Objetivos. 1. Inferencia Estadística. INFERENCIA ESTADÍSTICA Tema 3.1: Muestreo. M. Iniesta Universidad de Murcia

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1 M. Iiesta Uiversidad de Murcia INFERENCIA ESTADÍSTICA Tema 3.1: Muestreo Objetivos Tratar co muestras aleatorias y su distribució muestral e ejemplos de tamaño reducido. Tratar co la distribució de la media muestral a partir de muestras ormales y biomiales y a partir de muestras o ormales pero de tamaño grade. Calcular probabilidades asociadas a los estadísticos más importates. 1. Iferecia Estadística Los procedimietos de Iferecia Estadística permite establecer coclusioes acerca de ua població, a partir de las propiedades estudiadas e ua muestra de ella. Además, como dichas coclusioes depede de sucesos aleatorios, se les asociará u ivel de coaza o de verosimilitud. e: Respecto del objetivo que resuelve, las técicas de Iferecia Estadística se clasica Técicas de Iferecia Paramétrica Resuelve objetivos relacioados co parámetros de la població (media, variazas, proporcioes, etc.,) es decir, se cooce el tipo de distribució de probabilidad asociado a dicha població auque se descooce algú parámetro de dicho modelo. Por ejemplo, podemos supoer que los pesos de los recié acidos de madres diabéticas so ormales, pero de media y/o variaza descoocidas. O podemos supoer que el tiempo de vida de cierto compoete es expoecial de media descoocida. Técicas de Iferecia No Paramétrica Resuelve objetivos relacioados co el tipo de distribució de probabilidad asociado a la població u otros objetivos o relacioados directamete co parámetros. Estos procedimietos o se estudiará. Para resolver u problema de Iferecia Paramétrica se usa tres tipos de procedimietos: Estimació Putual Obteemos valores aproximados del parámetro descoocido y ua medida del error asociado. Estimació por Itervalos Obteemos u itervalo de valores, que cotiee al verdadero valor del parámetro co probabilidad prejada por osotros. Test de Hipótesis Obteemos la aceptació o el rechazo de ua hipótesis relacioada co el parámetro descoocido, co iveles de error cotrolados. Págia: 1

2 M. Iiesta Uiversidad de Murcia 2. Muestras aleatorias Deició de Muestra Aleatoria Simple. Decimos que la variable aleatoria dimesioal (X 1,..., X ) es ua muestra aleatoria simple (m.a.s.) de tamaño procedete de la v.a. X si so idéticamete distribuidas como X e idepedietes, es decir, si se cumple las dos siguietes codicioes: 1. f 1 (x) =... = f (x) = f(x), dode f i es la fució putual de probabilidad (caso discreto) o la fució de desidad (caso cotiuo) de X i y f es la fució putual de probabilidad (caso discreto) o la fució de desidad (caso cotiuo) de X 2. g(x 1,..., x ) = f 1 (x 1 )...f (x ) = f(x 1 )...f(x ), dode g(x 1,..., x ) es la fució putual de probabilidad (caso discreto) o la fució de desidad (caso cotiuo) de la variable aleatoria dimesioal (X 1,..., X ) Ejemplo Si e ua ura teemos 50 bolas blacas, 30 rojas y 20 verdes, las posibles muestras aleatorias simples de tamaño dos (X 1, X 2 ), (muestras de tamaño 2 co reemplazamieto), y sus probabilidades asociadas aparece e la siguiete tabla. 2 blacas (0.25) 1 blaca y 1 roja (0.30) 2 rojas (0.09) 1 blaca y 1 verde (0.20) 1 verde y 1 roja (0.12) 2 verdes (0.04) Nota E poblacioes itas y muestreo si reemplazamieto, las muestras resultates o cumple los requisitos de la deició aterior, por lo que siempre se supodrá muestreo co reemplazamieto. 3. Estadísticos y Distribució e el muestreo Si (X 1,..., X ) es ua m.a.s. procedete de X, cualquier fució real de la muestra H(X 1,..., X ) = H se deomia estadístico. U estadístico es por tato ua variable aleatoria y como tal posee su distribució de probabilidad. Ésta se deomia Distribució e el muestreo del estadístico H. Ejemplo Si del ejemplo aterior, las bolas blacas lleva u 1, las rojas u 2 y las verdes u 3, es u estadístico llamado media muestral, cuya la fució de la muestra X = X 1+X 2 2 distribució de probabilidad e el muestreo es la siguiete: x p(x = x) Págia: 2

