SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices A y B (-1 1). 0 1 (1 5 putos) Calcule el valor del parámetro a para que se verifique (B A) t A B t. (1 5 putos) Para a, resuelva la ecuació matricial X A B. 1 a Sea las matrices A y B (-1 1). 0 1 (1 5 putos) Calcule el valor del parámetro a para que se verifique (B A) t A B t. 1 a De B A (-1 1) 0 1 (-1 -a+1), teemos -1 (B A)t -a+1. 1 a A B t 0 1 (-1 1 a 1)t a-1 1. Igualado miembro a miembro ambas expresioes teemos: -1 a-1, de dode a 0. -a+1 1, de dode a 0, por tato a 0 para que se verifique (B A) t A B t. Para a, resuelva la ecuació matricial X A B. 1 Para a, teemos A 0 1. Como det(a) A , existe la matriz iversa A -1 (1/ A ) Adj(A t ). 1 0 A t 1 ; 1 - Adj(At ) 0 1, luego A (1/ A ) Adj(A t ) (1/1) Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (A I), a la expresió (I B), dode B A F1 - F (C I) por tato A Multiplicado la expresió X A B por la derecha por la matriz iversa A -1, teemos X A A -1 B A -1 X I B A -1 X B A La matriz pedida es X B A -1 (-1 1) (-1 3). 0 1 EJERCICIO (A) Sea la fució f(x) x 3-3x + 3x. (1 puto) Estudie la mootoía de f y halle los extremos relativos que posea. (0 75 putos) Estudie su curvatura y calcule su puto de iflexió. c) (0 75 putos) Represete la gráfica de la fució f. Sea la fució f(x) x 3-3x + 3x. Estudie la mootoía de f y halle los extremos relativos que posea. Mootoía. Estudio de la primera derivada f (x). f(x) x 3-3x + 3x; f (x) 3x - x + 3. De f (x) 0, teemos 3x - x x - x + 1 (x - 1), de dode x 1 (doble) será el posible extremo relativo de f. 1

2 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Como f (0) 3(0) (0) > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (-,1). Como f () 3() () > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (1,+ ). Por tato f es estrictamete creciete e R y o tiee i máximos i míimos relativos Estudie su curvatura y calcule su puto de iflexió. Curvatura. Estudio de la seguda derivada f (x). f(x) x 3-3x + 3x; f (x) 3x - x + 3; f (x) x -. De f (x) 0, teemos x - 0, de dode x 1, que será el posible puto de iflexió. De f (0) (0) - - < 0, teemos que f(x) es cócava ( ) e (-,1). De f () () - > 0, teemos que g(x) es covexa ( ) e (1,+ ). Por defiició e x 1 hay u puto de iflexió, que vale f(1) (1) 3 3(1) + 3(1) 1. c) Represete la gráfica de la fució f. Teiedo e cueta el apartado ( y (, calculamos los putos de corte de f co los ejes, y vemos su comportamieto e. Cortes: Para x 0, puto (0,f(0)) (0,0). De f(x) 0, x 3-3x + 3x 0 x(x - 3x + 3), de dode x 0 y x - 3x x -3 ± - 3, que o tiee solucioes reales, luego el úico puto de corte es (0,0). Le damos u par de valores a izquierda y derecha del 0. Para x -1, f(1) (-1) 3 3(-1) + 3(-1) -7, puto (-1,-7) Para x, f() () 3 3() + 3(), puto (,) Como x->- ( x 3-3x + 3x) x->- ( x 3 ) (- ) 3 -, e -, f vale - Como x->+ ( x 3-3x + 3x) x->+ ( x 3 ) (+ ) 3 +, e +, f vale + U esbozo de la gráfica es: ± -(-3) 3-4(3) EJERCICIO 3 (A) El 5% de la població española adulta o fuma, el 15% fuma ocasioalmete y el resto fuma habitualmete. Elegidos al azar dos adultos españoles, calcule las probabilidades de los siguietes sucesos: (1 5 putos) Los dos sea o fumadores. (1 5 putos) Uo de ellos sea o fumador y el otro sea fumador ocasioal. El 5% de la població española adulta o fuma, el 15% fuma ocasioalmete y el resto fuma habitualmete. Elegidos al azar dos adultos españoles, calcule las probabilidades de los siguietes sucesos: Los dos sea o fumadores.

