Parte 2. Estadística inferencial

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1 Parte. Estadística iferecial. Distribucioes muestrales Recordemos que el objetivo de la Estadística es hacer iferecias acerca de los parámetros de ua població co base e la iformació coteida e ua muestra. Las iferecias más comues so: Estimació putual Estimació por itervalo Prueba de hipótesis a que las iferecias se basa e la iformació muestral, es de gra importacia el procedimieto que se utilice para la selecció de la muestra. Las técicas de iferecia que se verá e esta seguda parte del curso, supoe que la muestra se seleccioó mediate u muestreo aletorio simple (MAS). Recordemos tambié que la iformació muestral se resume e uas fucioes llamadas estadísticas. Por ejemplo,, S, etc. El procedimieto geeral de iferecia cosiste e usar estadísticas para aproximar los parámetros. Por ejemplo, la media muestral os dice algo 4 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

2 acerca de la media poblacioal µ. Tambié la variaza muestral S os dice algo acerca de la variaza poblacioal σ. E la práctica se seleccioa aleatoriamete ua sola muestra de tamaño de ua població y co ella se calcula el valore de la estadística de iterés. Co el fi de coocer todos los posibles valores que puede tomar ua estadística, se tedría que examiar cada posible muestra y calcular el valor de la estadística. La distribució de frecuecias de todos los posibles valores que toma ua estadística se le cooce como distribució de muestreo. Las estadísticas so fucioes de la muestra aleatoria por lo tato a su vez so tambié variables aleatorias y tiee asociada cierta distribució, esa distribució es llamada distribució de muestreo. EJEMPLO 9. Supogamos que se tiee ua v.a. co la siguiete distribució (població): x 3 Frecuecia 4 5 P(=x) µ =.4 y σ = Se desea estimar µ, para ello se toma ua muestra de tamaño co reemplazo de la població aterior y se calcula el valor de. Si se observara (,3) =. 5 (o esta mal!), pero si se observara (,) =. 5 (o está ta bie!). 4 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

3 Calculemos todos los valores posibles de para todas las muestras posibles: Cuátas muestras hay? 3 = 9 muestras diferetes 0 = 00 muestras posibles Muestras Probabilidad (,) 0. 0.=0.0 (,) =0.04 (,3) =0.05 (,) =0.04 (,) =0.6 (,3) =0.0 (3,) =0.05 (3,) =0.0 (3,3) =0.5 o Las muestras produce distitos valores para o Muestras diferetes produce el mismo valor de o Distitas muestras ocurre co probabilidades diferetes Fialmete, la distribució de muestreo de es: x P ( = x) E( ) =.4 Var( ) = 0. Para saber que ta buea es ua estimació es ecesario coocer la distribució de muestreo de la estadística 43 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

4 Qué pasaría si las muestras se toma si reemplazo? Hay 5 muestras diferetes? y 0 = 45 muestras posibles Muestras Probabilidad (,).5 (,3) (,) (,3).5 (3,3) = = 0. 0 = = = 0. Por lo tato, la distribució de muestreo de es: x P ( = x) E( ) = Var( ) = El mismo ejemplo se podría hacer co cualquier otra estadística, por ejemplo S, m, Q, etc. 44 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

5 RESULTADO. E muestreo co reemplazo de ua població fiita o ifiita co media µ y variaza σ, E ( ) = µ, Var( ) E ( S ) = σ = σ RESULTADO. E muestreo si reemplazo de ua població fiita de tamaño N co media µ y variaza σ, σ N N E ( ) = µ, Var( ) = E N ( S ) = σ N Nota: N N es coocido como factor de correcció por població fiita 0 si N, y si ó N Para qué sirve coocer la distribució de muestreo de ua estadística?.. Para coocer qué ta bueo es ua estadística como estimador de u parámetro, e térmios de su valor esperado y su variaza.. Para calcular probabilidades acerca del error de estimació de ua estadística. Si, θˆ θ = error de estimació, etoces P ( θˆ θ B) = α 45 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

