Ejercicio 1. Calcule y grafique la densidad espectral de potencia de la salida del filtro y el valor de potencia total. Ejercicio 2.

Transcripción

1 Guía de Ejercicios Ejercicio El circuito RC de la figura es excitado por ua señal de ruido blaco co desidad espectral de potecia costate e igual a N /. R w(t) C v(t) Calcule y grafique la desidad espectral de potecia de la salida del filtro y el valor de potecia total. Ejercicio Sea X(t) = A cos(ω t+φ)+n(t), dode A y ω so costates, la etrada a u filtro pasabada ideal cuya bada de paso está e las frecuecias ω ω W/. Supoga que φ se ecuetra uiformemete distribuida e [, π) y que N(t) es ruido blaco de desidad espectral de potecia N /. Ecuetre la relació etre potecias de señal y de ruido a la salida del filtro. Ejercicio La etrada a u filtro pasabajos de primer orde co trasferecia H(ω) = + jω/ω c es X(t) = A cos(ω t+φ)+n(t), dode A y ω so costates. Obtega la frecuecia de corte ω c del filtro para que la relació señal/ruido a la salida sea máxima. Cosidere el siguiete sistema LTI, W() Ejercicio 4 X() h() Y () dode X() y W() so procesos ESA descorrelacioados etre sí. La variaza de W() es σ w y la de X() es σ x.

2 . Hallar la fució de autocorrelació del proceso Y ().. Defiiedo a el error E() = Y () X() determie la autocorrelació de E().. Si h() = α δ(), elija el valor de α que miimice la variaza de E(). Ejercicio 5 Sea u proceso X() obteido como la suma de dos procesos idepedietes etre sí, es decir, X() = V () + N(). El proceso V () es u proceso AR co parámetro α, media ula y variaza uitaria, es decir, V () = αv ( ) + W(), dode W() es ruido blaco. Por otro lado, N() es ruido blaco de media ula y variaza σ, idepediete de W(). Calcular R x (k) y discutir la ifluecia de σ sobre la desidad espectral de potecia de X(). Ejercicio 6 Se simula uméricamete co Matlab/Octave, u proceso autoregresivo de primer orde X() = αx( ) + W() excitado por u ruido blaco de media ula y variaza uitaria. Se realiza tres simulacioes diferetes mostradas e la figura utilizado los siguietes valores del parametro α: α =,95 α =, α =,95 W() Xa() Xb() Xc()

3 . Asige el coeficiete α que correspode a cada ua de las figuras.. Grafique la autocorrelació del proceso X() e cada caso. Ejercicio 7 Se desea simular la realizació de u proceso AR X() = ax( ) + W(). Elija u valor del parámetro a y geere ua secuecia de logitud N cuado el ruido de excitació W() es blaco, distribuido uiformemete etre y. a) Estime y grafique la autocorrelació del proceso. Superpoga la gráfica de la fució de autocorrelació teórica y compare. b) Estime y grafique la desidad espectral de potecia del proceso. Superpoga la gráfica de la desidad espectral de potecia teórica y compárelas.. Para el mismo valor de a, repita los putos ateriores si el ruido de excitació W() es blaco, Gaussiao, de media ula y σ W = /.. Compare los dos procesos geerados e. y. e idique dóde ota la diferecia etre ellos. El modelo del proceso AR, X() es: Ejercicio 8 X() = a X( ) + a X( ) + W() dode W() es ua secuecia de ruido blaco y a y a so coeficietes reales.. Expresar la fució de trasferecia H(z) del sistema lieal que, excitado por la secuecia de ruido blaco, etrega como salida el proceso AR.. Obteer y resolver la ecuació e diferecias que debe satisfacer la secuecia de autocorrelació.. Verifique aalíticamete las siguietes propiedades: a) E el caso de polos reales y distitos, la secuecia de autocorrelació decae expoecialmete. Aalizar el caso e que ambos polos so positivos, ambos egativos y uo positivo y otro egativo. b) E el caso de polos complejos cojugados, la secuecia de autocorrelació es pseudoperiódica. 4. Geerar distitas realizacioes de u proceso AR, variado los valores de los coeficietes del sistema, para lograr todas las variates posibles. E cada caso, obtega la fució de autocorrelació experimetal y grafíquela superpuesta a la teórica. 5. Obtega y grafique las desidades espectrales de potecia. 6. Iterpretar los resultados, relacioado las realizacioes del proceso co las fucioes de autocorrelació y los espectros correspodietes.

