Identificación de Sistemas

Transcripción

1 Departameto de Electróica Facultad de Ciecias Eactas Igeiería y Agrimesura Uiversidad Nacioal de osario Idetificació de Sistemas Coceptos Fudametales de robabilidad Variables Aleatorias y rocesos Aleatorios Autor: Dr. Jua Carlos Gómez

2 Coceptos Fudametales de robabilidad Variables Aleatorias y rocesos Aleatorios. Teoría Básica de robabilidad a Teoría de robabilidad trata co feómeos que puede ser modelados por eperimetos cuyos resultados está goberados por el azar (se deomia eperimetos aleatorios). Estos eperimetos aleatorios está caracterizados por * os eperimetos so repetibles bajo idéticas codicioes * El resultado de u eperimeto es impredecible * Si el eperimeto se realiza u gra úmero de veces el resultado ehibe u cierta regularidad estadística (se observa u comportamieto promedio). Deomiamos eveto a uo de los posibles resultados de u eperimeto aleatorio. Sea A u eveto y supogamos que e veces que se realiza el eperimeto el eveto A N A veces. a frecuecia relativa asociada al eveto A es el cociete ocurre ( ) que verifica N ( A) N ( A) Si el eveto A o ocurre uca etoces N ( A) veces que se realiza el eperimeto N ( A). e tato que si ocurre las Cuado la frecuecia relativa coverge al mismo límite a medida que crece puede defiirse la probabilidad del eveto A como ( A) lim N ( A) uede pesarse que u eperimeto aleatorio y sus resultados defie u espacio co sus putos. Este espacio se deomia espacio muestral (el cojuto de todos los posibles resultados del eperimeto) y sus putos se deomia muestras. Deotaremos al espacio muestral co S. El especio muestral completo S se deomia eveto seguro e tato que el cojuto vacio se deomia eveto ulo o imposible. Estamos ahora e codicioes de dar ua defiició aiomática de probabilidad. U sistema de probabilidad cosiste de la tripla:. U espacio muestral S de evetos elemetales (resultados de eperimeto). Ua clase ε de evetos que so u subcojuto de S. 3. Ua medida de probabilidad ( ) asigada a cada eveto A e la clase ε que tiee las siguietes propiedades ISIS

3 ropiedades (i) ( S ) (ii) ( A) (iii) Si A + B es la uió de dos evetos mutuamete ecluyetes e la clase ε etoces. ( A) ( A) ( A + B) ( A) ( B) + dode A es el complemeto del eveto A. A A A. Si M so M evetos mutuamete ecluyetes co la propiedad A + A + + AM S etoces ( A ) ( A ) + + ( A ) + M 3. Cuado los evetos A y B o so mutuamete ecluyetes etoces la probabilidad del eveto uió A o B es] ( A + B) ( A) + ( B) ( AB ) dode ( AB) es la probabilidad del eveto cojuto A y B. robabilidad Codicioal Cosideremos u eperimeto que ivolucra u par de evetos A y B. Deotamos co ( B A) a la probabilidad del eveto B dado que el eveto A ocurrió. a probabilidad ( B A) se deomia probabilidad codicioal de B dado A. Asumiedo que A tiee probabilidad o ula la probabilidad codicioal resulta dode ( AB) ( B A) ( AB) ( A) es la probabilidad cojuta de A y B. Es fácil ver que * ( AB ) ( B A) ( A) * ( AB ) ( A B) ( B) * ( ) ( A B) ( B) B A (egla de Bayes) A ( ) y se dice que los evetos A y B so estadísticamete idepedietes. Si se verifica que ( A B) ( A) etoces ( AB) ( A) ( B) ISIS 3

4 . Variables Aleatorias E la teoría de probabilidad ua variable aleatoria escalar es cosiderada como el resultado de u eperimeto e u espacio muestral que represeta la colecció de las posibles salidas. Cuado la variable aleatoria puede asumir sólo u úmero fiito de valores e cualquier itervalo fiito de observació se dice que es ua variable aleatoria discreta. Si e cambio la variable aleatoria puede tomar cualquier valor e el itervalo de observació se dice que la misma es ua variable aleatoria cotiua. ara describir las propiedades de las variables aleatorias se ecesita dar ua descripció probabilística de las mismas. Sea ua variable aleatoria y cosidérese la probabilidad del eveto probabilidad se deota: ( ). Esta Es claro que esta probabilidad es fució de la variable muda. Se defie etoces a F : ésta como la fució de desidad de probabilidad acumulada ( ) F ( ) o simplemete fució de distribució de la variable aleatoria. Ua descripció alterativa de la probabilidad de ua variable aleatoria se logra usado la derivada de F para obteer la fució de desidad de probabilidad (pdf) de la variable aleatoria. p df El ombre desidad de probabilidad se debe a que la probabilidad de que se obtiee como: ( ) p ISIS 4 Es decir que la probabilidad de que [ ] es igual al área bajo la curva de desidad de probabilidad e ese itervalo. Es fácil de ver que para asumiedo valores e el itervalo (ab) la fució de distribució está dada por: Como la probabilidad del eveto cierto imposible F p ( ξ) < a es ( a) se cocluye que F a dξ < b es F ( b) y la probabilidad del eveto

