2. MODELOS PROBABILISTICOS

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1 . MODELOS PROBABILISTICOS. Fucioes de Probabilidad.. Variable Discreta U modelo probabilístico de u experimeto requiere asociar u valor de probabilidad a cada puto del espacio muestral. E el caso de las variables aleatorias discretas, la fució que asocia ua probabilidad a la variable se deomia fució de probabilidad de masa (fpm), y se desiga por p x (x 0 ). Esta fució represeta la probabilidad que la variable aleatoria X tome el valor x 0 e la realizació del experimeto. Usualmete, la fució de probabilidad de masa se represeta por u gráfico de barras para cada valor de la variable aleatoria. Cualquier fució matemática es ua posible fució probabilidad de masa siempre que cumpla las siguietes dos propiedades que se deriva directamete de los axiomas de probabilidad. E primer lugar, su valor debe estar compredida etre 0 y ya que represeta ua probabilidad, y e segudo térmio la sumatoria para todos los posibles valores de x debe ser uitaria, ya que represeta la probabilidad del eveto uiversal. El cocepto de fució probabilidad de masa puede extederse al caso de varias variables. E especial, para dos variables, se defie la fució de probabilidad de masa compuesta, como la probabilidad que los valores experimetales de la variable aleatoria X e Y, al realizar u experimeto sea iguales a x e y 0 respectivamete y se desiga por 0 p XY (x 0, y 0 ). Aálogamete al caso aterior, esta fució tiee las siguietes propiedades : x y p XY ( x y ) 0, 0 pxy ( x0, y0) py ( y0) pxy ( x0, y0) px ( x0) x Las fucioes p X (x 0 ) y p Y (y 0 ) se deomia fucioes de probabilidad de masa margiales. Dos coceptos adicioales de gra utilidad so la fució de probabilidad acumulada o fució distribució acumulada (FDA) y la oció del valor esperado. Se defie fució distribució acumulada (FDA) a la fució que establece la probabilidad y

2 que la variable aleatoria X tome valores meores o iguales a u valor dado e la realizació del experimeto. Prob( X x ) P ( x ) p ( x ) 0 X 0 X 0 x Esta fució es siempre positiva, está compredida etre 0 y y es creciete, debido a los axiomas de probabilidad y a las propiedades de la fució probabilidad de masa. El valor esperado de ua fució bi-uívoca de ua variable aleatoria X es la sumatoria para todos los posibles valores de X del producto de la fució por la fpm evaluada e el mismo puto que la fució. { } 0 X 0 x E g( x) g( x ) p ( x ) E particular, so importates alguos casos especiales de la fució g(x) como ser el valor esperado de potecias eteras de x, los cuales se deomia mometos de x. Se puede defiir tambié, la potecia cetrada co respecto al valor esperado o mometo cetral -ésimo de x. El primer mometo de x se cooce tambié como valor esperado o promedio de x (E(x)) y el segudo mometo cetral se cooce como variaza de x (s x ) : X 0 x E( x ) x p ( x ) 0 X 0 x E( x) x p ( x ) { } s E( x E( x)) ( x E( x)) p ( x ) x x 0 X 0.. Variable Cotiua La probabilidad asociada a ua variable cotiua, está represetada por la fució desidad de probabilidades (fdp). Si X es ua variable aleatoria cotiua e el rago - a + se defie : Prob( a x b) f ( x) dx X b a

3 Siedo f X (x) la fució desidad de probabilidades. La itegral represeta el área marcada (Figura.), la cual es igual a la probabilidad que el valor de la variable aleatoria x esté compredido e el itervalo a, b. Esta fució tiee la propiedad de ser positiva y de ecerrar u área uitaria bajo ella al ser itegrada para todo el rago de la variable aleatoria. Es decir, se cumple que : 0 < f X (x) < + y f X (x)dx + f x (x) a b x Ilustració...: Área que represeta la Prob (a x b). Es importate recalcar que e este caso la probabilidad de u eveto, está asociada al área bajo la curva de la fució desidad de probabilidades y o al valor de la fució, lo cual implica que siedo X ua variable cotiua, la probabilidad asociada a u valor específico es ula y sólo se puede hablar de probabilidad asociada a u itervalo de la variable. Se defie fució de distribució acumulada (FDA) de la variable X a la probabilidad de que la variable aleatoria sea meor o igual a u valor dado: Prob(x < x 0 ) F X (x 0 ) x o f (x) x dx

