INFERENCIA ESTADÍSTICA. CONTRASTE DE HIPÓTESIS

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1 INFERENCIA ESTADÍSTICA. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 1. El peso medio de ua muestra aleatoria de 100 arajas de ua determiada variedad es de 272 g. Se sabe que la desviació típica poblacioal es de 20 g. A u ivel de sigificació de 0,05 hay suficiete evidecia para refutar la afirmació de que el peso medio de la població es de 275 g? Solució: Puede platearse como u cotraste de hipótesis sobre la media. Hipótesis ula, H 0 : µ = 275 Hipótesis alterativa, H 1 : µ 275 Si se admite la hipótesis ula, las medias muestrales sigue ua distribució: 20 N 275, = N (275, 2) 100 Se admite la hipótesis alterativa (y se rechaza la hipótesis ula), para ua sigificació α, cuado: x siedo x la media muestral, la desviació típica, el tamaño de la muestra y Z α/2 el valor correspodiete e la tabla ormal para u ivel de cofiaza de 1 α (ivel de sigificació α). E uestro caso se tiee: µ = 275, = 100 y, para u ivel de sigificació del 0,05 (95 % de cofiaza), Z α/2 = 1,96. Luego: = ,96, ,96 = (271,08; 278,92) Como x = 272 (268,08; 275,92), o puede rechazarse la hipótesis ula. Por tato, podemos admitir que el peso medio es de 275 g. 2. U estudio realizado e el ámbito de la Uió Europea cocluye que la edad de los propietarios de u automóvil "Mercedes" e el mometo de su adquisició tiee u comportamieto Normal co media 38 años y variaza 16. U cocesioario de dicha marca, istalado recietemete e España, ha vedido sólo 150 vehículos y ha comprobado que la edad media de sus clietes es de 38,3 años. Aceptado para los clietes españoles la variaza obteida para los clietes europeos, se puede aceptar que la edad media al adquirir u vehículo de esa marca es la misma e España que e Europa, para u ivel de sigificació del 5 %? Solució: Hay que hacer u cotraste de hipótesis (bilateral) para la media. Hipótesis ula, H 0 : µ = 38 Hipótesis alterativa, H 1 : µ 38 Si se admite la hipótesis ula, las medias muestrales sigue ua distribució: 4 N 38, = N (38; 0,33) 150 Se admite la hipótesis alterativa (y se rechaza la hipótesis ula), para ua sigificació α, cuado: x siedo el tamaño muestral, x la media de la muestra, la desviació típica y Z α/2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1 α. Si se rechaza H 0 hay que admitir que la media ha cambiado. E este caso: Dpto. de Matemáticas 1 / 9 IES Ramó Olleros

2 µ = 38 = 4 = 150 y Z α/2 = 1,96 Por tato, la regió de aceptació es: = ,96,38 + 1,96 = (37,36; 38,64) Como 38,3 (37,36; 38,64) o puede rechazarse H 0 ; e cosecuecia se puede aceptar que la edad media al adquirir u vehículo de esa marca es la misma e España que e Europa, para u ivel de sigificació del 5 %. 3. E ua determiada població juveil el peso, e kilos sigue ua distribució ormal co ua desviació típica de 10 kg. Se extrae ua muestra aleatoria de 25 jóvees cuya media muestral es de 48 kg. Para u ivel de sigificació del 5 %, podemos aceptar la hipótesis de que la media poblacioal es de 50 kg? Solució: Aplicaremos u cotrate de hipótesis bilateral: Hipótesis ula, H 0 : µ = 50 Hipótesis alterativa, H 1 : µ 50 Si se admite la hipótesis ula, las medias muestrales sigue ua distribució: 10 N 50, = N (50, 2) 25 Se rechaza la hipótesis ula si: x siedo la desviació típica poblacioal y Z α/2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua sigificació α. E uestro caso x = 48, µ = 50, = 10, = 25 y, para u ivel de sigificació del 5 %, Z α/2 =1,96, luego: = ,96,50 + 1,96 = (46,08; 53,92) Como x = 48 (46,08; 53,92), o se puede rechazar la hipótesis ula, esto es, podemos aceptar que la media poblacioal es de 50 kg. 4. Se quiere estimar, e ua determiada població, la media de la paga mesual que se da a los chicos de 14 años. a) Si la variaza de la paga e la població es de 1000 ptas 2. Cuál es la variaza de la media muestral cuado el tamaño de la muestra es de 100? b) Si e las codicioes del apartado aterior, la media muestral es de 4008 ptas, se aceptaría, co u ivel de sigificació de 0,05, la hipótesis de que la paga media es de 4000 ptas? Solució: a) La distribució de la media muestral de tamaño obteidas e ua població de media µ y desviació típica, N (µ,), se distribuye segú ua ormal N µ,. E uestro caso, si 2 = 1000, se tedrá: 1000 = = 10 la variaza de la media muestral = Dpto. de Matemáticas 2 / 9 IES Ramó Olleros

