Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo

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1 Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada E este tema se aplicará alguos de los coceptos relativos a probabilidad que se ha visto hasta ahora, pues se trata de ecotrar fucioes de los datos procedetes de ua muestra que sirva para estimar alguos de los parámetros poblacioales más importates. 1.- Estadísticos y estimadores. Defiimos Estadístico como cualquier fució de los datos de ua muestra. Cada valor de ua fució defiida a partir de las medidas de ua muestra depede de la muestra que e cada caso se haya elegido. Si la muestra es aleatoria, cualquier estadístico es ua variable aleatoria y como tal, tedrá ua distribució. Dedicaremos este tema a hablar de las distribucioes de alguos estadísticos muy usados e experimetació. Frecuetemete os iteresa coocer algú dato de ua població, por ejemplo: qué proporció de persoas votará ua determiada opció política?, o Cuál es la talla media de esta comuidad?. E muchas ocasioes el dato que pretedemos coocer es, además, algú parámetro de ua distribució. Por ejemplo, respecto de la opció política, podemos cosiderar toda la població dividida e dos grupos: los que vota la opció e estudio y los que o lo vota; podemos represetar la situació mediate ua variable aleatoria que tomará los valores 1, si elige la opció de iterés, y 0 si o la elige. Esta situació quedará modelada por la distribució biaria, cuyo úico parámetro es la proporció p que queremos coocer. Se tratará de elegir ua muestra y ecotrar la fució de la muestra que mejor estime el dato poblacioal requerido. Defiimos Estimador como cualquier estadístico que sirva para evaluar u dato poblacioal a partir de los de ua muestra. Todos los estimadores so variables aleatorias y sigue algú modelo de distribució, cometaremos los más importates a lo largo del tema. Represetaremos co la letra griega θ u parámetro poblacioal geérico, co el mismo símbolo co circuflejo, su estimador: ˆ θ. El estimador de la proporció p es ˆp ; el de la media µ es ˆµ ;y el de la variaza es ˆ. Existe varios procedimietos para determiar estimadores, alguos de ellos so: el de aalogía, el de máxima verosimilitud, el de míimos cuadrados y otros. Nosotros defiiremos estimadores por aalogía: tomaremos como estimador de u parámetro poblacioal su propia defiició aplicada a la muestra: Estimador de ua proporció: La proporció se estima e la muestra cotado el umero de idividuos que presete la característica que se estudie y dividiédolo etre el tamaño de la muestra: Sea ua muestra de tamaño, y de ellos a preseta la característica e estudio, etoces ˆp = Estimació de ua media: utilizaremos la media muestral como estimació de la poblacioal. Sea ua muestra de tamaño y ua característica cuatitativa X cuyas medidas e los idividuos de la muestra ha resultado ser x1, x,...,x, etoces µ ˆ = x = Estimació de ua variaza: se utiliza la cuasivariaza muestral para estimar la variaza poblacioal: ˆ = s = i= 1 ( xi x) 1 i= 1 x i a Estimació de parámetros, pág 1

2 E ocasioes observaremos el parámetro p como la media de ua distribució biaria: puesto que la variable aleatoria solo puede tomar los valores 1 (acierto) y 0 (fallo), el úmero de aciertos es tambié la suma de todos los valores de la variable observados e la muestra, y al dividir la suma de todas las observacioes etre el úmero de ellas, tedremos la media muestral. El parámetro λ de ua Poisso es su media, por lo que para estimarlo tambié podremos cosiderarlo como ua media..