4 La fució distribució acumulada mide la probabilidad que e ua realizació cualquiera de u experimeto el valor de la variable sea meor o igual al valor x 0 y tiee las siguietes propiedades: F x (+ ) F x (- ) 0 Prob(a < x < b) F x (b) - F x (a) F x (b) > F x (a) para b > a dfx ( x) dx f X ( x) Si u experimeto queda defiido por varias variables aleatorias, etoces las probabilidades se determia mediate ua fució desidad de probabilidades compuesta. Los valores esperados y los mometos se calcula mediate la itegració del producto de la fució desidad de probabilidades por la fució para todo el rago de la variable aleatoria. E(g(x)) + - g(x) f X (x) dx o bie e el caso de dos variables : + + E(g (x,y)) g (x, y) - - f(x,y) dx dy E la Tabla. se resume las expresioes para las fucioes desidad de probabilidades y fucioes de distribució acumulada para los modelos de uso habitual e los estudios hidrológicos.

5 Tabla...: Fucioes desidad y probabilidad acumulada Distribució Fució desidad de probabilidades f () x o Fució distribució acumulada F(x) Ragos de variable aleatoria y parámetros Valores extremos tipo I (Gumbel o EV) x β () α F x exp e x α > 0 Valores extremos geeralizados (GEV) F () x x u exp α α > 0 u + α x Si < 0 α < x u + Si >0 Pcarso Tipo III f () x x γ a a Γ β x γ exp ( β ) a x γ Si α > 0 x γ Si α < 0 Gama: Pearso Tipo III co γ 0 f () x β ( x / a) α Γ( β ) x exp a Expoecial: Pearso Tipo III co β x γ f () x exp a a γ x Logormal- (LN) f () x log x α exp πβx β 0 < x

6 Distribució Fució desidad de probabilidades f () x o Fució distribució acumulada F(x) Ragos de variable aleatoria y parámetros Logormal-3 (LN3) f () x πβ. ( x γ ) log exp ( x γ ) β α γ < x Valores extremos de dos compoetes (TCEV) Waeby (WAK) F x / θ x / θ () x exp( A e A e ) b [ ( F() x ) ] c ( F() x ) x m + a d [ ] x > 0 θ > 0 θ > 0. Estimació de Parámetros Los modelos probabilísticos costituye herramietas matemáticas para maejar variables aleatorias y para asociar probabilidades a los distitos valores de ellas. El hidrólogo al trabajar co registros observados requiere elegir el modelo más adecuado para represetar la muestra y además estimar los parámetros del modelo seleccioado. Ua vez elegido el tipo de modelo a emplear, se debe estimar, utilizado los registros observados, los parámetros del modelo, para lo cual existe diversos procedimietos. Las metodologías usuales para ello so el método de máxima verosimilitud, el método de los mometos, y el método de mometos poderados por probabilidad.. Método de máxima verosimilitud Se defie como fució de verosimilitud de variables aleatorias x, x, x 3,...x a la fució desidad de probabilidad cojuta de las variables, g(x, x, x 3,...x, Q). E particular, si x, x,..., x es ua muestra aleatoria de la fució desidad f(x,q) etoces, la fució verosimilitud es: L(Q) g(x, x,..., x, Q) f(x,q) f(x, Q)... f(x,q)