3 b) Se trata de u cotrate de hipótesis. Hipótesis ula, H 0 : µ = 4000 Hipótesis alterativa, H 1 : µ 4000 Si se admite la hipótesis ula, las medias muestrales sigue ua distribució: 1000 N 4000, 100 = N (4000; 3,16) Se admite la hipótesis ula si x = 4008 perteece al itervalo: siedo la desviació típica poblacioal y Z α/2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua sigificació α. E uestro caso: µ = 4000, = 1000, =100 y, para el 0,05 de sigificació Z α/2 =1,96, luego: = ,96, , = (3993,8; 4006,2) Como 4008 cae fuera de ese itervalo o se acepta que ese valor sea la media poblacioal. Esto es, o se acepta que la paga media sea 4000 ptas. 5. Hace 10 años, el cosumo medio mesual de electricidad por vivieda e Caarias era de 320 Kw. E el año 2005 se ha tomado ua muestra aleatoria de 25 viviedas y se ha obteido u cosumo medio mesual de 350 Kw co ua desviació típica de 80 Kw. a) Co u ivel de sigificació del 10 % se acepta que el cosumo medio sigue siedo 320 Kw frete a que ha aumetado? b) Para estimar el cosumo medio co u error meor de 6 Kw y co u ivel de cofiaza del 90% que úmero de viviedas es ecesario cosiderar? Solució: a) Se trata de u cotraste de hipótesis uilateral (cola izquierda): Hipótesis ula, H 0 : µ 320 Hipótesis alterativa, H 1 : µ > Las medias muestrales muestras sigue ua distribució N 320, = N (320, 16) 25 Se rechaza H 0, co u ivel de sigificació α, si: x > µ + Z α o x, µ + Zα Esto equivale a admitir que la media o ha aumetado. E este caso: µ = 320; = 80; = 25; Z α = 1,28. Luego: 80 µ + Z α = ,28 = ,28 = 340,28 25 Como x = 350 > 340,28, hay que rechazar la hipótesis ula. Por tato, debe aceptarse que el cosumo medio ha aumetado. b) El error admitido E, viee dado por E = Z α/2 = (Z α/2 ) E E uestro caso, para ua cofiaza del 90 %, α = 0,10, Z α/2 = 1,645, = 80 y E < 6 se tedrá: Dpto. de Matemáticas 3 / 9 IES Ramó Olleros