- Propiedades de los estimadores: Isesgadez: la pricipal característica que debe cumplir u estimador es que estime lo que realmete se pretede estimar, o sea, al repetir muchas veces la estimació, se obtega como promedio u valor muy próximo al que se desea estimar: E( θ ˆ )=θ. U estimador que cumpla esta propiedad se dice que es isesgado, e caso cotrario se le deomia sesgado. La media muestral es u estimador isesgado de la media poblacioal, pues E(x) = µ. La variaza muestral o es u estimador isesgado de la variaza poblacioal, ya que: 1 E(s ) =, por ese motivo se usa como estimador de la variaza poblacioal la cuasivariaza que sí es isesgado. Eficiecia: todo estimador es ua variable aleatoria, y, como tal, tedrá ua media y ua variaza, u estimador es tato más eficiete cueto meor sea su variaza, pues la variabilidad implica poca seguridad e que la estimació sea correcta, desde ese puto de vista, lo ideal sería que la variabilidad fuese ula. La eficiecia siempre se defie e relació a otro estimador del mismo parámetro, u estimador es más eficiete que otro si tiee meos variaza. Existe u valor míimo de la variaza de u estimador isesgado, es la deomiada cota de Frèchet-Cramer-Rao, si u estimador isesgado alcaza esta cota, decimos que es eficiete. Suficiecia: u estimador es suficiete si cotiee toda la iformació muestral relativa al parámetro que se desea estimar. La media muestral es u estimador suficiete, pues se usa todos los datos de la muestra e su cálculo. Coocida la media muestral, el dispoer de todos los datos de la muestra o mejora mi iformació referete a la media poblacioal. Cosistecia: u estimador es cosistete si la probabilidad de ecotrar valores estimados distitos a los que se desea estimar es muy baja (por poco que se diferecie los valores estimados de los que se pretede estimar) cuado el tamaño de la muestra es muy grade. Los estimadores basados e ua media muestral so isesgados, eficietes y suficietes. 3.- Distribucioes e el muestreo: a) Distribució de la media muestral: a.1) Variable aleatoria X es ua Normal (m ; s ). Extraida ua muestra de tamaño, co las observacioes x 1, x,...x. Al cosiderar todas las posibles muestras, cada observació toma los valores de la variable aleatoria X y su misma desidad, la suma de variables aleatorias Normales, todas ellas co la misma media y variaza es ua variable aleatoria Normal, cuya media es µ y cuya variaza es, por tato, aplicado las propiedades de la esperaza matemática, podemos comprobar que la media X sigue ua distribució de media µ y variaza /.. Además, al ser Normal la població de la que se extrae la muestra, la media muestral sigue tambié ua distribució Normal: X µ Al tipificar la media muestral: Z= N(0;1) Si X N(µ; ) X N(µ; /) Estimació de parámetros, pág

3 Co frecuecia o se cooce la variaza poblacioal, etoces se estima co la cuasivariaza poblacioal, pero al tipificar, lo X µ que se obtiee o es lo mismo que ates: t = t( 1) s Cuado los datos procede de ua variable Normal, la media de todas las medias muestrales sigue ua distribució Normal, si se tipifica co la desviació típica poblacioal, la media tipificada sigue ua Normal (0;1). Pero si se tipifica co la cuasidesviació típica, sigue ua distribució t de Studet co -1 grados de libertad. a.) La variable aleatoria X No es ua Normal: Etoces la distribució de la media muestral depede de la distribució de la variable origial. No obstate, para muestras grades : >30 (Teorema Cetral del Límite), se puede asegurar que la distribució de la media muestral es muy aproximadamete ua Normal de media la de X y de variaza la de X dividido por el tamaño muestral. Si la variaza muestral es descoocida NO SE PUEDE UTILIZAR LA DISTRIBUCIÓN t, pues falla el supuesto de Normalidad, por ello se comete