Métodos estadísticos y numéricos Estimación por Intervalos de confianza 1 PROBLEMAS RESUELTOS DE ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

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1 Métodos estadísticos y uméricos Estimació por Itervalos de cofiaa PROBLEMA REUELTO DE ETIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA U adador obtiee los siguietes tiempos, e miutos, e 0 pruebas croometradas por su etreador: 4,48 4,34 4,95 4,86 4,60 4,04 4,8 4,8 4,7 4,6. Obteer u itervalo de cofiaa para la marca promedio de esta prueba co u 95% de cofiaa, supoiedo que se cooce por otras pruebas que la desviació típica para este adador es de 0,3 miutos. i el etreador quiere obteer u error e la estimació de la media de este adador iferior a tres segudos, cuátas pruebas debería croometrar? Para dar u itervalo de cofiaa de la media coocida la desviació típica, utiliamos es estadístico pivote: X µ N(0, y para - 0,95 el itervalo de cofiaa es: σ σ σ ( X, X + Quié es e uestro caso?. Es u valor tal que e la tabla de la ormal, sabemos que F ( 0, 975 ya que 0,05 y 0, 05 por tato,96. Dado que uestra media muestral X 4,94, el tamaño muestral 0 y σ 0,3, sustituyedo se obtiee el itervalo: (4,94 0,86, 4,94 + 0,86. El valor 0,86 se llama marge de error. El itervalo para la media es (4,738, 4, Esto es lo mismo que decir que la media es 4,94 ± 8,6 %. Es decir que la media se estima e 4,9 co u marge de error de ± 8,6 % La putuació promedio de ua muestra de 0 jueces de gimasia rítmica, elegidos al aar, para ua misma prueba presetó ua media de 9,855 y ua cuasi desviació típica muestral de 0,0965. Calcular u itervalo de cofiaa co u 95% para la ota media. (e sobreetiede que la putuació de la prueba sigue ua distribució ormal r X µ Hay que utiliar el estadístico pivote g( X, µ t dado que o coocemos la desviació típica poblacioal y si coocemos la cuasi desviació típica muestral. r e ha de verificar que P( t < g( X, < t 0, 95. Despejado µ de la expresió, µ,, resulta que P( X t. < µ < X + t. 0,95.,, Buscado e la tabla de la t de tudet para 9 grados de libertad, puesto que 0 y - 0,95, resulta que 0,05 teemos que t, 0930 de dode se deduce que el itervalo de 9,0.05 cofiaa para la media poblacioal es 0,0965 0,0965 ( 9,855,0930., 9,855 +,0930. (9,807, 9,

2 Métodos estadísticos y uméricos Estimació por Itervalos de cofiaa El valor correspodiete al radio del itervalo se llama marge de error y su valor es 0,045. El resultado puede ser expresado del siguiete modo: La media poblacioal se estima e 9,855 co u marge de error de ± 4,5% 3 U etreador de fútbol está iteresado e estimar, co u 99% de cofiaa, la fuera máxima de los músculos cuadriceps de los futbolistas. Admitiedo que dicha fuera sigue ua distribució ormal, seleccioa al aar ua muestra de 5 futbolistas, para la que obtuvo ua media de 85 Nw y ua cuasivariaa de 44. Determiar u itervalo de cofiaa para la media y otro para la variaa de la fuera máxima de estos músculos. r X µ Para la media, el estadístico pivote es como e el ejercicio aterior g( X, µ t forma que P( X t. < µ < X + t. 0,99,, Buscado e la tabla de la t de tudet para 4 grados de libertad, puesto que 5 y - 0,99, resulta que 0,0 teemos que t, 7970 de dode se deduce que el itervalo de 4,0.005 cofiaa para la media poblacioal es ( 85,7970., 85 +,7970. (78,87,9, El valor correspodiete al radio del itervalo se llama marge de error y su valor es 6,78. El resultado puede ser expresado del siguiete modo: La media poblacioal se estima e 85 Nw co u marge de error de ± 6,7 Nw co u ivel de cofiaa del 99%. Esto último quiere decir que de cada 00 veces que calculemos la media de ua muestra de 5 idividuos, e 99 ocasioes el valor de la media poblacioal está coteido e el itervalo obteido. Para hacer ua estimació por Itervalos para la variaa hay que utiliar es estadístico pivote ( siguiete: g(, σ X que es ua distribució chi-cuadrado co - σ grados de libertad. Resulta que hemos de partir de que: P ( X < g(, σ < X 0,99,, Despejado el parámetro σ, resulta que el itervalo de cofiaa es: ( ( (,. Buscado e la tabla de la chi cuadrado para 4 grados de libertad, X X,, puesto que 5 y - 0,99, resulta que 0,0 teemos que X 45,558 y X 9,886 de dode se deduce que el itervalo de cofiaa 4, , para la variaa poblacioal es (, (75,85, 349,57 45,558 9,886 de

