IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2004 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A ( putos) Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de care. Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de care. Si pagamos 18 euros por 3 kilos de tomates, 1 kilo de care y 50 gramos de gambas, cuáto pagaríamos por kilos de care, 1 kilo de tomates y 500 gramos de gambas? (1 puto) Dada la matriz A = 0-1, halle A 004. Solució Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de care. Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de care. Si pagamos 18 euros por 3 kilos de tomates, 1 kilo de care y 50 gramos de gambas, cuáto pagaríamos por kilos de care, 1 kilo de tomates y 500 gramos de gambas? Sea x = precio kilo de tomates Sea y = precio kilo de care Sea z = precio kilo de gambas De el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de care x = y/ De el precio del kilo de gambas es el doble que el de care z = y De pagamos 18 euros por 3 kilos de tomates, 1 kilo de care y 50 gramos de gambas 18 = 3x+y+0 5z Pide cuáto pagaríamos por kilos de care, 1 kilo de tomates y 500 gramos de gambas, es decir: x + y z 18 = 3x + y + 0 5z; x = y/; z = y 18 = 3(y/) + y + 0 5(y) = 3y/ + y + 0 5y = 3, de dode: y = 18/3 = 6, x = (6)/ = 3 y z = (6) = 1, por tato x + y + 0 5z = 3 + (6) + 0 5(1) = 1, es decir pagaríamos 1 por kilos de care, 1 kilo de tomates y 500 gramos de gambas. Dada la matriz A = 0-1, halle A 004. A = A A = = = I Luego A 004 = (A ) 100 = (I ) 100 = I =. 0 1 EJERCICIO _A 1 (1 5 putos) Calcule la ecuació de la recta tagete a y = e el puto de abscisa x =. x - 1 (1 5 putos) E qué puto de la gráfica de la fució f(x) = x + 3x + 1, la recta tagete es paralela a y = 3x 5? c) (0 5 putos) Sea g(x) = x 8x + a. Halle a para que el valor míimo de g sea 3. Solució Calcule la ecuació de la recta tagete a 1 y = x - 1 e el puto de abscisa x =. La recta tagete e x = es y f() = f () (x ). 1 f(x) = x - 1 ; f (x) = =. Luego f() = 1/1 = 1 (x - 1) (x - 1) y f () = -1/(1) = -1, y la recta tagete pedida es y - 1 = -1 (x - ) = -x +, es decir y = -x + 3. E qué puto de la gráfica de la fució f(x) = x + 3x + 1, la recta tagete es paralela a y = 3x 5? gjrubio@hotmail.com 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Sabemos que las rectas paralelas tiee la misma pediete, la pediete de la recta y = 3x 5 es y = 3, y la recta tagete a la gráfica de f tiee de pediete geérica f (x) = 4x + 3. Igualado teemos: 3 = 4x + 3, de dode x = 0 y el puto pedido es (0,f(0)) = (0,1). c) Sea g(x) = x 8x + a. Halle a para que el valor míimo de g sea 3. Sabemos que la gráfica de g(x) = x - 8x + a es ua parábola co las ramas hacia arriba ( ), y el míimo se ecuetra e el vértice de la parábola; además los extremos relativos aula la 1ª derivada g (x). g(x) = x 8x + a; g (x) = 4x 8. De g (x) = 0 4x 8 = 0, de dode x =. Como el valor míimo de g es 3 teemos g() = 3 = () 8() + a = -8 + a, de dode a = 11. EJERCICIO 3_A Parte I Ua ura cotiee 5 bolas rojas y 3 verdes. Se extrae ua bola y se reemplaza por bolas del otro color. A cotiuació, se extrae ua seguda bola. Calcule: (1 puto) La probabilidad de que la seguda bola sea verde. (1 puto) La probabilidad de que la primera haya sido roja, sabiedo que la seguda tambié ha sido roja. Solució Ua ura cotiee 5 bolas rojas y 3 verdes. Se extrae ua bola y se reemplaza por bolas del otro color. A cotiuació, se extrae ua seguda bola. Calcule: Llamemos R 1, R, V 1 y V, a los sucesos siguietes, sacar bola roja la 1ª vez, sacar bola roja la ª vez, " sacar bola verde la 1ª vez y " sacar bola verde la ª vez ", respectivamete. Además teemos p(r 1 ) = 5/8, p(v 1 ) = 3/8, p(r /R 1 ) = 6/9, p(v /V 1 ) = 4/9 Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). La probabilidad de que la seguda bola sea verde. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la ª bola sea verde es: p(v ) = p(r 1 ).p(v /R 1 ) + p(v 1 ).p(v /V 1 ) = (5/8) (5/9) + (3/8) (/9) = 31/ La probabilidad de que la primera haya sido roja, sabiedo que la seguda tambié ha sido roja. Aplicado el teorema de Bayes, teemos: pr ( 1 R ) pr)p(r/r ( 1 1) (5/8) (4/9) p(r 1 /R ) = = = = 0/ p(r ) 1 - p V 1-31/7 ( ) EJERCICIO 3_A Parte II La superficie de las parcelas de ua determiada provicia se distribuye segú ua ley Normal co media 9 Ha y desviació típica 0 6 Ha. (0 5 putos) Idique la distribució de las medias muestrales para muestras de tamaño 169. (1 5 putos) Cuál es la probabilidad de que ua muestra de tamaño 169 tega ua superficie media compredida etre 8 y 3 Ha? gjrubio@hotmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Trabajamos e ua ormal N(0,1), para lo cual teemos que tipificar la variable e la distribució muestral de medias, es decir Z = X µ / La superficie de las parcelas de ua determiada provicia se distribuye segú ua ley Normal co media 9 Ha y desviació típica 0 6 Ha. Idique la distribució de las medias muestrales para muestras de tamaño 169. Datos del problema: Distribució de la població N(µ;) = N( 9; 0 6); µ = 9; = 0 6; = '6 La distribució de las medias muestrales es X N(µ ; ) = N( 9 ; ) N( 9; ). 169 Cuál es la probabilidad de que ua muestra de tamaño 169 tega ua superficie media compredida etre 8 y 3 Ha? Me está pidiedo la probabilidad p( 8 X 3) '8 - '9 Luego p( 8 X 3) = {tipificamos} = p( 0'04615 Z 3 - '9 ) p(- 17 Z 17) = 0'04615 = p(z 17) - p(z - 17) = p(z 17) - (1 - p(z 17)) = p(z 17) - 1 ={Mirado e la tabla} = = = OPCIÓN B EJERCICIO 1_B (1 puto) Los vértices de u polígoo covexo so (1,1), (3,1/), (8/3,5/), (7/3,3) y (0,5/3). Calcule el máximo de la fució objetivo F(x,y) = 3x y + 4 e la regió delimitada por dicho polígoo. ( putos) Dibuje el recito del plao defiido por las iecuacioes: x + y 6; x y 1; y 5; x 0; y 0. y determie sus vértices. Solució Los vértices de u polígoo covexo so (1,1), (3,1/), (8/3,5/), (7/3,3) y (0,5/3). Calcule el máximo de la fució objetivo F(x,y) = 3x y + 4 e la regió delimitada por dicho polígoo. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores (1,1), (3,1/), (8/3,5/), (7/3,3) y (0,5/3). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(1,1) = 3(1) (1) + 4 = 5; F(3,1/) = 3(3) (1/) + 4 = 1; F(8/3,5/) = 3(8/3) (5/) + 4 = 7 F(9,) = 3(7/3) (3) + 4 = 5; F(4,1) = 3(0) (5/3) + 4 = / Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 1 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(3,1/). Dibuje el recito del plao defiido por las iecuacioes: x + y 6; x y 1; y 5; x 0; y 0. y determie sus vértices. Las desigualdades x + y 6; x y 1; y 5; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x + y = 6; x y = 1; y = 5; x = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x/ + 3; y = x - 1; y = 5; x = 0; y = 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del gjrubio@hotmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = -x/ + 3, teemos y = 3, y el vértice es A(0,3). De y = -x/ + 3 e y = x - 1, teemos -x/ + 3 = x 1 -x + 6 = x, luego 8 = 3x de dode x = 8/3 e y = 5/3, y el el vértice es B(8/3,5/3). De y = x - 1 e y = 5, teemos x - 1 = 5, luego x = 6 y el vértice es C(6,5). De y = 5 y x = 0, teemos el vértice es D(0,5). EJERCICIO _B x - 4x + 7 si x 3 ( putos) Estudie la cotiuidad y derivabilidad de la fució: f(x) = 4. x - (1 puto) Calcule la derivada de g(x) = (x + 1).e x + 1. Solució x - 4x + 7 si x 3 Estudie la cotiuidad y derivabilidad de la fució: f(x) = 4. x - Sabemos que si ua fució es derivable etoces tambié es cotiua. x 4x + 7 es ua fució cotiua y derivable e R, e particular e x < 3. 