4 Esto es, > 481. = (1,645) = 481,07 6. Se cree que el comportamieto de ciertos microorgaismos marios se ha visto afectado por u vertido de residuos, reduciédose e particular el tiempo de vida de dichos microorgaismos. Ates del vertido ese tiempo seguía ua Normal de media 45 días y desviació típica 4 días. Uas semaas después del vertido se cotabilizó el tiempo de vida de ua muestra de 50 microorgaismos, obteiédose ua media de 43 días de vida. Supoiedo que el tiempo de vida sigue siedo aproximadamete Normal y que la desviació típica se ha mateido: a) Platea u test para cotrastar la hipótesis de que el vertido de residuos o les ha afectado frete a que ha ifluido e la forma e que se cree. Si se cocluye que sí afectó y esta coclusió fuera falsa, cómo se llama el error cometido? b) Explica claramete a qué coclusió se llega e el test plateado e el apartado aterior para u ivel de sigificació del 3 %. Solució: Se trata de u cotraste de hipótesis sobre la media. a) El cotraste es uilateral, de ua cola. Hipótesis ula, H 0 : µ 45 (la media sigue igual o icluso subió) Hipótesis alterativa, H 1 : µ < 45 (la media bajó) Si se cocluye que la media ha bajado (aceptádose H 1 ) y si embargo esta coclusió fuera falsa, se dice que se comete u error de tipo I. 4 b) Las medias muestrales muestras sigue ua distribució N 45, = N (45; 0,57) 50 Se admite que la media poblacioal ha dismiuido, para u ivel de sigificació α, cuado: x < µ Z α o x µ Zα, + siedo µ y los parámetros poblacioales (media y desviació típica poblacioal), x la media muestral y Z α el valor correspodiete, para ua distribució ormal, co ua cofiaza de 1 α. E uestro caso, para α = 3 %, el 97 % de cofiaza Z α = 1,82. Luego: µ Z α = 45 1, = 43,97 Como x = 43 < 43,97 se admite que la media de vida de dichos microorgaismos ha dismiuido. 7. Ua marca de ueces afirma que, como máximo, el 6 % de las ueces está vacías. Se eligiero 300 ueces al azar y se detectaro 21 vacías. a) Co u ivel de sigificació del 1 %, se puede aceptar la afirmació de la marca? b) Si se matiee el porcetaje muestral de ueces que está vacías y 1 α = 0,95, qué tamaño muestral se ecesitaría para estimar la proporció de ueces vacías co u error meor del 1 %? Solució: La proporció de la muestra es p = = 0,07 Dpto. de Matemáticas 4 / 9 IES Ramó Olleros

5 a) Se trata de u cotraste de hipótesis (que supodremos bilateral, al o decirse ada e cocreto). Hipótesis ula, H 0 : p = 0,06 Hipótesis alterativa, H 1 : p 0,06 (la proporció de ueces vacías o es la idicada) Se admite la hipótesis alterativa (y se rechaza la hipótesis ula), para ua sigificació α, cuado: p p Zα/2, p+ Zα/2 siedo p la proporció de la població, q = 1 p, Z α el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1 α (sigificació α) y el tamaño muestral. E uestro caso se tiee: α = 0,01 Z α/2 = 3,27 = 300 p = 0,06 y q = 0,94 Luego: 0, 06 0,94 0, 06 0,94 0,06 3,27 ;0,06 + 3, = (0,015; 0,105) Como p (0,015; 0,105), o puede rechazarse la hipótesis ula. Por tato, debe aceptarse la afirmació de la marca. b) Para la misma proporció p = 0,07 y, para u ivel de cofiaza del 95 %, Z α/2 = 1,96, si se desea que el error Z α/2 < 0,01, se tedrá: 2 0, 07 0,93 1,96 0,07 0,93 1, 96 < 0,01 > = 2500,9 2 0,01 El tamaño muestral míimo debe ser = U 10 % de quiees utiliza cierto aalgésico sufre pequeñas molestias gástricas. U uevo producto tiee u mayor poder aalgésico, pero si embargo parece que es más fácil que ocasioe esos pequeños efectos secudarios. De hecho, 21 persoas afirmaro haberlos sufrido, de ua muestra de 140 que había utilizado el uevo medicameto. a) Platea u test para cotrastar la hipótesis de que co el uevo medicameto se corre el mismo riesgo de padecer efectos secudarios que co el otro, frete a que, como parece, el riesgo es mayor. Explica qué tipo de errores se puede cometer al obteer las coclusioes y cómo se llama. b) Explica claramete a qué coclusió se llega e el test plateado e el apartado aterior para u ivel de sigificació del 2 %. Solució: a) Se trata de u cotraste de hipótesis sobre la proporció. Co el aalgésico aterior: p = 0,10 Co el aalgésico uevo: p uevo = 21/140 = 0,15 El cotraste es uilateral, de ua cola. Hipótesis ula, H 0 : p 0,10 (la proporció sigue igual o icluso bajó) Hipótesis alterativa, H 1 : p > 0,10 (la proporció subió) Si se admite la hipótesis alterativa, que la proporció de molestias subió, siedo falsa se comete u error de Tipo I. (esto es, se rechaza H 0 siedo verdadera) El error de Tipo II cosiste e o admitir la hipótesis alterativa siedo verdadera (esto es, o rechazar H 0 siedo falsa) Se admite la hipótesis alterativa (y se rechaza la hipótesis ula), para ua sigificació α, cuado: p0q0 p uevo > p + Z α p0q0 p uevo p > Z α Dpto. de Matemáticas 5 / 9 IES Ramó Olleros