3 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Llamemos F, Fo y F C, a los sucesos siguietes, fuma, "fuma ocasioalmete" y "o fuma", respectivamete. Vemos que los sucesos so idepedietes. Me pide p(dos o fumadores) p(f C F C ) p(f C ) p(f C ) Uo de ellos sea o fumador y el otro sea fumador ocasioal. Me pide p(o fumador y fumador ocasioal) p(f C Fo) p(f C ) p(fo) D. Javier García Gómez me ha idicado que lo correcto es: p(el primero sea o fumador) p(el segudo fumador ocasioal/el primero sea o fumador) + p(el primero sea fumador ocasioal) p(el segudo sea o fumador/el primero sea fumador ocasioal) EJERCICIO 4 (A) Para estimar la proporció de balaces cotables icorrectos de u baco, se seleccioa aleatoriamete 00 balaces, y se ecuetra que 1 de ellos so icorrectos. (1 5 putos) Obtega u itervalo de cofiaza, al 5%, para la proporció de balaces icorrectos. (1 puto) Cuátos balaces se deberá seleccioar para que, co u ivel de cofiaza del %, el error de la estimació o sea superior a 0 0? Sabemos que para la proporció poblacioal p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p ɵ, sigue ua N( p ɵ, p(1 ˆ p) ˆ ), y geeralmete escribimos ɵ p N( ɵ p, p(1 ˆ p) ˆ ) o ɵ p N( ɵ p, p(1 ˆ p) ˆ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció es: p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ I.C.(p) p ˆ - z ˆ 1 α /.,p + z 1 α /. (a, dode z1-α/ y zα/ - z1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z1-α/) 1 - α/ Tambié sabemos que la proporció es ɵ p (a + /, el error máximo de la estimació es E p(1 ˆ p) ˆ z 1 α /., p(1 ˆ p) ˆ para el itervalo de la proporció. Pero la amplitud del itervalo es b a z 1 α /. E, de dode (z ˆ ˆ ˆ ˆ 1- α/ ) p q (z 1- α/ ) p q E (b /, por tato el tamaño míimo de la muestra es. E (b Para estimar la proporció de balaces cotables icorrectos de u baco, se seleccioa aleatoriamete 00 balaces, y se ecuetra que 1 de ellos so icorrectos. Obtega u itervalo de cofiaza, al 5%, para la proporció de balaces icorrectos. Datos del problema: 00, ɵ p 1 00, ˆq 1 - pɵ , ivel de cofiaza 5% α, de dode α 0 05, es decir α/ 0 05/ De p(z z1-α/) 1 - α/ Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 75 viee, y que correspode a z1-α/ 1, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 3

4 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ I.C.(p) p ˆ - z ˆ 1 α /.,p + z 1 α /. - 1' , + 1' (0 053; ) Cuátos balaces se deberá seleccioar para que, co u ivel de cofiaza del %, el error de la estimació o sea superior a 0 0? Datos del problema: ɵ p 1 181, ˆq, error E 0 0, ivel de cofiaza % α, de dode α 0 01, es decir α/ 0 01/ De p(z z1-α/) 1 - α/ Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 5 o viee, las más próximas so 0 4 y 0 51 que correspode a 57 y 58, por tato z1-α/ es la media es decir z1-α/ ( )/ ˆ ˆ De E p(1 p) ˆ ˆ (' 575) (z 1- α/ ) p q z 1 α /., teemos , por tato el tamaño E (0'0) míimo de balaces que hay que seleccioar es 14. OPCION B EJERCICIO 1 (B) (1 puto) Represete la regió del plao determiada por las siguietes iecuacioes: x + 5y 15; x + y ; 5x 7y 4; x 0. (1 puto) Halle los vértices de la regió aterior. (0 5 putos) E esta regió, halle el valor míimo de la fució F(x,y) -x - y + 3 y dode lo alcaza. y c) Dadas las iecuacioes: x + 5y 15; x + y ; 5x 7y 4; x 0, represete el recito que ita y calcule sus vértices. Halle los vértices de la regió aterior. E esta regió, halle el valor míimo de la fució F(x,y) -x - -y + 3 y dode lo alcaza. Las desigualdades x + 5y 15; x + y ; 5x 7y 4; x 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, x + 5y 15; x + y ; 5x 7y 4; x 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y -x/5 + 3; y -x + ; y 5x/7 - ; x 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito deitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x 0 e y 5x/7-, teemos y - y el vértice es A(0,-). De y 5x/7- e y -x +, teemos 5x/7- -x + 5x-4-7x+4 1x 84, es decir x 7 e y -1, y el vértice es B(-1,7). De y -x+ e y -x/5+3, teemos -x+ -x/5+3-5x+30 -x x, de dode x 5 e y 1, y el vértice es C(5,1). 4

5 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua De x 0 e y -x/5+3, teemos y 3, y el vértice es D(0,3). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo itado por los vértices del recito so: A(0,-), B(-1,7), C(5,1) y D(0,3). Veamos el míimo de fució F(x,y) -x - y + 3 e el recito aterior, así como el puto dode lo alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,-), B(-1,7), C(5,1) y D(0,3). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,) -(0) - (-) ; F(-1,7) -(-1) - (7) + 3 -; F(5,1) -(5) - (1) + 3 -; F(0,3) -(0) - (-3) Teiedo e cueta lo aterior vemos que el míimo absoluto de la fució f e la regió es - (el meor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices B(-1,7) y C(5,1) por tato se alcaza e todo el segmeto BC. EJERCICIO (B) (x + 1) si x 1 Sea la fució f(x) 4. si x > 1 x (1 5 putos) Estudie la cotiuidad y derivabilidad de la fució e su domiio (0 5 putos) Determie sus asítotas, e caso de que exista. c) (0 5 putos) Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x. (x + 1) si x 1 Sea la fució f(x) 4. si x > 1 x Estudie la cotiuidad y derivabilidad de la fució e su domiio La fució (x + 1) es ua fució poliómica, por tato cotiua y derivable e todo R, e particular e el itervalo (-,1). La fució 4 x es ua fució racioal, por tato cotiua y derivable e todo R {0} (úmero que aula el deomiador), e particular e el itervalo (1,+ ). Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x 1. f(x) es cotiua e x 1 si f(1) f(1) f(x) f(x) f(x) 4 x 4 1 (x + 1) si x 1 4 x f(x) es derivable e x 1 si f (x) (x + 1) () 4; f(x) f(x). 4, como so iguales f es cotiua e x 1, es decir f es cotiua e R. ; teemos f (x) si x > 1 f (x) (x + 1) () 4; (x + 1) si x < 1-4 si x > 1 x f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. - 4 f (x) es derivable e x 1, luego f es derivable e R {1} Determie sus asítotas, e caso de que exista. x - 0 (1) -4, como so iguales teemos que f o La rama (x + 1) es ua fució poliómica, que sabemos o tiee asítotas. La rama de 4/x es u trozo hipérbola, que tiee ua asítota vertical e x 0 (úmero que aula el 5

