Inferencia estadística

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1 UNIDAD 0 Iferecia estadística Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: determiará si u estimador es sesgado o isesgado resolverá problemas de itervalos de cofiaza para la media, diferecia de medias, variaza y proporcioes llevará a cabo pruebas de hipótesis para la media, diferecia de medias, variaza y proporcioes e problemas de aplicació

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3 Itroducció E la uidad 9, se aalizaro las bases para distribucioes muestrales, co las cuales se realiza estimacioes de parámetros e estudio; las multivariables aleatorias; se defiió formalmete el muestreo aleatorio, y se estudiaro alguas distribucioes muestrales empleado el teorema cetral del límite. El objetivo geeral de dichos temas es la costrucció de las bases teóricas para la iferecia estadística. E esta uidad se aalizará el proceso de iferecia estadística, el cual se puede hacer de tres maeras: por estimació putual, itervalo de cofiaza o por prueba de hipótesis. Los estimadores putuales, como se verá, tiee gra importacia teórica e la iferecia estadística, pero e la cuestió práctica o es apropiado llevarlos a cabo co base e u solo puto; por cosiguiete se hará estimacioes basadas e itervalos. La otra área de iferecia estadística que se aalizará es la prueba de hipótesis. Es decir, se formula ua suposició del parámetro y bajo codicioes determiadas se comprobará si es válida o o. E la uidad se determió que la estadística descriptiva trabaja co todos los idividuos de la població o la muestra. E esta uidad se verá que la estadística iferecial se basa e el estudio de muestras, a partir de las cuales se pretede iferir aspectos relevates de toda la població. E la uidad 9 se determió que el método de seleccioar muestras tiee gra importacia e el desarrollo de la estadística. Cómo se realiza la iferecia y qué grado de cofiaza se puede teer e la muestra so aspectos fudametales que se aalizará e esta uidad. 0. Iferecia estadística La iferecia estadística cosiste e crear métodos co los cuales se pueda realizar coclusioes o iferecias acerca de la població, co base e iformació muestral o a priori. Tales métodos se divide e dos grupos:. Clásico.. Bayesiao. E el método clásico la iferecia se realiza mediate los resultados de u muestreo aleatorio. Mietras que e el método bayesiao las iferecias se realiza (de forma aáloga a la asigació de probabilidades e la corriete bayesiaa) co base e el coocimieto previo sobre la distribució de los parámetros descoocidos. El desarrollo de la iferecia estadística e la presete uidad se hará sólo co el método clásico. El aálisis comieza co la estimació de parámetros.

4 Estimació putual U estimador es u elemeto descriptivo basado e las medicioes coteidas e ua muestra. Por ejemplo, la media de la muestra x x i i es u estimador putual para la media de la població 0. Supógase que se quiere obteer ua iferecia respecto de la calificació media de todos los alumosque cursa la materia de cálculo, para esto se aaliza ua muestra aleatoria de diez de ellos, cuyas calificacioes so 8, 4, 9, 9, 6, 8,, 7, 3 y 6 Mediate el promedio de los datos de ua muestra se calcula u valor para el estadístico X x 0 ( ) 6. Co base e el valor calculado del estadístico X se puede llevar a cabo ua iferecia respecto del parámetro, es decir, ua estimació putual del parámetro media respecto de las calificacioes de la materia de cálculo. E este caso la calificació promedio es 6.. E geeral Defiició 0. Dada ua població e dode estimador putual de a cualquier valor ˆ de ˆ. es u parámetro, y ˆ su estadística correspodiete, se le llama De la defiició de estimador putual o se puede esperar que dicho valor realice ua estimació certera del parámetro, de hecho, ésta tambié depede del estadístico utilizado. Por ejemplo, si la població estudiatil de la materia de cálculo tiee calificació promedio = 6.5, y se cosidera ua muestra al azar de tres estudiates co calificacioes 3, 6 y 6, para realizar ua estimació del parámetro, se tiee x 3 ( 3 6 6) 5 Es decir, el estadístico media difiere del parámetro e.5 uidades, mietras que el estadístico mediaa x 6, difiere del parámetro e sólo 0.5. Por tato, co la muestra aterior, el estadístico mediaa estima mejor el parámetro. Pero, qué pasará si e ua seguda muestra aleatoria de tamaño tres, las calificacioes para la estimació del parámetro resulta 4, 4, y 0, se tiee x 3 ( 4 4 0) 6 Por tato, para esta muestra el estadístico media difiere del parámetro e 0.5 uidades, mietras que el estadístico x 4, difiere del parámetro e.5. Es decir, co la muestra aterior el estadístico media estima mejor el parámetro. Por tato, puede ser de iteres qué estimador putual para u mismo parámetro es mejor elegir. La respuesta se ecuetra e las siguietes defiicioes.

5 87 Defiició 0. El estadístico ˆ se llama estimador isesgado del parámetro si E(ˆ ) =. Ejemplo Dadas X, X,..., X 5 ua muestra aleatoria de ua població cuya distribució es ormal, co media y variaza, cosiderado los estadísticos T X X X X X X X X X, T 5 y T se comprueba cuáles so estimadores isesgados de. Para verificar qué estimadores so isesgados, se emplea la defiició y la propiedad del valor esperado e variables idepedietes E( a X a X a X ) a E( X ) a E( X ) a E( X ) Para el estadístico T E T E X E X X X 3 X 4 X 5 ( ) ( ) E X X X X X E ( X ) E ( X ) E ( X 3) E ( X 4) E ( X 5) ( ) ( ) Se muestra que T es u estimador isesgado. Para el estadístico T E T E X X X 3 X 4 X 5 ( ) E X X X X X E( X E X E X3 E X4 E X5 0 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se muestra que T es u estimador sesgado. Para el estadístico T 3 E T E X X X 3 X 4 X 5 ( 3) E X X X X X E( X) E( X) E( X3) E( X4) E( X5) ( ) ( ) Por tato, T 3 tambié es u estimador isesgado de la media. E el ejemplo aterior se aprecia que a u mismo parámetro le puede correspoder varios estimadores isesgados. Por cosiguiete, e el estudio de la estadística resulta de iterés coocer el estimador isesgado que tega la meor variaza, ya que e tal caso su distribució está más cercaa al parámetro. Defiició 0.3 m, se llama Dado u parámetro y u cojuto de estimadores isesgados de él, ˆ, ˆ,, ˆ de al de meor variaza.

6 88 Ejemplo Dada la muestra aleatoria del ejemplo aterior X, X,..., X 5 y cosiderado los estadísticos que resultaro isesgados de T X y T 3 X X X X X se comprueba cuál es más eficiete. Para esto se usa la defiició y la propiedad de la variaza e variables idepedietes V( a X a X a X ) a V( X ) a V( X ) a V( X ) Para el estadístico T V T V X X X 3 X 4 X 5 ( ) V X X X X X V( X) V( X) V( X3) V( X4) V( X5) ( ) 5 5 ( 5 5 ) 5 Para el estadístico T 3 V T V X X X 3 X 4 X 5 ( 3) V X X X X X V( X) V( X) V( X3) ( ) V( X4) V( X5) ( ) 9 ( ) 9 De los cálculos ateriores, resulta que el estadístico T es más eficiete que T 3, puesto que / 5 5/ 9. Etre los parámetros más comues y sus estadísticos, existe los isesgados que se emplea co mayor regularidad: Ejercicio. Dadas X, X, X 3 y X 4 ua muestra aleatoria seleccioada de ua població distribuida e forma ormal co media y desviació estádar, cosidera los siguietes estimadores de T X X X X T X X X X T 3 X X 3X 4X 3 4 y determia cuáles so isesgados y etre éstos cuál es más eficiete. 0

7 89. La lectura e u voltímetro coectado a u circuito deprueba tiee ua distribució uiforme e el itervalo de (, + ), dode es el parámetro para el voltaje del circuito. Supó que X, X, X 3 y X 4 es ua muestra aleatoria de tales lecturas y verifica que ˆ X 0. 5 es u estimador isesgado. 3. Dadas X, X y X 3 y Y, Y y Y 3 como muestras aleatorias idepedietes de dos poblacioes co medias y y variaza y, respectivamete a) comprueba que X Y es u estimador isesgado de y b) calcula la variaza del estimador X Y 0.. Estimació por itervalo Después de iiciado el estudio de los estimadores putuales es lógico supoer que la iferecia realizada mediate u valor putual o es la más adecuada, ya que puede variar cosiderablemete de muestra e muestra, por tato, es preferible idicar u itervalo e el que se pueda estimar, co cierto grado de cofiaza, la localizació del parámetro e estudio. Dada como parámetro, supógase que, bajo ciertas codicioes (como se verá e las siguietes subseccioes), se ecuetra que (ˆ, ˆ i s ), dode los putos extremos ˆ ˆ i y sllamados extremo iferior y extremo superior, respectivamete, depede del valor de la estadística ˆ para ua muestra particular. Como los extremos ˆ ˆ i y s del itervalo depede de la muestra, resulta que sólo so valores de las variables aleatorias correspodietes ˆ ˆ i y s. Co base e las variables aleatorias ateriores y sus valores correspodietes, se calcula la probabilidad de que el parámetro se ecuetre e el itervalo establecido. Se simboliza por co (0, ) a la probabilidad mecioada P(ˆ ˆ i s ) Es decir, se tiee ua probabilidad de de seleccioar ua variable aleatoria que co base e ua muestra produzca u itervalo que cotega a. Defiició 0.4 El itervalo aterior e el que se localiza el parámetro, ˆ ˆ i s, se llama itervalo de de ( )00%; mietras que la fracció se le llama o grado y los extremos ˆ y ˆ, so los iferior y superior, respectivamete. i s Por ejemplo, se tiee ua muestra de 0 focos cuya duració promedio e horas es x 750 y co base e este valor se estima que el parámetro puede ecotrarse co ua probabilidad, establecida de atemao e el itervalo de cofiaza (740, 760), es decir P( ) E las siguietes subseccioes se aalizará los itervalos de cofiaza más comues para los parámetros, medias, diferecia de medias, variazas y proporcioes.