6 siedo p la proporció poblacioal, el tamaño muestral, p uevo la proporció muestral y Z α el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1 α. E uestro caso, para el 98 % de cofiaza, Z α = 2,06. Luego: Z α = 2,06 0,1 0,9 0, Como p uevo p = 0,15 0,10 = 0,05 < 0,052, o hay evidecia estadística suficiete para rechazar la hipótesis ula. 9. Ua fábrica de muebles se ecargaba tambié del trasporte y motaje de los pedidos a sus clietes. Si embargo, recibía aproximadamete u 16 % de reclamacioes por dicho servicio. E los últimos meses, ha cotratado ua empresa especializada. De 250 servicios realizados por la empresa cotratada, 30 ha teido reclamació. a) Platea u test para cotrastar la hipótesis de que co la empresa cotratada la situació sigue igual, frete a que, como parece, ha mejorado. A qué coclusió se llega para u ivel de sigificació del 5 %? b) Calcula u itervalo de cofiaza del 95 % para la proporció de servicios reclamados co la empresa cotratada. Solució: La proporció iicial es p = 0,16. La proporció de la muestra es p = 30/250 = 0,12 a) Se trata de u cotraste de hipótesis uilateral (de la cola derecha) Hipótesis ula: H 0 : p 0,16 Hipótesis alterativa: H1: p < 0,16 Se rechaza H 0, co u ivel de sigificació α, si: p < p Zα, o bie, si p p Zα, + Esto equivale a admitir que la proporció ha dismiuido. E este caso, el área α se toma ítegra e la cola izquierda de la campaa. Para = 250, p = 0,12 y α = 0,05 (Z 0,05 = 1,64), se tiee que: p Z α = 0,16 1,64 0,16 0, = 0,16 0,023 = 0,137 Como p = 0,12 < 0,137 hay que rechazar H 0 : hay evidecias estadísticas de que la situació ha mejorado (la proporció ha dismiuido). b) El itervalo de cofiaza de la proporció, co u ivel de cofiaza de 1 α, es: p Zα/2, p+ Z α/2 siedo p la proporció de la muestra y q = 1 p, el tamaño muestral y Zα/2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua sigificació α. E uestro caso: 0,12 0,88 0,12 0,88 p Zα/2, p+ Z α/2 = 0,12 1,96, 0,12 1, = (0,10; 0,14) Dpto. de Matemáticas 6 / 9 IES Ramó Olleros

7 10. El cosumo de care pollo parece haberse disparado desde que hace uos meses cudió la alarma sobre otros tipos de care. E cierta caricería, las vetas diarias de care de pollo seguía hasta etoces ua Normal de media 19 kilos y desviació típica 3 kilos. E ua muestra de 35 días posteriores a la citada alarma, se obtuvo ua media de 21 kilos de care de pollo vedidos al día. Supoiedo que las vetas sigue siedo ua Normal co la misma desviació típica. a) Platear u test para cotrastar que la veta de pollo o ha aumetado, frete a que sí lo ha hecho, como parece idicar los datos. A qué coclusió se llega a u ivel de sigificació del 5%? b) Calcula u itervalo de cofiaza del 95 % para la veta diaria media de care de pollo después de la alarma? Solució: a) Se trata de u cotraste de hipótesis sobre la media. E cocreto, u cotraste uilateral (cola derecha), que se formula así: Hipótesis ula, H 0 : µ 19 Hipótesis alterativa, H 1 : µ > 19 Se rechaza H 0, co u ivel de sigificació α, si: x > µ + Z α o bie x,µ + Zα siedo x la ueva media, que e este caso vale 21, la desviació típica y Z α el valor correspodiete al ivel de sigificació α. (Si se rechaza H 0 debe admitirse H 1 ). E uestro caso, para α = 0,05, Z α = 1,64. Luego: 3 µ + Z α = ,64 35 = 19,83 Como x = 21 > 19, se rechaza la hipótesis ula, y por tato se admite que la media ha aumetado. b) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral, de media x y desviació típica es: x Zα/2, x+ Zα/2 siedo Z α/2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1 α. Para x = 21, = 3, = 35 y, para el 95 % de cofiaza, Z α/2 = 1,96, se tiee: x Zα/2, x+ Zα/2 = ,96, 21+ 1,96 = (20,01; 21,99) Hace diez años la proporció poblacioal de persoas que leía el periódico LA CIUDAD era del 35 %. Para comprobar si dicha proporció se matiee tomamos ua muestra de 225 persoas de las cuales sólo 65 lee LA CIUDAD. a) Si α = 0,05, podemos aceptar que la proporció de persoas que lee dicho periódico es mayor o igual al 35% frete a que ha dismiuido? b) Se cocluiría lo mismo si el ivel de sigificació es del 1 %? Solució: a) Se trata de realizar u cotraste de hipótesis uilateral. Se realiza como sigue: Hipótesis ula, H 0 : p 0,35 Hipótesis alterativa, H 1 : p < 0,35 Se rechaza H 0, co u ivel de sigificació α, si: Dpto. de Matemáticas 7 / 9 IES Ramó Olleros