6 Teorema cetral del límite. El siguiete resultado es uo de los resultados más importates e Estadística. TEOREMA: Sea,,..., ua muestra aleatoria (v.a. s idepedietes e idéticamete distribuidas) de ua població co media µ y variaza σ. Para valores grades de, la distribució muestral de se aproxima a ua distribució ormal co media µ y variaza σ /, es decir, σ N µ, COMENTARIOS: La distribució muestral de se puede aproximar por ua distribució ormal o importado como se distribuye la variable de iterés i. Si la variable de iterés i tiee ua distribució ormal, la distribució de muestreo de es ormal si importar el tamaño de muestra. Qué ta grade debe de ser? Depede de que ta o ormal sea la distribució origial i. U úmero de referecia es 30. ESTANDARIZACIÓN: Para poder resolver problemas que ivolucra probabilidades ormales es ecesario realizar ua estadarizació: Si N(µ,σ ) Si N(µ,σ /) Z = µ N(0,) σ µ Z = N(0,) σ 46 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

7 NOTACIÓN: Sea Z N(0,) etoces z α es tal que ( Z z ) = α P. α EJEMPLO 0. Si ua lata de u galó de fertilizate cubre e promedio u área de 53 pies, co ua desviació estádar de 3.5 pies. Cuál es la probabilidad de que el área promedio cubierta por ua muestra de 40 latas sea etre 50 y 50 pies?. N 53, ( 3.5) 40 P ( 50 < < 50) = P( 0.66 < Z <.34) = EJEMPLO. U guardabosques desea estimar el área promedio de la base de los pios. Después de varios años de estudio, se observó que dichas áreas tiee ua desviació estádar de 4 i. El guardabosques desea teer u error de meos de i e su estimació co ua probabilidad de Cuátos árboles tedría que medir para lograr tal exactitud?. Supoiedo que es grade 0.90 = P N µ, ( 4) ( µ < ) = P( < µ < ) = P < Z < 4 4 = P Z 4 P Z = z. 05 =.645 = = 47 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

8 Distribució de muestreo de la estadística pˆ. Frecuetemete es de iterés determiar la proporció de elemeto de ua població que posee algua característica de iterés. Por ejemplo la proporció de viviedas rurales que cueta co servicio de agua potable. Etoces, Como pˆ = = si la vivieda cueta co agua potable, = 0 e.o.c. i = proporció de viviedas que cueta co agua potable e la muestra de tamaño. dode, i Ber(p) co p = prop. poblacioal de viviedas co agua ( ) p µ = E i = y σ = Var( ) = p( p) etoces, p pˆ = N p, i ( p) Nota: Esta aproximació es buea si 30, p 5 y ( p) 5. DISTRIBUCIONES DE FUNCIONES DE MUESTRAS DE V.A. S NORMALES. Sea,,..., ua m.a. de ua població N(, σ ) otra m.a. idepediete de la aterior de ua població N( σ ) Etoces, Distribució Ji-cuadrada: J = ( ) σ S = i σ µ y sea,,..., m χ ( ) (J se distribuye como ua ji-cuadrada co grados de libertad). µ,. 48 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

9 Propiedades: E J, ( ) = Var( J ) = ( ) Notació: ( ), α ( ), α χ es tal que P ( χ ) = α J Chi-Square Distributio desity d.f x Distribució t-studet: µ T = t ( ) S (T se distribuye como ua t-studet co grados de libertad). Studet's t Distributio desity d.f x 49 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

10 E ( ) = 0 Var( T) Propiedades: T para >, Notació: t es tal que P ( T ) = α ( ),α t ( ), α = para > 3. 3 Distribució F: S σ F = F (,m ) S σ (F se distribuye como ua F co y m grados de libertad). 3 Propiedades: E( F) = para >3, ( F) Notació: ( ) ( m + 4) ( m )( 3) ( 5) Var = para >5. F es tal que P ( F ) = α, además (,m ), α F (,m ), α F (,m ), α = F (m, ), α desity F (variace ratio) Distributio x d.f.,0 5,0 0,0 50 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

11 . Estimació putual La estimació putual es ua de las primeras formas de hacer iferecia. Recordemos que la forma geérica para deotar u parámetro es co la letra griega θ. Alguas defiicioes: ESTIMADOR: U estimador putual de θ es ua estadística cuyos valores será usados para aproximar el verdadero valor de θ. Se deota como θˆ. ESTIMACIÓN: Es el valor que toma el estimador para ua muestra dada. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN: Existe varios métodos de estimació, pero los más comues so: Método de mometos: Cosiste e igualar los mometos muestrales a los mometos poblacioales tatos como parámetros a estimar. r r ( ) µ ' = E = r-ésimo mometo poblacioal (o cetral) M ' = r-ésimo mometo muestral (o cetral) r r = i dode r =,,... Ejemplo : Sea,,..., ua m.a. de ua població N(µ,σ ). µ ' = E( ) = µ M' = i = ( ) = σ + µ ' = E µ M ' = i ˆσ. µ ˆ = y = M' = ( i ) 5 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