8 90 Itervalos de cofiaza para medias de poblacioes aproximadamete ormales Establecidas las bases geerales de los itervalos de cofiaza y utilizado el teorema del límite cetral, los coceptos sobre estimadores putuales ylas distribucioes determiadas e la uidad 9, se preseta métodos para el cálculo de itervalos de cofiaza. Uo de estos métodos se refiere a la media, y se divide e tres casos:. Itervalo de cofiaza para la media poblacioal co distribució ormal, cuado se cooce Dada x la media de ua muestra aleatoria de tamaño de ua població co distribució aproximadamete ormal, de la cual se cooce, el itervalo de cofiaza ( ) de 00% para está dado por x z x z dode z / es el valor de la distribució ormal estádar, a la derecha del cual tiee u área de /. Se deota e este caso que para poder aplicar la fórmula, la distribució tiee que ser ormal o aproximadamete ormal y se debe coocer el parámetro. Ejemplo 3 Ua máquia de refrescos está ajustada de tal maera que la catidad de líquido sumiistrado se distribuye e forma ormal co desviació estádar de 0.5 dl. Se calcula 95% de itervalo de cofiaza para la media de refrescos servidos de ua muestra de 36 vasos tomada al azar co u coteido promedio de.5 dl. Se toma los datos: = 0.5 dl, el tamaño de la muestra es 36 co media muestral de x. 5 dl. Para calcular el itervalo de cofiaza del parámetro media se emplea la fórmula aterior. Primero se calcula el valor de z /, co = De las tablas porcetuales para la distribució ormal estádar se tiee z / =.96. Por tato, Es decir, co 95% de probabilidad se afirma que el parámetro media del líquido sumiistrado por la máquia de refrescos se ecuetra etre.0 y.99 dl.. Itervalo de cofiaza para la media poblacioal cuado se descooce e muestras grades. Dada x la media de ua muestra aleatoria de tamaño ( 30) tomada al azar de ua població de la cual se cooce su desviació estadar s y se descooce, el itervalo de cofiaza ( ) de 00% para está dado por x z s x z s

9 9 dode z / es el valor de la distribució ormal estádar, la cual tiee u área de / y s es la desviació estádar obteida del estadístico variaza isesgada. E este caso es posible otar que para poder aplicar la fórmula, a diferecia del aterior, se descooce la distribució. Ejemplo 4 Se tiee ua máquia de refrescos como e el ejemplo aterior, pero de la cual se descooce su desviació estádar. Para estimar la catidad promedio de líquido sumiistrado por la máquia se toma ua muestra al azar de 50 vasos, co media de 40 ml y desviació estádar de 0. Se calcula 99% de itervalo de cofiaza para la media de refrescos servidos. Se toma los datos: el tamaño de la muestra es 50, x 40 y s = 0 ml. El itervalo de cofiaza del parámetro media se obtiee sustituyedo estos valores e la fórmula aterior. Se calcula primero el valor de z /, co = De las tablas porcetuales para la distribució ormal estádar se tiee z / =.575. Por tato, Es decir, co 99% de probabilidad se afirma que el parámetro media del líquido sumiistrado por la máquia de refrescos se ecuetra etre 3.7 y 47.8 ml. 3. Itervalo de cofiaza para la media poblacioal cuado se descooce e muestras pequeñas. Dada x la media de ua muestra de tamaño ( 30) tomada al azar de ua població co distribució ormal de la cual se cooce s, y se descooce, el itervalo de cofiaza ( ) de 00% para está dado por x t s x dode t / es el valor de la distribució t-studet co v = grados de libertad, la cual tiee u área de /, y s es la desviació estádar obteida del estadístico variaza isesgada. Se deota e este caso que la aplicació de la fórmula se puede realizar si la distribució de la població es ormal o aproximadamete ormal, pero a diferecia del caso, o se cooce el parámetro, y del caso, el tamaño de la muestra debe ser pequeño. t s Ejemplo 5 U fabricate de máquias de refrescos asegura que sus máquias sumiistra e promedio 40 ml de refresco 99.9% de los casos. U comprador decide verificar estos datos, por lo que toma ua muestra al azar de 5 vasos, obteiedo los siguietes resultados Se calcula co 99.9% de cofiaza si es válida la afirmació del fabricate. Para ecotrar el itervalo de cofiaza se ecesita calcular la media y la variaza isesgada de la muestra obteida: x y s 7. 58, es decir, s = 4.9.

10 9 Siedo la muestra de 5 vasos, se aplica el caso 3, para lo cual se calcula el valor de t /, co v = 5 = 4 grados de libertad y = 0.999, dode = 0.00, es decir / = Por tato, aplicado las tablas porcetuales para la distribució t-studet se tiee t = 4.4. E coclusió Es decir, co 99.9% de probabilidad se determia que el parámetro media del líquido sumiistrado por la máquia de refrescos se ecuetra etre 4.79 y ml. Por tato, la afirmació del fabricate o será válida co 99% de cofiaza, puesto que el valor 40 ml está fuera del itervalo. Ejercicio. De la siguiete muestra aleatoria, tomada de u població ormal calcula 95% de itervalo de cofiaza para la media de la població a) si se sabe que la variaza poblacioal es 4 b) si o se cooce el valor de la variaza poblacioal. U igeiero de cotrol de calidad midió las paredes de 5 botellas de vidrio de dos litros. La media muestral fue 4.0 mm y la desviació estádar muestral 0.09, calcula 95% de itervalo de cofiaza respecto de la media del espesor de las paredes de las botellas. 3. Mietras se efectúa ua tarea determiada e codicioes simuladas de ausecia de gravedad el ritmo cardiaco de 40 astroautas e adiestramieto se icremeta, 6.4 pulsacioes por miuto e promedio co desviació estádar de 4.8, calcula la verdadera media e el icremeto del ritmo cardiaco si x 6. 4 se utiliza como ua estimació putual del icremeto medio e el ritmo cardiaco y se utiliza 95% de cofiaza. 4. Se realiza cico medicioes e u medidor de volume e la bomba de ua estació de gasolia (0.5, 0.0, 9.90, 9.95 y 0.5), supó ormalidad y calcula u itervalo de cofiaza para la media co = Ua máquia produce piezas metálicas de forma cilídrica. Se toma ua muestra al azar de piezas cuyos diámetros so 0,,,.5, 9, 9.8, 0.4, 9.8, 0 y 9.8 mm. Supó que los diámetros tiee ua distribució aproximadamete ormal y a) calcula 99% de itervalo de cofiaza para el diámetro promedio de todas las piezas b) calcula 99% de itervalo de cofiaza para el diámetro promedio de piezas si =.

11 93 Itervalos de cofiaza para la diferecia de medias e poblacioes aproximadamete ormales Después de aalizar los itervalos de cofiaza para la media poblacioal, se cotiúa co el cálculo de itervalos de cofiaza para la diferecia de medias, el cual se divide e cico casos.. Itervalo de cofiaza para de poblacioes co distribucioes ormales, cuado se cooce y. Dadas x y x las medias de muestras aleatorias idepedietes de tamaños y, respectivamete, de poblacioes co distribucioes aproximadamete ormales, de las cuales se cooce y, el itervalo de cofiaza de ( ) de 00% para está dado por y ( x x ) z ( x x ) z dode z / es el valor de la distribució ormal estádar, el cual tiee u área de /. Ejemplo 6 Se compara dos tipos de rosca de torillos para determiar su resistecia a la tesió. Se prueba doce piezas de cada tipo de cuerda bajo codicioes similares, obteiédose los siguietes resultados (e kg) Tipo de rosca Si y so resistecias promedio a la tesió de los torillos tipo I y tipo II, respectivamete, co las variacioes a la tesió de los torillos tipo I y tipo II 5 y 0, respectivamete, se calcula 90% de itervalo de cofiaza para. Primero se calcula las medias muestrales: x y x Las muestras so de tamaño = =. Se calcula el valor para z / co 90% de itervalo de cofiaza usado las tablas porcetuales, z / =.645. ( ) ( ) Es decir, la diferecia de la resistecia promedio a la tesió al fabricar los torillos tipos I y II se ecuetra etre el itervalo (.74, 0.94), co 90% de cofiaza. Dado que e el itervalo se ecuetra el 0, o hay diferecia sigificativa etre los dos tipos de rosca.

