IES Fco Ayala de Granada Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES (2007)

Transcripción

1 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) jercicio 1- Tomada, al azar, ua muestra de 10 estudiates de ua Uiversidad, se ecotró que 54 de ellos hablaba iglés Halle, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo de cofiaza para estimar la proporció de estudiates que habla el idioma iglés etre los estudiates de esa Uiversidad Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaño de la muestra es > 1-α/ ) pq Tomada, al azar, ua muestra de 10 estudiates de ua Uiversidad, se ecotró que 54 de ellos hablaba iglés Halle, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo de cofiaza para estimar la proporció de estudiates que habla el idioma iglés etre los estudiates de esa Uiversidad Datos del problema: p 54/ , q , 10, ivel de cofiaza 1 α 90% 0 90, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 10 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 95 o viee e la tabla y el uo de los más próximo es que correspode a z 1-α/ 1 64 Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 1 α/,p + z 1 α/ (0 3755; 0 545) 0'45 0'55 0'45 0'55 0'45-1'64,0'45 + 1' jercicio - Co los datos del ejercicio aterior, se pretede repetir la experiecia para coseguir que la cota del error que se comete al estimar, por u itervalo de cofiaza, la proporció de alumos que habla iglés e esa Uiversidad o sea superior a 0,05, co u ivel de cofiaza del 99% Cuátos alumos tedríamos que tomar, como míimo, e la muestra? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) gjrubio@hotmailcom 1

2 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ 1-α/ ) pq l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es Co los datos del ejercicio aterior, se pretede repetir la experiecia para coseguir que la cota del error que se comete al estimar, por u itervalo de cofiaza, la proporció de alumos que habla iglés e esa Uiversidad o sea superior a 0,05, co u ivel de cofiaza del 99% Cuátos alumos tedríamos que tomar, como míimo, e la muestra? Datos del problema: p 0 45, q 0 55, < 0 05, ivel de cofiaza 1 α 99% 0 99, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 01 teemos α/ De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor o viee e la tabla y el uo de los más próximo es que correspode a z 1-α/ 57 De > 1-α/ ) pq ('57) (0'45) (0'55) (0'05) , teemos 654 jercicio 3- Tomada ua muestra aleatoria de 300 persoas mayores de edad de ua gra ciudad, se obtuvo que 105 había votado a u determiado partido X Halle, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo de cofiaza que permita estimar la proporció de votates del partido X e esa ciudad Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ 1-α/ ) pq l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es Tomada ua muestra aleatoria de 300 persoas mayores de edad de ua gra ciudad, se obtuvo que 105 gjrubio@hotmailcom

3 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) había votado a u determiado partido X Halle, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo de cofiaza que permita estimar la proporció de votates del partido X e esa ciudad Datos del problema: p 105/ , q , 300, ivel de cofiaza 1 α 90% 0 90, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 10 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 95 o viee e la tabla y el uo de los más próximo es que correspode a z 1-α/ 1 64 Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 1 α/,p + z 1 α/ (0 3048; 0 395) 0'35 0'65 0'35 0'65 0'35-1'64,0'35 + 1' jercicio 4- ua muestra aleatoria de 300 persoas mayores de edad de ua gra ciudad se ecotró que 105 leía u determiado periódico X A la vista de esos datos se pretede seleccioar ua ueva muestra para coseguir ua cota de error de 3 cetésimas como máximo, co u ivel de cofiaza del 95%, para la estimació de la proporció de lectores de ese periódico por medio de u itervalo de cofiaza Deduzca el úmero de idividuos de la població que, como míimo, debe teer la muestra Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq ua muestra aleatoria de 300 persoas mayores de edad de ua gra ciudad se ecotró que 105 leía u determiado periódico X A la vista de esos datos se pretede seleccioar ua ueva muestra para coseguir ua cota de error de 3 cetésimas como máximo, co u ivel de cofiaza del 95%, para la estimació de la proporció de lectores de ese periódico por medio de u itervalo de cofiaza Deduzca el úmero de idividuos de la població que, como míimo, debe teer la muestra Datos del problema: p 105/ , q , < 0 03, ivel de cofiaza 1 α 95% 0 95, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 05 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z 1-α/ 1 96 gjrubio@hotmailcom 3