7 La fució de verosimilitud da etoces la probabilidad que las variables aleatorias tome valores particulares x, x,... x. Si Θ es el valor de Q que maximiza L(Q) etoces, se dice que Θ es el estimador de máxima verosimilitud de Q. El estimador de máxima verosimilitud es la solució de la ecuació que aula la primera derivada de la fució de verosimilitud co respecto al parámetro. Para facilitar la búsqueda del parámetro, se aprovecha la codició que las fucioes L(Q) y su logaritmo tiee sus máximos para el mismo valor de Q, ya que e alguos casos es más simple ecotrar el máximo del logaritmo de la fució. El procedimieto de máxima verosimilitud tiee vetajas teóricas para la estimació de los parámetros de u modelo, cuado las muestras so de tamaño grade, pues etrega estimadores o sesgados, lieales y de míima variaza. El cálculo de los parámetros de los distitos modelos por este procedimieto es más complejo que por otros métodos, pues geeralmete se debe resolver la ecuació resultate por métodos iterativos, para ecotrar el valor de los parámetros que maximiza la fució logarítmica presetada. Este cálculo requiere resolver el sistema de ecuacioes que se forma al igualar a cero la primera derivada de la fució de verosimilitud o del logaritmo de dicha fució, co respecto a cada uo de los parámetros. E la Tabla. siguiete se muestra las expresioes para el logaritmo de la fució de verosimilitud de varios modelos probabilísticos.

8 Tabla...:Logaritmo de las fucioes de verosimilitud Modelo Log-ormal- Logaritmo atural de la fució l xi α l π l β l xi β Log-ormal-3 π l β l( x γ ) l ( x γ ) α i l i β Valores Extremos I Valores Extremos Geeralizada l α lα ( ) xi β α e ( x β ) i α ( x u) i exp l α exp l ( x i u) α / / Gama- l Γ( α ) α l β + ( α ) l xi Pearso Tipo III l Γ( α) α l β + ( α ) l( xi γ ) x i β xi γ β.. Método de los mometos Este método se apoya e u teorema fudametal de la teoría de muestreo que expresa que los mometos de la muestra so bueos estimadores de los mometos de la població o uiverso. E cosecuecia, este método establece que dado u cojuto de observacioes x, x,... x de la variable aleatoria x, u bue estimador del promedio del uiverso es el promedio de la muestra:

9 xbar x i mietras que el estimador de la variaza σ es la variaza de la muestra S. S ( xi xbar) o bie, u estimador o sesgado es : S ( xi xbar) Se puede ecotrar ecuacioes similares para los mometos de orde superior, siedo los dos primeros mometos suficietes para las distribucioes de dos parámetros. No siempre los parámetros de ua distribució so exactamete iguales a los dos primeros mometos. Si embargo, los parámetros so fucioes de los mometos y puede resolverse el sistema de ecuacioes resultate para ecotrar los parámetros. E geeral la estimació de los parámetros de ua muestra utilizado el procedimieto de los mometos es el más secillo, pues requiere obteer de la muestra los estimadores de tatos mometos como parámetros tega el modelo de distribució. E seguida se forma u sistema de ecuacioes igualado los estimadores calculados de la muestra co los correspodietes mometos del uiverso o població. Así se forma u sistema de tatas ecuacioes como parámetros hay que estimar. E la Tabla.3 se muestra las expresioes para calcular los parámetros de varios modelos probabilísticos usado el método de los mometos. Las expresioes está e fució del promedio de la muestra (xbar), la desviació estádar (S), el coeficiete de variació (C v ) y el coeficiete de asimetría (g ). El promedio y la variaza de la muestra so a su vez, variables aleatorias, y como tal, puede estudiarse su valor medio, su variaza y su distribució. E especial, es importate la relació etre ellos y el valor esperado de la variable x. Se puede demostrar, utilizado el teorema del Límite Cetral, que el valor esperado del promedio de la muestra es igual al promedio de la variable aleatoria x y que la variaza del promedio o error medio cuadrático es σ /. Ua estimació putual de u parámetro es a veces poco coveiete, ya que rara vez coicide co el parámetro. Por esta razó, se prefiere a veces, realizar ua estimació mediate u itervalo (I, S) e el cual I es el límite iferior y S es el límite superior del itervalo. Este itervalo se deomia itervalo de cofiaza o de sigificació del estimador.