12 94. Itervalo de cofiaza para de poblacioes cuado se descooce y e muestras grades. Dadas x y x las medias de muestras aleatorias idepedietes de tamaños y ( 30 y 30), respectivamete, de poblacioes de las cuales se descooce y, el itervalo de cofiaza ( ) de 00% para está dado por s s ( x x ) z ( x x ) z dode z / es el valor de la distribució ormal estádar, el cual tiee u área de / y s, s so las variazas isesgadas respectivas de las muestras y. s s Ejemplo 7 Retomado el ejemplo 6, se prueba 40 torillos de cada tipo de cuerda bajo codicioes similares y se obtiee los siguietes resultados (e kg). del tipo I x 7. 5 y s. 45, 40 del tipo II x y s. 75, 40 Si y so resistecias promedio a la tesió, de los torillos tipo I y tipo II, respectivamete, se calcula 95% de itervalo de cofiaza para co el fi de determiar co cuál tipo de torillos es más resistete. Como ya se cooce los valores muestrales para la media y la desviació estádar, y siedo las muestras grades ( = = 40 30), falta úicamete ecotrar el valor para z / co 95% de itervalo de cofiaza. Usado las tablas porcetuales, z / =.96.. ( ) ( ) Puesto que el itervalo para la diferecia de las medias poblacioales siempre será positivo, se tiee 95% de cofiaza de que la resistecia a la tesió de los torillos tipo I es mayor a la de los del tipo II 40 (.78, 3.6) idica que 0, es decir 3. Itervalo de cofiaza para de poblacioes ormales cuado se descooce y, pero se sabe que e muestras pequeñas. Dadas x y x las medias de muestras aleatorias idepedietes de tamaños y ( 30 y 30), respectivamete, de poblacioes aproximadamete ormales de las que se descooce y pero se cooce que, el itervalo de cofiaza ( ) de 00% para está dado por ( x x ) t ( sp ) ( x x ) t ( sp )

13 95 dode t / es el valor de la distribució t-studet co v = + grados de libertad, el cual tiee u área de / s p ( ) s ( ) s es la estimació comú de la desviació estádar poblacioal y s y s so las variazas isesgadas respectivas de las muestras y. Ejemplo 8 Las pruebas de tracció e diez putos de soldadura para u dispositivo semicoductor produjero los siguietes resultados e libras requeridas para romper la soldadura U segudo cojuto de ocho putos fue probado para determiar si la resistecia a la tracció se icremeta co u recubrimieto, produciedo los siguietes resultados Se supoe distribució ormal, se calcula 90% de itervalo de cofiaza para, cosiderado, ambas descoocidas. Primero se calcula las medias y variazas muestrales Co estos valores se calcula s p del cojuto x 4. 9 y s 7. 50, 0 del cojuto x. 09 y s. 68, 8 ( ) s ( ) s ( 0 ) ( 8 ) Falta determiar e las tablas porcetuales de la distribució t-studet el valor de t / co 90% de cofiaza ( = 0.0 es decir, / = 0.05) y v = + = 6 grados de libertad. Se determia e las tablas correspodietes que t 0.05 = ( ) ( ) Itervalo de cofiaza para de poblacioes ormales cuado se descooce y, pero se sabe que e muestras pequeñas. Dadas x y x las medias de muestras aleatorias idepedietes de tamaños y ( 30 y 30), respectivamete, de poblacioes aproximadamete ormales dode se descooce y pero se sabe que, el itervalo de cofiaza ( ) de 00% para está dado por s s ( x x ) t ( x x ) t s s

14 96 dode t / es el valor de la distribució t-studet co s s s s grados de libertad, el cual tiee u área de /, y s y s so las variazas isesgadas respectivas de las muestras. De la fórmula aterior se puede estimar que el resultado del cálculo de los grados de libertad geeralmete será ua catidad o etera, por lo que siempre se debe redodear al etero más próximo (o al siguiete), por ejemplo, si v = 4.3 4; v = 4.7 5; v = Ejemplo 9 Se retoma los datos del ejemplo 8, cosiderado que y so ambas descoocidas. Se supoe ormalidad; se calcula 90% de itervalo de cofiaza para ; se determia qué tipo de semicoductor si recubrimieto () o co recubrimieto () tiee más resistecia a la tracció. Las medias y variazas muestrales se calcularo ateriormete del cojuto x 4. 9 y s 7. 50, 0 del cojuto x. 09 y s. 68, 8 Co estos valores se calcula los grados de libertad s s s s Falta determiar, usado las tablas porcetuales de la distribució t-studet, el valor de t / co 90% de cofiaza ( = 0.0 es decir, / = 0.05) y v = 5 grados de libertad. Se determia e las tablas correspodietes que t 0.05 = ( ) ( ) Como el itervalo de cofiaza siempre resulta egativo (de 9.63 a 5.97), se tiee 90% de cofiaza de que la resistecia a la tracció co recubrimieto es mayor que si recubrimieto. 5. Itervalo de cofiaza para = de poblacioesormales, cuado se descooce y, pero se sabe que so observacioes por pares e muestras pequeñas. Dadas xd y sd la media y la desviació estádar de las diferecias ormalmete distribuidas de pares aleatorios y depedietes de medicioes de muestras de tamaño ( 30), respectivamete, de poblacioes aproximadamete ormales

15 97 dode se descooce y, el itervalo de cofiaza ( ) de 00% para d = está dado por x d t s d d xd t dode t / es el valor de la distribució t-studet co v = grados de libertad, el cual tiee u área de /. s d Ejemplo 0 E u proceso químico se compara dos catalizadores para comprobar su efecto e el resultado de la reacció. Se preparó ua muestra de doce procesos utilizado el catalizador marca L y tambié doce de la marca M; a cotiuació se muestra los datos co los redimietos. L M Se calcula 99% de itervalo de cofiaza para la diferecia de observacioes igualadas y se supoe que los datos está distribuidos ormalmete. Primero se determia las diferecias de los datos de la muestra L M L M Co estas diferecias se calcula su valor medio y la desviació estádar x d y s d El tamaño de la muestra es diez, por cosiguiete los grados de libertad v = 0 = 9. De las tablas porcetuales correspodietes a la distribució t-studet co 99% de co-fiaza ( = 0.0 y / = 0.005), se tiee que t = 3.5. Por último el itervalo de cofiaza resulta d Ejercicio d Calcula si e ua clase de diez estudiates se tiee el mismo redimieto e dos pruebas diferetes. Sus putuacioes so Estudiate: Prueba : Prueba : Cosidera 95% de itervalo de cofiaza para la diferecia de las putuacioes igualadas y supó ormalidad e las poblacioes.

16 98. Se aplicó u exame de matemáticas fiacieras a u grupo de alumos (grupo A), el cual obtuvo las siguietes calificacioes A otro grupo se le aplicó u exame de álgebra lieal co las siguietes calificacioes Calcula u itervalo de cofiaza para la diferecia de medias co 90% de ivel de cofiaza. 3. U cetro de ivestigació e medicia del deporte dio a coocer las diferecias e las tasas de cosumo de oxígeo para varoes uiversitarios etreados co dos métodos diferetes. Uo de ellos recibe etreamieto cotiuo y el otro itermitete, los dos co igual duració. E la siguiete tabla se registra los tamaños de muestra, medias y desviacioes estádar respectivas, expresados e ml por kg/ mi Etreamieto cotiuo c = 9 Etreamieto itermitete i = 7 x c = 43.7 x i = s c = 4.87 s i = 9.68 Calcula las medias de estas poblacioes co 99% de itervalo de cofiaza; supó que las variazas poblacioales so diferetes y que su distribució es aproximadamete ormal. 4. Los datos que se muestra a cotiuació so los grados de dureza Briell obteidos para muestras de dos aleacioes de magesio Supó que proviee de poblacioes aproximadamete ormales co variazas que so distitas y cosidera 98% de itervalo de cofiaza para. 5. Se dice que ua ueva dieta reduce el peso de ua persoa, 4.5 kg e promedio, e u periodo de dos semaas. Los pesos de siete mujeres que siguiero esta dieta fuero aotados ates y después de dicho periodo. Mujer Peso aterior Peso posterior Determia la eficacia de la dieta cosiderado 95% de itervalo de cofiaza para la diferecia de media de los pesos; supó que su distribució aproximadamete ormal. a) si b) si

17 99 Itervalos de cofiaza para la variaza de poblacioes aproximadamete ormales Cuado se trata de itervalos de cofiaza para la variaza, se cosidera dos casos, uo para las variazas poblacioales y el otro para ua razó etre variazas.. Itervalo de cofiaza para de poblacioes ormales e muestras pequeñas. Dada s la variaza de ua muestra aleatoria de tamaño ( 30) de ua població aproximadamete ormal, el itervalo de cofiaza ( ) de 00% para el parámetro está dado por ( ) s ( ) s dode y so valores de la distribució ji cuadrada (ver tablas estadísticas correspodietes) co v = grados de libertad, los cuales tiee áreas de / y /, respectivamete. Ejemplo U atropólogo midió el acho (e cetímetros) de ua muestra tomada al azar de ueve cráeos de miembros de cierta tribu, y obtuvo los siguietes resultados Se calcula 95% de itervalo de cofiaza para la variaza de dicha tribu. Primero se calcula la variaza isesgada de la muestra s =.33. El grado de cofiaza está dado por = 0.95, dode = 0.05, es decir / = 0.05 y / = Buscado e las tablas de la distribució ji cuadrada co v = 9 = 8 grados de libertad, se tiee Por último, resulta y ( 9 ) ( 9 ) Itervalo de cofiaza para de poblacioes ormales e muestras pequeñas. Dadas s y s las variazas de muestras aleatorias idepedietes de tamaños y ( 30 y 30), respectivamete, de poblacioes ormales, el itervalo de cofiaza ( ) de 00% para la razó de las variazas está dado por s s f (, ) s s f (, ) dode f (, ) es el valor de la distribució F (ver tablas correspodietes), co v = grados de libertad del umerador y v = grados de libertad del deomiador el cual tiee u área de /, similarmete f (, ).

