OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

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1 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices A = y B = 1/ 0, siedo a u úmero real cualquiera. 3/4 0 (1 puto) Obtega la matriz A 014. (1 5 putos) Para a =, resuelva la ecuació matricial A 3 X 4B = O. Solució 1 a Sea las matrices A = y B = 1/ 0, siedo a u úmero real cualquiera. 3/4 0 Obtega la matriz A 014. A 1 a 1 a 1 a = A A = = ; A 3 = A A 1 a 1 a 1 3a = = ; A 4 = A A 1 a 1 a 1 4a = = ; A 5 = A 4 A 1 4a 1 a 1 5a = = Siguiedo este proceso observamos que A a =, auque para demostrarlo correctamete 0 1 tedríamos que utilizar el método de iducció. Para a =, resuelva la ecuació matricial A 3 X 4B = O. Para a =, teemos A 3 1 3() 1 6 = C = = y B = 1/ /4 0 Como det(c) = C = A 3 = = 1 0 = 1 0, eiste la matriz iversa C -1 = (1/ C ) Adj(C t ). C t 1 0 = ; Adj(C t 1-6 ) =, luego C -1 = (1/ C ) Adj(C t ) = (1/1) =. 6 1 Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss C tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (C I ), a la epresió (I B), dode B = C F1-6F (C I ) = por tato C = De A 3 X 4B = O, teemos C X = 4B. Multiplicado la epresió C X = 4B por la izquierda por la matriz iversa C -1, teemos C -1 C X = C -1 4B I X = 4 C -1 B X = 4 C -1 B. La matriz pedida es X = 4 C -1 B 1-6 = 4 1/ 0 3/4 0 = = EJERCICIO (A) La fució de beeficios f, e miles de euros, de ua empresa depede de la catidad ivertida, e miles de euros, e u determiado proyecto de iovació y viee dada por f() = , 0. (1 puto) Determie la iversió que maimiza el beeficio de la empresa y calcule dicho beeficio óptimo. (0 5 putos) Calcule f (7) e iterprete el sigo del resultado. c) (1 puto) Dibuje la fució de beeficios f(). Para qué valor o valores de la iversió,, el beeficio es de 138 mil euros? Solució ( y parte de c) La fució de beeficios f, e miles de euros, de ua empresa depede de la catidad ivertida, e miles de euros, e u determiado proyecto de iovació y viee dada por f() = , 0. Determie la iversió que maimiza el beeficio de la empresa y calcule dicho beeficio óptimo. Dibuje la fució de beeficios f() = , 0. 1

2 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua La gráfica de la fució f() = , 0, es u trozo de parábola que tiee las ramas hacia abajo ( ), por que el úmero que multiplica a es egativo. Su vértice, que e este caso es el máimo relativo y absoluto, tiee la abscisa e la solució de la ecuació f () = ( ) = 0 = , de dode = 9 y el vértice es V(9,f(9)) = V(9,300). f(9) = -(9) + 36(9) = 300. Como el vértice V(9,300) es el máimo, la iversió que maimiza el beeficio de la empresa es = 9 mil, y dicho beeficio óptimo es f(9) = 300 mil. Teemos de f(0) = -(0) + 36(0) = 138, el puto (0,138) Teemos de f(0) = -(0) + 36(0) = 58, el puto (0,58) U esbozo de la gráfica de la parábola, co los tres putos ateriores icluyedo el vértice es: Calcule f (7) e iterprete el sigo del resultado. Mirado la gráfica vemos que e = 7 la fució es estrictamete creciete, por tato veremos que f (7) es positivo, porque f (7), por la iterpretació geométrica de la derivada e u puto, es la pediete de la recta tagete e = 7, y al ser positivo la pediete es positiva y la fució beeficio es estrictamete creciete e dicho puto = 7. Veamos ya que f (7) > 0 f (7) = -4(7) + 36 = 8 > 0. c) Dibuje la fució de beeficios f(). Para qué valor o valores de la iversió,, el beeficio es de 138 mil euros? Mirado a la gráfica vemos que hay dos valores de para los cuales el beeficio es de 138 mil, pues la gráfica es simétrica respecto a su vértice y e él la ordeada es de 300 mil. Lo que pide es que resolvamos f() = 138. De f() = 138, teemos = 138, luego = (- + 36) = 0, de dode teemos las solucioes = 0 y = 18, es decir se obtiee u beeficio de 138 mil co ua iversió de 0 mil ( se puede descartar, auque sirva matemáticamete) y co ua iversió de 18 mil. EJERCICIO 3 (A) Ua ura, A, cotiee siete bolas umeradas del 1 al 7. Otra ura, B, cotiee cico bolas umeradas del 1 al 5. Lazamos ua moeda equilibrada, de forma que si sale cara, etraemos ua bola de la ura A, y, si sale cruz, la etraemos de la ura B. Calcule las probabilidades de los siguietes sucesos: (0 5 putos) La bola haya sido etraída de la ura A y el úmero sea par. (1 puto) El úmero de la bola etraída sea par. c) (1 puto) La bola sea de la ura A, si ha salido u úmero par. Solució Ua ura, A, cotiee siete bolas umeradas del 1 al 7. Otra ura, B, cotiee cico bolas umeradas del 1 al 5. Lazamos ua moeda equilibrada, de forma que si sale cara, etraemos ua bola de la ura A, y, si sale cruz, la etraemos de la ura B. Calcule las probabilidades de los siguietes sucesos:

3 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua La bola haya sido etraída de la ura A y el úmero sea par. Llamemos A, B, P A y P B, a los sucesos siguietes, sacar ua bola de la ura A, " sacar ua bola de la ura B", " sacar ua bola par de la ura A " y " sacar ua bola par de la ura B ", respectivamete. Datos del problema p(a) = p(b) = 1/; p(p A /A) = 3/7; p(p A /B) = /5,. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Me pide p(ura A y bola par) = p(a P A ) = p(a) p(p A /A) = (1/) (3/7) = 3/ El úmero de la bola etraída sea par. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola etraída sea roja (R) es: P(bola par) = p(p) = p(a).p(p A /A) + p(b).p(p B /B) = (1/3) (3/7) + (1/) (/5) = 9/ c) La bola sea de la ura A, si ha salido u úmero par. Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( A P ) p( A).p(P A /A) (1/) (3/7) p(a/p) = = = = (15/9) p(p) p(p) 9/70 EJERCICIO 4 (A) Se quiere hacer u estudio de mercado para coocer el precio medio de los libros de arrativa que se vede e la actualidad. Para ello se elige ua muestra aleatoria de 11 libros, ecotrado que tiee u precio medio de 3. Se sabe que el precio de los libros de arrativa sigue ua distribució Normal co media descoocida y desviació típica 5. (1 5 putos) Obtega u itervalo de cofiaza, al 98 8%, para el precio medio de esos libros. (1 puto) Cuátos libros habría que elegir como muestra para que, co la misma cofiaza, el error máimo de la estimació o ecediera de 1? Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = z 1 α/, + z1 α/ dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máimo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media, de 3

4 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua dode el tamaño míimo de la muestra es = z 1- α/. σ E. Se quiere hacer u estudio de mercado para coocer el precio medio de los libros de arrativa que se vede e la actualidad. Para ello se elige ua muestra aleatoria de 11 libros, ecotrado que tiee u precio medio de 3. Se sabe que el precio de los libros de arrativa sigue ua distribució Normal co media descoocida y desviació típica 5. Obtega u itervalo de cofiaza, al 98 8%, para el precio medio de esos libros. Datos del problema: = 11; = 3; σ = 5; ivel de cofiaza = 98 8% = = 1 - α, de dode α = 0 01, co la cual α/ = 0 01/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 994, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que viee, y correspode a z 1-α/ = 51, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = z 1 α/, + z1 α/ = '51,3 + ' (1 8591, ) Cuátos libros habría que elegir como muestra para que, co la misma cofiaza, el error máimo de la estimació o ecediera de 1? Datos del problema: Error = E = 1, σ = 5, igual ivel de cofiaza = 98 8% os da z 1-α/ = 51. σ z De E = z 1 α /, teemos 1- α / σ '51 5 E = 1 = , es decir el tamaño míimo de la muestra de libros es de = 158 libros. OPCION B EJERCICIO 1 (B) (1 8 putos) Dadas las iecuacioes: y + 5; + y -4; y; y 0, represete el recito que limita y calcule sus vértices. (0 7 putos) Obtega el máimo y el míimo de fució f(,y) = + y/ e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. Solució Dadas las iecuacioes: y + 5; + y -4; y; y 0, represete el recito que limita y calcule sus vértices. Las desigualdades y + 5; + y -4; y; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, y = + 5; + y = -4; 4 = 10 - y; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = + 5; y = - - 4; y = ; y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. 4