10 Tabla...:Parametros de los modelos de distribucio Modelos Parámetro α Parámetro β Parámetro γ Normal xbar S σ Log-ormal- l l( + C ) z v l( + C v ) mal-3 Logor ( + C ) σ l l l( + C v ) v z ( C z) xbar v / z w w * 3 / w 3 ( g + g + 4) Valores Extremos I Gama- Pearso III,85/σ xbar 0,45005σ xbar S β S xbar S ( ) g xbar S β..3 Método de Mometos Poderados por Probabilidad Greewood y otros autores (979) recomedaro estimar los parámetros de diversas distribucioes mediate el método de mometos poderados por probabilidad (MPP), ya que este procedimieto tiee características preferibles al de máxima verosimilitud o de mometos covecioales, cuado el tamaño de la muestra es limitado. Los mometos poderados por probabilidad se defie como el valor esperado del producto de tres térmios: la variable aleatoria (x), la fució de distribució acumulada (F(x)) y el complemeto de esta fució. De esta forma el MPP de orde l, j, se calcula mediate la siguiete expresió: l i j i j Mi, j, E( x F ( F) ) x F ( F) df 0 Los mometos covecioales so u caso especial de los MPP, ya que e ellos el expoete i es uitario y los otros dos expoetes so ulos.

11 Para facilitar el cálculo de los MPP se usa valores particulares para los expoetes. Por ejemplo, para la distribució Waeby se recomieda usar u valor uitario para el expoete i y ulo para el expoete j. E este caso se deomia M.0. al MPP de orde, y se desiga simplemete por M (Greewood et al., 979). Para las distribucioes de valores extremos geeralizados y tipo I se recomieda u expoete uitario para i y ulo para, obteiédose los mometos M j. Ladwehr y otros autores (979a) recomieda calcular estimadores de los MPP a partir de la muestra, utilizado la siguiete expresió, que etrega MPP sesgados para positivo, e fució del tamaño de la muestra (), de los valores de caudales ordeados e forma creciete (x i ) y del úmero de orde (i) de cada valor e la lista: M xi(( i+ 035, ) / ) Los autores ombrados tambié exploraro el empleo de estimadores si sesgo para los MPP, pero reporta que los estimadores moderadamete sesgados proporcioa mejores resultados, particularmete al estimar los valores de los cuatiles superiores, lo cual es especialmete relevate e el cotexto del aálisis de frecuecia de crecidas. Para ecotrar estimadores co este método, se debe establecer ua igualdad etre los mometos poderados del modelo y los correspodietes de la muestra, formádose u sistema de ecuacioes co tatas ecuacioes como parámetros hay que estimar. F i : Los mometos de la muestra se calcula poderado cada valor por la probabilidad i Fi 035, N El ídice i represeta el úmero de orde de cada valor de la muestra ordeada e valores crecietes, es decir, i vale uo para el valor más pequeño. Los mometos se estima por las expresioes siguietes (Hosig et al., 985) : $M j N N j F x i i o bie N $ M K ( Fi) N x i

12 Los mometos poderados del uiverso o població depede del modelo probabilístico que se emplee. A cotiuació se icluye las expresioes para diferetes modelos. Tabla..3. :Mometos poderados por probabilidad Distribució Distribució iversa y fórmula de MPP EV x + α( I IF), β FProb ( X x) β α M j j + { ( + j) + 0,577} j α + j { } GEV x u + ( l F ) M [ ( j + ) Γ( ) ] ( u + α / ) jo + Waeby x m + a b [ ( F ) ] c ( F ) d [ ], M 0 m + a c a c b + d.3 Selecció de Modelos El úico procedimieto para verificar el comportamieto de u modelo matemático, ya sea probabilístico o determiístico, es comparar las prediccioes efectuadas por el modelo co observacioes de la realidad. Si el modelo es determiístico, y o existe error experimetal, etoces la comparació co los valores observados es simple y cocluyete.