18 300 Ejemplo Retomado los datos del ejemplo 8 se hizo la suposició de que y se calculó u itervalo de cofiaza para la razó de variazas y se determió si fue válida la suposició, co 90% de cofiaza. Los resultados del cojuto fuero Los resultados del cojuto fuero Al calcular las variazas muestrales, del cojuto se obtuvo s 7. 50, = 0, y del cojuto dos s. 68, = 8. Falta determiar usado las tablas porcetuales de la distribució F los valores de f (, ) y f (, ) co 90% de cofiaza ( = 0.0 es decir, / = 0.05) y v = = 0 = 9 y v = = 8 = 7 grados de libertad. Se busca e las tablas de la distribució F y se obtiee f (, ) f ( 9, 7) y f (, ) f ( 7, 9) El itervalo de cofiaza resulta Del itervalo de cofiaza para la razó etre variazas se determia que el valor está coteido e el itervalo. Por tato, co 90% de cofiaza se justifica la suposició de que, ya que ( 0. 76, 9. ) y si se multiplica por ambos miembros de la igualdad se obtiee. Ejercicio 4. U geólogo estudia el movimieto de los cambios relativos e la corteza terrestre e u sitio particular, e u iteto por determiar el águlo medio de las fracturas eligió = 50 fracturas y determia que la media es de 39.8 y la desviació estádar muestral es de 7.0. Cosidera 99% de itervalo d e cofiaza para estimar la variaza de la població (supó que la població está ormalmete distribuida).. E u proceso químico se compara dos catalizadores para verificar su efecto e el resultado de la reacció. Se preparó ua muestra de diez procesos utilizado el catalizador marca L y diez co el de la marca M, a cotiuació se muestra los datos co los redimietos L M

19 30 Cosidera 99% de itervalo de cofiaza para razó etre variazas de los redimietos de los catalizadores; supó que los datos está distribuidos ormalmete. 3. El espesor de las paredes de 5 botellas de vidrio de dos litros fue medido por u igeiero de cotrol de calidad. La media muestral fue de 4.0 mm y la desviació estádar muestral de Cosidera 95% de itervalo de cofiaza co respecto de la variaza del espesor de las paredes de las botellas. 4. Se realiza cico medicioes e u medidor de volume e la bomba de ua estació de gasolia (0.5, 0.0, 9.90, 9.95 y 0.5), supó ormalidad y calcula u itervalo de cofiaza para la variaza co = Itervalos de cofiaza para las proporcioes e muestras grades. Itervalo de cofiaza para el parámetro p e muestras grades. Si ˆp y qˆ ˆp so las proporcioes respectivas de éxitos y fracasos e ua muestra aleatoria de tamaño ( 30), el itervalo de cofiaza ( ) de 00% para el parámetro biomial p está dado por ˆp z ˆpq ˆ p ˆp z dode z / es el valor de la distribució ormal estádar, el cual tiee u área de /. ˆˆ pq Ejemplo 3 E ua muestra aleatoria de cie posibles clietes, 70 prefiere determiado producto. Se cosidera 95% de itervalo de cofiaza para la proporció de todos los posibles clietes que prefiere tal producto. Para el itervalo de cofiaza de la proporció primero se determia el valor de ésta de persoas que prefiere el producto ˆ 70 p. ˆ q y E este caso se tiee 95% de cofiaza, por tato, = 0.95, y usado las tablas porcetuales de la distribució ormal se tiee z / =.96. Por último p p Itervalo de cofiaza para p p de poblacioes e muestras grades. Dadas ˆp ˆ y p las proporcioes de éxitos de las muestras aleatorias de tamaños y ( 30y 30), respectivamete y ˆq pˆ ˆq pˆ y, el itervalo de cofiaza ( ) de 00% para la diferecia etre los dos parámetros biomiales p p está dado por (ˆp ˆ p ) z ˆp qˆ ˆp qˆ p p (ˆp ˆ p ) z dode z / es el valor de la distribució ormal estádar, el cual tiee u área de /. ˆp ˆq ˆp qˆ

20 30 Ejemplo 4 Ua firma maufacturera de cigarros distribuye dos marcas. Si se ecuetra que 56 de 00 fumadores prefiere la marca A y que 9 de 50 fumadores prefiere la marca B, se cosidera 95% de itervalo de cofiaza para p A p B ; se determia si es válido supoer que la població de fumadores prefiere la marca B, sobre la marca A. Dada p A la probabilidad de que 56 de 00 fumadores prefiera la marca A, su estadístico resulta ˆ 56 p A de tal forma que ˆ q A 0. 7 co = 00. Asimismo la probabilidad de que 9 de 50 prefiera la marca B resulta ˆ 9 p B de tal forma que ˆ q B 0. 8 co = 50. Por último para el itervalo de 95% de cofiaza, de las tablas porcetuales para la distribució ormal resultaque z / =.96, empleado la fórmula correspodiete para p A p B ( ) pa pb ( ) p p A B Como p A p B 0 etoces p A p B. Por tato, o es válida la suposició de que la població de fumadores prefiere la marca B sobre la A co 95% de cofiaza. Ejercicio 5. Para estimar la propuesta de los trabajadores desempleados e Paamá, u ecoomista toma ua muestra al azar de 400 persoas de clase obrera, dode 5 resultaro si empleo. Calcula la proporció real de trabajadores desempleados e Paamá cosiderado 97% de u itervalo de cofiaza.. U rector registró debidamete el porcetaje de calificacioes D y F otorgadas a los estudiates por dos profesores uiversitarios de historia. El profesor I alcazó 3% cotra % del profesor II, co 00 y 80 estudiates, respectivamete. Cosidera90% de itervalo de cofiaza para la diferecia de proporcioes. 3. U atropólogo está iteresado e la proporció de idividuos que preseta braquicefalia e dos tribus idígeas. Supó que se toma muestras idepedietes de cada ua de las tribus y se descubre que 4 de cada 00 ativos de la tribu A y 36 de cada 0 de la tribu B posee dicha característica. Cosidera 95% de itervalo de cofiaza para la diferecia p p etre las proporcioes de estas dos tribus. 0. Pruebas de hipótesis E la secció aterior se aalizaro los itervalos de cofiaza para el cálculo de estimacioes sobre los parámetros y para tomar decisioes al trabajar co la població de iterés. E esta secció se estudiará otro método estadístico que permita tomar decisioes e problemas relacioados co poblacioes que resulta muy difíciles o imposibles de aalizar e su totalidad. Por ejemplo, para poder cocluir co cierta veracidad sobre la

21 303 vida promedio de focos de cierta marca, se puede formular ua hipótesis, la cual se debe comprobar, es decir, buscar evidecias que ayude a decidir si la hipótesis se acepta o se rechaza. Defiició 0.5 Se llama hipótesis estadística La comprobació de ua hipótesis estadística cosiste e buscar evidecias para decidir sobre la aceptació o rechazo de la afirmació realizada. E el ejemplo de los focos se puede supoer que su vida promedio está por arriba de las 750 h de duració; después de elegir ua muestra de tales focos, resulta que su vida promedio fue 730 h, co este aálisis surge u cuestioamieto. E la comprobació de hipótesis, la maera óptima de tomar la decisió de aceptar o rechazar la afirmació realizada sólo se puede coocer cuado se aaliza toda la població; si embargo, e la práctica, ua afirmació se acepta co base e ua muestra aleatoria de la població que sólo idica que co los resultados obteidos o existe evidecia para rechazarla. Asimismo, cuado se rechaza ua afirmació formulada sólo sigifica que o existe evidecias suficietes de la muestra para aceptarla. Para formular uaafirmació sobre u suceso y realizar ua prueba de aceptació o rechazo, surge la siguiete termiología: se llama hipótesis ula a la afirmació que se quiera probar y se simboliza por H 0. A la afirmació que es opuesta a la hipótesis ula se le llama hipótesis altera, y se simboliza por H. Cabe aclarar que la hipótesis ula siempre deberá ser establecida de tal forma que especifique u valor exacto del parámetro e estudio, mietras que la hipótesis altera debe represetar u valor diferete al de la hipótesis ula. Por ejemplo e el caso de la duració promedio de los focos la muestra tuvo ua vida promedio de 730 h, 0 meos que la cojetura del fabricate, por tato, se formula la hipótesis ula como H 0 : 750, es decir, la vida promedio de los focos es meor o igual que 750. La hipótesis altera correspodiete se basa e la afirmació del fabricate, el cual asegura que la vida promedio de los focos está por arriba de las 750 h de duració, co lo que se establece la hipótesis altera como H : 750, es decir, la vida promedio de los focos es mayor a 750. Como se aprecia, el valor del parámetro e la hipótesis altera puede elegirse detro de ua ifiidad de posibilidades ya que o se establece u valor cocreto, e este caso sólo debe cumplir co ser mayor a Tipos de errores e ua prueba de hipótesis Al aceptar o rechazar ua hipótesis ula se puede cometer ciertos errores, los cuales debe ser míimos. Defiició 0.6 Se llama error tipo I cuado se rechaza la hipótesis ula, dado que ésta es cierta. Asimismo, se llama error tipo II cuado o se rechaza la hipótesis ula, dado que es falsa. Dadas las defiicioes de los dos errores que va implícitos al aceptar o rechazar ua hipótesis ula, surge de uevo u cuestioamieto.

22 304 La respuesta referete a la probabilidad de cometer u error tipo I o tipo II es fudametal e el desarrollo de la prueba de hipótesis. Defiició 0.7 Se llama a la probabilidad de cometer u error tipo I y se simboliza por ; si se comete u error tipo II, la probabilidad se simboliza por. Ejemplo 5 Se retoma el caso de la vida promedio de los focos y se cosidera 49 focos de muestra y las hipótesis H 0 : 750, H : 750, la evidecia de la muestra establece 760 h de vida promedio, se calcula el ivel de sigificacia. = probabilidad de cometer u error tipo I = probabilidad de rechazar H 0 siedo verdadera Es decir P( X 760), cuado 750 Para calcular la probabilidad aterior se usa el teorema cetral del límite P X P X ( 760) P( Z. 8) E tales codicioes, la probabilidad de cometer u error tipo I es pequeña; es decir, el ivel de sigificacia es 0.6%. Ejemplo 6 Se retoma el caso de la vida promedio de los focos y se calcula para = 765. = probabilidad de cometer u error tipo II = probabilidad de aceptar H 0, siedo falsa Es decir, P( X 760 cuado 765) se calcula la probabilidad aterior usado el teorema del límite cetral P X P X ( 760) P( Z. 4) La probabilidad de cometer u error tipo II es pequeña, es decir, 8.08% para el caso e que la verdadera vida promedio de los focos sea igual a 765 horas.