12 Método de máxima verosimilitud: Cosiste e determiar el valor de los parámetros que maximice la probabilidad de haber observado la muestra que se observó. ( θ x) = f ( L θ) = fució de verosimilitud para θ. x i dode ( x i ) = f ( x i f θ ) es la fució de desidad para la v.a. i haciedo explicita la depedecia co θ. θˆ es tal que maximiza L( θ x) Ejemplo 3: Sea,,..., ua m.a. de ua població N(µ,σ ). / (, σ x) = ( πσ ) exp ( x µ ) L µ σ ˆ. µ ˆ = y σ = ( i ) i ALGUNOS EJEMPLOS de estimadores putuales: Sea,,..., ua m.a. de ua població co media µ = E() y variaza σ = Var(), etoces µ ˆ = = i σˆ = S = ( i ) por qué y o? E el caso particular de que i Ber(p) µ = E() = p, etoces pˆ = = i 5 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

13 Sea (, ),(, ),...,(, ) ua m.a. bivariada de ua població co µ = E(), σ = Var(), µ = E(), σ = Var() y ρ=corr(,), etoces ii σˆ ρ ˆ = r = =, σˆ σ ˆ i i r. Para u mismo parámetro θ puede existir más de u estimador, digamos, ˆθ y ˆθ, es por esto que es ecesario discrimiar etre ellos y decidir cuál es mejor. Por esta razó es ecesario hablar de las PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES. Isesgamieto: U estimador θˆ de θ se dice que es isesgado si el promedio de sus valores es igual a θ, i.e., si ( ) = θ Sesgo ( θˆ ) = E( θˆ ) θ E θˆ. Eficiecia: U estimador θˆ de θ se dice que es eficiete si su variaza es la más pequeña posible. Para comparar la variaza etre dos estimadores θ ˆ y ˆθ es ecesario calcular su eficiecia relativa defiida como: Ef ( θ ˆ, θˆ ) = Var ( θˆ ) ( θ ) Var ˆ Para comparar dos estimadores sesgados, es ecesario teer ua medida que ivolucre tato el sesgo como la variabilidad. 53 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

14 Error cuadrático medio (ECM): Es u promedio de las distacias al cuadrado etre θˆ y θ, i.e., ECM { } = Var( θˆ ) + Sesgo( θ ˆ ) () θ ˆ = E ( θˆ θ) { } De igual maera, se puede calcular la eficiecia relativa e térmios del ECM etre ambos estimadores. EJEMPLO 4. Sea,,..., ua m.a. de ua població co media µ = E() y variaza σ = Var(). Sea µ ˆ = y σ ˆ = S. E ( µ ˆ ) = E( ) = E = ( ) = i E i µ = µ µ ˆ = es u estimador isesgado para µ. Var( µ ˆ ) = Var( ) = Var i = Var( i ) = σ σ = se puede demostrar que µ ˆ = es eficiete. Para calcular el valor esperado de S usaremos la siguiete desigualdad, Etoces, E ( ) ( ) ( ) i = i µ µ ( σˆ ) = E( S ) = E ( ) = E ( µ ) E{ ( µ ) } = E i {( µ ) } E ( µ ) i { } = Var i ( ) Var( ) = σ = σ σ ˆ = S es u estimador isesgado para σ. i. σ 54 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

15 .3 Estimació por itervalos Muchas veces es ecesario cotar co u rago de valores (y o úicamete u úmero) e los cuales se ecuetre el verdadero valor del parámetro. E qué se basa los itervalos de cofiaza? e la variabilidad de los estimadores putuales. Alguas defiicioes: NIVEL DE CONFIANZA: es el grado de seguridad que se tiee sobre la veracidad de ua afirmació sobre el parámetro de iterés. Se deota como α., dode α es ua costate etre 0 y. INTERVALO DE CONFIANZA: es u rago de valores e el cual se ecuetra el verdadero valor del parámetro θ, co u determiado ivel de cofiaza α. ERROR DE ESTIMACIÓN: grado de precisió de la estimació (por itervalo). θ ˆ θ B B θˆ θ B θ ˆ B θ θˆ + B Estimació putual y por itervalo: Valores de estadística T Estimació putual Valores de estadísticas T y T Estimació por itervalo Itervalos ALEATORIOS e itervalos de CONFIANZA: Sea T y T dos estadísticas y t y t valores observados de las estadísticas ateriores, etoces 55 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