4 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) 1-α/ ) pq (1'96) (0'35) (0'65) De > , teemos 97 (0'03) jercicio 5- Se desea estimar, por medio de u itervalo de cofiaza, la proporció p de idividuos daltóicos de ua població a través del porcetaje observado e ua muestra aleatoria de idividuos de tamaño Si el porcetaje de idividuos daltóicos e ua muestra aleatoria es igual al 30%, calcule el valor míimo de para que, co u ivel de cofiaza del 95%, el error que se cometa e la estimació sea iferior a Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Se desea estimar, por medio de u itervalo de cofiaza, la proporció p de idividuos daltóicos de ua població a través del porcetaje observado e ua muestra aleatoria de idividuos de tamaño Si el porcetaje de idividuos daltóicos e ua muestra aleatoria es igual al 30%, calcule el valor míimo de para que, co u ivel de cofiaza del 95%, el error que se cometa e la estimació sea iferior a Datos del problema: p 30% 0 3, q , < 0 031, ivel de cofiaza 1 α 95% 0 95, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 05 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z 1-α/ α/ ) pq (1'96) (0'3) (0'7) De > , teemos 840 (0'031) jercicio 6- Para estimar, por medio de u itervalo de cofiaza, la proporció p de idividuos miopes de ua població, se ha tomado ua muestra de 80 idividuos co la que se ha obteido u porcetaje de idividuos miopes del 35% Determie, usado u ivel de cofiaza del 99%, el correspodiete itervalo de cofiaza para la proporció de miopes de toda la població Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y 4 gjrubio@hotmailcom

5 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) geeralmete escribimos p N( p, p q ) o p N( p, p q ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Para estimar, por medio de u itervalo de cofiaza, la proporció p de idividuos miopes de ua població, se ha tomado ua muestra de 80 idividuos co la que se ha obteido u porcetaje de idividuos miopes del 35% Determie, usado u ivel de cofiaza del 99%, el correspodiete itervalo de cofiaza para la proporció de miopes de toda la població Datos del problema: p 35% 0 35, q , 80, ivel de cofiaza 1 α , de dode α % como ivel de sigificació De α 0 01 teemos α/ De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor o viee e la tabla y uo de los más próximos es que correspode a z 1-α/ 57 Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 1 α/,p + z 1 α/ (0 195; ) 0'35 0'65 0'35 0'65 0'35 - '57,0'35 + ' jercicio 7- ua ecuesta realizada a 500 mujeres adultas de ua població se ecotró que 300 de ellas está casadas actualmete Costruya co estos datos u itervalo de cofiaza, co u ivel del 90%, para la proporció de mujeres adultas actualmete casadas e esa població Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica gjrubio@hotmailcom 5

6 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) p(z z 1-α/ )1-α/ 1-α/ ) pq l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es ua ecuesta realizada a 500 mujeres adultas de ua població se ecotró que 300 de ellas está casadas actualmete Costruya co estos datos u itervalo de cofiaza, co u ivel del 90%, para la proporció de mujeres adultas actualmete casadas e esa població Datos del problema: p 300/ , q , 500, ivel de cofiaza 1 α 90% 0 90, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 10 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 95 o viee e la tabla y uo de los valores más próximos es que correspode a z 1-α/ 1 64 Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 1 α/,p + z 1 α/ ( ; ) 0'6 0'4 0'6 0'4 0'6-1'64,0'6-1' jercicio 8- Ua muestra aleatoria de automóviles tomada e ua zoa turística ha permitido obteer u itervalo de cofiaza, al ivel del 95%, para estimar de la proporció de matrículas extrajeras de esa zoa, siedo sus extremos 0,3 y 0,368 a) Determie el valor de la proporció estimada a través de esa muestra y ua cota del error de estimació a este ivel de cofiaza b) Utilizado el mismo ivel de cofiaza, cuál sería la cota de error, si esa misma proporció se hubiera observado e ua muestra de 696 matrículas? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ Vemos que a + b ˆp, de dode ˆp (a + b)/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Ua muestra aleatoria de automóviles tomada e ua zoa turística ha permitido obteer u itervalo de cofiaza, al ivel del 95%, para estimar de la proporció de matrículas extrajeras de esa zoa, siedo sus extremos 0 3 y a) Determie el valor de la proporció estimada a través de esa muestra y ua cota del error de estimació a este ivel de cofiaza 6 gjrubio@hotmailcom

