IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua fábrica de muebles dispoe de 600 kg de madera para fabricar librerías de 1 y de 3 estates. Se sabe que so ecesarios 4 kg de madera para fabricar ua librería de 1 estate, siedo su precio de veta 20 euros; para fabricar ua librería de 3 estates se ecesita 8 kg de madera y el precio de veta de ésta es 35 euros. Calcule el úmero de librerías de cada tipo que se debe fabricar para obteer el máximo igreso, sabiedo que, por falta de otros materiales, o se puede fabricar más de 120 librerías de 1 estate, i tampoco más de 70 de 3 estates. Solució x = Número de librerías de 1 estates. y = Número de librerías de 3 estates. Fució Objetivo F(x,y) = 20x + 35y. (1 estate precio de veta 20 y 3 estates precio de veta 35 ). Restriccioes: Total 600 kg, 4 kg para librería de 1 estate y 8 kg para la de 3 estates 4x + 8y 600. No se puede fabricar más de 120 librerías 1 estate x 120. No se puede fabricar más de 70 librerías 3 estates. y 70. Se fabrica algua librería de 1 estate y de 3 estates. x 0, y 0. Las desigualdades 4x + 8y 600; x 120; y 70; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya sus gráficas so rectas, 4x + 8y = 600; x = 120; y = 70; x = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x + 75; x = 120; y = 70; x = 0; y = 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito covexo itado por las iecuacioes, que será la regió factible; e el cual estará los bordes del recito deitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito covexo, resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0, teemos el puto de corte es A(0,0) De x = 120 e y = 0, teemos el puto de corte es B(120, 0) De x = 120 e y = -x + 75, teemos y = 15, y el puto de corte es C(120,15) De y = 70 e y = -x + 75, teemos 70 = -x = -x + 150, luego x = 10, y el puto de corte es D(10,70) De x = 0 e y = 70, teemos el puto de corte es E(0,70) Vemos que el polígoo tiee por vértices los putos: A(0,0), B(120, 0), C(120,15), D(10,70) y E(0,70). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = 20x + 35y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(120, 0), C(120,15), D(10,70) y E(0,70). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 20(0) + 35(0) = 0; F(120,0) = 20(120) + 35(0) = 2400; F(120,15) = 20(120) + 35(15) = 2925; F(10,70) = 20(10) + 35(70) = 2650; F(0, 0) = 20(0) + 35(70) = 2450; germa.jss@gmail.com 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 2925 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(120,15), es decir el máximo igreso es de 2925 y se alcaza fabricado 120 librerías de 1 estate y 15 librerías de 3 estates. EJERCICIO 2_A 5 si x 2 2 Sea la fució f(x) = x - 6x + 10 si 2 < x < 5 4x - 15 si x 5 (1 5 putos) Represétela gráficamete. (1 5 putos) Estudie su cotiuidad y derivabilidad. Solució 5 si x 2 2 Sea la fució f(x) = x - 6x + 10 si 2 < x < 5 4x - 15 si x 5 Represétela gráficamete. La gráfica de 5 es ua recta paralela al eje de abscisas OX, pero sólo la dibujamos para x 2, es decir ua semirrecta. La gráfica de x 2-6x + 10 es ua parábola co las ramas hacia arriba (el º que multiplica a x 2 es positivo), co vértice V de abscisa la solució de f (x) = 0 = 2x 6, de dode x = 3 y V(3,f(3)) = (3,1), pero sólo la dibujamos e 2 < x < 5, es decir etre (2 +,2) y (5 -,5). La gráfica de 4x - 15 es ua recta que o pasa por el orige, pero sólo la dibujamos a partir de x 5, es decir ua semirrecta. E x = 5 vale 5. Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica de f es: Estudie su cotiuidad y derivabilidad. Sabemos que si ua fució es derivables es cotiua, pero si o es cotiua tampoco es derivable. Observado su gráfica vemos que o es cotiua e x = 2, por tato tampoco es derivable e x = 2. 5 es cotiua y derivable e R, e particular e x < 2. x 2-6x + 10 es cotiua y derivable e R, e particular e 2 < x < 5. 4x - 15 es cotiua y derivable e R, e particular e x > 5. Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x = 5. f(x) es cotiua e x = 5 si f(5) = f(5) = + f(x) = f(x) = f(x) = f(x). x 5+ (x 2-6x + 10) = (5) 2-6(5) + 10 = 5; + (4x - 15 ) = 4(5) 15 = 5, por tato f(x) es cotiua e x = 5. Recapitulado f es cotiua e R {2}. germa.jss@gmail.com 2

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua De f(x) = 5 si x 2 2 x - 6x + 10 si 2 < x < 5 4x - 15 si x 5 0 si x < 2, teemos f (x) = 2x - 6 si 2 < x < 5 4 si x > 5 f(x) es derivable e x = 5 si f (x) = x 5 f (x) = (2x - 6) = 2(5) 6 = 4; f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x 5+ f (x) = (4) = 4. Como los resultados coicide, f(x) es + x si x < 2 derivable e x = 5. Luego f (x) = 2x - 6 si 2 < x < 5 4 si x 5 Recapitulado f es derivable e R {2}. EJERCICIO 3_A Parte I E u colectivo de persoas, el 80% tiee más de 35 años. De los mayores de 35 años, el 40% so mujeres. De los que o ha superado los 35 años, el 45% so hombres. Se elige ua persoa, al azar, de ese colectivo. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que sea mujer? (1 puto) Cuál es la probabilidad de que o haya superado los 35 años sabiedo que se ha elegido u hombre? Solució E u colectivo de persoas, el 80% tiee más de 35 años. De los mayores de 35 años, el 40% so mujeres. De los que o ha superado los 35 años, el 45% so hombres. Se elige ua persoa, al azar, de ese colectivo. Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Llamemos M, H, +35 y -35, a los sucesos siguietes, ser mujer, ser hombre, "mayor de 35", y "o ha superado los 35 años", respectivamete. Datos del problema p(+35) = 80% = 0 8; p(m/+35) = 40% = 0 4; p(h/-35) = 045% = Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). Usado el Teorema de la Probabilidad total p(mujer) = p(m) = p(+35).p(m/+35) + p(-35).p(m/-35) = = 0 43 Cuál es la probabilidad de que o haya superado los 35 años sabiedo que se ha elegido u hombre? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p(-35 H) p(-35) p(h/-35) p(-35/h) = = = (0 2) (0 45)/(1-0 43) = 3/ p(h) 1 - p(m) EJERCICIO 3_A Parte II Se ha medido la talla de 100 persoas elegidas al azar, mediate muestreo aleatorio simple, de etre los estudiates varoes de bachillerato de ua gra ciudad, obteiédose ua talla media de 1 75 m. Se sabe que la desviació típica de la població es 0 2 m. germa.jss@gmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua (1 puto) Halle u itervalo de cofiaza, al 90%, para la media poblacioal de la talla de los estudiates. (1 puto) Co qué ivel de cofiaza se ha costruido el itervalo (1 73, 1 77) para la media poblacioal? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α Tambié sabemos que la media es x = (a +, el error máximo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α = 2 E, de dode E = (b, z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. Se ha medido la talla de 100 persoas elegidas al azar, mediate muestreo aleatorio simple, de etre los estudiates varoes de bachillerato de ua gra ciudad, obteiédose ua talla media de 1 75 m. Se sabe que la desviació típica de la població es 0 2 m. Halle u itervalo de cofiaza, al 90%, para la media poblacioal de