6 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua deomiador, pero o está e su domiio) porque y 0 e +, porque x + 0/x 0/0 - -, y ua asítota horizotal e x 0 4/x 4/(+ ) 0 +, y f está por ecima de la asítota. Auque o lo pide u esbozo de la gráfica de f es: c) Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x. El puto x está e la rama f(x) 4/x. La recta tagete e x es y f() f () (x ). De f(x) 4/x, teemos f() 4/. De f (x) -4/x, teemos f () -4/(). -1. A recta tagete pedida es y (-1) (x ), de dode y -x + 4. EJERCICIO 3 (B) Se sabe que el 80% de los visitates de u determiado museo so adaluces y que el 55% so adaluces y adultos. Además, el 17% de los visitates o so adaluces y adultos. Se elige, al azar, u visitate del museo: (1 5 putos) Cuál es la probabilidad de que o sea adulto? (1 puto) Si es adulto, cuál es la probabilidad de que sea adaluz? Se sabe que el 80% de los visitates de u determiado museo so adaluces y que el 55% so adaluces y adultos. Además, el 17% de los visitates o so adaluces y adultos. Se elige, al azar, u visitate del museo: Cuál es la probabilidad de que o sea adulto? Llamamos A y B a los sucesos ser adaluz y ser adulto. Del problema teemos: El 80% de los visitates de u determiado museo so adaluces p(a) 80% 0 8., El 55% so adaluces y adultos p(a B) 55% El 17% de los visitates o so adaluces y adultos p(a C B) 17% ( ) Sabemos que p(a B) p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) p A B ; p(b) 1 - p(b C ); p(b) p(a B C ) p(a) - p(a B). Me pide p(o sea adulto) p(b C ) De p(a B C ) p(a) - p(a B), teemos 0 17 p(b A C ) p(b) - p(a B) p(b) 0 55, por tato p(b) , por tato p(b C ) 1 - p(b) Si es adulto, cuál es la probabilidad de que sea adaluz? Me pide p(si es adulto, sea adaluz) p(a/b) ( ) Luego p(a/b) p A B 0 55/ p(b) EJERCICIO 4 (B) (1 5 putos) Determie todas las muestras de tamaño que, mediate u muestreo aleatorio simple, se puede extraer del cojuto {,,1} y calcule la variaza de las medias muestrales.

7 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua (1 puto) Ua empresa fabrica cuatro productos A, B, C y D, de los que elabora diariamete 40, 15, 5 y 10 uidades respectivamete. Si u día se quiere elaborar u muestra de 40 uidades co los productos fabricados, por muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, qué úmero de uidades de cada producto se debe elegir? Determie todas las muestras de tamaño que, mediate u muestreo aleatorio simple, se puede extraer del cojuto {,,1} y calcule la variaza de las medias muestrales. Supogo que el muestreo es co reemplazamieto. Hay muestra co reemplazamieto de tamaño. Los resultados puede verse e la tabla siguiete: MUESTRAS Elemetos Media de la muestra x i La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue. xi i i xi i (xi) N La media de la distribució muestral de medias (media de medias) es: x k i 1 x N i i La desviació variaza de la distribució muestral de medias es: σ X (x ) i i 75 N - x - () 3. Ua empresa fabrica cuatro productos A, B, C y D, de los que elabora diariamete 40, 15, 5 y 10 uidades respectivamete. Si u día se quiere elaborar u muestra de 40 uidades co los productos fabricados, por muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, qué úmero de uidades de cada producto se debe elegir? Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N1, N,..., Nk, y si 1,,..., k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra 1 +, k y se calcula eligiedo los úmeros 1,,..., k proporcioales a los tamaños de los estratos N1, N,..., Nk, es decir 1... k N1 N Nk N 1 E uestro caso N 1 De De , teemos , teemos , luego hay 8 uidades de A. 8, luego hay 3 uidades de B. 7

8 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua 3 De De , teemos , teemos , luego hay 5 uidades de C. 4, luego hay 4 uidades de D. 8