INFERENCIA ESTADÍSTICA CONCEPTOS BÁSICOS

Transcripción

1 INFERENCIA ESTADÍSTICA CONCEPTOS BÁSICOS

2 Població E el cotexto de la estadística, ua població es el cojuto de todos los valores que puede tomar ua característica medible e particular, de u cojuto correspodiete de etes reales o abstractos. A maera de ejemplo, si se está iteresado e el diámetro de los lápices que se produce e ua fábrica, la població es la característica medible "diámetro" y está costituida por todos las diámetros que mide los lápices que se produce, y o por los lápices e sí. La forma e que se distribuye la característica de iterés e la població se deomia distribució poblacioal.

3 Parámetro poblacioal Es ua fució de los elemetos de la població. Ejemplos de parámetros so la media y la variaza si so calculados co base e toda la iformació de la població. Los parámetros a meudo caracteriza a la població. Suele ser represetados co letras griegas miúsculas. µ σ 2 λ θ Para ua població co distribució ormal, sus parámetros so la media y la variaza, que suele represetarse co µ y σ 2 respectivamete. Para ua població co distribució expoecial, el parámetro suele represetarse co λ. La media de ua VA expoecial es 1/λ.

4 Muestra Ua muestra es cualquier subcojuto de observacioes de la característica de iterés tomadas de la població. X={X 1, X 2, X 3,...X i,..., X } Al proceso de seleccioar la muestra se le demoia: muestreo. El muestreo puede ser aleatorio o o aleatorio; co reemplazo o si reemplazo. Los métodos de la Estadística Iferecial requiere que el muestreo sea aleatorio.

5 Muestra aleatoria Sea ua població co la característica medible X cuya distribució es f(x). Se dice que X={x 1, x 2, x 3,..., x } es ua muestra aleatoria simple si: a) Cada valor x i se obtiee observado X de maera idepediete bajo las misma codicioes veces, es decir, las x i so variables aleatorias idepedietes (lo que sigifica que se ha efectuado u muestreo aleatorio co reemplazo). b) Cada observació x i es ua VA cuya distribució de probabilidad es idética a la distribució de la població: f(x i ) = f(x), i = 1,2,...,

6 DISTRIBUCIÓN DE CADA OBSERVACIÓN DE LA MUESTRA Població X~f(x) f(x) Distribució poblacioal X i Al extraer ua observació de la població, el resultado es ua VA cuya distribució de probabilidad es idética a la distribució poblacioal. f(x i ) X Distribució de probabilidad de cada observació Xi. X i

7 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA CADA OBSERVACIÓN DE LA MUESTRA Població X~f(x) X i Si la media poblacioal es µ Ε[X i ]=µ y se cumple las codicioes del muestreo aleatorio simple etoces: Si la variaza poblacioal es σ 2 El valor esperado y la variaza de cada VA Xi so iguales a los de la població, ya que f(x i )=f(x) V[X i ]= σ 2 Resultado que la distribució de probabilidad f(xi) para todas las Xi de la muestra, es idética a la distribució poblacioal f(x), co los mismos parámetros.

8 La muestra está compuesta por observacioes X i La distribució de probabilidad cojuta de las observacioes X i que coforma ua muestra aleatoria simple es: L(x 1, x 2, x 3,..., x ) = f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 )... f(x ) y se cooce como fució de verosimilitud de la muestra. L(X) = Π f(x i ) Todas las muestras de tamaño tiee la misma probabilidad de ser seleccioadas i=1

9 Estadístico Es ua fució de las observacioes de la muestra y que o cotiee catidades descoocidas. U ejemplo de u estadístico es el total muestral: T = i= 1 x i Otro ejemplo de u estadístico es la media muestral: X = 1 i= 1 x i Geeralmete los estadísticos se represeta co letras latias.