7 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) Datos del problema: a 0 3, b 0 368, de dode p (a + b)/ ( )/ 0 3 que es lo que me pide, q , ivel de cofiaza 1 α 95% 0 95, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 05 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z 1-α/ 1 96 Ua cota del error es < z 1 α / (b - a)/ ( )/ 0 068, teemos < b) Utilizado el mismo ivel de cofiaza, cuál sería la cota de error, si esa misma proporció se hubiera observado e ua muestra de 696 matrículas? Datos del problema: p 0 3, q , 696, z 1-α/ '3 0'7 De < z 1 α / 1' , teemos < jercicio 9- Para coocer la audiecia de uo de sus programas (proporció de televidetes que lo prefiere), ua cadea de TV ha ecuestado a 1000 persoas elegidas al azar obteiedo ua proporció muestral del 33% de persoas favorables a ese programa Calcule ua cota del error de estimació, por medio de u itervalo de cofiaza, co u ivel del 9% Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Para coocer la audiecia de uo de sus programas (proporció de televidetes que lo prefiere), ua cadea de TV ha ecuestado a 1000 persoas elegidas al azar obteiedo ua proporció muestral del 33% de persoas favorables a ese programa Calcule ua cota del error de estimació, por medio de u itervalo de cofiaza, co u ivel del 9% Datos del problema: p 33% 0 33, q , 1000, ivel de cofiaza 1 α 9% 0 98, de dode α 0 0 % como ivel de sigificació De α 0 0 teemos α/ 0 01 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal gjrubio@hotmailcom 7

8 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 99 o viee e la tabla y el más próximo es que correspode a z 1-α/ 33 Por tato el error cometido es: 0'33 0'67 < z 1 α / ' , luego el error es < jercicio 10- Se va a tomar ua muestra aleatoria de 600 recié acidos e este año e ua ciudad para estimar la proporció de varoes etre los recié acidos de esa ciudad, mediate u itervalo de cofiaza co u ivel del 95% Cuál será el error de estimació a ese ivel si se observa 34 varoes e la muestra? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Se va a tomar ua muestra aleatoria de 600 recié acidos e este año e ua ciudad para estimar la proporció de varoes etre los recié acidos de esa ciudad, mediate u itervalo de cofiaza co u ivel del 95% Cuál será el error de estimació a ese ivel si se observa 34 varoes e la muestra? Datos del problema: p 34/ , q , 600, ivel de cofiaza 1 α 95% 0 95, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 05 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z 1-α/ 1 96 Por tato el error de estimació a ese ivel es: 0'39 0'61 < z 1 α / 1' , luego el error es < jercicio 11- Para estimar la proporció de familias co u solo hijo e ua ciudad, se ha tomado ua muestra de familias al azar, de las cuales el 30% tiee u solo hijo Cuál es el míimo tamaño muestral ecesario para que, co esos datos, u itervalo de cofiaza de esa proporció a u ivel del 95% tega ua cota de error de 0 06, como máximo? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue 8 gjrubio@hotmailcom

9 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Para estimar la proporció de familias co u solo hijo e ua ciudad, se ha tomado ua muestra de familias al azar, de las cuales el 30% tiee u solo hijo Cuál es el míimo tamaño muestral ecesario para que, co esos datos, u itervalo de cofiaza de esa proporció a u ivel del 95% tega ua cota de error de 0 06, como máximo? Datos del problema: p 30% 0 3, q , < 0 06, ivel de cofiaza 1 α 95% 0 95, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 05 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z 1-α/ 1 96 Por tato el tamaño míimo de la muestra es: 1-α/ ) pq (1'96) (0'3) (0'7) De > , teemos 5 (0'06) jercicio 1- Ua cadea de TV quiere saber si la audiecia de uo de sus programas sigue mateiédose e el 5% de los espectadores Cuátos espectadores se debería ecuestar al azar, como míimo, para teer u ivel de cofiaza del 90% de que el error e la estimació de la proporció actual sea igual o iferior a 0 03? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: gjrubio@hotmailcom 9