4 Ejercicio 9 Dado el siguiete diagrama e bloques W() AR X() Y ()? dode W() es ruido blaco Gaussiao de media ula y variaza uitaria y el primer filtro es u autoregresivo de primer orde de parámetro a. El objetivo de este ejercicio es diseñar el segudo filtro.. Cómo debe ser el filtro? para que a la salida Y () sea igual a W()?. Calcule R XY (k), es decir, la fució de correlació cruzada etre X() e Y (). E el siguiete diagrama e bloques, Ejercicio W() AR X() AR Y () dode W() es ruido blaco Gaussiao de media ula y variaza uitaria y el sistema es ua cascada de dos filtros autoregresivos de primer orde.. La depedecia etre las señales Y () y W() respode a u sistema AR? Por qué?. Calcular la media de Y ().. Calcular la fució de autocorrelació de Y (). 4. Es posible que el sistema oscile? Ejercicio Se desea aalizar u filtro difereciador e tiempo cotiuo. Sea X(t), u proceso estacioario e setido amplio e tiempo cotiuo cuya media es ula y su fució de autocorrelació es R X (τ). La salida del filtro difereciador está defiida como Obteer R Y (τ) y S Y (ω). Y (t) = X(t + a) X(t a) Ejercicio Ecotrar la fució de autocorrelació y la desidad espectral de potecia de la salida del filtro defiido e la ecuació más abajo para los dos casos de la etrada X(). E ambos casos, simule ua realizació del proceso y estime la fució de autocorrelació. Qué diferecias ota etre los procesos simulados e ambos putos? Y () = X( + ) X( ) 4

5 . X() es ruido blaco uiformemete distribuido etre y.. X() es ruido blaco Gaussiao de media ula y variaza /. Ejercicio X() es ruido blaco de media ula y potecia σx. La señal X() es filtrada por ua realizació e serie de dos filtros. Calcular E[Z], σ Z, R Z(k) y S Z (ω). Y () =,5 [X() + X( )] Z() = Y () Y ( ) Ejercicio 4 Cosidere el filtro lieal caracterizado por q y() = b k x( k) que es excitado por la secuecia ESA k= X() = s + V () e la cual, s es ua costate descoocida y V () es ua secuecia de ruido cuya autocorrelació es R V V () = δ( ) + δ() + δ( + ) Se quiere seleccioar los coeficietes b k del filtro de modo que su respuesta Y () sea u estimador del parámetro descoocido s.. Para que E[Y ()] = s, demuestre que los parámetros del filtro debe satisfacer b + b b q =.. Para la clase de filtros que satisface la restricció aterior, ecuetre uo que miimice la variaza de la respuesta.. Cómo depede la variaza de la respuesta e fució de la logitud q del filtro? Ejercicio 5 Sea el pulso rectagular de altura A y duració T defiido como { A t T s(t) = e otro lugar El pulso está superpuesto a ruido blaco aditivo de media ula y desidad espectral de potecia N /. Se filtra señal y ruido co u filtro pasabajos RC co fució de trasferecia H(ω) = + jω/ω dode ω = /RC es el acho de bada de db del filtro. 5

6 . Demuestre que el valor óptimo de ω para el cual el filtro RC maximiza la relació señal/ruido (o sea, potecia de pico de señal/potecia media de ruido) a la salida es ω =,6/T.. Demuestre que la máxima relació señal/ruido a la salida del filtro es ρ max =,86 A T N. E cuátos db se debe icremetar la eergía de la señal para lograr la misma relació señal/ruido que co u filtro adaptado? Sugerecia: recordar que la respuesta de u filtro pasabajos RC a u escaló uitario u(t) es y(t) = ( e t/rc) u(t) 6