23 305 Ejercicio 6. Se ha desarrollado ua ueva preparació para cierto tipo de cemeto co u coeficiete de compresió de 5 mil kg por cm y ua desviació estádar de 0. Para comprobar la hipótesis de que = 5 000, e cotraposició co la alterativa de se verifica ua muestra al azar de 50 piezas de cemeto. Se determia que la regió crítica es X a) calcula la probabilidad de cometer el error tipo I cuado H 0 es verdadera b) evalúa para la alterativa = Supó que X es ua variable aleatoria ormal co variaza 00. Si se toma ua muestra al azar de tamaño 6 de X, comprueba la hipótesis H 0 : = 0 cotra H : 0. Si se determió ua media muestral de.5, calcula la probabilidad de error de tipo II. 3. Ua lavadería afirma que u uevo quitamachas es efectivo e o más de 70% de los casos e que se utiliza. Para comprobar esta afirmació se aplica el producto e doce machas tomadas al azar. Si meos de oce so elimiadas se acepta la hipótesis ula de que p = 0.7; de otra forma se cocluye p 0.7. a) evalúa, supoiedo p = 0.7 b) evalúa para la alterativa p = 0.9 Para la comprobació de hipótesis se tiee los mismos casos que e los itervalos de cofiaza. La formulació de las hipótesis ula y altera comúmete causa cierto descocierto. Para difereciar a la hipótesis ula de la altera y simplificar los ejemplos y ejercicios, el aálisis delimita que las hipótesis a verificar siempre esté formuladas co, o =. De tal forma que e los dos primeros casos éstas será las hipótesis alteras correspodietes, mietras que e el tercero se refiere a la hipótesis ula. Puesto que e la prueba de hipótesis y los itervalos de cofiaza se tiee los mismos casos y sus codicioes para la aplicació so las mismas, se simplifica el trabajo, resumiedo úicamete las fórmulas para las hipótesis ulas y sus hipótesis alteras respectivas co sus estadísticos y regioes de rechazo correspodietes, para cada uo de los diferetes temas: medias (tres casos), diferecia de medias (cico), variazas (dos) y proporcioes (dos). Para la prueba de hipótesis se recomieda seguir los siguietes pasos: establecer la hipótesis ula establecer la hipótesis altera fijar el ivel de sigificacia elegir el estadístico para la prueba de hipótesis co base e lo aterior ecotrar la regió de aceptació y rechazo calcular el valor del estadístico correspodiete y, co base e éste, aceptar o rechazar la hipótesis ula

24 Pruebas de hipótesis para medias de poblacioes aproximadamete ormales co valor crítico Ejemplo 7. Ua máquia produce piezas metálicas de forma cilídrica, se toma ua muestra al azar de piezas cuyos diámetros so 9.8, 9.5, 9.8,.5, 9.0, 0.4, 9.8, 0. y. mm. Se supoe que los diámetros tiee ua distribució aproximadamete ormal. Si el fabricate afirma que el diámetro promedio es 0 mm, se determia respecto de esta afirmació co 0.0 de ivel de sigificacia. Se pide ua prueba de hipótesis para la media, comprobado que ésta es igual a 0 mm, e tal caso, de acuerdo co datos muestrales, la hipótesis altera será el opuesto, es decir, diferete de diez. Se sigue los pasos para ua prueba de hipótesis. a) H 0 : = 0 b) H : 0 c) ivel de sigificacia = 0.0 d) estadístico de prueba, primero se idetifica a cuál de los tres casos ateriores correspode, se idica que o se cooce s y que la muestra es pequeña; por tato, t x s 0 e) para localizar la regió de aceptació y rechazo del iciso b), se determia que se trata de ua prueba de dos colas, y del iciso d), que el estadístico de prueba está basado e la distribució t-studet, por lo que la regió de rechazo está dada por t t / y t t / Regió de rechazo, cola izquierda Regió de rechazo, cola derecha Co base e el iciso c), se tiee = 0.0, dode / = Por otro lado, el tamaño de la muestra es = 9, dode v = 9 = 8 grados de libertad. Por tato, de las tablas porcetuales de la distribució t-studet resulta la regió de rechazo t t = y t t = 3.355

25 307 f) para calcular el estadístico t, primero se determia los datos de la media y la desviació estádar muestral calculado los ueve datos, se tiee x 0. y s = 0.798, dode 0. 0 t Como dicho valor se ecuetra e la regió de aceptació, la hipótesis ula se acepta y, por tato, se determia que co ivel de sigificacia de = 0.0 es válida la afirmació del fabricate.. Se toma ua muestra al azar de 36 vasos sumiistrados por ua máquia de refrescos que sirve por vaso u coteido promedio de.9 dl, co desviació estádar de.4 dl. Se comprueba la hipótesis =. dl cotra la hipótesis altera. co ivel de sigificacia a) H 0 : =. b) H :. c) ivel de sigificacia = 0.05 d) estadístico de prueba; primero se idetifica a cuál de los tres casos ateriores correspode, dado que o se cooce y la muestra es grade; por tato z x s e) para localizar la regió de aceptació y rechazo del iciso b), se determia que se trata de ua prueba de ua cola, y del iciso d), que el estadístico de prueba está basado e la distribució ormal, por lo que la regió de rechazo está dada por z z 0 Co base e el iciso c), se tiee = Por tato, de las tablas porcetuales de la distribució ormal la regió de rechazo resulta z z =.6449 f) de la muestra aleatoria de 36 servicios de la máquia de bebidas se obtuvo u coteido promedio de.9 dl, co desviació estádar de.4 dl, dode. 9. z = = Como dicho valor se ecuetra e la regió de aceptació, la hipótesis ula se acepta co u ivel de sigificacia de = De acuerdo co las ormas establecidas para u exame de aptitud mecáica, las persoas de 8 años debería promediar 73. co desviació estádar de 8.6. Si de ua toma al azar 45 persoas promedia 76.7, se comprueba la hipótesis de que la media poblacioal es mayor que 73.. Se determia ivel de sigificacia de.5% y desviació estádar poblacioal de 8.6.

26 308 Se pide ua prueba de hipótesis para la media, dode se comprueba que la media poblacioal es mayor que 73., segú los datos ateriores; e tal caso, la hipótesis altera será la afirmació que se quiere probar: la media poblacioal es mayor que 73.. a) H 0 : = 73. b) H : 73. c) ivel de sigificacia = 0.05 d) estadístico de prueba; primero se idetifica a cuál de los tres casos correspode, siedo que se cooce ; por tato, z x e) para localizar la regió de aceptació y rechazo del iciso b), se determia que se trata de ua prueba de ua cola, y del iciso d), que el estadístico de prueba está basado e la distribució ormal, por lo que la regió de rechazo está dada por z z. Co base e el iciso c), se tiee que = Por tato, de las tablas porcetuales de la distribució ormal la regió de rechazo resulta 0 z z 0.05 =.96 f) se calcula el estadístico z, x y = 8.6, dode z Como dicho valor se ecuetra e la regió de rechazo, la hipótesis ula se rechaza co ivel de sigificacia de.5%. Ejercicio 7. U fabricate de máquias de refrescos asegura que sus máquias sumiistra u promedio de 50 mm por vaso, pero debido a alguas quejas de los cosumidores sobre ua máquia e particular decide verificarla, para lo cual toma ua muestra de 0 vasos, obteiedo 45 mm de media co desviació estádar de. Calcula co 0.0 de ivel de sigificació, si es cierta la afirmació del fabricate.. Comprueba la hipótesis de que el coteido promedio de los evases de u lubricate es de diez litros si los coteidos de ua muestra aleatoria de diez evases so 0., 9.7, 0., 0.3, 0., 9.8, 9.9, 0.4, 0.3 y 9.8 l. Utiliza 0.0 de ivel de sigificacia y supó que la distribució de los coteidos es ormal. 3. U ivestigador afirma que el promedio de accidetes e ua fábrica es iferior a oce. Al tomar ua muestra al azar de tamaño 36, se obtiee que X 0 y S = 9. Calcula si se puede apoyar al ivestigador co base e los resultados de la muestra a ivel de %.