la talla de los estudiates. Datos del problema: = 0 2, = 100, x = 1 75, ivel de cofiaza = 90% = 0 90 = 1 - α, de dode α = = 0 10, es decir α = 0 10 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 95 o viee, las más próximas so y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato z 1-α es la media es decir z 1-α = ( ) = 1 645, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = 0'2 0'2 1'75-1'645,1'75 + 1'645 = (1 7171, ) Co qué ivel de cofiaza se ha costruido el itervalo (1 73, 1 77) para la media poblacioal? Datos del problema: Itervalo = (a, = (1 73,1 77), = 0 2, = '2 De la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α, teemos que ( ) = 2 z1 α, es decir 100 z 1-α = /0 4 = 1 y mirado e las tablas vemos que p(z 1 00) = 1 - α = , por lo tato teemos que α = ( ) 2 = , luego el ivel de cofiaza pedido es = 1 - α = = = = 68 26%. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B Sea la matriz A = 0 m m (1 5 putos) Determie para qué valores del parámetro m existe A -1. germa.jss@gmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua (1 5 putos) Calcule A -1 para m = 2. Solució Sea la matriz A = 0 m m Determie para qué valores del parámetro m existe A La matriz A = 0 m -6 tiee iversa A -1 si su determiate det(a) = A es distito de cero m C 3+C Adutos Como det(a) = A = 0 m -6 = 0 m -6 primera = 1 [m (1-m) (-6) 1] = -m 2 + m m m fila De A = 0, teemos m 1± ± 5 - m - 6 = 0, es decir m = =, luego m = 3 y m = -2, por tato A 0 si m 3 y m -2, es decir existe A -1 si m 3 y m -2. Calcule A -1 para m = E uestro caso A = La fórmula de A -1 es A -1 = 1/( A ) Adj(A t ) C 3+C Adutos A = det(a) = = primera = 1 (-2+6) = 4 0, luego existe A -1 ; fila /4 1 A t = 0 2 1, Adj(A t ) = , por tato A -1 = (1/4) = -3-1/ /4 1 EJERCICIO 2_B El beeficio obteido por la producció y veta de x kilogramos de u artículo viee dado por la fució: B(x) = -0 01x x (1 puto) Represete gráficamete esta fució. (1 puto) Determie el úmero de kilogramos que hay que producir y veder para que el beeficio sea máximo. c) (1 puto) Determie cuátos kilogramos se debe producir y veder, como máximo, para que la empresa o tega pérdidas. Solució El beeficio obteido por la producció y veta de x kilogramos de u artículo viee dado por la fució: B(x) = -0 01x x Represete gráficamete esta fució. La gráfica de B(x) = -0 01x x - 180, es ua parábola que tiee las ramas hacia abajo ( ), porque el º que multiplica a x 2 es egativo; abscisa de su vértice V e B (x) = 0 = x x = 180, es decir su vértice es V(180, f(180)) = V(180,144). Sus cortes co los ejes so: Para x = 0, puto (0,-180). Para B(x) = 0 = -0 01x x 180 x 360 ± ± x x = =, de dode x = 60 y x = 300 putos (60,0) y (300,0). Me ha dicho que la dibuje e [0,45] U esbozo del trozo de parábola es: germa.jss@gmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Determie el úmero de kilogramos que hay que producir y veder para que el beeficio sea máximo. El beeficio es máximo e el vértice V(180,144) es decir el máximo beeficio es 144 y se obtiee vediedo 180 kg del artículo. c) Determie cuátos kilogramos se debe producir y veder, como máximo, para que la empresa o tega pérdidas. La empresa o tiee pérdidas si la gráfica de la parábola se ecuetra por ecima del eje de abscisas es decir etre los valores x = 60 y x = 300, como me dice el máximo valor, la empresa o tiee pérdidas si produce como máximo 300 kg del artículo. EJERCICIO 3_B Parte I De ua bolsa que cotiee 4 moedas de 2 euros, 5 de 1 euro y 3 de 0 20 euros, se extrae dos moedas, al