13 Si embargo, e el caso de modelos probabilísticos, debido a la aturaleza misma del modelo, las observacioes so sólo ua muestra de la realidad, y e cosecuecia ua repetició del esayo puede dar u resultado diferete. Resulta, pues, poco probable ecotrar ua correspodecia exacta etre modelo y realidad, aú cuado las hipótesis sea válidas. Por ello, es ecesario defiir la magitud de la discrepacia que puede obteerse si que sea ecesario desechar la hipótesis estudiada. Al ser la variable observada ua variable aleatoria, puede producirse grades diferecias, au cuado ello sea poco probable. Por otro lado, ua correspodecia etre la predicció y la observació tampoco es suficiete para garatizar que la hipótesis sea cierta. E la elecció de u modelo probabilístico, es coveiete cosiderar todo el coocimieto que se tega sobre la variable. Por ejemplo, puede haber ciertas limitates físicas que haga imposible la existecia de valores egativos, valores límites, etc. Si el modelo o cocuerda co estas limitates, cabe etoces, pregutarse si esas discrepacias so o o importates, al adoptar u determiado modelo. Otra medida cualitativa sobre la bodad del modelo, es su facilidad de tratamieto matemático u operativo, la cual tambié coviee cosiderar. Fuera de estas ocioes cualitativas debe cosiderarse ciertos aspectos cuatitativos. A saber, puede calcularse los mometos de orde superior de la distribució y compararlos co los valores calculados a partir de la muestra. Si embargo, es preciso teer presete que el error medio cuadrático cometido e la estimació de dichos mometos, aumeta al icremetar el orde de mometo y por ello dismiuye la precisió e los estimadores. Tambié se recomieda comparar las probabilidades observadas co las calculadas co el modelo, lo cual puede realizarse gráficamete o aalíticamete..3. Métodos gráficos Para verificar el modelo propuesto, se recurre usualmete a comparacioes gráficas etre el modelo y los datos, ya sea utilizado la fució desidad de probabilidad, o bie, la distribució acumulada. E ambos casos, la comparació gráfica permite ua visualizació rápida del ajuste del modelo e idica las zoas e las cuales el ajuste es deficiete. Ello permite decidir sobre la bodad del ajuste, estimar los distitos percetiles de la distribució y los parámetros del modelo. Ua etapa útil e el aálisis es dibujar los datos e forma de u gráfico de barras. Al graficar las frecuecias observadas para cada itervalo del variable se obtiee u histograma, e el cual la altura de cada barra es proporcioal al úmero de observacioes e ese itervalo. Este gráfico etrega al igeiero u cuadro imediato de las frecuecias observadas e cada itervalo y su comparació co el modelo propuesto. Para estudiar el ajuste de los datos al modelo, se procede a graficar la curva de distribució acumulada. Para facilitar la decisió se acostumbra a usar u papel especial de

14 modo que el modelo probabilístico se represeta e él por ua recta. Para ello, se deforma la escala de las abscisas de modo de estirar los extremos de la distribució. Para preparar u gráfico de probabilidades para u cojuto de valores se sigue el siguiete procedimieto : i) Se obtiee u papel especial, llamado papel de probabilidades, diseñado para el modelo e estudio. Existe papeles para la distribució ormal, log-ormal y valores extremos tipo I. ii) Se ordea las observacioes e orde creciete e magitud. iii) Se grafica las observacioes e el papel de probabilidades, asigádoles a cada ua, ua probabilidad o posició de ploteo. Existe varias posicioes de ploteo y e la actualidad ua de las preferidas es la propuesta por Weibull, que etrega u estimador o sesgado de probabilidad. E este caso la probabilidad se calcula co la siguiete expresió: m Prob( x X) + siedo m úmero de orde úmero de datos. Se utiliza tambié el cocepto de período de retoro que se defie como el tiempo para el cual e promedio se produce u eveto igual o superior al cosiderado. Es decir, o bie, T r Prob( x X) T r + m iv) Si los putos graficados se ajusta a ua recta, etoces el modelo elegido represeta u bue ajuste y se traza la recta e forma visual. Si los putos o represeta ua tedecia lieal, etoces el modelo elegido o es adecuado.