27 U ivestigador afirma que el promedio de accidetes e ua fábrica es iferior a trece. Al tomar ua muestra al azar de tamaño 36, se obtiee ua media y ua variaza de 0 y 9, respectivamete. Calcula si se puede apoyar al ivestigador co base e los resultados de la muestra a ivel de % Pruebas para la diferecia de medias de poblacioes aproximadamete ormales co valor crítico t ( x x ) d0 sp ( ) ( ) sp ( ) s ( ) s t ( x x ) d0 ( s ) ( s ) s s s s t d sd d0

28 30. Para determiar el redimieto de combustible e dos marcas de automóviles co características similares se experimetó co doce automóviles marca V y diez marca I e pruebas de velocidad fija de 90 kmph. Para los de la marca V se obtuviero 6 kmpl co desviació estádar de.0 kmpl y para los de la marca I el promedio fue kmpl, co desviació estádar de.8 kmpl. Se supoe que la distacia por litro para cada modelo del automóvil se distribuye aproximadamete e forma ormal co variazas iguales. Se comprueba la hipótesis referete a que los automóviles marca V e promedio excede a los de la marca I por 4 kmpl utilizado = 0.0 Las variazas poblacioales so diferetes. Se pide ua prueba de hipótesis para la diferecia de medias, dode se tiee que comprobar que el redimieto promedio por litro de los automóviles marca V excede el redimieto de los de la marca I e 4 kmpl. De tal forma que la hipótesis altera queda de dos colas. Se represeta por el promedio del redimieto por litro de los automóviles marca V y por a los de la marca I. a) H 0 : = 4 b) H : 4 c) ivel de sigificacia = 0.0 d) estadístico de prueba; primero se idetifica a cuál de los cico casos ateriores correspode, dado que o se cooce la variaza poblacioal y las muestras so pequeñas, co variazas poblacioales diferetes, se tiee ( x x ) d0 t ( s ) ( s ) e) para localizar la regió de aceptació y rechazo del iciso b), se determia que se trata de ua prueba de dos colas, y del iciso d), que el estadístico de prueba está basado e la distribució t-studet, por lo que la regió de rechazo está dada por t t / y t t / Co base e el iciso c), se tiee que = 0.0, dode / = Los grados de libertad se calcula mediate s s s s Por tato, usado las tablas porcetuales de la distribució t-studet co 3 grados de libertad resulta la regió de rechazo t t 0.05 =.796 y t t 0.05 =.796 f) se calcula el estadístico t co los datos que se tiee x 6, s y ; x, s (. 8) 3. 4 y 0

29 3 t ( x x ) d 0 ( s ) ( s ) ( 6 ) 4 ( ) ( ) Como dicho valor se ecuetra e la regió de aceptació, la hipótesis ula se acepta co ivel de sigificacia de 0%. Por tato, el redimieto por litro de los automóviles marca V sobrepasa e 4 kmpl a los de la marca I.. Se compara dos tipos de rosca de torillo para determiar su resistecia a la tesió. Se prueba doce piezas de cada tipo de cuerda bajo codicioes similares, obteiédose los siguietes resultados (e kg) Tipo de rosca Co 0.05 de ivel de sigificacia, se calcula que la resistecia promedio a la tesió de los torillos tipo I es meor a la de los tipo II, Se supoe que las variazas poblacioales so iguales. Se pide ua prueba de hipótesis para la diferecia de medias, dode se tiee que comprobar que la resistecia promedio a la tesió de los torillos tipo I es meor que la de los tipo II. De tal forma que la hipótesis altera es de ua cola. Se represeta por la resistecia promedio a la tesió de los torillos tipo I y por la resistecia promedio a la tesió de los tipo II. a) H 0 : = 0 b) H : 0 c) ivel de sigificacia = 0.05 d) estadístico de prueba; primero se idetifica a cuál de los cico casos ateriores correspode, dado que o cooce las variaza poblacioal pero se sabe que so iguales y las muestras pequeñas; por tato t ( x x ) d s ( ) ( ) p 0 e) para localizar la regió de aceptació y rechazo del iciso b), se determia que se trata de ua prueba de ua cola, y del iciso d), que el estadístico de prueba está basado e la distribució t-studet, por lo que la regió de rechazo está dada por t t Co base e el iciso c), se tiee que = Los grados de libertad se calcula mediate v = + = + =. Por tato, de las tablas porcetuales de la distribució t-studet co grados de libertad, resulta la regió de rechazo t t 0.05 =.074

30 3 f) se calcula el estadístico t co los datos de sus medias y variazas x , s y ; x , s. 606 y s p ( ) s ( ) s ( ) ( ) Se sustituye e la fórmula del estadístico t ( x x ) d s ( ) ( ) p 0 ( ) ( ) ( ). 57 Como dicho valor se ecuetra e la regió de aceptació, la hipótesis ula se acepta, co.5% de ivel de sigificacia, por tato, la resistecia promedio a la tesió de los torillos tipo I o es meor a la de los tipo II. 3. Se compara dos tipos de rosca de aillo para determiar su resistecia a la tesió. Se prueba cie piezas de cadatipo de cuerdabajo codicioes similares, obteiédose los siguietes resultados, la tipo I, presetó resistecia promedio de 88 kg, co desviació estádar de 5; la tipo II presetó resistecia promedio de 83 kg, co desviació estádar de 9. Se calcula co ivel de sigificacia de 0.05 si la rosca tipo I tiee mayor resistecia promedio a la tipo II e más de 3 kg. Se pide ua prueba de hipótesis para la diferecia de medias, dode se tiee que comprobar la resistecia a la tesió de la rosca de dos tipos de torillos. De tal forma que la hipótesis altera es de ua cola. Se represeta por a la resistecia a la tesió de las cuerdas de los torillos tipo I y por a la de los torillos tipo II; a) H 0 : = 3 b) H : 3 c) ivel de sigificacia = d) estadístico de prueba: primero se idetifica a cuál de los cico casos ateriores correspode, dado que o se cooce la variaza poblacioal y las muestras so grades, se tiee ( x x d z ) 0 s s e) para localizar la regió de aceptació y rechazo del iciso b), se determia que se trata de ua prueba de ua cola, y del iciso d), que el estadístico de prueba está basado e la distribució ormal, por lo que la regió de rechazo está dada por z z Co base e el iciso c), se tiee que = Por tato, de las tablas porcetuales de la distribució ormal resulta la regió de rechazo z z = z 0.05 =.6449

31 33 f) se calcula el estadístico z co los datos x 88, s 5 5 y 00; x 83, s 9 8 y 00 z ( x x ) d ( 88 83) 3 0 s s Como dicho valor se ecuetra e la regió de rechazo, la hipótesis ula se rechaza co ivel de sigificacia de 5%, por tato, la rosca de los torillos tipo I tiee mayor resistecia promedio a la tipo II e más de 3 kg. Ejercicio 8. U grupo de persoas requiere procesar trabajos de cálculo e u cetro de cómputo para estimar la catidad de tiempo requerida por la computadora para aalizar el trabajo. Este tiempo se mide e ua uidad cetral de procesamieto (UCP ). Se decide comparar el tiempo estimado cotra el tiempo real e la UCP para u cliete y se obtiee los siguietes datos Calcula si esta evidecia es suficiete para señalar que, e promedio, el cliete tiede a subestimar el tiempo e la UCP ecesario para los trabajos; realiza la prueba co = 0.0 y variazas poblacioales diferetes.. Cierto metal se obtiee mediate u proceso estádar. Se desarrolla u uevo proceso e el que se añade ua aleació a la producció del metal. Los fabricates se ecuetra iteresados e estimar la diferecia etre las tesioes de ruptura de los metales producidos por los dos procesos, el estádar y la aleació. Para cada metal se toma al azar ocho especificacioes, dode cada ua se somete a tesió hasta que se rompe. La siguiete tabla muestra las tesioes de ruptura de los metales e kg/cm Supó que el muestreo se lleva a cabo sobre dos distribucioes ormales e idepedietes co variazas iguales. Co base e los resultados, calcula si existe ua diferecia real etre e y, co ivel de sigificacia de 5% y variazas poblacioales iguales. 3. Se realizó u experimeto para comparar los tiempos medios ecesarios para que dos empleados (A y B), complete el trámite de las cuetas corrietes persoales para uevos clietes. Se toma al azar diez clietes para cada empleado y se registra los tiempos de servicio obteiédose los siguietes resultados

32 34 A B X i = Y i = 85 X = i Y i = Determia si existe evidecia suficiete para idicar ua diferecia sigificativa e los tiempos medios requeridos para completar los trámites ecesarios mecioados. Los parámetros de las variazas so diferetes; usa = Los siguietes datos fuero recabados e u experimeto que se diseñó para verificar si existe ua diferecia sistemática e los pesos obteidos co dos escalas diferetes Supoiedo ormalidad, se puede cocluir que la escala da meor peso promedio que la?cosidérese = 5% y que las variazas so diferetes Pruebas para las variazas poblacioes ormales de muestras pequeñas co valor crítico Ejemplo 9. Se determia que ua máquia de refrescos está fuera de cotrol si la variaza de los coteidos excede.5 dl. Se toma ua muestra aleatoria de 5 refrescos co variaza de.03 dl. Se calcula co 0.05 de ivel de sigificacia si la máquia está fuera de cotrol y se supoe que los coteidos tiee ua distribució ormal. E este ejercicio la prueba de hipótesis se refiere a ua variaza, se comprueba si ésta es mayor que.5 dl. a) H 0 : =.5 b) H :.5 c) ivel de sigificacia = 0.05

33 35 d) estadístico de prueba; aquí sólo se tiee u caso para la variaza; por tato 0 ( ) s e) para localizar la regió de aceptació y rechazo del iciso b), se determia que se trata de ua prueba de ua cola, y del iciso d), que el estadístico de prueba está basado e la distribució ji por lo que la regió de rechazo está dada por área derecha. Co base e el iciso c), se tiee = Por tato, de las tablas porcetuales de la distribució ji co v = = 5 = 4 grados de libertad, resulta la regió de rechazo Para calcular el estadístico, se tiee, de los datos del euciado, s =.03 y = 5. ( ) s ( 5 ) Como dicho valor se ecuetra e la regió de rechazo, la hipótesis ula se rechaza co u ivel de sigificacia de 0.05, por tato, la máquia está fuera de cotrol.. Se compara dos tipos de rosca de torillo para determiar su resistecia a la tesió. Se prueba doce piezas de cada tipo de cuerda bajo codicioes similares, obteiédose los siguietes resultados (e kg) Tipo de rosca Co 0.0 de ivel de sigificacia, se comprueba si es justificable la suposició de que. Como o se tiee igú caso para diferecia de variazas se puede dividir etre la variaza y obteer ua razó etre variazas, de tal forma que a) H 0 : b) H : c) ivel de sigificacia = 0.0