16 (, T T ) Itervalo aleatorio ( T < θ < T ) = α (, t P t ) Itervalo de cofiaza ( t < θ < t ) ó 0 P = Cof ( < θ < t ) = α t Cómo se iterpreta la cofiaza? Supogamos que P ( c < µ < + c)= 0. 95, por lo tato, u itervalo de cofiaza para µ es ( x c,x + c) al 95% de cofiaza. Si se tuviera acceso a todas las posibles muestras y para cada ua de ellas se calculara el itervalo de cofiaza aterior, el 95% de ellos cotedría al verdadero valor de µ. MÉTODOS para la obteció de u I.C. Existe varios métodos para la obteció de itervalos de cofiaza, el más comú es llamado método pivotal. Método pivotal: cosiste e ecotrar ua fució del parámetro de iterés y de la muestra aleatoria de tal maera que se pueda pivotear (despejar) de ella el parámetro de iterés. EJEMPLOS: Itervalos de cofiaza que ivolucra ua sola població. Sea,,..., ua m.a. de ua població N(µ,σ ). I.C. para µ (co σ coocida): µ ˆ = es i estimador putual de µ, N( µ, σ ) Catidad pivotal: µ Z = N(0,) σ ( z < Z < z ) = α P α / α / 56 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

17 P µ < < z σ = zα / α / α P ( z σ < µ < + z σ ) = α α / α / Pivotear Al observar la muestra, la estadística toma el valor de x, por lo tato ( ± z ) µ x α / σ co ( α)00% de cofiaza. o NOTA: el itervalo de cofiaza aterior para µ es válido para cualquier població si es grade. o RELACIÓN ENTRE LONGITUD DEL INTERVALO, NIVEL DE CONFIANZA TAMAÑO DE MUESTRA. La logitud del I.C. para µ co σ coocida es L z = α / σ. Si ( α) L y si ( α) L. Si L y si L I.C. para µ (co σ descoocida): µ ( ± t s ) x ( ), α / co ( α)00% de cofiaza. I.C. para σ : σ co ( α)00% de cofiaza. ( )s χ( ), α / s ( ), χ ( ), α / 57 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

18 Si,,..., es ua m.a. de ua població Ber(p), I.C. para p (proporció): co ( α)00% de cofiaza. ( pˆ ± z pˆ ( pˆ ) ) p α / EJEMPLOS: Itervalos de cofiaza que ivolucra dos poblacioes. Sea,,..., ua m.a. de ua població N(µ,σ ) y,,..., otra m.a. de ua població N(µ,σ ) idepediete de la aterior. I.C. para µ µ (co variazas coocidas): µ µ x y ± z α / σ + σ m co ( α)00% de cofiaza. I.C. para µ µ (co variazas descoocidas pero iguales): µ µ x y ± t (+ m ), α co ( α)00% de cofiaza, dode S p = / S p + m ( ) S + ( m ) S + m I.C. para σ σ : σ σ S S F co ( α)00% de cofiaza. S, S F (,m ), α / (,m ), α / 58 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

19 Si,,..., es ua m.a. de ua població Ber(p ) y,,..., m es otra m.a. de ua població Ber(p ) idepediete de la aterior, I.C. para p p : p p pˆ pˆ co ( α)00% de cofiaza. ± z α / pˆ ( ) ( ) pˆ pˆ + pˆ m Sea (, ),(, )...,(, ) ua m.a. de v.a. s pareadas (depedietes) co parámetros µ, σ, µ, σ, σ. Supoga que la diferecia D i = i i N( σ ) µ D para,...,, co D = µ µ D, I.C. para µ D = µ µ : D µ y σ ( d ± t s ) ( ), α / D D = σ + σ σ µ = µ µ co ( α)00% de cofiaza EJEMPLO 5. E el programa para cotigecias ambietales atmosféricas e el Distrito Federal se establece que la pre-cotigecia se activa si se alcaza iveles de ozoo etre 00 y 40 IMECAS, y se activa la cotigecia Fase I si se registra iveles superiores de 40 IMECAS. La SEMARNAT esta iteresada e bajar los límites para activar la Fase I si el porcetaje de días al año e que se esta e pre-cotigecia es mayor al 40%. E ua muestra de 30 días a lo largo de u año, la proporció de días que se activó la pre-cotigecia fue de Co u 90% de cofiaza, debería la SEMARNAT bajar los límites de la Fase I?. si la medició de ozoo (00, 40) e u día dado = 0 e.o.c.,..., 30 = 30 días pˆ = Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

