PRUEBAS DE HIPOTESIS

Transcripción

1 PRUEBAS DE HIPOTESIS Es posible estimar u parámetro a partir de datos muestrales, bie sea ua estimació putual o u itervalo de cofiaza. Pero: Si mi objetivo o es estimar u parámetro, sio determiar el cumplimieto de ua hipótesis sobre el parámetro? R=/ Pruebas de Hipótesis

2 PRUEBAS DE HIPOTESIS Resultados Decisió Població (N) µ Muestra () Parece que µ = l X l µ? Evidecia l X Al parecer µ > l µ = l O µ > l Hipótesis

3 PRUEBAS DE HIPOTESIS Defiició: Procedimieto estadístico que, a través del estudio de ua muestra aleatoria, permite determiar el cumplimieto de ua hipótesis plateada sobre algua característica de la població. Características: La decisió se toma partiedo de la evidecia que se recaba a través de ua muestra aleatoria Determia mediate calculo de probabilidades si el cumplimieto de la hipótesis es razoable

4 Alguas Defiicioes: PRUEBAS DE HIPOTESIS Hipótesis de ivestigació: Idea o cojetura que se tiee a priori y que se desea cotrastar a través de la realidad. Es la suposició de ua verdad que aú o se ha establecido, es decir, ua cojetura que se hace sobre la realidad que aú o se cooce y que se ha formulado precisamete co el objeto de llegar a coocimieto de uevos hechos Grasseau. Teoria de la Ciecia. Pag 03. Ejemplos: H. La Plata de tratamieto de aguas residuales (PTAR) remueve u 30% de las bacterias que llega e los vertimietos. H.El tiempo de vida promedio de determiada bacteria es meor a 0 días.

5 PRUEBAS DE HIPOTESIS Alguas Defiicioes: Hipótesis Estadística: Represetació de la hipótesis de ivestigació e forma de ecuació matemática y e fució de parámetros poblacioales. Ejemplo: H : P = 0.30 La Plata de tratamieto de aguas residuales (PTAR) remueve u 30% de las bacterias que llega e los vertimietos. H : µ < 0 El tiempo de vida promedio de determiada bacteria es meor a 0 días. Las hipótesis de ivestigació puede desglosarse e dos hipótesis estadísticas que se deomia Hipótesis ula e Hipótesis Altera:

6 PRUEBAS DE HIPOTESIS La hipótesis ula siempre debe platearse e térmios de igualdad, mietras que la hipótesis altera depederá del coocimieto que tega el ivestigar del problema o de la hipotesis de ivestigació. Ejemplo: Caso. La Plata de tratamieto de aguas residuales (PTAR) remueve u 30% de las bacterias que llega e los vertimietos. (H 0 ): P = 0.3 vs (H ): P 0.3 ó P>0.3 ó P<0.3 Caso. El tiempo de vida promedio de determiada bacteria es meor a 0 días. µ (H 0 ): =0 vs (H ): µ < 0

7 Bajo que criterio acepto o o acepto la hipótesis ula? La verdad o falsedad de la hipótesis NO puede coocerse co total seguridad a meos que pueda examiarse toda la població La úica herramieta de la cual se dispoe es aceptar o rechazar la hipótesis ula co base e lo que se observe e ua muestra aleatoria. Es decir el valor del estimador dará algua evidecia sobre el valor que asume el parámetro. Regió Crítica Regió de aceptació Regió Crítica Se acepta H Se acepta H 0 Se acepta H P P = 0.30 P Valores Críticos

8 PRUEBAS DE HIPOTESIS Se debe eteder que la aceptació de ua hipótesis implica ta solo que los datos o arrojaro suficiete evidecia que idique que esta o se cumple. ERRORES EN LAS PRUEBA DE HIPOTESIS Codició real Decisió H 0 verdadera H 0 falsa Rechazar H 0 Error Tipo I ok Aceptar H 0 ok Error Tipo II