3 Métodos estadísticos y uméricos Estimació por Itervalos de cofiaa 3 4 E ua ecuesta hecha por los alumos y alumas de u Istituto a u total de 00 votates elegidos al aar e su Ayutamieto, se idica que el 55% volvería a votar por el alcalde actual. Calcular u itervalo de cofiaa al 99% e otro al 99,73% para la proporció de votates favorables al alcalde actual. Para obteer u itervalo de cofiaa de ua proporció, el pivote estadístico es: p p p N(0,, siedo p( p la proporció muestral y p la proporció poblacioal. De este modo resulta el itervalo de cofiaa para u ivel de cofiaa - el p( p( siguiete: ( p., p +.. E uestro caso - 0,99 y /0,005 Vamos a la tabla de la ormal y calculamos cuyo valor es,57, de modo que el itervalo de cofiaa pedido es: ( 0,55,57, 0,55 +, (0,4, 0,677 Para u ivel de cofiaa del 99,73% es exactamete igual que lo aterior exceptuado el valor de ya que ahora teemos: - 0,9973 y /0,0035 Vamos a la tabla de la ormal y calculamos cuyo valor es,98, de modo que el itervalo de cofiaa pedido es: ( 0,55,98, 0,55 +,98 (0,40, 0, Cuáles debe ser los tamaños muestrales e el sodeo del problema aterior para teer, co los mismos iveles de cofiaa, la certea de que el alcalde actual salga reelegido por mayoría absoluta, e el caso de arrojar la ecuesta los mismos resultados? Nos pide el valor de codicioado a que todos los valores del itervalo de cofiaa sea superiores a 0,5 (mayoría absoluta, es decir que, dado que la media muestral es 0,55, el radio del itervalo ha de ser ecesariamete meor que 0,55-0,5 0,05. Esto provoca que, e el caso del ivel de cofiaa del 99%, que,57 < 0,05, de dode al despejar resulta >653,8. Como míimo ha de ser 654. Para 99,73% el proceso es aálogo y se obtiee >89.

4 Métodos estadísticos y uméricos Estimació por Itervalos de cofiaa 4 6 E ua ecuesta a 360 alumos de u cetro, elegidos al aar, resultaro 90 a favor de la política del actual equipo directivo. Cuál es el itervalo de cofiaa, co ivel del 95%, para la proporció de alumos que apoya a esta direcció? Hay que averiguar u itervalo de cofiaa para estimar ua proporció, dode resulta que el valor del parámetro e la muestra elegida es p 90/360 0,578. Para obteer u itervalo de cofiaa de ua proporció, el pivote estadístico es: p p p N(0,, siedo p( p la proporció muestral y p la proporció poblacioal. De este modo resulta el itervalo de cofiaa para u ivel de cofiaa - el p( p( siguiete: ( p., p +.. E uestro caso - 0,95 y /0,05 Vamos a la tabla de la ormal y calculamos de cofiaa pedido es: cuyo valor es,96 de modo que el itervalo 0,578.0,47 0,578.0,47 ( 0,578,96, 0,578 +,96 (0,476, 0, O dicho e otros térmios, la proporció de alumos que apoya a la juta directiva es del orde del 5,7% co u marge de error de ±5,5% 7 e laa ua moeda 00 veces y se obtiee 6 cruces. Cuál es el itervalo de cofiaa para la proporció de cruces co u 99% de ivel de cofiaa? Hay que averiguar u itervalo de cofiaa para estimar ua proporció, dode resulta que el valor del parámetro e la muestra elegida es p 0,6. Para obteer u itervalo de cofiaa de ua proporció, el pivote estadístico es: p p p N(0,, siedo p( p la proporció muestral y p la proporció poblacioal. De este modo resulta el itervalo de cofiaa para u ivel de cofiaa - el p( p( siguiete: ( p., p +.. E uestro caso - 0,99 y /0,005 Vamos a la tabla de la ormal y calculamos de cofiaa pedido es: cuyo valor es,57 de modo que el itervalo 0,6.0,38 0,6.0,38 ( 0,6,57.,0,6 +,57. (0,495, 0,