meos error utilizado la distribució Normal y tomado MUESTRAS DE TAMAÑO SUPERIOR A 60. b) Distribució del estimador del parámetro p de ua distribució biaria: Si de ua distribució biaria tomamos ua muestra de tamaño y cotamos el úmero de aciertos, a, el cociete a/ estima la proporció de aciertos e la població. Cosiderado la variable aleatoria úmero de aciertos observados e la muestra de tamaño, esta variable, si la extracció fue idepediete, sigue ua distribució biomial, de parámetros y p: a b(;p) Tambié se puede cosiderar que los valores posibles de la variable aleatoria de partida (biaria co media p y variaza pq) so 0 y 1, por lo tato las observacioes muestrales solo tedrá estos valores, la suma de todas las observacioes muestrales coicide co el úmero de aciertos y por lo tato, a / puede ser cosiderado como ua media, por lo que segú el Teorema Cetral del Límite (T.C.L.), si la muestra es grade: X N(µ; /)=N(p; pq/) c) Distribució del estimador del parámetro de ua distribució Normal: Si X es ua variable aleatoria N(µ; ) y descoocemos la media y la variaza poblacioal, podemos estimar ésta co la cuasivariaza poblacioal: xi x (1)s = i= 1 1 s = ( xi x), se puede demostrar que el estadístico 1 i = 1 sigue ua distribució Chicuadrado co -1 grados de libertad. Esto sigifica que al tipificar respecto de la variaza poblacioal, cada sumado es el cuadrado de ua N(0;1), y la suma de todos ellos ua Chi-cuadrado, pero todos los sumados o so idepedietes, ya que la suma de todas las observacioes ha de ser tal que se obtega la media x observada. Si fijamos este valor de la media muestral y dejamos que varíe libremete las observacioes, solo hemos de calcular -1, pues la última viee obligada. Por lo tato, el úmero de grados de libertad de la distribució Chi-cuadrado es -1 (el mismo úmero que se utiliza como deomiador del cálculo del estimador de la variaza). d) Distribució del cociete de las los estimadores de las variazas de dos distribucioes Normales idepedietes: (1)s E ocasioes hay que comparar las variazas de dos distribucioes Normales, como el estadístico sigue ua distribució Chi cuadrado co -1 g.l., calculado cada uo de ellos e su respectiva muestra, el estadístico: Estimació de parámetros, pág 3

4 ( ) 1 1 ( 1) ( ) ( 1) 1 s s = 1s s sigue ua distribució F de Sedecor co 1-1 y -1 grados de libertad respectivamete. 4.- Estimació por puto y por itervalo: Cuado realizamos ua estimació de u parámetro aplicado el estimador correspodiete, damos u valor como estimació del parámetro poblacioal, etoces decimos que hemos realizado ua estimació por puto. Co frecuecia hay que platearse qué ta segura es esa estimació: Qué probabilidad hay de que el valor que se ha dado como estimació coicida co lo que realmete se desea estimar?. Supogamos el caso de ua distribució biaria cuyo parámetro p sea realmete 0.4, que por el mometo es descoocido y tomamos ua muestra de tamaño, =5, qué probabilidad hay de que se obtega a = para que el p estimado sea 0.4? 5 3 P(X = ) = = 0,3456 Esto os dice que e solo 34.5 de cada cie veces que tomásemos esta muestra estimaremos correctamete el parámetro poblacioal (e más del 65% de los casos realizaremos ua estimació icorrecta). Qué decir si la variable de partida fuese cotíua?. Por ello ua estimació por puto es poco iformativa de la calidad de esa estimació y se prefiere dar u itervalo de valores etre los cuales esperamos esté icluido el valor estimado co ua cierta probabilidad, es la estimació por itervalo. Para realizar ua estimació por itervalo es preciso coocer la distribució del estimador que se usa y, a partir de ella, costruir u itervalo de cofiaza. Veámoslo co u ejemplo: a) Estimació por itervalo de la media de ua variable Normal. Realizar ua estimació por itervalo es ecotrar los extremos a y b de u itervalo que esperamos cotega la media poblacioal co ua probabilidad que osotros fijamos de atemao y que deomiamos, ivel de cofiaza, sea este ivel 1- α, etoces será : P(a < µ b) =1-α Nosotros sabemos que si la variable de partida es Normal, la media muestral es ua Normal de media la poblacioal y variaza la poblacioal dividida por el tamaño muestral: X N(µ; X µ /) Z= N(0;1) Se puede ecotrar dos valores: a y b tales que la probabilidad de que Z tome valores compredidos etre ellos sea u valor dado 1-α, P(a<Z b) = 1-α. E realidad hay ifiidad de posibles valores a y b y por eso se suele tomar tales que la probabilidad de que Z sea meor que a sea igual a la probabilidad de que Z sea mayor que b, y ambas probabilidades igual a α/ Como al distribució Normal es simétrica respecto de su media, e el caso de ua N(0;1), dos abcisas a y b que delimite colas de igual probabilidad verifica que a = b, por lo que solo hay que buscar el cuatil z α / de la Normal(0;1) Estimació de parámetros, pág 4

5 α/ α/ x µ Etoces: P( zα / < z α) = 1 α, quitado deomiadores detro del parétesis: P zα / < xµ zα / = 1α, restado x : P x zα / <µ x + zα / = 1α, cambiado el sigo y el setido de la desigualdad detro del parétesis: P x zα/ < µ x + zα/ = 1α Supogamos ua variable aleatoria de la que sabemos que sigue ua distribució Normal, de media descoocida y variaza coocida =4. Para estimar la media poblacioal tomamos ua muestra de tamaño 10 y calculamos la media muestral, que resulta ser 30. La estimació por puto será x =30. Por lo tato, el itervalo buscado es: x zα/ < µ x+ zα/ Para este ejemplo, si se desea que 1-α =0.90, el cuatil buscado es el que deja a su derecha u área de 0.05, para que su simétrico deje u área a su izquierda de E las tablas de la Normal(0;1), podemos ecotrar que el cuatil buscado es 1.64, por lo que : 4 4 I1 α = x zα/ < µ x + zα/ = ; = ( 8.963; ) Podemos afirmar que la media poblacioal es u valor compredido etre y co u grado de cofiaza del 90%. Estimació de parámetros, pág 5

6 Nótese que se habla de cofiaza e lugar de probabilidad: ua vez tomada la muestra, todos los datos requeridos para costruir el itervalo so coocidos y podemos costruirlo. Este itervalo ya ha sido fijado y cotedrá o o a la media poblacioal. Solo podemos afirmar que de repetir el proceso muchas veces, tedríamos que, e promedio, 90 de cada 100 de los itervalos que así se costuya cotedrá a la media poblacioal, y "cofiamos" e que este sea uo de esos 90. Si la variaza poblacioal fuese descoocida, todo sería semejate, cambiado variaza poblacioal por cuasivariaza muestral y la distribució Normal por ua t de Studet co -1 grados de libertad. Para el ejemplo actual, si 4 es la cuasidesviació típica: s s 4 4 I1 α = x t(1), < µ x + t( 1) ; ( 8.841;31.159) α / = + = α / Lógicamete, cuado valor de la variaza estimada coicide co la variaza poblacioal (descoocida), al descoocer la variaza poblacioal se obtiee u itervalo más amplio para teer la misma cofiaza de recubrir la media, pues el grado de descoocimieto es mayor. b) Estimació por itervalo de la media de ua variable que o sabemos si sigue ua ley Normal. E este caso solo podemos tomar muestras grades y aplicar el T.C.L.. Si la variaza poblacioal es coocida, el tamaño muestral solo debe ser superior a 30, mietras que si la variaza poblacioal es descoocida, el tamaño ha de ser superior a 60. E ambos casos se debe usar la distribució Normal y o la t, ya que por o cumplirse el supuesto de ormalidad, el error cometido al utilizar la t de Studet es superior