 =, 4,946(3,18) =[0,116, 1,180], 13,343 13,343 Al estar el 1 coteido e el itervalo, las variazas podría cosiderarse iguales. (b) Obté u itervalo de cofiaza al 95 % para la diferecia e la cocetració activa bajo la presecia de ambos catalizadores. Depede la cocetració activa del catalizador?. El I.C. al 95 % para µ 1 µ es: r 1 x y ± t1 α ;1+ S p = " r # 1 (65, 68,4) ±,101(3,04) = [6,061, 0,379] La cocetració del igrediete activo depede por lo tato del catalizador; co el segudo catalizador se cosigue mayor cocetració que co el primero. Ejemplo 7.6: Para poder cotrolar la fabricació de u producto se toma 85 muestras de u determiado compoete y se cocluye que 10 de ellos o cumple las especificacioes. (a) Calcula u itervalo de cofiaza al 95 % para la proporció de defectuosos. X = N o de defectuosos B(85,p) El I.C. para p al 95 % es: s ˆ p(1 ˆp) " r # ˆp ± z 0,975 0,118(1 0,118) = 0,118 ± 1,96 =[0,05, 0,186] 85 (b) Cuál debería ser el tamaño de la muestra si se quiere que el error cometido al estimar la proporció sea meor de 0.05 co ua probabilidad 0.95?. Puesto que ˆp es el estimador putual de p, puede defiirse el error cometido s al estimar p por ˆp como E = p ˆp ˆ p(1 ˆp). Si el I.C. al (1-α)100 % para p es ˆp ± z 1 α, eso sigificaqueelerrordeestimacióe es meor o igual que z 1 α s ˆ p(1 ˆp) co ua probabilidad de (1 α). E cosecuecia, el tamaño de muestra para obteer u error e la estimació iferior o igual a E co ua probabilidad (1 α) debe ser: = ³ z1 α ˆp(1 ˆp) E

9 7.4. Ejercicios 115 E este caso: = µ 1,96 0,118(1 0,118) = 160 0, Ejercicios 1. El tiempo de fallo e horas de u compoete electróico (e horas) puede modelizarse segú ua distribució Expoecial co fució de desidad f(x) =λ exp{λx},x 0 a. Ecuetra el estimador de máxima verosimilitud de λ, basado e ua muestra aleatoria de tamaño. b. Ecuetra el estimador de λ haciedo uso del método de los mometos. c. Estima el tiempo medio de las compoetes e base a la iformació que proporcioa la siguiete muestra: 300,305,39,35,310,314,30,356,35,309,351,305,3,349. El úmero de accidetes de tráfico diarios e ua localidad puede ser modelizado por ua distribució de Poisso de parámetro λ. Ua muestra de 45 días proporcioa u o medio de accietes por día de co ua desviació estádar de 1.4. Obté ua estimació putual para λ. 3. E la siguiete tabla se recoge 15 medidas del tiempo (e segudos) de aceleració de u vehículo Supoiedo que el tiempo de aceleració sigue ua distribució ormal, a) Obté u itervalo de cofiaza para el tiempo medio de aceleració. b) Calcula el tamaño de muestra ecesario para que el error de estimació de la media sea meor que 0.75 co probabilidad c) Se puede afirmar que la aceleració media es de 10 segudos?. Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Uiversidad de Jaé.

10 116 Capítulo 7. Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza 4. Si realizamos ua estimació de u parámetro mediate u itervalo de cofiaza al 90 % y obteemos u itervalo de muy poca amplitud, qué se puede cocluir?. Idica razoadamete cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas o falsas: a) Va a ser muy difícil la obteció de ua estimació fiable. b) El rago de valores etre los que está el parámetro, al 90 %, es muy pequeño. c) De 90 itervalos que hiciéramos co muestras al azar, 90 cotedría el verdadero valor del parámetro. d) Para poder obteer resultados satisfactorios, el ivel de cofiaza ha de ser superior al 90 %. e) Si el ivel de cofiaza hubiera sido del 95 % la amplitud habría sido todavía meor y por lo tato mayor la precisió e la estimació. 5. Se desea comparar la variabilidad de la resistecia a la compresió de dos cemetos A y B. Para ello se fabrica 51 bloques co cada tipo de cemeto a los que se mide la resistecia a la compresió. Se obtiee los siguietes datos: SA = 10,S B =96. Supoiedo que ambas poblacioes so ormales e idepedietes, obté u itervalo de cofiaza al 90 % para el cociete de variazas. Puede cosiderarse sigificativamete distitas?. 6. Se tiee dos métodos para medir la resistecia de u cable. Se seleccioa aleatoriamete 9 cables, a los que se aplica el primer método, y otros 9 cables a los que se aplica el segudo método. Los datos so: Mét Mét Obtéuitervalodecofiaza al 95 % para la diferecia etre los métodos. Puede cosiderarse diferetes?. 7. U igeiero químico está iteresado e comparar el redimieto de u proceso químico bajo dos temperaturas distitas. La realizació de 5 esayos cosecutivos a cada ua de las temperaturas proporcioa los siguietes redimietos ( %):

11 7.4. Ejercicios 117 Temperatura Temperatura Obté u itervalo de cofiaza al 99 % para la diferecia de redimietos promedios. Puede supoerse los redmietos medios iguales?. Supoer ambas poblacioes ormales e idepedietes. 8. Los tiempos de fallo e horas de ua muestra aleatoria de 10 compoetes electróicos de ua determiada marca so: Si supoemos que estos tiempos procede de ua distribució expoecial, a. Estima el parámetro de tal distribució. b. Calcula el tiempo medio de fallo de ua compoete de este tipo. c. Si ua compoete o ha fallado pasadas 500 horas desde su puesta iicial e fucioamieto, cuál es la probabilidad de que dure por lo meos otras 00 horas más?. d. Si tiee u período de garatía de 1000 horas, calcula la probabilidad de que ua compoete falle estado e período de garatía. De u lote de 30 compoetes, cuátas se espera que sea devueltas por fallar estado e garatía?. 9. Ua cetral de productos lácteos recibe diariamete la leche de dos grajas A y B. Co el fi de estudiar la calidad de los productos recibidos se extrae dos muestras, ua de cada graja, y se aaliza el coteido de materia grasa de cada producto. Se obtiee los siguietes resultados: Delia Motoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Uiversidad de Jaé.

12 118 Capítulo 7. Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza Graja A Graja B a.obtéuitervalodecofiaza al 95 % para el cociete de variazas. Podría cosiderarse las variazas iguales?. b.obtéuitervalodecofiaza al 95 % para la diferecia e el coteido graso promedio de los productos de ambas grajas. c. Si la cetral rechaza aquellos productos co u coteido graso superior a 0.3, obté u itervalo de cofiaza al 90 % para la diferecia de proporcioes de productos que habría que rechazar procedetes de ambas grajas.