20 α=0.90,. 645 z = ( 0.35 ±.645 (0.35)(0.65) 30) ( 0.06, 0.493) p = co 90% de cofiaza (Si p > 0.40 se baja los límites de la Fase I) co u 90% de cofiaza se debería bajar los límites de la Fase I. EJEMPLO 6. La Secretaria del Medio Ambiete ha decidido establecer ua ueva ley sobre los iveles de cotamiació que debe teer las fábricas. Además de teer u ivel promedio diario de cotamiates por debajo de 300 u., debe de teer ua desviació estádar meor a las 50 u. Ua ueva fábrica registró e el último mes u ivel promedio de 50 u. co ua desviació estádar de 40 u. Co u 95% de cofiaza, recomedaría a la SEMARNAT cerrar la ueva fábrica por o cumplir co los iveles requeridos?. = medició de los cotamiates e u día dado,..., 30 = 30 días x = 50, s = 40 α=0.95, t ( 9),0. 05 =.04, χ ( 9),0.975 = 6. 04, χ ( 9),0.05 = ( 50 ±.04(40) 30) = ( 35., 64.9) µ co 95% de cofiaza σ (9)(40) 45.7, (9)(40) 6.04 = ( 3.9, 53.8) co 95% de cofiaza co u 95% de cofiaza se recomedaría cerrar la fábrica por o cumplir co los requerimietos e la desviació estádar. 60 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

21 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA. Para u muestreo aleatorio simple es posible determiar el tamaño de muestra ecesario para estimar u parámetro co u error máximo de estimació de B co ua cofiaza de α. Existe dos casos típicos: Para la media: P ( µ B) = α. Se puede demostrar que B = L/, dode L es la logitud del itervalo de cofiaza para µ co α de cofiaza. Etoces, B / σ = z α, por lo tato ( z ) / = α B σ Para la proporció: P ( pˆ p B) = α. Igual que para el caso aterior, se puede demostrar que B = L/, dode L es la logitud del itervalo de cofiaza para p co α de cofiaza. Etoces, z ( ) B / = α pˆ pˆ, por lo tato ( z ) ( ) / = α pˆ B pˆ EJEMPLO 7. Se desea estimar la demada diaria promedio de agua por vivieda e el D.F. co u error de estimació de a lo más 3 litros y co ua cofiaza de 95%. Se sabe por estudios ateriores que la desviació estádar e el cosumo de agua es de 0 litros. Qué ta grade debe de ser la muestra para lograr el objetivo?. ( µ 3) P = α=0.95, z =. 96, σ = 0 = 7 6 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

22 EJEMPLO 8. Se desea estimar la proporció de viviedas co agua potable e el estado de Hidalgo, co u error de estimació de a lo más 0.05 de la verdadera proporció y co ua cofiaza de 95%. Qué ta grade debe de ser la muestra para lograr el objetivo?. ( pˆ p 0.05) P = α=0.95, z =. 96, pˆ =? (0.5) = 385 Tamaños de muestra B 6 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

23 .4 Pruebas de hipótesis Las pruebas de hipótesis so la forma más importate de hacer iferecias. Alguas defiicioes: HIPÓTESIS: es ua aseveració acerca de u feómeo particular y que úicamete puede ser verdadera o falsa. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA: aseveració sobre el valor de algú parámetro de iterés. EJEMPLO 9. Se desea coocer el cosumo promedio diario de agua por habitate. = cosumo de agua (e litros) por habitate e u día dado. µ = cosumo promedio diario de agua por habitate. H: el cosumo promedio diario de agua por habitate es superior a 50 lt. H: µ > 50 E geeral, si θ es el parámetro de iterés, ua hipótesis es ua aseveració del tipo H: θ Θ, dode Θ es el cojuto de posibles valores de θ. Si Θ cotiee u solo valor H es llamada hipótesis simple Si Θ cotiee más de u valor H es llamada hipótesis compuesta 63 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