15 .3. Métodos cuatitativos Los métodos ateriores permite juzgar e forma gráfica la bodad del ajuste de los datos a u determiado modelo probabilístico. Si embargo, e ciertas ocasioes es preferible cotar co procedimietos cuatitativos, que permita ua decisió objetiva sobre el ajuste. A cotiuació se describe dos procedimietos cuatitativos: el test chi-cuadrado y el test Kolmogosov-Smirov. Los tests de hipótesis sobre modelos de distribució cueta co las siguietes etapas geerales: Primero, se calcula u estadígrafo a partir de los datos observados. Luego, se calcula la probabilidad de obteer el estadígrafo calculado, e el supuesto que el modelo sea correcto. Esto se realiza refiriédose a ua tabla probabilística que etregue los percetiles del modelo de distribució del estadígrafo. Fialmete, si la probabilidad de obteer el valor del estadígrafo calculado es baja, se cocluye que el modelo supuesto o provee ua adecuada represetació de la muestra. Debe hacerse otar que este procedimieto permite rechazar u modelo por o ser adecuado, pero o permite probar que el modelo probabilístico elegido sea el correcto. (a) Test Chi-Cuadrado Es el test más usado para medir la bodad de ajuste de u modelo y es aplicable estrictamete a cualquier tipo de distribució siempre que los parámetros de ella, haya sido estimados mediate el método de máxima verosimilitud. El test cosiste e comparar, e itervalos previamete defiidos de la variable aleatoria, el úmero de casos observados e ese itervalo co el teórico, el cual es fució del modelo probabilístico e estudio. Si O, O,...O so las frecuecias absolutas observadas y E, E,... E so las frecuecias teóricas, e cada ua de las clases, se defie u estadígrafo. ( O E ) Χ i i Ei La variable X tiede a teer ua distribució chi-cuadrado co K-S- grados de libertad, siedo K el úmero de clases o itervalos defiidos y S el úmero de parámetros estimados e el modelo. Para que el ajuste de la distribució a la muestra sea aceptable, se requiere que el valor chi-cuadrado sea meor o a lo sumo, igual al valor teórico que toma la distribució chicuadrado para u cierto ivel de sigificació (ormalmete 5%). Las tablas de la distribució chi-cuadrado permite coocer el valor teórico de chi e fució de los grados de libertad y del ivel de probabilidad deseado.

16 Se recomieda elegir u úmero reducido de clases de modo que el valor teórico de casos observados e cada clase sea por lo meos igual a 5 y usar clases equiprobables. (b) Test de Kolmogorov-Smirov El test se basa e calcular el estadígrafo D defiido como el valor máximo de la diferecia absoluta etre la fució distribució acumulada empírica (G (a)) y la fució distribució del modelo calculada para cada puto de la muestra (F (a)). E geeral, el estadígrafo se calcula usado las distribucioes empíricas de las muestras, de la siguiete maera : D max < a < { F ( a) G ( a) } La dócima es rechazar la hipótesis ula si D es mayor o igual que u valor crítico que depede del tamaño de la muestra y del ivel de sigificacia. La Tabla.5 preseta los valores límites para esta dócima e fució del tamaño de la muestra y del ivel de sigificacia..