9 TIPOS DE ERROR EN PRUEBAS DE HIPOTESIS Error Tipo I: Rechazar ua hipótesis ula cuado es verdadera Error Tipo II: No rechazar ua hipótesis ula cuado es falsa P(Error Tipo I) = α = Nivel de sigificacia P(Error Tipo II) = β Potecia de la Prueba = - P(Error Tipo II) Capacidad que tiee la prueba de rechazar ua hipótesis ula cuado esta es falsa. α β Lo ideal seria que tato como sea muy pequeños, pero esto solo se logra aumetado el tamaño de la muestra

10 ERRORES EN PRUEBAS DE HIPOTESIS H 0 verdadera H 0 Falsa β α Acepto H 0 Valor Critico No acepto H 0 Nótese como los errores e pruebas de hipótesis está relacioados de maera iversa

11 EJECUCION DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS. Platear ua hipótesis de ivestigació.. Traducir la hipótesis de ivestigació e hipótesis estadísticas 3. Fijar Nivel de Sigificacia α 4. Determiar u estadístico de prueba co distribució coocida (verificar supuestos). 5. Determiar regió de aceptació y regió de rechazo 6. Evaluar el estadístico de prueba e la muestra obteida aleatoriamete. 7. Cotrastar estadístico de prueba versus regió de aceptació y rechazo. 8. Decisió. Rechaza Ho si el valor del estadístico de prueba cae e la regió de rechazo

12 Estadísticos de prueba y sus distribucioes Caso Comparació cotra u valor objetivo H 0 H Supuestos Estadístico de Prueba Distribució µ = µ > µ 0 µ 0 µ µ 0 µ < µ 0 Variaza coocida Variaza descoocida X µ Z = 0 σ Z X 0 T = S µ t( ) P = P 0 P P 0 P > P 0 Z = P P 0 P ( Po o ) Z P < P 0 σ = σ 0 σ σ 0 σ > σ 0 σ < σ 0 X ( ) = σ 0 S χ ( )

13 Estadísticos de prueba y sus distribucioes Caso Comparació de poblacioes H 0 H Supuestos Estadístico de Prueba Distribució µ µ = d µ µ d Variazas coocidas µ µ > d Variazas descoocidas e iguales µ µ < d Variazas descoocidas y diferetes T = Z = ( x x ) ( ) σ µ σ + µ ( x x ) ( µ µ ) S p + Z ( + S S + V = ( )* S + ( )* S ( S ) ( S ) S p = + + t t (v) ) P P d P P > d P P < d P P = d Tamaño de muestra grade Z = ( pˆ pˆ ) ( P P ) pˆ ˆ ( p) + pˆ ˆ ( p) Z σ σ = σ σ Normalidad F = S S F(, )

14 Forma de la Regió de Rechazo La forma regió de rechazo depede de cómo se platee la hipótesis altera:. Hipótesis altera uilateral (Ua sola cola). Hipótesis Altera Bilaterales (dos colas)

15 Ejemplo ASOFONDOS es la asociació que regula los fodos de pesioes. Esta etidad sugiere que la edad de jubilació debe icremetarse, debido a que las codicioes de riesgo de los idividuos e la actualidad ha dismiuido, logrado icremetar su esperaza de vida, que hasta hace alguos años se había calculado e 70 años, co ua desviació estádar de 8.9 años. Su afirmació la platea fudametádose e ua muestra de 00 registros de muertes que dio como resultado ua edad promedio de muerte de 7,8 años Que opia usted sobre la afirmació. Determie el valor P.

16 Valor P como Criterio de Decisió Defiició: Probabilidad de que el estadístico de prueba arroje u resultado ta extremo o más extremo que el observado cuado la Hipótesis ula es verdadera Criterio de Decisió Si el valor P es relativamete grade (valor p > sigificacía) Es razoable pesar que la Hipótesis ula puede ser cierta (se acepta Ho) Si el valor P es muy pequeño (valor p < sigificacía) se rechaza la Hipótesis ula De forma ligera puede verse como la probabilidad de que la Hipótesis Nula sea Verdadera