24 Existe dos tipos de hipótesis: HIPÓTESIS NULA: es ua aseveració e dode las codicioes del proceso está bajo cotrol. Negació de la hipótesis de trabajo. Se deota por H 0. HIPÓTESIS DE TRABAJO O ALTERNATIVA: es ua aseveració que expresa el puto de vista iicial del ivestigador. Negació de la hipótesis ula. Se deota por H. La hipótesis que queremos probar es H! EJEMPLO 9. (Cotiuació...) H 0 : µ 50 vs. H : µ > 50 (Cotraste de hipótesis) Para poder decidir cuál de las dos hipótesis es verdadera, ecesitamos iformació muestral, la cual se resume e estadísticas. E el leguaje estadístico lo que queremos es decidir si rechazar o o rechazar la hipótesis ula H 0. ESTADÍSTICA DE PRUEBA: es ua estadística cuyos valores se usará para determiar el rechazo o o rechazo de la hipótesis ula. Los valores de ua estadística de prueba se puede clasificar e dos tipos: o Los que lleva al rechazo de H 0 regió de rechazo C o Los que lleva al o rechazo de H 0 regió de aceptació C c El o los valores de la estadística de prueba que separa las dos regioes so llamados valores críticos. EJEMPLO 9. (Cotiuació...) H 0 : µ 50 vs. H : µ > Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

25 C = estadística de prueba, k = valor crítico y Si = { > k} c { k} C =. Al tomar ua decisió de rechazar o o rechazar H 0 se puede cometer dos tipos de errores: ERROR TIPO (ET): rechazar H 0 cuado e realidad es verdadera, ERROR TIPO (ET): o rechazar H 0 cuado e realidad es falsa. Estos errores se puede resumir e la siguiete tabla: Realidad H 0 verdadera H 0 falsa Decisió Rechazar H 0 ET No rechazar H 0 ET Ua forma de medir qué ta frecuete ocurre u error es mediate su probabilidad, es decir, α = P(ET) = P(rechazar H 0 H 0 ) = P( C ) H 0 c H β = P(ET) = P(o rechazar H 0 H ) = P( C ) Ua prueba de hipótesis se mide de acuerdo a qué ta grade es su error tipo. E otras palabras, Tamaño de prueba (o ivel de sigificacia) = P(ET) = α Ua maera de medir qué ta buea es ua prueba es mediate la fució potecia, deotada por π. Se defie como la probabilidad de rechazar H 0 cuado debe de ser rechazada porque H 0 es falsa, i.e., 65 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

26 π = P(rechazar H 0 H 0 falsa) = P(rechazar H 0 H ) = β Es deseable teer pruebas co tamaños de error α y β lo más pequeño posibles, pero existe ua relació iversa etre α y β, i.e., si α β, y si α β Cómo le hacemos etoces? Se ha establecido por coveció que el ET es más grave que el ET, por lo que se cotrola el ET fijado u valor de α pequeño, y para todas las pruebas co el mismo α ecotrar aquella co el meor valor de β (o mayor potecia π). α pequeño α 0.0 EJEMPLO 0. Virus de imuodeficiecia humaa. Las hipótesis so: H 0 : VIH+ vs. H : VIH Decisió \ Realidad H 0 verdadera (VIH+) H 0 falsa (VIH ) Rechazar H 0 (VIH ) ET No rechazar H 0 (VIH+) ET Qué error es más grave, el ET o el ET? Existe dos métodos geerales a seguir para realizar ua prueba de hipótesis: 66 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

27 MÉTODOS PARAMÉTRICOS: Supoe que la v.a. de iterés tiee ua distribució que es miembro de ua familia paramétrica, por ejemplo: Normal, Beroulli, etc. La variable tiee que ser umérica. MÉTODOS NO PARAMÉTRICOS: No supoe que la v.a. tiee algua distribució específica. La variable puede ser umérica o categórica ordial. Cuádo usar u método paramétrico o uo o paramétrico?. o Si se satisface los supuestos distribucioales: Prueba paramétrica > prueba o paramétrica o Si o se satisface los supuestos distribucioales: Prueba o paramétrica > prueba paramétrica Cómo verificar los supuestos distribucioales? Existe métodos formales para ello, pero lo más comú es utilizar u método gráfico como: Histogramas, diagramas de tallo y hojas, y gráfica de probabilidad ormal. Normal Probability Plot percetage Normal! 67 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