8 p < p Zα o bie p p Zα, + siedo p la proporció de la media muestral y Z α el valor correspodiete e la tabla ormal para ua sigificació α. Esto equivale a admitir que la proporció ha dismiuido. E este caso: p = 65/225 = 0,2889 p = 0,35 Zα = 1,645 y = 225 Por tato: p Zα = 0,35 1,645 0,35 0, = 0,2977 Como, p = 0,2889 < 0,2977 hay que rechazar H 0 co ese ivel de sigificació. Luego la proporció de lectores de dicho periódico ha dismiuido. b) Para α = 0,01, Z α = 2,33. Por tato: p Zα = 0,35 + 2,33 0,35 0, = 0,0320 Como, p = 0,2889 > 0,0320 o se puede rechazar H 0 para este ivel de sigificació. Esto es, o se puede admitir que la proporció de lectores ha dismiuido. Nota: Al aumetar la sigificació dismiuye uestra cofiaza e el resultado; por eso, lo que se admite co ua cofiaza del 95 % puede rechazarse si exigimos ua cofiaza del 99 %. 12. Hace 10 años, se hizo u amplio estudio y se cocluyó que, como máximo, el 40 % de los estudiates uiversitarios era fumadores. Para ver si actualmete se matiee las mismas coclusioes, se tomó ua muestra de 78 estudiates etre los que 38 era fumadores. a) Co u ivel de sigificació del 10 %, se acepta que el porcetaje de fumadores etre los uiversitarios es meor o igual que el 40 %? b) Se amplió la ecuesta hasta 120 persoas, y se obtuvo que 54 era fumadores. Co u ivel de sigificació del 5 %, se tomaría la misma decisió que e el apartado aterior? Solució: La proporció de la muestra es: 38 p = 78 = 0,487 a) Se trata de u cotraste uilateral. Hipótesis ula: H 0 : p 0,40 Hipótesis alterativa: H 1 : p > 0,40 (la proporció de fumaderos aumetó) Se admite la hipótesis alterativa (y se rechaza la hipótesis ula), para u ivel de sigificació α, cuado: p > p+ Zα o bie p, p+ Zα siedo p la proporció de la població, q = 1 p, Z α el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1 α (sigificació α) y el tamaño muestral. E uestro caso se tiee: α = 0,10 Z α = 1,28 = 78 p = 0,40 y q = 0,60 Luego: Dpto. de Matemáticas 8 / 9 IES Ramó Olleros

9 p + Z α = 0,40 + 1,28 0, 40 0, ,471 Como p = 0,487 > 0,471, se rechaza la hipótesis ula; esto es, el porcetaje de fumadores ha aumetado, esto es, es mayor del 40 %. b) Para = 120, p = = 0,45 y para u ivel de cofiaza del 95 %, Z α = 1,645, se tiee que: p + Z α = 0,40 + 1,645 0, 40 0, ,474 E este caso, p = 0,45 < 0,474, por tato, e este caso, o puede rechazarse la hipótesis ula, esto es, o se acepta que el porcetaje de fumadores ha aumetado. Dpto. de Matemáticas 9 / 9 IES Ramó Olleros