5 b a p dode podría resultar que a y b +. ara aalizar el comportamieto promedio de los resultados de u eperimeto aleatorio se defie la media o valor esperado de la variable aleatoria como: µ E b [ ] p a dode E deota el operador esperaza matemática. Se defie tambié el mometo de orde de la fució de distribució de probabilidad de la variable aleatoria como: E [ ] p b a Es claro que el mometo de primer orde () es el valor medio o valor esperado de la variable aleatoria. El mometo de segudo orde () es el valor medio cuadrático de. De forma similar se defie los mometos cetrales de orde que o so más que los mometos de la diferecia etre la variable aleatoria y su valor medio µ es decir: b [( µ ) ] ( ) p E µ a ara el mometo cetral resulta ulo e tato que para el mometo cetral de do orde se deomia variaza de la variable aleatoria y se deota: σ b [ ] ( ) p [ ] E ( µ ) var µ a as raíz cuadrada de la variaza o sea variable aleatoria. σ se deomia desviació estadard de la a variaza de ua variable aleatoria es e cierta forma ua medida del grado de aleatoriedad de la variable ya que da ua idicació de cuato se desvía la variable co respecto a su valor medio. Más precisamete se verifica la siguiete desigualdad de Chebyshev: σ ( µ ε) ε para cualquier úmero positivo ε. ISIS 5

6 Ua variable aleatoria (escalar) se dice que tiee ua distribució Gaussiaa o Normal si su fució de desidad de probabilidad está dada por: p ep π ( µ ) σ σ Es fácil de probar que los mometos de orde co 3 queda uívocamete determiados por los mometos de primer y segudo orde o sea el valor medioµ y la variaza σ. Cuado ua variable aleatoria tiee distribució Gaussiaa se deota: N ( µ σ ) N as variables Gaussiaas juega ua papel muy importate ya que se ecuetra frecuetemete cuado se hace aálisis estadísticos de umerosos sistemas físicos. Mometos Cojutos: Cuado se cosidera u par de variables aleatorias e Y u cojuto de parámetros estadísticos importates e este caso so los mometos cojutos defiidos como: dode ( y) b i k i k [ Y ] y p Y ( y) E dy () b a a p Y es la fució de desidad de probabilidad cojuta de las variables aleatorias e Y que se defie como: p Y ( y) F Y y ( y) dode a su vez ( y) como: F Y es la fució de distribució cojuta de e Y defiida F Y ( y) ( Y y) U mometo cojuto de gra importacia es la correlació defiida por [ Y ] correspode a i k e (). as correlacioes etre las variables cetradas E[ E[ ] e [ Y E[ Y ] covariaza de e Y y se deota: cov llamado µ E[ ] y E[ Y ] [ Y ] E[ ( E[ ]) ( Y E[ Y ])] µ resulta: Y E que E se deomia ISIS 6

7 cov [ Y ] E[ Y ] µ µ Y 3. roceso Aleatorio Si se cosidera ahora señales que so fució del tiempo y que so aleatorias e el setido que ates de llevar a cabo u eperimeto o es posible describir eactamete la forma de oda que presetará las señales observadas. E este caso cada elemeto del t. El cojuto de fucioes del tiempo espacio muestral es ua fució del tiempo ( ) (espacio muestral) se deomia proceso aleatorio o proceso estocástico que se t. deotará ( ) Se asume etoces la eistecia ua distribució de probabilidad defiida sobre ua apropiada clase de cojutos del espacio muestral. Estacioariedad: U proceso aleatorio ( t) se dice estrictamete estacioario si la distribució cojuta de cualquier cojuto de variables aleatorias obteidas observado el proceso aleatorio ( t) es ivariate co respecto a la ubicació del orige t. Si se deota t t t e ( ) ( ) ( t k ) las variables aleatorias obteidas observado el proceso ( ) los istates t j t tk etoces el proceso es estacioario e setido estricto si: F ( t + τ ) ( t + τ ) ( t + τ )( k ) F ( t ) ( t ) ( t )( k ) k para todo itervalo de tiempo τ todo k y todas las posibles eleccioes de los tiempos t t t k dode F ( t ) ( t ) ( t )( k ) k es la fució de distribusió cojuta de t t las variables aleatorias ( ) ( ) ( ) t k. como el valor esperado de la variable aleatoria obteida observado el proceso e algú tiempo t o sea: ara u proceso aleatorio estacioario ( t) se defia la media de ( t) µ ( t) E[ ( t) ] p ( ) + dode p ( t ) Se deduce que para u proceso estacioario p ( ) es la fució de desidad de probabilidad de primer orde del proceso. µ ( t) µ t t k t idepediete de t y por lo tato: a fució de auto correlació del proceso ( t) se defie como el valor esperado del producto de las variables aleatorias ( ) y ( ) t respectivamete es decir: t t e los istates + + ( t t ) E[ ( t ) ( t )] p ( t ) ( t )( ) t y ISIS 7