28 Normal Probability Plot percetage No Normal! Las formas más comues de pruebas de hipótesis que se preseta so:. H 0 : θ θ 0 vs. H : θ > θ 0 (prueba de ua cola) H 0 : θ = θ 0 vs. H : θ > θ 0. H 0 : θ θ 0 vs. H : θ < θ 0 (prueba de ua cola) H 0 : θ = θ 0 vs. H : θ < θ 0 3. H 0 : θ = θ 0 vs. H : θ θ 0 (prueba de dos colas) Para obteer u PROCEDIMIENTO DE PRUEBA, el método más comú e el cociete de verosimilitudes (geeralizado). Los procedimietos de prueba así obteidos so los que tiee mayor potecia. Las pruebas que se preseta a cotiuació fuero obteidas mediate el método de cociete de verosimilitudes. Ua vez que se obtiee la estadística de prueba W, la regió de rechazo para los 3 casos de hipótesis ateriores so: 68 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

29 H 0 H C θ = θ 0 θ > θ 0 W w α θ = θ 0 θ < θ 0 W w α θ = θ 0 θ θ 0 W w α / o W w α / EJEMPLOS: Pruebas de hipótesis que ivolucra ua sola població. Sea,,..., ua m.a. de ua població co media µ = E() y variaza σ = Var(). El ivel de sigificacia de las siguietes pruebas es α. Prueba de hipótesis para µ (co σ coocida): Prueba paramétrica. (Supuestos: Normal o grade, σ coocida) Hipótesis: H 0 : µ = µ 0 vs. H : µ µ 0 Procedimieto: = { Z z } C, Z = 0 N( 0,) α / µ σ H 0 Prueba de hipótesis para µ (co σ descoocida): Prueba paramétrica. (Supuestos: Normal) Hipótesis: H 0 : µ = µ 0 vs. H : µ µ 0 H C t ( ), α /, T = t ( ) Procedimieto: = { T } µ S 0 Prueba de hipótesis para σ : Prueba paramétrica. (Supuestos: Normal) Hipótesis: H 0 : σ = σ 0 vs. H : σ σ 0 Procedimieto: = { J χ, χ } C, ( ), α / J ( ), α / J = H ( ) S 0 σ χ ( ) 69 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

30 Prueba de hipótesis para p: Prueba paramétrica. (Supuestos: Ber(p), 30) Hipótesis: H 0 : p = p 0 vs. H : p p 0 C, Procedimieto: = { Z z } α / Z = p 0 pˆ p ( p ) H N( 0,) EJEMPLOS: Pruebas de hipótesis que ivolucra dos poblacioes idepedietes. Sea,,..., ua m.a. de ua població co media µ, mediaa m y variaza σ y,,..., m otra m.a. de ua població co media µ, mediaa m y variaza σ, idepediete de la aterior. Prueba de hipótesis para la comparació de localizacioes: Prueba paramétrica. (Supuestos: Normal, Normal, σ y σ coocidas) Hipótesis: H 0 : µ µ = µ 0 vs. H : µ µ µ 0 Procedimieto: = { Z z } 0 C, Z = N( 0,) α / µ σ σ + Prueba paramétrica. (Supuestos: Normal, Normal, σ = σ descoocidas) Hipótesis: H 0 : µ µ = µ 0 vs. H : µ µ µ 0 H0 0 C t ( + m ), α /, T t (+ m ) Procedimieto: = { T } S p = ( ) S + ( m ) S + m m H 0 µ =, S p + m 70 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

