TEMA 8. TESTS DE HIPOTESIS Introducción Definiciones Pasos para la realización de un test

Transcripción

1 TEMA 8. TESTS DE IPOTESIS 8.. Itroducció 8... Defiicioes 8... Pasos para la realizació de u test 8.. Tests paramétricos Cotrastes sobre los parámetros de ua distribució Normal 8... Cotrastes sobre los parámetros de dos distribucioes ormales idepedietes Cotrastes para ua proporció p Cotrastes para la comparació de dos proporcioes 8.3. Tests o paramétricos Cotrastes para la bodad de ajuste 8.3. Cotrastes de homogeeidad Cotrastes para la idepedecia de dos caractere Cotraste de aleatoriedad. Test de rachas Test de Kolmogorov-Smirov Test de los ragos sigados de Wilcoxo Test de Ma-Whitey-Wilcoxo 8.4. Aálisis de la variaza 53

2 8.. Itroducció 8... Defiicioes. Test de ipótesis: Procedimieto estadístico mediate el cual se ivestiga la verdad o falsedad de ua hipótesis acerca de ua característica de ua població o u cojuto de poblacioes.. Tests paramétricos: Coocida ua v.a. co ua determiada distribució, se establece afirmacioes sobre los parámetros de dicha distribució.. Tests o paramétricos: Las afirmacioes establecidas o se hace e base a la distribució de las observacioes, que a priori es descoocida. 54

3 Ejemplos: Tests paramétricos: Sea,,..., ua m.a.s. de ua v.a. co distribució Normal, N ( µ; σ ). Establecemos la afirmació: µ Tests o paramétricos: Aálisis de la aleatoriedad de la muestra Ua variable aleatoria tiee ua distribució Normal Dos variables aleatorias e so idepedietes Dos muestras idepedietes procede de la misma població 55

4 . ipótesis del test: ipótesis ula ( ) : ipótesis que se platea e u problema de cotraste ipótesis alterativa ( ) : ipótesis cotraria a la hipótesis ula Ejemplos: Test paramétricos: : µ : µ > Test o paramétricos: : La muestra se ha seleccioado aleatoriamete : La muestra o se ha seleccioado aleatoriamete 56

5 3. Estadístico del test Llamamos Estadístico del Test o Estadístico de Cotraste a ua variable aleatoria co distribució de probabilidad coocida cuyos valores os permite tomar la decisió de aceptar o rechazar la hipótesis ula. : µ = µ : µ µ σ N µ ; Al valor cocreto que toma el estadístico del test para la muestra escogida se llama Valor Experimetal del Estadístico de Cotraste x, x,..., x x xi i = = 57

6 Ejemplo Cotrate de ipótesis Cotrastar si la media de ua població N ( µ ; σ ) co σ coocida, toma u valor µ = µ. Plateamieto del test:. Estadístico del test: : µ = µ : µ µ σ N µ ; Bajo la hipótesis ula: σ N µ ; Se toma ua m.a.s. cocreta: x, x,..., x cuya media valdrá: xi i = x = Si es cierta, la mayoría de los valores de la media muestral debe estar próximos al valor µ. 58

7 4. Criterio de decisió: Comprobar si el valor cocreto de la media muestral calculada, está o o muy alejado de µ Rechazamos si la media muestral o está próxima a µ. No rechazamos si la media muestral está próxima a µ. 5. Determiació de las zoas de rechazo y o rechazo: Zoa de o rechazo: ( α) % de los valores más cercaos a µ. Zoa de rechazo: α % de los valores restates. α / α α / µ. Media muestral Rechazo No Rechazo Rechazo 59

8 6. Tipos de hipótesis. Regió Crítica. Cotrastes uilaterales y bilaterales. P-valor ipótesis simples: La hipótesis asiga u úico valor al parámetro descoocido, : θ = θ ipótesis compuestas: La hipótesis asiga varios valores posibles al parámetro descoocido, : θ ( θ, θ ) : µ = µ : µ µ Simple Compuesta : µ µ : µ > µ Compuesta Compuesta : µ µ : µ < µ Compuesta - Compuesta 6