34 36 d) estadístico de prueba; aquí sólo se tiee u caso para la razó etre variazas; por tato s f s e) para localizar la regió de aceptació y rechazo del iciso b), se determia que se trata de ua prueba de dos colas, y del iciso d), que el estadístico de prueba está basado e la distribució F por lo que la regió de rechazo está dada por f f y f (, ) f (, ) Co base e el iciso c), se tiee = 0.0, dode / = Por tato, de las tablas porcetuales de la distribució F co v = v = grados de libertad, resulta la regió de rechazo f f (, ) y f f (, ) Para calcular el estadístico f se determia las variazas isesgadas de los datos muestrales s f s Como dicho valor se ecuetra e la regió de aceptació, la hipótesis ula se acepta co ivel de sigificacia de 0.0 y se justifica la suposició de que. Ejercicio 9. Se cooce que la variaza de los putajes de lectura para los estudiates de sexto año de primaria es.44. Se toma al azar estudiates de sexto año a los que se les proporcioa u curso especial de lectura, después del cual la variaza de los putajes de lectura es.05. Calcula si ésta es suficiete co ivel de sigificació de 0.05 para determiar si el curso especial la reduce.. Ua máquia produce piezas metálicas de forma cilídrica. Se toma ua muestra de piezas al azar cuyos diámetros so 9.8, 9.8, 9.8,.5, 9.0, 0.4, 0.0, 0.0,.0 y.0 mm. Supó que los diámetros tiee ua distribució aproximadamete ormal. Si el fabricate de las máquias idica que su máquia está desajustada cuado la variaza de los diámetros de las piezas metálicas producidas excede 0.5 mm, calcula co ivel de sigificacia de 0.0 si la máquia está desajustada. 3. Se sabe que el coteido de icotia de ua cierta marca de cigarrillos está ormalmete distribuida co ua variaza de.3 mg. Comprueba la hipótesis =.3 e cotra de la alterativa.3, si ua muestra aleatoria de ocho cigarrillos tiee desviació estádar de.8. Utiliza 0.05 de ivel de sigificacia.

35 Pruebas para muestras grades Ejemplo 0. Ua firma maufacturera de cigarros distribuye dos marcas. Si se determia que 56 de 00 fumadores prefiere la marca A y que 9 de 50 fumadores prefiere la marca B, se calcula co ivel de sigificacia de 0.06 si la marca A avetaja e vetas a la B. Esto se puede comprobar mediate ua diferecia de proporcioes. a) H0 : pa pb 0 b) H : pa pb 0 c) ivel de sigificacia = 0.06 d) estadístico de prueba; aquí sólo se tiee u caso para la diferecia de proporcioes; por tato e) para localizar la regió de aceptació y rechazo del iciso b), se determia que se trata de ua prueba de ua cola, y del iciso d), que el estadístico de prueba está basado e la distribució Z, por lo que la regió de rechazo está dada por z z Co base e el iciso c), se tiee = Por tato, de las tablas porcetuales de la distribució Z, resulta la regió de rechazo z z 0.06 =.5548

36 38 Para calcular el estadístico z las variables so X A y X B, que represeta a los fumadores e favor de las marcas A y B, respectivamete, de tal maera que las proporcioes correspodietes está dadas por mietras que ˆ xa 56 p. ˆ xb A pb y A B Por tato, ˆ x p A xb qˆ pˆ y A B Como dicho valor se ecuetra e la regió de rechazo, la hipótesis ula se rechaza co u ivel de sigificacia de 0.06; por tato, la suposició de que la marca A avetaja e vetas a la marca B se justifica.. U caal televisivo asegura que la audiecia que mira cierto programa el sábado por la oche es 40%. Se tomo al azar ua muestra de cie televidetes, a quiees se etrevistó, dado como resultado que 45 de ellos veía el programa. Co.5% de ivel de sigificacia se comprueba si la afirmació es válida. La prueba se trata de proporcioes, dode se defie ua variable X = catidad de persoas que mira dicho programa los sábados por la oche. a) H 0 : p = 0.40 b) H : p 0.40 c) ivel de sigificacia = 0.05 d) estadístico de prueba; aquí sólo se tiee u caso para las proporcioes; por tato, z x p p q e) para localizar la regió de aceptació y rechazo del iciso b), se determia que se trata de ua prueba de ua cola, y del iciso d), que el estadístico de prueba está basado e la distribució Z, por lo que la regió de rechazo está dada por z z Co base e el iciso c), se tiee = Por tato, de las tablas porcetuales de la distribució z, resulta la regió de rechazo z z 0.05 =.96 f) se calcula el estadístico z co los datos que se tiee, la variable X represeta a los televidetes que ve dicho programa los sábados por la oche: se etrevista a = 00 televidetes de los cuales x = 45 ve el programa; por tato

37 39 z x p p q Como dicho valor se ecuetra e la regió de aceptació, la hipótesis ula se acepta co ivel de sigificacia de 0.05, por tato, se puede asegurar que la proporció de televidetes que ve el programa del sábado por la oche es meor que 40%. Ejercicio 0. E u estudio para estimar la proporció de amas de casa que tiee ua secadora automática, se determia que 63 de cada 00 residetes urbaos y 59 de cada 5 residetes suburbaos la tiee. Calcula si la proporció de amas de casa urbaas que tiee secadora excede e más de 7% a la proporció de amas de casa suburbaas que tambié tiee. Cosidera = 4%.. La idustria cervecera está iteresada e comparar dos marcas de cerveza (A y B), puesto que se presume que la marca B es preferida sobre la marca A. De 00 persoas etrevistadas, 6 prefiere la marca B; y de 50 persoas, 78 prefiere la marca A. Determia la veracidad de la hipótesis de la idustria. Cosidera = 0%. 3. Se realizó u estudio para determiar si más italiaos que estadouideses prefiere el vio espumoso blaco que el vio espumoso rosado e las bodas. De ua muestra aleatoria de 300 italiaos, 7 prefiriero el blaco; y de 400 estadouideses, 70 tambié prefiriero el blaco. Calcula si más italiaos que estadouideses prefiere el vio espumoso blaco e las bodas. Utiliza 5% de ivel de sigificacia. 4. U fabricate de cierto producto afirma que más de 40% de los cosumidores prefiere su producto. Se etrevista a 60 persoas al azar para verificar su afirmació. Si 8 persoas de las etrevistadas prefiere dicho producto, etoces se cosidera válida la afirmació del fabricate, e caso cotrario, se rechaza. Co u ivel de sigificacia de 5% prueba la afirmació del fabricate. Autoevaluació. Dadas X, X, X 3, y X 4 variables de ua muestra aleatoria tomada de ua població distribuida e forma ormal, de los siguietes estimadores idica cuál es u estimador isesgado de la media. a) ˆ b) ˆ X X 3X 4X X X X X c) ˆ3 X X X 3 X 4 d) ˆ4 X X 3X 4X De ua máquia que produce piezas metálicas de forma cilídrica, se toma ua muestra al azar cuyos diámetros so 9.8, 0.5, 0., 9.9, 0.4, 0.6, 0., 0.8, 0.0,

38 y 9.8 mm. Supó que los diámetros tiee ua distribució aproximadamete ormal, cosidera 95% de itervalo de cofiaza para el diámetro promedio de todas las piezas de esta máquia. a) (9.9,.9) b) (8.46, 0.36) c) (8.95,.06) d) (0.05, 0.55) 3. Supó que la vida promedio de los focos tiee 30 h de desviació estádar de vida, cosiderado ua muestra de 50 focos y las hipótesis H 0 : = 750, H : 750, co la regió de rechazo establecida para medias mayores a 760, calcula el ivel de sigificacia. a) b) c) 0.08 d) El espesor de las paredes de 0 botellas de vidrio de dos litros fue medido por u igeiero de cotrol de calidad. La media muestral fue 3.98 mm y la desviació estádar muestral 0.09 mm. Cosidera 90% de itervalo de cofiaza respecto de la variaza del espesor de las paredes de las botellas. a) (0.08, 0.00) b) (0.005, 0.05) c) (0.008, 0.00) d) (0.05, 0.50) 5. Se aplicó u exame de ecuacioes difereciales a u grupo de alumos (grupo A), obteiédose las calificacioes 4.5, 3.5, 8.5, 9.5, 9.0, 6.0, 5.5, 7.5, 0, 4.0 y 8.0. A otro grupo de álgebra lieal se le aplicó otro exame obteiédose las calificacioes 5.0, 6.0, 3.5, 8.0, 5.0, 7.0, 9.5, 8.0, 9.0, 0, 7.0, 4.5 y 6.5. Cosidera 95% de itervalo de cofiaza para la diferecia de medias, existirá diferecia etre las medias de las calificacioes de los grupos? a) (0.45, 3.56) b) (.476, 3.638) c) (.7673,.8935) d) (.477, 4.604) 6. U ecoomista tomó al azar ua muestra de 400 persoas de clase obrera, de la cual 5 resultaro desempleadas. Calcula la proporció real de trabajadores desempleados cosiderado 97% de itervalo de cofiaza. a) (0.08, 0.045) b) (0.360, 0.890) c) (0.036, 0.089) d) (0.046, 0.094)