31 Prueba o paramétrica. Ma-Whitey (Supuestos: Niguo) Hipótesis: H 0 : m = m vs. H : m m C, Procedimieto: = { T k, T k } T = R (,m), α / ( ) i ( + ) H 0 T (,m), α / Ma Whitey R ( i ) = rago asociado a la observació i, k (,m), α / Si y m so grades, Procedimieto: = { Z z } =pto. crítico de la dist. de Ma-Whitey C, α / Z = T m + m ( m + ) H 0 N( 0,) Prueba de hipótesis para la comparació de dispersioes: Prueba paramétrica. (Supuestos: Normal, Normal) Hipótesis: H 0 : σ = σ vs. H : σ σ C, Procedimieto: = { F f, F } S F = S H 0 F (,m ), α / f (,m ), α / (,m ) Prueba o paramétrica. Variate de Ma-Whitey (Supuestos: Niguo) Hipótesis: H 0 : σ = σ vs. H : σ σ Procedimieto: Tomar U i = y V = y seguir el i j j procedimieto de la prueba Ma-Whitey para localizació. Prueba de hipótesis para p -p : Prueba paramétrica. (Supuestos: Ber(p ), Ber(p ), y m grades) Hipótesis: H 0 : p p = p 0 vs. H : p p p 0 7 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

32 C, Procedimieto: = { Z z } α / Z = pˆ pˆ pˆ p pˆ pˆ + ( ) ( ) 0 pˆ m H 0 N( 0,) EJEMPLOS: Pruebas de hipótesis que ivolucra dos poblacioes depedietes. Sea (, ),(, )...,(, ) ua m.a. de v.a. s pareadas (depedietes) co parámetros µ, m, σ, µ, m, σ. Prueba de hipótesis para la comparació de localizacioes: Prueba paramétrica. (Supuestos: D = Normal, σ D descoocida) Hipótesis: H 0 : µ µ = µ 0 vs. H : µ µ µ 0 Procedimieto: C = { T } t ( ), α /, dode T D µ H0 0 = t ( ) SD Prueba o paramétrica. Del sigo. (Supuestos: Niguo) Hipótesis: H 0 : m = m vs. H : m m H 0 : θ = / vs. H : θ /, dode θ = P( > ) C, Procedimieto: = { T k, T } + α / + k α/ H 0 T+ = #Dif. pos. Bi ( *, ), * = {# Dif. 0} VALOR-P: El valor-p o ivel de sigificacia descriptivo es el míimo valor de α para el cual se decide rechazar la hipótesis ula. Esta catidad es de suma importacia ya que la mayoría de los paquetes estadísticos lo calcula y el usuario toma la decisió a partir de él. 7 Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

33 Cómo decidir si rechazar o o rechazar H 0 usado el valor-p? Si valor-p α se rechaza H 0 Si valor-p > α o se rechaza H 0 EJEMPLO. U supervisor de producció, tiee que gatizar que las bolsas de semilla de pasto que vede ua cía. pese e promedio 5 kg. Para verificarlo, se seleccioa 5 bolsas y se ecuetra u peso promedio de 3.8 co ua desviació estádar de 6.6 kg. Debería madar cerrar esta cía.? Utilice u ivel de sigificacia del = peso de ua bolsa de semillas de pasto,..., 5 = 5 x = 3. 8, s = 6. 6, α = 0.05,. 06 Hipótesis: H 0 : µ = 5 vs. H : µ 5 Procedimieto: = { T.06} t ( 4),0. 05 = C, T obs = C No se rechaza H 0 (No hay suficiete evidecia para madar cerrar la cía.) Hypothesis Tests Sample mea = 3.8 Sample stadard deviatio = 6.6 Sample size = % cofidece iterval for mea: 3.8 +/ [.0756,6.544] Null Hypothesis: mea = 5.0 Alterative: ot equal Computed t statistic = P-Value = Do ot reject the ull hypothesis for alpha = Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo

34 EJEMPLO. A 8 sujetos se les pide calificar del 0 al 0 dos posibles campañas publicitarias de ahorro de eergía. Las calificacioes se preseta e la siguiete tabla. Diga cuál de las dos campañas debe lazar al aire. Utilice α = 0.0. Sujeto Calificació C.A Calificació C.B = Calificació de la campaña A = Calificació de la campaña B Hypothesis Tests for - Sample mea = -.0 Sample media = -.0 t-test Null hypothesis: mea = 0.0 Alterative: ot equal Computed t statistic = P-Value = Reject the ull hypothesis for alpha = sig test Null hypothesis: media = 0.0 Alterative: ot equal Number of values below hypothesized media: 6 Number of values above hypothesized media: Large sample test statistic =.586 (cotiuity correctio applied) P-Value = Do ot reject the ull hypothesis for alpha = Curso: Métodos estadísticos básicos y técicas de muestreo