9 Al aplicar u cotraste de hipótesis, clasificamos los putos del espacio muestral e dos regioes excluyetes y complemetarias: Regió de Rechazo o Regió Crítica: La formada por el cojuto de los valores del estadístico de cotraste que os lleva a rechazar la hipótesis ula, se llama regió crítica (los putos que delimita la regió crítica se llama putos críticos) Regió de Aceptació o Regió de No Rechazo: Es la formada por el cojuto de los valores del estadístico de cotraste que os lleva a aceptar la hipótesis ula Regió de rechazo Regió de o rechazo 6

10 Cotrastes uilaterales y bilaterales: Si la hipótesis alterativa da lugar a ua regió crítica a ambos lados del valor del parámetro, diremos que el test es bilateral o de dos colas Regió crítica Si la hipótesis alterativa da lugar a ua regió crítica a u solo lado del valor del parámetro, diremos que el test es uilateral o de ua sola cola Regió crítica 6

11 p-valor o ivel de sigificació observado: Es el valor de α más pequeño que hace que la muestra observada os idique que se debe rechazar. Elegido u ivel de sigificació α, se rechazará si p α Si α < p-valor No rechazar R.A. No rechazar hipótesis ula p-valor R.C. z exp z α Si α p - valor Rechazar Rechazar hipótesis ula R.A. R.C. p-valor z α z exp 63

12 7. Errores asociados al cotraste Error tipo I: Error que se comete al rechazar la hipótesis ula,, cuado ésta es cierta. P[ Error tipo I ] [ Rechazar / es verdadera ] α = = P Error tipo II: Error que se comete al o rechazar la hipótesis ula,, cuado ésta es falsa P[ Error tipo II ] [ No Rechazar / es falsa] β = = P Verdadera Falsa Rechazo Error tipo I (α) Correcto No rechazo Correcto Error tipo II (β) Potecia del test: Probabilidad que se tiee e el cotraste de detectar que es falsa. [ ] β = P Rechazar / es falsa 64

13 8... Pasos para la realizació de u test. Fijar las hipótesis ula y alterativa : θ = θ Si el cotraste es bilateral : θ θ : θ θ : θ > θ : θ θ : θ < θ Si el cotraste es de ua cola (derecha) Si el cotraste es de ua cola (izquierda). Buscar el estadístico del test que bajo la hipótesis ula tega u comportamieto coocido 3. Determiar la regió crítica 4. Seleccioar ua muestra de tamaño, para la cual el estadístico del test tome u valor umérico (valor experimetal del estadístico de cotraste) 5. Adoptar la decisió sobre el rechazo o o de la hipótesis ula 65

14 8.. Tests Paramétricos 8... Cotrastes sobre los parámetros de ua distribució ormal ( ),,..., m.a.s. de N µ ; σ Cotrastes sobre la media Variaza Coocida ipótesis del test Estadístico de cotraste Criterio de rechazo : µ = µ : µ µ : µ µ : µ > µ Z µ = N(;) σ z z exp z α exp z α zexp z α : µ µ : µ < µ zexp z α 66

15 Variaza Descoocida Estadístico de cotraste T = S µ t ipótesis del test : µ = µ : µ µ : µ > µ : µ µ : µ µ : µ < µ Criterio de rechazo t t α exp ; t t α exp ; t t α exp ; t t α exp ; 67

16 Ejemplo: E u preparado alimeticio ifatil se especifica que el coteido medio de proteías es al meos del 4%. Tratamos de comprobar esta especificació y para ello tomamos preparados que aalizamos para determiar su coteido e proteías, obteiedo ua media del 4% y ua cuasidesviació típica del 3.5%. Es correcta la especificació citada para u ivel de sigificació del.5, supoiedo ormal la distribució de la variable coteido proteico? : Coteido Proteico, N ( µ ; σ ) = ; x = 4; S = 3.5 Cotraste de ipótesis: : µ 4 : µ < 4 68