5 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = --4 e y = 0, teemos --4 = 0, luego = - y el vértice es A(-,0). De y = 0 e y = , teemos 0 = = 10/4 = 5, y el vértice es B( 5,0). De y = e y = + 5, teemos = = 5 = 1, de dode y = 6, y el vértice es C(1,6). De y = +5 e y = --4, teemos +5 = = -9 = -3, de dode y = y el vértice es D(-3,). Vemos que la regió factible es el polígoo coeo limitado por los vértices del recito so: A(-,0), B( 5,0), C(1,6) y D(-3,). Obtega el máimo y el míimo de fució f(,y) = + y/ e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máimo y míimo absoluto está e la regió covea acotada, y que estos etremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos f e los putos ateriores A(-,0), B( 5,0), C(1,6) y D(-3,). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. f(,0) = (-) + (0)/ = -; f( 5,0) = ( 5) + (0)/ = 5; f(1,6) = (1) + (6)/ = 4; f(-3,) = (-3) + ()/ = -. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máimo absoluto de la fució f e la regió es 4 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(1,6) y el míimo absoluto de la fució f e la regió es - (el meor valor e los vértices) y se alcaza e los vértices A(,0) y D(-3,) por tato se alcaza e todo el segmeto AD. EJERCICIO (B) -b - b + a si Sea la fució f defiida por f() = 60 si > (1 5 putos) Obtega los valores de a y b para que la fució sea cotiua y derivable. (1 puto) Para a = 48 y b = 3, estudie la mootoía de f() y calcule sus etremos. Solució -b - b + a si Sea la fució f defiida por f() = 60 si > Obtega los valores de a y b para que la fució sea cotiua y derivable. La fució -b - b + a es ua fució poliómica, por tato cotiua y derivable e todo R, e particular e (-,). La fució 60 es ua fució racioal, por tato cotiua y derivable e todo R {0} (úmero que aula el deomiador), e particular e (,+ ). Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e =. lim f() = lim f(). + lim (-b b + = -b() - b() + a = -6b + a; f() es cotiua e = si f() = f() = lim f() = + f() = lim f() = 60 lim + = 60 -b - b + a si 60 = 30, como so iguales teemos -6b + a = 30. ; teemos f () = si > -b - b si - 60 si > f() es derivable e = si lim f () = lim f (), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. + 5

6 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua lim f () = lim (-b- = -b()-b = -5b; lim f () = + lim = () -5b = -15, de dode b = 3. De -6(3) + a = 30, teemos a = 48. La fució f es cotiua y derivable para a = 48 y b = 3. Para a = 48 y b = 3, estudie la mootoía de f() y calcule sus etremos si Nuestra fució es f() = 60 derivable e todo R. Vamos a dibujar la gráfica y después diremos su mootoía y etremos. = -15., como so iguales teemos, y ya hemos visto e el apartado ( que es cotiua y si > La gráfica de es u trozo de parábola, co las ramas hacia abajo (el º que multiplica a es egativo), co vértice V de abscisa la solució de f () = 0 = -6-3, de dode = -1/ y V(-1/,f(-1/)) = (-1/,48 75), y pasa por los putos (-,4) y (,30). La gráfica de 60/ es u trozo hipérbola, que tiee ua asítota vertical e = 0 (o está e su domiio) porque lim 60/ = 60/0 - = -, y ua asítota horizotal e y = 0 e +, porque 0 lim 60/ = 60/(+ ) = 0 +, y f está por ecima de la asítota. Además f() = 60/ = 30, es decir pasa por el + puto (,30) y siempre es estrictamete decreciete porque va de la ordeada y = 30 e =, hasta la asítota y = 0 e +. Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica de f es: Observado la gráfica vemos que f es estrictamete creciete ( ) e (-,-1/) (hasta la abscisa del vértice de la parábol. Aálogamete vemos que f es estrictamete decreciete ( ) e (-1/,+ ) (desde la abscisa del vértice de la parábol. Por defiició e = -1/ hay u máimo relativo y absoluto que vale f(-1/) = EJERCICIO 3 (B) Resuelto por D. Marcelo Rodríguez Vázquez Profesor de Matemáticas del IES El Majurelo, Gies (Sevill. Atoio va de compras dos días de cada cico. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va de compra y la mitad de los días que o va. Elegido u día al azar: (1 5 putos) Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día? (1 puto) Calcule la probabilidad de que ese día Atoio vaya a la compra o la fruto esté de oferta. Solució Atoio va de compras dos días de cada cico. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va de compra y la mitad de los días que o va. Elegido u día al azar: Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día? Llamemos C, C C, F y F C, a los sucesos siguietes, ir a la compra, "o ir a la compra", "fruta de oferta" y "fruta si oferta ", respectivamete. Datos del problema p(c) = /5; p(f/c) = 1/3 ; p(f/c C ) = 1/,... Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). 6