al que se comete mateiedo la Normal. Los resultados so solo aproximados, tato más cuato mayor sea la muestra: I x z < µ x+ z 1 α α/ α/ co >30 s I x z < µ x+ z 1 α α/ α/ s co >60 c) Estimació por itervalo del parámetro p de ua distribució biaria: Si se toma ua muestra de tamaño de ua distribució biaria de parámetro p descoocido, podemos cotar el úmero de aciertos de la muestra para estimar p. Esta catidad es ua variable aleatoria que sigue ua distribució biomial de parámetros coocido y p descoocido. Si se supoe que la estimació por puto de p es ua buea aproximació de su valor poblacioal, se podrá calcular las probabilidades asociados a los distitos valores de los posibles x de ua distribució b(;p) ˆ y sumar P(X=0)+P(X=1)+... hasta ecotrar ua tal que la suma esté lo más próximo posible a α /, supogamos que esta sea x a. Del mismo modo se puede proceder por el extremo superior: P(X=)+P(X=-1)+... hasta ecotrar u x b que haga que la suma sea lo más próximo posible a α /, etoces, como: ˆp = /, el itervalo será: xa xb I 1 α = ( ; ) auque, como la probabilidad es discreta, el ivel 1-α deseado casi uca se alcaza exactamete. Este procedimieto tiee ua objeció grave y es que para costruir ua estimació del parámetro poblacioal ha de hacer uso de este parámetro, que es descoocido y se utiliza el valor de p estimado. Otro procedimieto cosiste e determiar los valores p 1 y p del siguiete modo: p 1 es la proporció que se ha de utilizar e ua distribució biomial b( ; p1) para que la probabilidad de obteer a o más aciertos sea 1-α / y p es la proporció que se ha de utilizar e ua distribució biomial b( ; p ) para que la probabilidad de obteer a o meos aciertos sea α / pq E el caso de que el tamaño muestral sea grade, se puede usar la aproximació de la Normal: ˆp Np;, el itervalo de cofiaza será: a pq p = pˆ ± zα /, el icoveiete es que el itervalo para p vuelve a quedar e fució de p, por eso se suele sustituir los p y q de detro de la raíz por sus estimacioes muestrales: Estimació de parámetros, pág 6

7 p = pˆ ± z α / ˆˆ pq Esta fórmula solo es aplicable si el tamaño muestral es tal que tato el úmero de "aciertos" como el de "fallos" sea mayor que 0. Además habría que icluir ua correcció por cotiuidad debida al hecho de aproximar ua distribució discreta (co valores para probabilidades putuales) por ua cotíua, e la que la probabilidad asociada a u solo puto es ula. E el caso de que o se alcace este tamaño de muestra, se puede calcular el itervalo a partir de la fórmula iicial: p(1 p) p = pˆ ± zα / E la que se ha sustituido q por 1 p, como el resto de catidades so coocidas, teemos ua ecuació irracioal e p, que se resuelve aislado el térmio irracioal, elevado al cuadrado: pq ( p pˆ ) = zα / y resolviedo la ecuació de segudo grado que se obtiee. Las raices de dicha ecuació so los extremos del itervalo pedido. Existe otras expresioes para la estimació por itervalo de proporcioes, que o se verá aquí, (ver Martí Adrés, 1994). d) Estimació por itervalo de ua variaza de ua variable aleatoria Normal E el caso de la variaza, si la variable de la que se toma la muestra sigue ua distribució Normal N(µ ; ) sabemos que el estadístico (1)s sigue ua distribució Chi-cuadrado co -1 g.l., puesto que esta distribució toma valores a partir de cero y o es simétrica, tedremos que determiar a partir de las tablas de esta distribució los cuatiles χ 1-α/ y χ α/ que deja a su derecha u área 1-α/ y α/, respectivamete, etoces: (1)s Pχ1 α / < < χ α / = 1α el itervalo de cofiaza es: al despejar la variaza poblacioal hay que ivertir los sigos de la desigualdad, y ( 1) s ( ) 1 s I 1α = ; χα/ χ 1 α/ Estimació de parámetros, pág 7