17 = ; x = 4; S = 3.5 Cotraste de ipótesis: Estadístico de cotraste: x µ t S : µ 4 : µ < 4 α =.5; t = t = ; 9.5; 9 t exp 4 4 = = No rechazamos.5 t.95 ; 9 texp.95 Admitimos como correcta la especificació del preparado acerca del coteido proteico 69

18 7 Cotrastes sobre la variaza Media descoocida Criterio de rechazo ipótesis del test Estadístico de cotraste ( ) S σ χ χ = ; exp ; exp α α χ χ χ χ exp ; α χ χ exp ; α χ χ : : σ σ σ σ = : : σ σ σ σ > : : σ σ σ σ <

19 Ejemplo: La variaza habitual para la altura de los machos de Lhasa Apso es de.5. U criador está itetado reducir esta cifra. Después de u período de criaza selectiva, se seleccioa ua muestra de 5 perros a los que se mide, obteiedo ua cuasivariaza muestral de.. Teemos evidecias que os permita afirmar que ha dismiuído la variabilidad e la altura de esta raza de perros? : Altura de los machos de Lhasa Apso Cotraste de ipótesis: ( ; ) N µ σ S = 5 =. : σ.5 : σ <.5 7

20 Cotraste de ipótesis: Estadístico de cotraste: χ : σ.5 : σ <.5.95;4 α =.5; χ = 6.57 S = 5 =. ( ) S = σ χ χ exp 4. = =.76 No rechazamos χ.95;4 exp χ No teemos suficietes pruebas para sosteer la iformació de que la criaza selectiva haya reducido la variabilidad e las alturas de los machos de Lhasa Apso 7

21 8... Cotrastes sobre los parámetros de dos distribucioes ormales idepedietes ( µ σ ),,..., m.a.s. de N ; ( ),,..., m.a.s. de N µ ; σ Cotrastes sobre la diferecia de medias Variazas coocidas Variazas descoocidas, pero iguales Variazas descoocidas, distitas o o. Muestras grades 73

22 Variazas coocidas Estadístico de cotraste Z = ( ) σ σ + µ N ( ; ) ipótesis del test Criterio de rechazo : µ µ = µ : µ µ µ : µ µ µ : µ µ > µ : µ µ µ : µ µ < µ z z exp z α exp z α z z exp exp z α z α 74

23 Variazas descoocidas, pero iguales Estadístico de cotraste T = S ( ) µ p + t + ipótesis del test : µ µ = µ : µ µ µ : µ µ µ : µ µ > µ : µ µ µ : µ µ < µ Criterio de rechazo t t α + exp ; t t α + exp ; t t α + exp ; exp ; t t α + S p = ( ) ( ) + S S + 75

24 Variazas descoocidas co x, y 3 Estadístico de cotraste Z = ( ) S µ S + N ( ; ) ipótesis del test : µ µ = µ : µ µ µ : µ µ µ : µ µ > µ : µ µ µ : µ µ < µ Criterio de rechazo z z exp z α exp z α z z exp exp z α z α 76

25 Ejemplo: E u estudio sobre agia de pecho e ratas, se dividió aleatoriamete a 8 aimales afectados e dos grupos de 9 idividuos cada uo. A u grupo se le sumiistró u placebo y al otro u fármaco experimetal FL3. Después de u ejercicio cotrolado sobre ua cita si fi, se determió el tiempo de recuperació de cada rata, obteiédose los siguietes resultados: x S Placebo = 9 = 39 seg. = 45 seg. FL3 = 9 y = 83 seg. S = 43 seg. Se puede cocluir que el fármaco experimetal tiede a reducir el tiempo de recuperació? (Se supoe Normalidad e igualdad e las variazas poblacioales) : Tiempo de recuperació de las ratas co placebo : Tiempo de recuperació de las ratas co el fármaco N N ( µ ; σ ) ( µ ; σ ) Idepedietes 77