17 SOLUCIÓN Paso. Plateamieto de Hipótesis de Ivestigació La edad promedio de muerte es superior a 70 años µ > 70 Paso. Plateamieto de Hipótesis Estadísticas H : µ = 70 VS H : µ > 70 0 Paso 3. Selecció ivel de sigificacia α = 0.05 Paso 4. Selecció y calculo del estadístico de prueba z c = x µ σ = =

18 SOLUCIÓN Paso 5. Determiació Regió de Aceptació, Rechazo z 0.05 =.64 Regió de rechazo Paso 6. Cotraste del estadístico de Prueba Paso 7. Decisió z c =.0 Rechazo Ho Parece lógico pesar que la esperaza de vida ha aumetado Paso 8. Calculo del Valor P p( z >.0) = 0.07

19 Ejemplos Ejemplo : (ua media co variaza coocida) U fabricate de sistemas de aspersió utilizados para protecció de icedios e edificios de oficia, afirma que el verdadero valor promedio de activació del sistema es de 30 F. Ua muestra de 9 sistemas, produce u promedio muestral de temperatura de activació de 3.08 F. Si la distribució de los tiempos de activació es ormal co desviació de.5 F, Los datos cotradice la afirmació del fabricate al ivel de sigificacia del 0.0? Estadístico de prueba Distribució Referecia Z = X µ 0 σ Z

20 Ejemplos Ejemplo : (Ua media co variaza descoocida) Históricamete se ha observado que la catidad promedio de oxigeo disuelto e cierto rió es de 4,7 mg/lt. E los últimos días se ha istalado ua ueva fabrica que arroja sus vertimietos sobre este rió y se tiee la idea de que estos vertimietos está cotamiádolo. Para probar lo aterior se ha tomado muestras de agua durate 5 días, y se les mide la catidad de oxigeo disuelto, observado u valor promedio de 3.8 co ua desviació estádar de 0.9 mg/l. Será ecesario tomar correctivos frete a esta fabrica?. Asuma que lo datos proviee de ua distribució ormal. Estadístico de prueba Distribució Referecia X s µ = ( ) T 0 t

21 Ejemplos Ejemplo 3: (Comparació de medias de poblacioes idepedietes, Variazas coocidas) Se ivestiga la resistecia a la tesió de ruptura del hilo proporcioado por dos fabricates. De la experiecia co los procesos de los fabricates, se sabe que psi y σ = 5 psi. Ua σ = 4muestra aleatoria de 30 especímees de prueba proveiete de cada fabricate arroja como resultados x = 88 psi, S=5 y fdfdfdfdd x = 9 psi, S = 4, respectivamete. Existe algua evidecia que apoye la afirmació de que el hilo del fabricate tiee mayor resistecia media? Estadístico de prueba Distribució Referecia T = ( x x S ) ( µ µ ) p + S p = ( )* S + ( )* S + t ( + )

22 Ejemplos Ejemplo 4: (Comparació de medias de poblacioes relacioadas (apareadas)) E u programa de cotrol de efermedades cróicas, la hipertesió está icluida como la primera patología a cotrolar. 5 pacietes hipertesos so sometidos al programa y cotrolados e su presió ates y después de 6 meses de tratamieto. Los datos so los siguietes: Iic Fi Se puede decir a u ivel de sigificació del 5% que el tratamieto es efectivo y logra dismiuir e u promedio superior a 5 mmhg? Estadístico de prueba d µ d T = S d Distribució Referecia t ( )

23 Ejemplos Ejemplo 5: (Comparació de medias de k poblacioes idepedietes) U igeiero de desarrollo tiee iterés e ivestigar la resistecia a la tesió de ua fibra sitética ueva que se usará para hacer telas de camisa para caballero. Por experiecia se sabe que la calidad de la tela se ve afectada por la composició de algodó, el cual debe variar etre el 0% y 40% de la mezcla. Por tato decide probar cico iveles de algodó (5,0,5,30 y 35%) y como ecesita valoració de la variabilidad decide hacer 5 replicacioes por cada ivel. Idetifique: a) Factor (es) de diseño b) Niveles del factor de diseño c) Posibles Factores Perturbadores d) Uidades Experimetales e) Cual seria su estrategia para elimiar u posible efecto de factores perturbadores