Estimación por intervalos

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Lorenzo Mendoza Venegas
hace 5 años
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1 Estimació por itervalos

2 Estimació por itervalos para la media poblacioal co (variaza poblacioal) coocida P( x z/ x z/ ) 1 co (variaza poblacioal) descoocida Si 30 se reemplaza por S y usamos el itervalo aterior, para muestras grades S S P( x Z/ x z/ ) 1

3 Itervalo de cofiaza para la media co variaza poblacioal descoocida y <30 Si la població base es ormal, la variaza es descoocida y el tamaño de la muestra meor que 30, la media muestral tiee distribució T co -1 grados de libertad P( t T t ) 1 /, 1 /, 1 x P( t /, 1 t /, 1 ) 1 S S S P( x t /, 1 x t /, 1 ) 1

4 Tamaño de la muestra Se toma ua muestra piloto, se calcula S y se la utiliza como estimació de Ejemplo: E u estudio hecho para determiar el tiempo medio ecesario para el motaje de cierta pieza de ua máquia, 5 trabajadores hiciero u promedio de 4,5 miutos y ua variaza de 4,1 miutos. Si los tiempos de los trabajadores se distribuye ormalmete, estimar el tiempo promedio ecesario para el motaje de la máquia al ivel del 99% t,797 0,005;4 41,367 43,63

5 Itervalo de cofiaza para la variaza poblacioal Para estimar la variaza poblacioal, usamos la variaza muestral S i 1 x i x 1 Si bie comprobamos que es u estimador isesgado de S o es u estimador isesgado de la dispersió poblacioal, pero para muestras grades, el sesgo es pequeño y es muy comú hacer esa estimació. Usaremos la variable aleatoria co distribució Ji- cuadrado y -1 grados de libertad: 1 S

6 gl= gl=3 gl=4 gl=5 0 Chi 6 8

7 Extremos del itervalo para la variaza poblacioal 1 /; 1 /; 1 P 1 /; 1 /; 1 1 S P 1 /; 1 1 S /; 1 1 S 1 /; 1 1 S /; 1 1 S /; 1 1 /; S S P

8 Supoiedo ua cofiabilidad del 90% para = 7, se ubica los valores de la tabla e la gráfica

9 Tabla de Ji-Cuadrado

10 Costruir el itervalo de cofiaza co esos datos, si la variaza muestral es de 4,1 P 1 S 1 S 1 /; 1 1 /; 1 1 S 6.4,1 1,95 /; 1 1,6 1, S 6.4,1 15 1,64 1 /; 1

11 Ejemplo De 70 cables producidos por ua compañía se obtuvo ua resistecia media a la tracció de 1,5 toeladas co ua dispersió de 45 kg. Estimar la dispersió de todos los cables producidos por la compañía utilizado u ivel de cofiaza de 0,95. 38,34 53,53

12 Itervalo de cofiaza sobre ua proporció Si se ha tomado ua muestra aleatoria de tamaño de ua gra població (posiblemete ifiita), dode X observacioes e esta muestra perteece a la clase de iterés. X Es biomial, de parámetros y p pˆ Es el estimador putual de la proporció poblacioal. La distribució de muestreo de ˆp es aproximadamete ormal co esperaza p y p variaza 1 p co p o cerca de 0 y 1. Demostrarlo.

13 Para tediedo a ifiito, itervalo de cofiaza para p pˆ p pˆ 1 pˆ La distribució de es aproximadamete ormal estádar. P z Z z / / 1 pˆ p P z z 1 / pˆ 1 pˆ / pˆ 1pˆ pˆ 1pˆ P pˆ z p pˆ z 1 / / z

14 Ejemplo E ua muestra aleatoria de 75 ejes de árbol, 1 tiee u acabado superficial que es más rugoso que lo permitido por las especificacioes. Ua estimació putual de la proporció de los ejes e la població que excede las especificacioes de rugosidad es X 1 pˆ 0,16 75 Costruir u itervalo de cofiaza para p utilizado ua cofiabilidad del 95% 0,077 p 0,43

15 Pruebas de Hipótesis Ua prueba de hipótesis es ua técica de Iferecia Estadística que permite comprobar si la iformació que proporcioa ua muestra observada cocuerda (o o) co la hipótesis estadística formulada y, por lo tato, decidir si se debe aceptar o rechazar dicha hipótesis.