azar, sucesivamete y si devolverlas a la bolsa. (1 5 putos) Calcule las probabilidades de los siguietes sucesos: A = la suma de las dos moedas es iferior a 2 20 euros. B = al meos ua de las dos moedas es de 0 20 euros. (0 5 putos) Razoe si esos dos sucesos so idepedietes. Solució De ua bolsa que cotiee 4 moedas de 2 euros, 5 de 1 euro y 3 de 0 20 euros, se extrae dos moedas, al azar, sucesivamete y si devolverlas a la bolsa. Calcule las probabilidades de los siguietes sucesos: A = la suma de las dos moedas es iferior a 2 20 euros. B = al meos ua de las dos moedas es de 0 20 euros. Recordamos que extraer dos moedas es lo mismo que extraer primero ua moeda y después la otra. Llamemos 2 1,, 1 1, 1 2, y 0, a los sucesos siguietes, sacar 2 e la 1ª extracció, sacar 2 e la 2ª extracció, "sacar 1 e la 1ª extracció", "sacar 1 e la 2ª extracció", "sacar 0 2 e la 1ª extracció" y "sacar 0 2 e la 2ª extracció", respectivamete. Datos del problema p(2 1 ) = 4/12; p( 1 ) = 3/11; p( /otro caso) = 4/11, p(1 1 ) = 5/12; p(1 2 /1 1 ) = 4/11, p(1 2 /otro caso) = 5/11; p(0 2) = 3/12, p(0 /0 2 1 ) = 2/11; p(0 /otro caso) = 3/11. A = la suma de las dos moedas es iferior a 2 20 euros, esto se puede hacer o extrayedo uca moedas de 2 luego los casos so A = { , , 1 1-0, }, luego: p(a) = p( ) + p( ) + p(1 1-0 ) + p( ) = = p(1 1 ) p(1 2 /1 1 ) + p(0 2) p(0 /0 2 1 ) + p(1 1 ) p(0 /otro caso) + p(0 2 1 ) p(1 2 /otro caso) = = (5/12) (4/11) + (3/12) (2/11) + (5/12) (3/11) + (3/12) (5/11) = 14/ A = al meos ua de las dos moedas es de 0 20 euros, luego los casos so B = { , , ,, 1 1-0, }, luego: p(b) = p( ) + p( ) + p( ) + p(1 1-0 ) + p(2 1-0 ) = = p(0 2 1 ) p(1 2 /otro caso) + p(0 2) p(0 /0 2 1 ) + p(0 2 1 ) p( /otro caso) + p(1 1 ) p(0 /otro caso) + + p(2 1 ) p(0 /otro caso) = (3/12) (5/11) + (3/12) (2/11) + (3/12) (4/11) + (5/12) (3/11) + (4/12) (3/11) = = 5/ Razoe si esos dos sucesos so idepedietes. germa.jss@gmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b) A = { , , 1 1-0, } B = { , , , 1 1-0, } A B = { , 1 1-0, } Luego p(a B) = p( ) + p(1 1-0 ) + p( ) = (3/12) (2/11) + (5/12) (3/11) + (3/12) (5/11) = 3/11. Como p(a B) = 3/11 p(a) p(b) = (14/33) (5/11), los sucesos A y B o so idepedietes. EJERCICIO 3_B Parte II (2 putos) El peso de los peces adultos que se cría e ua piscifactoría se distribuye segú ua ley Normal co desviació típica 9 g. Los pesos, e gramos, de ua muestra aleatoria de 9 peces adultos de esa piscifactoría so: 310, 311, 309, 295, 280, 294, 303, 305, 293. Determie u itervalo de cofiaza, al 95%, para el peso medio de los peces adultos de esa piscifactoría. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α Tambié sabemos que la media es x = (a +, el error máximo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α = 2 E, de dode E = (b, z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. El peso de los peces adultos que se cría e ua piscifactoría se distribuye segú ua ley Normal co desviació típica 9 g. Los pesos, e gramos, de ua muestra aleatoria de 9 peces adultos de esa piscifactoría so: 310, 311, 309, 295, 280, 294, 303, 305, 293. Determie u itervalo de cofiaza, al 95%, para el peso medio de los peces adultos de esa piscifactoría. Datos del problema: = 9, = 9, x = ( )/9 = 300, ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = = 1 - α, de dode α = 0 05, es decir α = 0 05 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z 1-α = 1 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = '96,300-1'96 = (294 12, ). 9 9 germa.jss@gmail.com 7