10 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Ua cadea de TV quiere saber si la audiecia de uo de sus programas sigue mateiédose e el 5% de los espectadores Cuátos espectadores se debería ecuestar al azar, como míimo, para teer u ivel de cofiaza del 90% de que el error e la estimació de la proporció actual sea igual o iferior a 0 03? Datos del problema: p 5% 0 5, q , < 0 03, ivel de cofiaza 1 α 90% 0 90, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 10 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 95 o viee e la tabla y el uo de los más próximo es que correspode a z 1-α/ 1 64 Por tato el tamaño míimo de la muestra es: De > 1-α/ ) pq (1'64) (0'5) (0'75) (0'03) , teemos 561 jercicio 13- Calcule el tamaño míimo de ua muestra aleatoria de jóvees etre 18 y 5 años para teer ua cofiaza del 95% de que el error que se cometerá al estimar la proporció de fumadores etre esas edades o sea superior a 0,05, sabiedo que e ua ecuesta previa se ha ecotrado u 3% de fumadores etre estos jóvees Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Calcule el tamaño míimo de ua muestra aleatoria de jóvees etre 18 y 5 años para teer ua cofiaza del 95% de que el error que se cometerá al estimar la proporció de fumadores etre esas edades o sea superior a 0 05, sabiedo que e ua ecuesta previa se ha ecotrado u 3% de fumadores etre estos jóvees 10 gjrubio@hotmailcom

11 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) Datos del problema: p 3% 0 3, q , < 0 05, ivel de cofiaza 1 α 95% 0 95, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 05 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z 1-α/ 1 96 Por tato el tamaño míimo de la muestra es: 1-α/ ) pq (1'96) (0'3) (0'68) De > , teemos 335 (0'05) jercicio 14- Se va a tomar ua muestra aleatoria de 600 recié acidos e este año e ua ciudad para estimar la proporció de varoes etre los recié acidos de esa ciudad, mediate u itervalo de cofiaza co u ivel del 95% Co qué proporció estimada será máxima la amplitud de ese itervalo? Cuál es la amplitud máxima? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Se va a tomar ua muestra aleatoria de 600 recié acidos e este año e ua ciudad para estimar la proporció de varoes etre los recié acidos de esa ciudad, mediate u itervalo de cofiaza co u ivel del 95% Co qué proporció estimada será máxima la amplitud de ese itervalo? Cuál es la amplitud máxima? Datos del problema: Como la muestra es aleatoria se supoe que la mitad so varoes, es decir p 1/, que es ua de las que me pide, q 1 1/ 1/, 600, ivel de cofiaza 1 α 95% 0 95, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 05 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z 1-α/ 1 96 Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 0'50'5 0'50'5 1 α/,p + z 1 α/ 0'5-1'96, 0'5-1'96, ( ; ), y la amplitud pedida es , que sabemos que es el doble del error cometido gjrubio@hotmailcom 11

12 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) jercicio 15- Para estimar la proporció de cosumidores que prefiere u determiado refresco, por medio de u itervalo de cofiaza, se ha tomado ua muestra al azar de 1075 cosumidores, etre los que se ha ecotrado 516 que lo prefiere Determie ua cota del error cometido para esa estimació a u ivel de cofiaza del 95% Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Para estimar la proporció de cosumidores que prefiere u determiado refresco, por medio de u itervalo de cofiaza, se ha tomado ua muestra al azar de 1075 cosumidores, etre los que se ha ecotrado 516 que lo prefiere Determie ua cota del error cometido para esa estimació a u ivel de cofiaza del 95% Datos del problema: p 516/ , q , 1075, ivel de cofiaza 1 α 95% 0 95, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 05 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z 1-α/ 1 96 Por tato el error de estimació a ese ivel es: < z 1 α / 1' 96 0'48 0' , luego el error es < jercicio 16- ua muestra aleatoria de 600 coches de ua ciudad, 10 so de color blaco Costruya u itervalo de cofiaza de la proporció de coches de color blaco co u ivel de cofiaza del 98% Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) 1 gjrubio@hotmailcom

13 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq ua muestra aleatoria de 600 coches de ua ciudad, 10 so de color blaco Costruya u itervalo de cofiaza de la proporció de coches de color blaco co u ivel de cofiaza del 98% Datos del problema: p 10/600 0, q , 600, ivel de cofiaza 1 α 98% 0 98, de dode α 0 0 % como ivel de sigificació De α 0 0 teemos α/ 0 01 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 99 o viee e la tabla y el más próximo es que correspode a z 1-α/ 33 Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 1 α/,p + z 1 α/ ( ; ) 0' 0'8 0' 0'8 0 ' - ' 33,0 ' - ' jercicio 17- Se estima la proporció de varoes adultos, residetes e ua població, co obesidad severa (30<IMC 40), mediate ua muestra aleatoria de tamaño 500 Se obtiee ua estimació de varoes co obesidad severa del 18% Utilizado u ivel de cofiaza del 98%, cuál es el error máximo que se cometerá al estimar, por medio de u itervalo de cofiaza, esa proporció? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq gjrubio@hotmailcom 13