26 Cotraste de ipótesis: : µ µ : µ > µ : µ µ : µ µ > Estadístico de cotraste: T = S ( ) µ p + t + S p ( ) ( ) S + S = = = t t exp.5;6 =. =.746 Rechazamos.95.5 t.5;6 texp El fármaco experimetal es eficaz e la reducció del tiempo de recuperació e ratas co agia de pecho. 78

27 Cotrastes sobre la igualdad de variazas Medias descoocidas Estadístico de cotraste F S = S ; F ipótesis del test : σ : σ : σ : σ : σ : σ = σ σ σ > σ σ < σ F Criterio de rechazo exp F α ;, F F α exp ;, F F α F exp ;, exp F α ;, 79

28 Ejemplo: Se realiza u estudio de prácticas de prescripció. El propósito es aalizar la prescripció de digoxia, u fármaco importate, potecialmete tóxico y comúmete utilizado. El ivel de dosificació para los mayores de 64 años debe ser meor que el de persoas más jóvees. Se extrae muestras idepedietes de cada grupo y se obtiee el ivel de dosificació para cada paciete seleccioado. Los resultados so: x S Edad > 64 años = 4 =.65 mg./día =. mg./día Edad 64 = 9 y =.68 mg./día S y =.68 mg./día Se puede cosiderar que la dispersió e ambas poblacioes es la misma? : Catidad de digoxia e pacietes co > 64 años : Catidad de digoxia e pacietes co 64 años N N ( µ, σ ) ( µ, ) σ Idepedietes 8

29 Cotraste de ipótesis: Estadístico de cotraste:.5 F.95 S = S : σ : σ.5 = σ σ ; F = 4; S =. mg./ día = 9; S =.68 mg./ día. Fexp = =.5.68 F.5; 4, 8 =.5 F.975; 4, 8 Rechazamos = = =.55 F.5; 8, 4.94 Las variazas poblacioales so diferetes F.975; 4, 8 F.5; 4, 8 Fexp 8

30 8..3. Cotrastes para ua proporció Z Estadístico de cotraste pˆ p = N p ( p ) ( ; ) ipótesis del test Criterio de rechazo : p = : p p p z z exp z α exp z α : p : p > p p z exp z α : p : p < p p z exp z α 8

31 Ejemplo: Etre los pacietes co cácer de pulmó, el 9% o más muere geeralmete e el espacio de tres años. Como resultado de uevas formas de tratamieto, se cree que esta tasa se ha reducido. E u reciete estudio sobre 5 pacietes diagosticados de cácer de pulmó, 8 muriero e el espacio de tres años. Se puede afirmar que realmete ha dismiuido la tasa de mortalidad al ivel α =.? Cotraste de ipótesis: : p.9 : p <.9 Estadístico de cotraste: Z = p pˆ ( ) Estimació muestral del parámetro: p p N ; ( ) Nº éxitos 8 p ˆ = = =.853 Nº observacioes 5 83

32 Cotraste de ipótesis: : p.9 : p <.9 Z ˆ.853 p = exp p p = = =.95 p p.9.9 ( ) ( ) z.9. 5 α =.; = =, 85 z Rechazamos..9 z exp z. 84

33 8..3. Cotrastes para la comparació de dos proporcioes Estadístico de cotraste Z ( pˆ ˆ ) ( ) p p p = pˆ ( pˆ ) pˆ ( ˆ ) p + N ; ( ) ipótesis del test Criterio de rechazo : : : : p p p p p p p p = > ( p p ) ( p p ) ( p p ) ( p p ) z z exp z α exp z α z exp z α : : p p p p < ( p p ) ( p p ) z exp z α 85

34 Ejemplo: Se quiere comprobar la teoría de que la vitamia C es ua ayuda e el tratamieto del cácer. Se examiaro dos grupos de 75 pacietes cada uo. Al primero de ellos se le dio gr. de vitamia C diariamete y se observó que 47 pacietes presetaro mejoría. A los pacietes del segudo grupo se les sumiistró u placebo y 43 experimetaro mejoría. Cotrastar las hipótesis: Estadístico de cotraste: Z : p p.4 : p p >.4 ( pˆ ˆ ) ( ) p p p = pˆ ( pˆ ) pˆ ( ˆ ) p + Estimació muestral de los parámetros: 47 pˆ = = pˆ = = N ( ; ) 86