10 Sea ua població compuesta por 5 calificacioes idepedietes calificació 4 E J E M P L O Obteer muestras aleatorias (co reemplazo) de tamaño 2 y para cada ua de ellas calcular el valor del estadístico: X = 1 i= 1 x i 8

11 X = 1 Cálculo del valor del estadístico x i i= 1 Muestra 1 _ X _ X1 Població Muestra 2 _ X 2 Muestra j _ X j Muestra m _ X m

12 Estadístico E cosecuecia, u estadístico es ua VARIABLE ALEATORIA y por lo tato, tiee ua distribució de probabilidad. Si la població es discreta y fiita, etoces la distribució de muestreo tambié es discreta, y existe u úmero fiito de posibles muestras. Si la població es cotiua, etoces la distribució de muestreo tambié es cotiua, ya que existe u úmero ifiito de posibles muestras, y a su vez, el estadístico puede tomar u úmero ifiito de valores.

13 Media, Variaza y Error estádar de u estadístico U estadístico, al ser ua variable aleatoria tiee ua distribució de probabilidad. La media del estadístico es su valor esperado y su variaza es el segudo mometo de la variable aleatoria co respecto a su media. El error estádar de u estadístico es la raíz de la variaza, y es ua medida de la variabilidad del estadístico.

14 Distribució de muestreo Es la distribució de probabilidad de ua estadístico.

15 Sea ua població de 5 calificacioes idepedietes calificació E J E M P L O Costruir la distribució de muestreo del estadístico: X = 1 x i i= 1 Ecotrar el valor esperado de la media muestral: E[X] Ecotrar la variaza de la media muestral: V[X] Ecotrar el error estádar de la media muestral: ES[X]=Raiz(V[X])

16 Se trata de ua població discreta y fíita (costa de 5 elemetos). El úmero de posibles muestras co reemplazo es: m=5 2 =25 Determiar todas las posibles muestras. Para cada ua de ellas calcular el valor del estadístico correspodiete. Para cada valor del estadístico, determiar la probabilidad de que ocurra ese valor al extraer ua muestra. Utilizado la distribució de muestreo se ecuetra el valor esperado y la variaza del estadístico. Ua vez que se cooce la forma de la distribució de muestreo de u estadístico, ya se puede utilizar para realizar iferecias por itervalos y pruebas de hipótesis.

17 Si de ua població co distribució f(x) co media µ y variaza σ 2 se extrae ua muestra aleatoria simple de tamaño, etoces: E[X ] = µ y V[ X ] = σ 2 Demostrar...

18 EJEMPLO Si de ua població co distribució ormal, co media µ y variaza σ 2, se extrae ua muestra aleatoria simple de tamaño, determiar la distribució de muestreo del estadístico: 1 X = i= 1 x i

19 Estimador U estimador es u estadístico que se utiliza para iferir el valor de algú parámetro poblacioal, y que proporcioa u úico valor como estimació de ese parámetro. U ejemplo de estimador putual es la media muestral. Para que u estadístico fucioe como estimador de algú parámetro debe al meos ser evaluado. Lo deseable es que su valor esperado sea igual al parámetro que pretede estimar y que su variaza sea míima.

20 Estimador Se dice que u estimador es isesgado si su valor esperado es igual al parámetro que pretede estimar. Esto sigifica que si realizamos u úmero grade de experimetos (extraccioes de la població); e promedio, el valor proporcioado por el estimador será muy cercao al verdadero valor del parámetro, co u error e la estimació medido por el error estádar del estimador.

21 E resume... De los ejemplos ateriores, se desprede que la media muestral X es u bue estimador de la media poblacioal µ. ya que: E[X ] = µ y su error estádar está dado por: ES[ X ] = σ 2 Además, si la població de orige tiee distribució ormal, etoces, por la propiedad reproductiva de la distribució ormal, la distribució de probabilidad de X tambié tiee distribució ormal.

22 y si la població o tiee distribució ormal? Teorema cetral del límite: Sea X={x 1, x 2,..., x } ua muestra aleatoria simple de ua població co fució de desidad de probabilidad f(x) cualquiera co media µ y variaza σ 2. El estadístico X tiee media µ y variaza σ 2 / y su distribució de probabilidad tiede a la de ua distribució ormal coforme tiede a ifiito.