17 Tabla.3..: Valores críticos para el test de olmogorov-smirov

18 Tamaño muestra Nivel de sigificacia 0,0 0,5 0,0 0,05 0,0 0,90 0,93 0,95 0,98 0,99 0,68 0,73 0,78 0,84 0,93 3 0,57 0,60 0,64 0,7 0,83 4 0,49 0,53 0,56 0,6 0,73 5 0,45 0,47 0,5 0,56 0,67 6 0,4 0,44 0,47 0,5 0,6 7 0,38 0,4 0,44 0,49 0,58 8 0,36 0,38 0,4 0,46 0,54 9 0,34 0,36 0,39 0,43 0,5 0 0,3 0,34 0,37 0,4 0,49 0,3 0,33 0,35 0,39 0,47 0,30 0,3 0,34 0,38 0,45 3 0,8 0,30 0,33 0,36 0,43 4 0,7 0,9 0,3 0,35 0,4 5 0,7 0,8 0,30 0,34 0,40 6 0,6 0,7 0,30 0,33 0,39 7 0,5 0,7 0,9 0,3 0,38 8 0,4 0,6 0,8 0,3 0,37 9 0,4 0,5 0,7 0,30 0,36 0 0,3 0,5 0,6 0,9 0,35 5 0, 0, 0,4 0,6 0,3 30 0,9 0,0 0, 0,4 0,9 35 0,8 0,9 0, 0,3 0,7 40 0,7 0,8 0,9 0, 0,5 45 0,6 0,7 0,8 0,0 0,4 50 0,5 0,6 0,7 0,9 0,3 >50,07/,4/,/,36/,63/.3.3 Cosideracioes adicioales No existe igua justificació teórica absoluta que apoye la elecció de u determiado modelo probabilístico o de u determiado método de estimació de parámetros. El hidrólogo deberá e cada caso seleccioar la mejor alterativa apoyado e argumetos de diversa ídole. E relació co la estimació de parámetros de los modelos, el método de máxima verosimilitud, tiee vetajas teóricas que se alcaza e forma asitótica al aumetar el tamaño de la muestra. Si embargo, se ha demostrado e experimetos de simulació co muestras pequeñas que otros procedimietos tiee mejores propiedades e estos casos.

19 No obstate lo aterior, existe alguos elemetos que ayuda a seleccioar los modelos más adecuados e u caso particular. Los argumetos se basa e la aturaleza de los datos, e los resultados de tests estadísticos, e represetacioes gráficas de la distribució de frecuecia acumulada y e la comparació de los histogramas. Adicioalmete e ciertos casos existe situacioes especiales que hace que determiados modelos o sea aplicables, por producirse cotradiccioes etre la muestra y los algoritmos de cálculo o la esecia del modelo de distribució. Alguos de estos casos so, por ejemplo, o usar trasformacioes o modelos de tipo logarítmico cuado la muestra tiee valores ulos. E cosecuecia, e estos casos se desacoseja el uso de los modelos log-ormal, gama, gumbel, valores extremos geeralizados y log-pearso tipo III. Si el estimador del coeficiete de asimetría es superior a e valor absoluto, o se puede calcular los parámetros de la distribució log-ormal-3 y Pearso tipo III por el método de máxima verosimilitud. Por otra parte, se acoseja usar: la distribució ormal cuado las razoes etre el coeficiete de asimetría y su error estádar, y cuado la razó etre el coeficiete de urtosis meos tres y su error estádar so iferiores a e valor absoluto, ya que e el 98% de los casos se debe cumplir esta codició si las variables so ormales. Si embargo, esta situació puede o ser muy decisiva si las muestras so pequeñas los modelos log-ormal, de dos y tres parámetros cuado se cumple la codició aterior aplicada a los logaritmos de los valores. distribucioes de valores extremos tipo I y/o valores extremos geeralizados, cuado se estudia valores máximos auales o valores superiores a u umbral o u cierto úmeros de máximos e cada año, siempre que se trate de muestras co coeficiete de asimetría positivo. distribució gama o Pearso tipo III cuado el coeficiete de asimetría es positivo.