4 es ua fució cotiua y derivable e R {}, e particular e x > 3. x - Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x = 3. lim f(x) = lim f(x). x 3 x 3+ lim (x 4x + 7) = (3) 4(3) + 7 = 4; f(x) es cotiua e x = 3 si f(3) = f(3) = lim f(x) = x 3+ lim f(x) = x 3 x 3 4 lim x 3 + x - = 4 = 4, por tato f(x) es cotiua e x = Recapitulado f es cotiua e R. x - 4x + 7 si x 3 De f(x) = 4, teemos f (x) = x - x - 4 si x < 3-4 (x - ) f(x) es derivable e x = 3 si lim f (x) = x 3 lim f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x lim f (x) = lim (x - 4) = (3) 4 = ; lim f (x) = lim = = -4. Como los resultados o x 3 x 3 x 3 + x 3 + (x - ) (3 - ) x - 4 si x < 3 coicide, f(x) o es derivable e x = 3. Luego f (x) = - 4 (x - ) Recapitulado f es derivable e R {3}. gjrubio@hotmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Calcule la derivada de g(x) = (x + 1).e x + 1. Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié la ecuació de la recta tagete. ( f(x)+g(x)) = f (x)+g (x); ( f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x); (k) = 0; (a f(x) ) = a f(x) l( f (x). g(x) = (x + 1).e x + 1. g (x) = 1 e x (x + 1) e x + 1 () = e x + 1 (1 + x + ) = e x + 1 (x + 3) EJERCICIO 3_B Parte I El despertador de u trabajador suea e el 80% de los casos. Si suea, la probabilidad de que llegue putual al trabajo es 0 9; si o suea, llega tarde el 50% de las veces. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que llegue putual? (1 puto) Si llega tarde, cuál es la probabilidad de que o haya soado el despertador? Solució El despertador de u trabajador suea e el 80% de los casos. Si suea, la probabilidad de que llegue putual al trabajo es 0 9; si o suea, llega tarde el 50% de las veces. Llamemos S, S C, P y T, a los sucesos siguietes, suee el despertador, "o suee el despertador", "llegue putual al trabajo" y " llegue tarde al trabajo", respectivamete. Datos del problema p(s) = 80% = 0 8; p(p/s) = 0 9; p(t/s C ) = 50 % = 0 5. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). Cuál es la probabilidad de que llegue putual? Aplicado el teorema de la probabilidad total, teemos: p(p) = p(s).p(p/s) + p(s C ).p(p/s C ) = (0 8) (0 9) + (0 ) (0 5) = 0 8. Si llega tarde, cuál es la probabilidad de que o haya soado el despertador? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( S C T ) p( S C ).p(t/s C ) p(s C /T) = = = (0 ) (0 5):(1-0 8) p(t) 1 - p(p) EJERCICIO 3_B Parte II (1 puto) De ua població Normal de media descoocida y desviació típica 6, se extrae la siguiete muestra 8, 78, 90, 89, 9, 85, 79, 63, 71. Determie u itervalo de cofiaza, al 98%, para la media de la població. (1 puto) Determie el tamaño que debe teer otra muestra de esta població para que u itervalo de cofiaza para la media, al 98%, tega ua amplitud igual a Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y gjrubio@hotmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ Tambié sabemos que la media es x = (a + /, el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = z1 α / = E, de dode E = (b /, z 1- α/. z 1- α/. por tato el tamaño míimo de la muestra es = E = b - a. De ua població Normal de media descoocida y desviació típica 6, se extrae la siguiete muestra 8, 78, 90, 89, 9, 85, 79, 63, 71. Determie u itervalo de cofiaza, al 98%, para la media de la població. Datos del problema: = 6, = 9, x = ( )/9 = 81, ivel de cofiaza = 98% = = 0 98 = 1 - α, de dode α = 0 0, es decir α/ = 0 0/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 99 o viee, y la más próxima es que correspode a z 1-α/ = 33 (iterpolado saldría z 1-α/ = 3667), por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = '33,81 + '33 = (76 34, 85 86). 9 9 Determie el tamaño que debe teer otra muestra de esta població para que u itervalo de cofiaza para la media, al 98%, tega ua amplitud igual a Datos del problema: = 6, amplitud del itervalo = b a = E = 4 66, de dode E = 33, z 1-α/ = 33 (es el mismo ivel de cofiaza, auque iterpolado saldría z 1-α/ = 3667). De z 1- α/. ' 33 6 = E '33 = 36, teemos que el tamaño míimo es = 36. gjrubio@hotmail.com 6