8 dode p ( ) ( )( ) t t es la fució de desidad de probabilidad de segudo orde. ara u proceso estacioario la fució de auto correlació depede sólo de la diferecia t - t es decir: ( t t ) ( t t ) t t a fució de auto covariaza del proceso estacioario ( t) se defie como: ( t t ) E[ ( ( t ) µ ) ( ( t ) µ )] ( t t ) C µ ara el caso más geeral de teer dos procesos aleatorios ( t) e ( t) auto correlació ( t u) y ( t u) correlació cruzada: Y co fucioes de Y respectivamete se defie las dos fucioes de Y Y ( t u) E[ ( t) Y ( u) ] ( t u) E[ Y ( u) ( t) ] as propiedades de correlació de los dos procesos se puede represetar etoces e t e forma matricial defiiedo la matriz de correlació de los procesos aleatorios ( ) Y ( t) como: ( u) t Si los procesos aleatorios ( t) e ( t) Y ( t u) Y ( t u) ( ) ( ) t u Y t u Y so cada uo estacioarios y además so cojutamete estacioarios etoces la matriz de correlació puede escribirse como: dode τ t u ( τ) Y ( τ ) ( ) Y τ ( ) ( ) τ Y τ Ergodicidad: costituye el promedio e el del proceso que para el caso de u proceso estacioario resulta que tambié puede calcularse el promedio temporal a lo largo del proceso: a esperaza matemática de u proceso aleatorio ( t) esamble E [ ( t) ] µ T µ ( T ) ( t) dt T T que obviamete es ua variable aleatoria que depede del itervalo de observació T t T. ISIS 8

9 U proceso aleatorio se dice ergódico hasta mometos de segudo orde si se verifica las siguietes codicioes: i. lím µ ( T ) µ T ii. µ ( T ) lím var[ ] T U proceso aleatorio ( t) cuya fució de auto correlació está dada por: [ ( t) ( t τ) ] ( τ) r δ( τ ) E co r se deomia ruido blaco. esulta fácil de verificar que el espectro de desidad de potecia es costate para todas las frecuecias. 4. Vector de roceso Aleatorio E las seccioes ateriores se trataro las variables aleatorias escalares. E esta parte se geeraliza las relacioes presetadas para el caso de vectores -diesioales compuestos por procesos aleatorios escalares de la forma: ( t ) [ ( t ) ( t ) ( t )] T E virtud de los atributos de las variables aleatorias Gaussiaas y de su más difudido uso sólo se hará referecia a vectores de procesos aleatorios Gaussiaos co valor esperado ulo. a fució de desidad de probabilidad para estos vectores estará dada por: p ( π ) ep det T ( E[ ] ) ( E[ ] ) dode es la matriz de covariaza de defiida por: Esta matriz es simétrica perteeciete a de la forma: [( E[ ] )( E[ ] ) ] T E () E [ ( t) ] M y para el caso e cosideració resulta [ ( t) ] E O E M [ ( t) ] ISIS 9

10 ya que o eiste correlació etre diferetes muestras. or otra parte se puede epresar e forma alterativa como: M ( ) ( ) O M ( ) o bie M ( t) ( t) O M ( t) Esta última forma de epresar la matriz de covariaza del vector de proceso aleatorio Gaussiao ( t) muestra que la misma es ua matriz diagoal e la cual la diagoal pricipal está coformada por los valores cuadráticos medios (rms) de las compoetes del vector aleatorio ( t). efereces [] Hayki Simo. Commuicatio Systems 3 rd Editio Joh Wiley & Sos Ic. New York 994. ISIS