7 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la fruta este de oferta es: p(f) = p(c).p(f/c) + p(c C ).p(f/c C ) = (/5) (1/3) + (3/5) (1/) = 13/ Calcule la probabilidad de que ese día Atoio vaya a la compra o la fruta esté de oferta. Recordamos que p(a o B) = p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a B) = p(a) p(b/a). Me pide p(vaya a la compra o la fruta esté de ofert = p(c o F) = p(c F) = = p(c) + p(f) - p(c F) = p(c) + p(f) p(c) p(f/c) = /5 + 13/30 (/5) (1/3) = 7/10 = 0 7. EJERCICIO 4 (B) ( 5 putos) U titular de presa afirma que el 70% de los jóvees de ua ciudad utiliza las redes sociales para comuicarse. Para cotrastar la veracidad de tal afirmació se toma ua muestra aleatoria de 500 jóvees de esa ciudad, y se obtiee que 340 de ellos utiliza la red para comuicarse. Aalice mediate u cotraste de hipótesis bilateral, (H 0 : p = 0 7), si se puede aceptar, co u ivel de sigificació del 1%, que dicha afirmació es cierta. Solució Sabemos que la distribució muestral de proporcioes sigue tambié ua distribució ormal: p 0.(1-p 0) N( ˆp, ). Trabajaremos co lo ormal N(0,1) Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. Nos dice el problema U titular de presa afirma que el 70% de los jóvees de ua ciudad utiliza las redes sociales para comuicarse. Para cotrastar la veracidad de tal afirmació se toma ua muestra aleatoria de 500 jóvees de esa ciudad, y se obtiee que 340 de ellos utiliza la red para comuicarse. Aalice mediate u cotraste de hipótesis bilateral, (H 0 : p = 0 7), si se puede aceptar, co u ivel de sigificació del 1%, que dicha afirmació es cierta. Es u cotraste bilateral y trabajamos co la ormal N(0,1). Datos del problema: p 0 = 0 7; q 0 = 1 - p 0 = = 0 3; = 500; ˆp = 340/500 = 0 68; ivel sigificació = α = = 1% = 0,01 El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : p 0 = 0 70 (ya os la dá el problem y H 1 : p Etapa : Calculamos el puto o putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. La prueba es bilateral y para u ivel de sigificació α = 0 01, co lo cual α/ = 0,01/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 995, mirado e las tablas de la N(0,1) observamos que o viee dicha probabilidad, y que las probabilidades mas próimas so y que correspode a 57 y 58, por tato tomamos la media, es decir z 1-α/ = ( )/ = 575, co lo cual teemos por valores críticos z 1-α/ = 575 y z α/ = - z 1-α/ = - 575, que separa las zoas de aceptació y de rechazo. 7

8 IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. E este caso el estadístico de prueba es Z = ˆp - p0, que sigue ua ormal tipificada, N(0,1), y el p 0.(1-p 0) valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = ˆp - p0 0'68-0'7 = p 0.(1-p 0)/ 0'7 0' Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = está etre z α/ = y z 1-α/ = 575, vemos que se ecuetra e la zoa de aceptació. Por tato, tomamos la decisió de aceptar la hipótesis ula H 0 : p 0 = 0 7 co u ivel de sigificació del 1%. E cosecuecia, aceptamos que los jóvees de esa ciudad utiliza las redes sociales para comuicarse co u ivel de sigificació del 1%. 8