16 Itroducció Ejemplos: u ivestigador que pretede demostrar que la droga A es más efectiva para el tratamieto de cierta efermedad que la droga B; cuado u psicólogo desea comprobar si cierto formato de istrucció icremetará la eficiecia e el apredizajes; cuado u igeiero agróomo desea comprobar si ua ueva distacia de siembra etre surcos, para u cultivo, produce mejores redimietos que las distacias que se usaba comúmete e la zoa; cuado el jefe de marketig asegura que determiado producto es aceptado por el 60% de la població cosumidora, etc. E cada uo de los casos ateriores el resposable del estudio postula o cojetura algo acerca de u sistema. Se puede decir que se llama decisioes estadísticas a las decisioes que debe tomarse co respecto a las poblacioes a partir de ua iformació obteida de ua muestra de las mismas.

17 Hipótesis Estadística es cualquier afirmació o cojetura sobre ua o varias características de iterés de la Paramétrica població. : No Paramétrica Es ua afirmació sobre los valores de los parámetros poblacioales descoocidos. Simple la hipótesis asiga valores úicos a los parámetros Compuesta la hipótesis asiga u rago de valores a los parámetros Es ua afirmació sobre algua característica estadística de la població e estudio. Por ejemplo, las observacioes so idepedietes, la distribució de la variable e estudio es ormal, la distribució es simétrica, etc.

18 Idetificació de las Hipótesis Estadísticas Paramétricas Hipótesis ula H o Se platea co el parámetro de iterés usado alguo de los símbolos, La probabilidad de rechazar Ho es muy baja, y se llama ivel de sigificació porque Ho es la hipótesis que se cosidera cierta. Ejemplo, H H 0 1 : : 0 0 Hipótesis Alterativa H 1 Es cotraria a la hipótesis ula. (Niega a H 0 ). Se platea usado, >,< segú el caso respectivo al plateo de Ho. Está muy relacioada co la hipótesis de ivestigació, es coherete co los resultados obteidos e la muestra La probabilidad de aceptació de H 1 es

19 Observacioes El propósito de cualquier prueba de hipótesis es decidir cual hipótesis sería rechazada o cuál ha sido aceptada. Cualquier decisió estará basada sobre iformació parcial de ua població, coteida e ua muestra, por lo que habrá siempre ua posibilidad de ua decisió icorrecta. La siguiete tabla resume cuatro posibles situacioes que puede surgir e u test de hipótesis. Verdadero estado de la població Decisió posible H 0 es cierta H 1 es cierta Se rechazo H 0 Error de tipo I Decisió correcta No se rechaza H 0 Decisió correcta Error de tipo II

20 Esquema para realizar ua prueba de hipótesis Etapas: 1) Euciado de la hipótesis ula y alterativa ) Selecció del estadístico de prueba (Cosiderar el parámetro poblacioal utilizado e 1) y los datos del problema). 3)Gráfico de la distribució del estadístico de prueba para la determiació de la regió crítica co el alfa dado y la búsqueda e tabla del valor crítico. 4) Cálculo del valor observado a partir del estadístico. 5) Comparació de valores. 6) Exposició de las coclusioes

21 Cotrastes: uilateral y bilateral La posició de la regió crítica depede de la hipótesis alterativa Bilateral H 1 : 0 0 Uilateral Uilateral H 1 : <0 0 0 H 1 : >0

22 Prueba para la media Ejemplo: U establecimieto tambero tiee ua producció media diaria de 5,8 (lt e miles). El gerete del establecimieto pretede modificar ciertas maquiarias co el objetivo de aumetar la producció. Se sabe que la dispersió geeral es de 0,3 (lt e miles) y o se espera que ese valor cambie co las modificacioes. Se desea probar, co u ivel de sigificació del 1 %, que la producció promedio o está afectada por el cambio. Para esto, se toma ua muestra de 19 observacioes y se ecuetra que la ueva media es de 6,1 (lt e miles).

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