35 : p p.4 : p p >.4 Z exp = ( ) ( ) ( ) =.75 z.5 =.645 zexp z α No rechazamos.95.5 z exp z.5 87

36 8.3. Tests No Paramétricos Cotrastes para la bodad de ajuste. El problema de bodad de ajuste cosiste e determiar a partir de u cojuto de datos muestrales si estos so cosistetes co ua distribució de Probabilidad teórica. Partiedo de ua muestra de valores observados x, x,..., x de ua v.a.. co distribució supuesta F ( x ), se platea el siguiete cotraste de hipótesis: : F ( x) : sigue otra distribució 88

37 Plateamieto Cosideremos ua v.a., discreta o cotiua, y ua muestra aleatoria de tamaño de la distribució de dicha variable agrupada e k clases exhaustivas y mutuamete excluyetes. Sea i, i =,,..., k, la frecuecia absoluta de la i-ésima clase Supogamos ua cierta distribució teórica para cuyos parámetros poblacioales los estimamos a partir de los datos muestrales. Si deotamos por p i la probabilidad asociada a la clase i, los valores p i será los valores esperados asociados a cada clase i. 89

38 Clases Marcas de clase Fr. Absolutas empíricas Prob. Teóricas Valores esperados x p p x p p i x i i p i p i k x k k p k p k Si algú valor esperado es meor que 5, p i < 5, dicha clase se agrupará co otras cotiguas, de maera que e todas ellas dichos valores sea mayores o iguales a 5, reduciédose el úmero de clases. 9

39 Solució del test ipótesis ula : ( ) F x Estadístico de cotraste k i= ( ) i pi i = p χ ( k ) r Criterio de rechazo exp χ α ; ( k ) r r es el úmero de parámetros estimados de los que depede la distribució teórica k es el úmero de clases 9

40 Ejemplo: Se mide el úmero de partículas que llega a ua determiada zoa procedetes de ua sustacia radioactiva e u corto espacio de tiempo siempre igual, aotádose los resultados e la siguiete tabla: Nº de partículas Nº de períodos de tiempo a) Ajustar ua distribució de Poisso b) Calcular la probabilidad de que llegue a dicha superficie,,,..., 6 partículas c) Verificar la bodad del ajuste mediate u cotraste de la χ = Nº de Partículas Radioactivas Determiació de los parámetros de la distribució. Dado que o los coocemos, los estimamos: ˆ λ = x = i xi = = i= P( λ =.4) 9

41 Cálculo de probabilidades P( = ) =.898 ; P( = ) =.3586 ; P( = ) =. ; P( = 3) =.99 P( = 4) =.85 ; P( = 5) =.7 P( = 6) =.4 Cotraste de bodad de ajuste o : : ( λ =.4) P sigue otra distribució 93

42 Nº de Partíc Fr. Ab. i Prob. p i Val. Esp. p i = 9 Como el último valor esperado es iferior a 5, uimos las dos clases cotiguas Nº de Partíc Fr. Ab. i Prob. p i Val. Esp. p i ( i -p i ) /p i y =

43 Estadístico de cotraste: k i= ( ) i pi Nº de Gr. de Libertad, (k-) - r = (6-) - = 4; r = Nº de Parámetros estimados = Criterio de rechazo: χ.5;4 exp = i= i = p = 9.49 k χ ( k ) exp χ α ; =.5335 ( k ) r r No rechazamos ( p ) i p i i.95.5 exp χ.5;4 Los datos proviee de ua distribució de Poisso 95

44 8.3.. Cotrastes para la idepedecia de dos caracteres Se quiere determiar si existe relació etre dos características diferetes de ua població, dode cada característica se ecuetra subdividida e u cierto úmero de categorías B A A Total TABLA DE CONTINGENCIA B B... j... s. A A i i A r r i r B j j ij rj.j B s s is rs.s Total. i. r... 96