14 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) Se estima la proporció de varoes adultos, residetes e ua població, co obesidad severa (30<IMC 40), mediate ua muestra aleatoria de tamaño 500 Se obtiee ua estimació de varoes co obesidad severa del 18% Utilizado u ivel de cofiaza del 98%, cuál es el error máximo que se cometerá al estimar, por medio de u itervalo de cofiaza, esa proporció? Datos del problema: p 18% 0 18, q , 500, ivel de cofiaza 1 α 98% 0 98, de dode α 0 0 % como ivel de sigificació De α 0 0 teemos α/ 0 01 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 99 o viee e la tabla y el más próximo es que correspode a z 1-α/ 33 Por tato el error de estimació a ese ivel es: < z 1 α / ' 33 0'18 0' , luego el error es < 0 04 jercicio 18- Se desea estimar la proporció de adultos que lee u determiado diario local por medio de u itervalo de cofiaza Obtega el tamaño míimo de la muestra que garatice, aú e la situació más desfavorable, u error de la estimació iferior a 0 03, co u ivel de cofiaza del 95% Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Se desea estimar la proporció de adultos que lee u determiado diario local por medio de u itervalo de cofiaza Obtega el tamaño míimo de la muestra que garatice, aú e la situació más desfavorable, u error de la estimació iferior a 0 03, co u ivel de cofiaza del 95% Datos del problema: < 0 03, el caso mas desfavorable es que la mitad lo lea es decir p 1/ 0 5, q , ivel de cofiaza 1 α 95% 0 95, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 05 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z 1-α/ 1 96 Por tato el tamaño míimo de la muestra es: 14 gjrubio@hotmailcom

15 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) 1-α/ ) pq (1'96) (0'5) (0'5) De > , teemos 1068 (0'03) jercicio 19- Se estima, por u itervalo de cofiaza, la proporció de hogares co coexió a Iteret utilizado ua muestra aleatoria y co u ivel de cofiaza del 96% Se obtiee así, ua proporció estimada del 8%, co u error máximo del 6% Cuál es el tamaño míimo de la muestra utilizada? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Se estima, por u itervalo de cofiaza, la proporció de hogares co coexió a Iteret utilizado ua muestra aleatoria y co u ivel de cofiaza del 96% Se obtiee así, ua proporció estimada del 8%, co u error máximo del 6% Cuál es el tamaño míimo de la muestra utilizada? Datos del problema: p 8% 0 8, q , < 6% 0 06, ivel de cofiaza 1 α 96% 0 96, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 04 teemos α/ 0 0 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 98 o viee e la tabla y uo de los más próximos es que correspode a z 1-α/ 06 Por tato el tamaño míimo de la muestra es: 1-α/ ) pq ('06) (0'8) (0'7) De > , teemos 38 (0'06) jercicio 0- Mediate ua muestra aleatoria de tamaño 400 se estima la proporció de residetes e Sevilla que tiee iteció de asistir a u partido de fútbol etre el Betis y el CF Sevilla Si para u ivel de cofiaza del 95% resulta u error máximo e la estimació del 3% Obtega el valor de la estimació, sabiedo que es iferior a 0,5 Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) gjrubio@hotmailcom 15

16 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq Mediate ua muestra aleatoria de tamaño 400 se estima la proporció de residetes e Sevilla que tiee iteció de asistir a u partido de fútbol etre el Betis y el CF Sevilla Si para u ivel de cofiaza del 95% resulta u error máximo e la estimació del 3% Obtega el valor de la estimació, sabiedo que es iferior a 0,5 Datos del problema: 400, < 3% 0 03, ivel de cofiaza 1 α 95% 0 95, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 05 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 1-α/ ) pq viee e la tabla y correspode a z 1-α/ 1 96 Por tato de la expresió, teemos: 1-α/ ) ˆp (1 - ˆp ), es decir 400 (0 03) (1 96) ˆp (1 - ˆp ), luego ( ˆp - (p) ˆ ), teemos la ecuació de º grado (p) ˆ ˆp Resolviédola obteemos ˆp y ˆp Como os dice que el valor de la estimació de la proporció es meor que 0 5 os queda como solució ˆp jercicio 1- el diario CÓRDOBA del día 0 de ero de 004 se publicó el resultado de u sodeo sobre iteció de voto e las eleccioes al Parlameto Adaluz del 14 de marzo de 004 Segú la ficha técica de la ecuesta, el tamaño de la muestra fue de 5000 idividuos, el ivel de cofiaza utilizado del 95%, y el error máximo de la estimació de los que o tiee decidido el voto del 1% la págia, del mecioado diario, se estima que el 13,3% de los adaluces o tiee decidido el voto Aalice la coherecia del resultado de la estimació co la ficha técica de la ecuesta, si se utiliza u muestreo aleatorio simple Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ 16 gjrubio@hotmailcom