39 3 7. U ivestigador afirma que el promedio de accidetes e ua fábrica es iferior a trece. Al tomar ua muestra al azar de 36, se obtuvo media y variaza de 0 y 9, respectivamete. Comprueba la hipótesis del ivestigador co % de ivel de sigificacia. a) se acepta la afirmació co z =.363 b) se rechaza la afirmació co z = 6 c) se rechaza la afirmació co z =.363 d) se acepta la afirmació co z = Cosidera u medidor de volume e la bomba de ua estació de gasolia e la cual se realiza cico medicioes, 0.5, 0.0, 9.90, 9.95 y 0.5. Supó ormalidad, calcula u itervalo de cofiaza para la variaza co = a) (6.799, 3.40) b) (9.799, 0.40) c) (8.799,.40) d) (8.946, 0.984) Respuestas de los ejercicios Ejercicio. isesgados T, T 3, más eficiete T. se comprueba que E(ˆ) 3. a) se comprueba que E( X Y) b) V( X Y) Ejercicio. a) (5.03, 7.64) b) (3.84, 8.8). (3.98, 4.06) 3. (5.07, 7.73) 4. (9.80, 0.40) 5. a) (9.40,.6) b) (9.5,.4)

40 3 Ejercicio 3. (.50,.70). ( 0.55, 3.8) 3. ( 9.35, 7.5) 4. ( 4.96,.60) 5. a) ( 0.96, 8.08) b) ( 0.5, 7.6) Ejercicio 4. (3.4, 06.46). (0.7, 7.6) 3. (0.0049, 0.057) 4. (0.0, 0.485) Ejercicio 5. (0.036, 0.089). (0.036, 0.84) 3. ( 0.77, 0.057) Ejercicio 6. a) b) a) b) 0.34 Ejercicio 7. t =.033; o es cierta la afirmació del fabricate. t =.44; se acepta que el coteido promedio es 0.l

41 33 3. z = 4; el promedio de accidetes es meor que doce 4. z =, el promedio de accidetes es mayor o igual que oce Ejercicio 8. t = 0.408; el promedio real es mayor o igual al estimado. t =.456; los dos procesos so iguales 3. t = 0.8; los tiempos medios so iguales 4. t =.039; la escala da u peso promedio mayor o igual que la Ejercicio ; los cursos dismiuye la variaza de los putajes e la lectura 9. 76; sí, la máquia está desajustada 7. 45; la variaza es igual a.3 Ejercicio 0. z =.36; la proporció de amas de casa urbaas que posee secadora o es mayor que la de las residetes suburbaas. z =.76; la marca B o es preferida sobre la marca A 3. z = 5.97; los italiaos prefiere el vio espumoso blaco 4. z =.05; la afirmació o es válida Respuestas de la autoevaluació. d). d) 3. a) 4. b) 5. c); dado que el 0 está e el itervalo, o hay diferecia etre los grupos 6. c) 7. b) 8. b)

42

43 Apédice A Uso de tablas alterativas para la distribució ormal La uidad 8 abordó la distribució ormal y e la secció se estudió el uso de las tablas ormales que se ecuetra e el apédice B. E su mometo, se mecioó que la distribució ormal juega u papel muy importate e el estudio de la probabilidad y la iferecia estadística; por cosiguiete, e diferetes textos, la presetació de las tablas ormales es variable, obviamete el valor de la probabilidad que se calcula o cambiará. A causa de dichas variates e su presetació se decidió dar al alumo ua explicació sobre el uso de otros dos tipos de tablas, las cuales está al fial de la presete explicació. A. Uso de tablas de la distribució ormal estádar, cola derecha Las tablas de cola derecha tiee el siguiete aspecto: E las tablas, los valores de Z varía de cetésima e cetésima desde 0 hasta E la fila se poe las décimas y e las columas las cetésimas. Por tato, el cálculo de probabilidades co base e esta fució y las propiedades de simetría y el complemeto estudiadas e la subsecció 8.3., se podrá efectuar de la siguiete forma, para los diferetes casos que pueda ocurrir, y que ya se viero e la secció 8.3.3:

44 36. P( Z Z ) 0. P( Z Z ) 0 F ( Z ), e caso de que Z d F ( Z ), e caso de que Z 0 d F ( Z ), e caso de que Z 0 d F ( Z ), e caso de que Z d P( Z Z Z ) F ( Z ) 4. P( a Z b) 0 0 d 0 F ( a) F ( b), e caso de que a, b 0, d d F ( b) F ( a), e caso de que a, b 0, d d F ( b) F ( a), e caso de que a 0 y b 0 d d 0 0 E los siguietes ejemplos se empleará la fució F d (z). Ejemplo Dada Z ua variable aleatoria cotiua co distribució ormal estádar, se calcula las probabilidades idicadas e el ejemplo 4 de la secció 8.3.3:. P( Z. 5) F d (. 5) P( Z 0. 86) Fd ( ( 0. 86)) Fd ( 0. 86) P(. 97 Z. 97) F d (. 97) P( Z. 4) Fd (. 4) Fd ( ( 0. 67)) P( Z 3. 04) Fd ( 0. 06) Fd ( 3. 04) P(. 34 Z 0. 56) F ( ( 0. 56)) F ( (. 34)) d d

45 37

46 38 A. Uso de tablas de la distribució ormal estádar, parte cetral Las tablas de la parte cetral tiee el siguiete aspecto: E las tablas, los valores de Z varía de cetésima e cetésima desde 0 hasta E la fila se poe las décimas y e las columas las cetésimas. Por tato, el cálculo de probabilidades co base e esta fució y las propiedades de simetría y el complemeto estudiadas e la subsecció 8.3., se podrá efectuar de la siguiete forma, para los diferetes casos que pueda ocurrir, y que ya se viero e la secció 8.3.3:. P( Z Z ) 0. P( Z Z ) F ( Z ), e caso de que Z 0 c 0. 5 F ( Z ), e caso de que Z 0 0 c F ( Z ), e caso de que Z P( Z Z Z ) F ( Z ) 0 0 c 0 c F ( Z ), e caso de que Z 0 c P( a Z b) F ( b) F ( a), e caso de que a, b 0, c c F ( a) F ( b), e caso de que a, b 0, c c F ( b) F ( a), e caso de que a 0 y b 0 c c E los siguietes ejemplos se empleará la fució F c (z).

47 39 Ejemplo Dada Z ua variable aleatoria cotiua co distribució ormal estádar, se calcula las probabilidades idicadas e el ejemplo 4 de la secció 8.3.3:. P( Z. 5) 05 F c (. 5) P( Z 0. 86) 0. 5 Fc ( ( 0. 86)) 0. 5 Fc ( 0. 86) P(. 97 Z. 97) F c (. 97) P( Z. 4) Fc (. 4) Fc ( ( 0. 67)) P( Z 3. 04) Fc ( 3. 04) Fc ( 0. 06) P(. 34 Z 0. 56) F ( (. 34)) F ( ( 0. 56)) d d

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49 Apédice B

50 33 Fució acumulada de la distribució ormal estádar

51 333

52 334 Tabla porcetual de la distribució ormal estádar

53 335 Tabla t-studet

54 336 Tabla de porcetajes de la fució iversa acumulada, distribució -cuadrada, área de cola derecha

55 Tabla de porcetajes de la fució iversa acumulada, distribució F, área de cola derecha 337

56 338 Tabla de porcetajes de la fució iversa acumulada, distribució F, área de cola derecha

57 339 Tabla de porcetajes de la fució iversa acumulada, distribució F, área de cola derecha

58 340 Tabla de porcetajes de la fució iversa acumulada, distribució F, área de cola derecha

59 Tabla de porcetajes de la fució iversa acumulada, distribució F, área de cola derecha 34

60 34 Tabla de porcetajes de la fució iversa acumulada, distribució F, área de cola derecha

61 343 Tabla de porcetajes de la fució iversa acumulada, distribució F, área de cola derecha

62 344 Tabla de porcetajes de la fució iversa acumulada, distribució F, área de cola derecha

63 345 Tabla de porcetajes de la fució iversa acumulada, distribució F, área de cola derecha

64 346 Tabla de porcetajes de la fució iversa acumulada, distribució F, área de cola derecha

65 Bibliografía Bibliografía básica Medehall, William, Richard L. Scheaffer y Deis D. Wackerly, Estadística matemática co aplicacioes, Grupo Editorial Iberoamérica, 994. Por medio de esta obra se puede ampliar los coocimietos sobre las multivariables y distribucioes muestrales (uidad 9), así como los modelos cotiuos y discretos (uidades 5 a 8). Meyer, Paul L., Probabilidad y aplicacioes estadísticas, Addiso-Wesley Iberoamericaa (edició revisada), 99. Este texto es propicio para los estudiates que quiera resolver problemas referetes a los temas de las uidades -0 co mayor grado de dificultad. Motgomery, Douglas C. y George C. Ruger, Probabilidad y estadística aplicadas a la igeiería, McGraw-Hill, México, 996. Este texto es propicio para ampliar los coocimietos sobre estadística descriptiva e iferecial (uidades y 0 del presete libro, respectivamete) y los modelos cotiuos y discretos (uidades 5 a 8). Walpole, Roald E., y Raymod H. Myers, Probabilidad y estadística, Pearso Educació, 998. Este texto es propicio para ampliar los coocimietos sobre estadística iferecial (uidad 0) y modelos cotiuos y discretos (uidades 5 a 8). Bibliografía complemetaria Devore, Jay L., Estadística matemática co aplicacioes, Thomso Editores, 998. Gutiérrez Gozález, Eduardo y Olga Vladimirova Pateleeva, Fudametos de la teoría de las probabilidades para igeiería y ciecias, Libudi, México, 000., Tablas y formulas estadísticas, Libudi, México, 000. Medehall, William, y Terry Sicich, Probabilidad y estadística para igeiería y ciecias, Pretice-Hall, 997.