3 M. Iiesta Uiversidad de Murcia 4. Alguos Estadísticos importates Supogamos que (X 1,..., X ) es ua muestra aleatoria simple de tamaño procedete de X co E(X) = µ y D(X) = σ. Alguos estadísticos importates so los siguietes: Suma S = i=1 X i, cumple las siguiete propiedades: E(S ) = µ, para todo. D(S ) = σ. Si X N (µ, σ), etoces S N (µ, σ) Si la distribució de X o es ormal, pero es grade ( > 20) podemos aproximar la distribució de S a ua ormal, es decir, S aprox N (µ, σ) Media Muestral X = X = P i=1 X i, cumple las siguiete propiedades: E(X) = µ, para todo. D(X) = σ. Si X N (µ, σ), etoces X N (µ, σ ) Si la distribució de X o es ormal, pero es grade ( > 20) podemos aproximar la distribució de X a ua ormal, por el teorema cetral del límite. Es decir, X aprox N (µ, σ ) Variaza y Cuasivariaza Muestral y etoces se tiee: s 2 i=1 = (X i X) 2 S 2 i=1 = (X i X) 2 1 E(S 2 ) = σ 2 La propiedad aterior hace más apropiado a S 2 e problemas de iferecia. Para tamaños muestrales grades ambas medidas so muy aproximadas y e cualquier caso S 2 = 1 s2 Desviació y Cuasidesviació típica s = s 2 y S = S 2, respectivamete. 5. Distribucioes Asociadas a la Distribució Normal Supogamos que {Z 1,..., Z } es ua muestra aleatoria simple procedete de ua distribució ormal de media cero y desviació típica uo, es decir, Z j N (0, 1), j. Vamos a costruir uos estadísticos que será habituales e los procedimietos de iferecia estadística. Págia: 3

4 M. Iiesta Uiversidad de Murcia 1. La variable U = Z Z 2 sigue ua distribució llamada Chi-cuadrado de Pearso, co grados de libertad, que lo idicaremos poiedo U χ 2 2. La variable F = dode U χ 2, V χ2 m e idepedietes, sigue ua distribució llamada F de Sedecor co grados de libertad e el umerador y m grados de libertad e el deomiador. Lo idicaremos poiedo F F,m U V m 3. Si ahora U χ 2 y Z N (0, 1) y Z y U so idepedietes, la variable t = Z U sigue ua distribució llamada t de Studet co grados de libertad y lo idicaremos poiedo t t 6. Ejemplos de Estadísticos útiles para iferecia E los ejemplos siguietes se supoe ua muestra aleatoria simple (X 1,..., X ) de tamaño procedete de X para deir los estadísticos siguietes: Si X N (µ, σ): ( ˆ X N µ, ) σ ; Z = X µ σ N (0, 1) ˆ S 2 = i=1 ˆ X µ σ ( 1)S 2 ( 1)σ 2 = (X i X) 2 ; 1 X µ S t 1 ( 1)S 2 σ 2 χ 2 1 ˆ Si la distribució de X o es ormal pero es grade, X µ S N (0, 1) aproximadamete. Si X B(p) (Beroulli), dode p = P (A) ˆ Si 30, X p p(1 p) ˆ E esta situació N (0, 1) aproximadamete. X idica la frecuecia relativa del suceso A, es decir, la proporció del úmero de veces que sucede A e pruebas idepedietes y que deotaremos por p. Págia: 4

5 M. Iiesta Uiversidad de Murcia Si X P(λ) ˆ Si 30, X λ λ/ N (0, 1) aproximadamete. 7. Actividades 1. Calcular la distribució de probabilidad de la media muestral a partir de muestras aleatorias simples de tamaños 3 de la variable aleatoria X =úmero de caras al tirar dos moedas al aire. Calcular la media y la variaza de la media muestral. 2. Cotiuado co el mismo ejercicio, calcular la distribució de probabilidad de la variaza muestral, así como la del míimo y el máximo de la muestra. 3. Si X 1, X 2,..., X es ua muestra aleatoria simple procedete de ua variable aleatoria X co fució de desidad dada por f(x) = 3x 2 /θ 3, co 0 x θ, calcula la distribució de probabilidad de M = máx{x 1, X 2,..., X }. 4. De ua variable aleatoria X N ( 1, σ) se extrae ua muestra aleatoria simple de tamaño 10, cuyo resultado es: {1.03, 1.079, 1.45, 2.54, 0.37, 0.60, 0.53, 0.28, 2.21, 2.66}, calcular P (X > 1.2), dode X es la variable media muestral, a partir de muestras aleatorias de tamaño 10. Págia: 5