17 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq el diario CÓRDOBA del día 0 de ero de 004 se publicó el resultado de u sodeo sobre iteció de voto e las eleccioes al Parlameto Adaluz del 14 de marzo de 004 Segú la ficha técica de la ecuesta, el tamaño de la muestra fue de 5000 idividuos, el ivel de cofiaza utilizado del 95%, y el error máximo de la estimació de los que o tiee decidido el voto del 1% la págia, del mecioado diario, se estima que el 13 3% de los adaluces o tiee decidido el voto Aalice la coherecia del resultado de la estimació co la ficha técica de la ecuesta, si se utiliza u muestreo aleatorio simple Datos del problema: < 1% 0 01, p 13 3% 0 133, q , 5000, ivel de cofiaza 1 α 95% 0 95, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 05 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z 1-α/ 1 96 Vamos a ver si el tamaño de la muestra ha sido el adecuado 1-α/ ) pq (1'96) (0'133) (0'867) De > , teemos 4430, que es meor de lso 5000 (0'01) que ha tomado, por tato podemos decir que el resultado es coherete b) Se pretede repetir la experiecia para coseguir que el error cometido sea iferior a 0 03, co u ivel de cofiaza del 97% Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra? Datos del problema: p 3/5, q /5, 00, < 0 03; ivel de cofiaza 1 α 97% 0 97, de dode α % como ivel de sigificació De α 0 03 teemos α/ De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z 1-α/ 17 1-α/ ) pq ('17) (3/5) (/5) De > , teemos 156 (0'03) jercicio - ua ivestigació de mercado se preguta a 600 persoas sobre el iterés e cosumir u determiado producto, si éste se comercializara e la ciudad De ellas 55% maifiesta su iteció de cosumirlo Co posterioridad a la ecuesta, el fabricate del producto comercial exige que el error de la estimació sea iferior al 3%, co ua cofiaza del 98% a) Cumple la ivestigació los requisitos exigidos por el fabricate? b) caso egativo, cuál es el valor míimo del tamaño de la muestra para cumplir co las exigecias del fabricate? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUSTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) gjrubio@hotmailcom 17

18 IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: 1 α/,p + z 1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ l error cometido es < z 1 α / /, de dode el tamaños de la muestra es 1-α/ ) pq ua ivestigació de mercado se preguta a 600 persoas sobre el iterés e cosumir u determiado producto, si éste se comercializara e la ciudad De ellas 55% maifiesta su iteció de cosumirlo Co posterioridad a la ecuesta, el fabricate del producto comercial exige que el error de la estimació sea iferior al 3%, co ua cofiaza del 98% a) Cumple la ivestigació los requisitos exigidos por el fabricate? b) caso egativo, cuál es el valor míimo del tamaño de la muestra para cumplir co las exigecias del fabricate? Datos del problema: p 55% 0 55, q , 600, < 3% 0 03, ivel de cofiaza 1 α 98% 0 98, de dode α 0 0 % como ivel de sigificació De α 0 0 teemos α/ 0 01 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 99 o viee e la tabla y el más próximo es que correspode a z 1-α/ 33 Por tato el error de estimació a ese ivel es: 0'55 0'45 < z 1 α / ' , luego el error es < 0 045, por tato la ivestigació 600 o cumple los requisitos del fabricate (segú ella < 0 03), y os ha salido u error mayor de 0 03 l tamaño de la muestra tedría que haber sido: 1-α/ ) pq ('33) 0'550'45 De > , teemos 1493 (0'03) 18 gjrubio@hotmailcom