45 . =, i =,,..., r. i. s j= r =, j =,,..., s. j i= ij ij Total de la i-ésima fila Total de la j-ésima columa La decisió de rechazar o o rechazar la hipótesis ula de idepedecia de los dos caracteres, se basa e el mal o bue ajuste etre las frecuecias observadas y las frecuecias que se esperaría para cada celda si fuese cierta.. i Valores esperados: e = ij j 97

46 Solució del test ipótesis ula : A y B so idepedietes U r Estadístico de cotraste s i= j= ( ) ij eij = e ij χ ( r )( s ) U Criterio de rechazo exp χ α ; ( r )( s ) Correcció de ates para cotiuidad Si algú valor e ij es meor que 5, se aplica la siguiete correcció por cotiuidad al estadístico del test Estadístico de cotraste U r s i= j= (.5 ) ij eij = e ij χ ( r )( s ) 98

47 Ejemplo: U psicólogo realiza ua ivestigació para determiar si existe asociació aparete etre el peso de u muchacho y u éxito precoz e la escuela. Se seleccioa ua m.a.s. de 5. Se clasifica a cada uo de acuerdo a dos criterios: el peso y el éxito e la escuela, obteiédose los siguietes resultados: Éxito Sí No Sobrepeso Sí No A la vista de los datos, qué se puede decir sobre la afirmació del psicólogo? Cotraste de ipótesis: : Los caracteres peso y éxito so idepedietes : Los caracteres peso y éxito o so idepedietes 99

48 Cálculo de los valores esperados, e ij e ij =.. i j e.. = = 45 5 = 7 Sobrepeso Éxito Sí No Total Sí (7) (55) No (3) (45) Total 3 5 3

49 Estadístico de cotraste: U r s i= j= ( ) ij eij = e ij χ ( r )( s ) U U exp exp ( 6 7) ( 63 55) = ( 38 3) ( 37 45) + + = 3 45 = ( r )( s ) = Rechazamos o χ.5; = χ.5; U exp La obesidad y la precocidad e la escuela o so idepedietes 3

50 Cotrastes de homogeeidad El problema geeral es determiar si varias muestras se puede cosiderar procedetes de ua misma població, e cuyo caso decimos que las muestras so homogéeas. TABLA DE CONTINGENCIA Modalidades Muestras A B B... j... p. A A i i A r r i r... B j j ij rj... B p p Total. ip i. rp r. Total......j....p.. 3

51 Solució del test ipótesis ula : Las muestras so homogéeas Estadístico de cotraste U r p i= j= ( ) ij eij = e ij χ ( r )( p ) U Criterio de rechazo exp χ α ; ( r )( p ) 33

52 Ejemplo: U grupo de persoas ha sido expuesto a la radiactividad de u vertedero co desechos atómicos. Se realiza ua ivestigació para descubrir si hay algua asociació etre la exposició y el desarrollo de ua efermedad e la sagre. Se elige 3 persoas expuestas al peligro y 3 o expuestas y se estudia a cada sujeto para determiar si tiee o o la efermedad. Qué se puede cocluir a la vista de los resultados? Tiee la efermedad Radioactividad Sí No Sí 5 48 No 48 7 Cotraste de ipótesis: : ay omogeeidad : No ay omogeeidad 34

53 Cálculo de los valores esperados, e ij e ij =.. i j e.. = = = 5.6 Tiee la efermedad Radioactividad Sí No Total Sí (48.39) (5.6) No (5.6) (68.39) Total

54 Estadístico de cotraste: U r p i= j= ( ) ij eij = e ij χ ( r )( p ) U U exp exp ( ) (48 5.6) = (48 5.6) ( ) + + = =.6 ( r )( p ) = No rechazamos o χ.5; = U exp χ.5; No hay evidecia de asociació etre efermedad saguíea y exposició a esta fuete de radioactividad 36

55 37