5 Métodos estadísticos y uméricos Estimació por Itervalos de cofiaa 5 8 Para estimar el úmero de raas que hay e u estaque procedemos a pescar cierta catidad, 30, y las marcamos co u aillo, devolviédolas al estaque. Trascurridos uos días volvemos a pescar otro motó y observamos qué proporció está marcadas co la ailla. Es esta última pesca obteemos 00 raas de las que 7 está marcadas. Calcular u itervalo al 99% de cofiaa para la proporció de raas marcadas. Hay que averiguar u itervalo de cofiaa para estimar ua proporció, dode resulta que el valor del parámetro e la muestra elegida es p 0,07. Para obteer u itervalo de cofiaa de ua proporció, el pivote estadístico es: p p p N(0,, siedo p( p la proporció muestral y p la proporció poblacioal. De este modo resulta el itervalo de cofiaa para u ivel de cofiaa - el p( p( siguiete: ( p., p +.. E uestro caso - 0,90 y /0,05 Vamos a la tabla de la ormal y calculamos de cofiaa pedido es: cuyo valor es,64 de modo que el itervalo 0,07.0,93 0,07.0,93 ( 0,07,64.,0,07 +,64. (0,086;0, Calcula u itervalo de cofiaa, co u 90%, para el úmero total, N, de raas del estaque del problema aterior, teiedo e cueta que la proporció de raas marcadas es p 30/N Como el itervalo de cofiaa de raas marcadas e el ejercicio aterior (iguales codicioes de cofiaa que e el presete es (0,086 ; 0,84. Esto quiere decir que como 30/N oscila etre ambos extremos del itervalo, ocurre que: 30/N 0,086, de dode N 065,34 y por otra parte, como máximo, 30/N0,84, de dode N 68,4. Por tato uestro itervalo es (69, 065.

6 Métodos estadísticos y uméricos Estimació por Itervalos de cofiaa 6 0 De ua muestra elegida al aar de 0 alumos de la clase, se obtuviero los siguietes datos para el peso (e Kg y la estatura (e cm. Peso Estatura Calcular, supoiedo que las variables peso y estatura se adecúa a ua distribució ormal, u itervalo de cofiaa para cada variable, co u ivel de cofiaa del 95%, tato para las medias como para las variaas. Datos muestrales: Media X Cuasi desv. Tipi. Peso 70,7,093 Estatura 74,4 6,096 a Itervalo de cofiaa para la media del peso: r X µ Hay que utiliar el estadístico pivote g( X, µ t dado que o coocemos la desviació típica poblacioal y si coocemos la cuasi desviació típica muestral. r e ha de verificar que P( t < g( X, < t 0, 95. Despejado µ de la expresió, µ,, resulta que P( X t. < µ < X + t. 0,95.,, Buscado e la tabla de la t de tudet para 9 grados de libertad, puesto que 0 y - 0,95, resulta que 0,05 teemos que t, 6 de dode se deduce que el itervalo de 9,0.05 cofiaa para la media poblacioal es,093,093 ( 70,7,6., 70,7 +,6. (6,05, 79, b Itervalo de cofiaa para la media de la estatura: Exactamete igual que e el apartado a ta solo sustituir los valores correspodietes a las medidas muestrales de la estatura, quedado por tato el itervalo: 6,096 6,096 ( 74,4,6.,74,4 +,6. (70,04, 78, c Itervalo de cofiaa para la variaa del peso: Para hacer ua estimació por Itervalos para la variaa hay que utiliar es estadístico pivote ( siguiete: g(, σ X que es ua distribució chi-cuadrado co - σ grados de libertad. Resulta que hemos de partir de que: P ( X < g(, σ < X 0,95, Despejado el parámetro σ, resulta que el itervalo de cofiaa es:,

7 Métodos estadísticos y uméricos Estimació por Itervalos de cofiaa 7 ( X (, X (,,. Buscado e la tabla de la chi cuadrado para 4 grados de libertad, puesto que 0 y - 0,95, resulta que 0,05 teemos que X 9,03 y X,7004 de dode se deduce que el itervalo de cofiaa 9,0.05 9, ,4 9.46,4 para la variaa poblacioal es (, (69,88, 487,39 9,03,7004 d Itervalo de cofiaa para la variaa de la estatura: Aálogamete a lo efectuado e el apartado c se obtiee como itervalo (7,58, 3,85