Resumen Tema 2: Muestreo aleatorio simple. Muestreo con probabilidades desiguales.

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1 Resume Tema 2: Muestreo aleatorio simple. Muestreo co probabilidades desiguales. M.A.S.: Muestreo aleatorio simple co probabilidades iguales si reemplazo. Hipótesis: Marco perfecto, si omisioes i duplicados y elemetos bie defiido. Se trata del muestreo más básico y simple que se puede realizar. o se presupoe iformació a priori y sirve para comparar co otro tipos de muestreo. Si otro muestreo o es mejor teóricamete co igual costes, suele rechazarse el otro por su mayor complejidad. Es el método más importate e poblacioes fiitas. Cosiste e: Se seleccioa uidades distitas de etre uidades poblacioales de la població U, co el diseˆo muestral d = (S d, P d ). S d : El espacio muestral esta formado por todos las muestras de tamaˆo que se puede obteer de U. P d : La distribució de probabilidad que se toma es la distribució uiforme. M.A.S.(, ) P d : S d [0, 1] P d (s) = ( 1 ) Para realizar u M.A.S. se debe ordear todos las posibles muestras de uidades distitas de la població (poco práctico si es grade), y seleccioar ua de ellas. Debido a que dicho proceso puede ser excesivamete laborioso se hace u esquema alterativo para realizar el muestreo que respeta las probabilidades de cada muestra de ser elegida: Proceso para realizar u M.A.S. 1- Partimos de U població co uidades. 2- Extraemos sucesivamete e idepedietemete las uidades co probabilidades iguales, 1 e cada extracció, a para t = 0, 1,, 1. t 3- Ua vez seleccioada ua uidad de la població esta se excluye para que todas las sea distitas. Co este método se verifica que p(s) co s S d es ( ) 1 ya que hay ( ) elemetos e Sd. Probabilidades de iclusió π i : p(u i muestra elegida) = j=1 p(u i sea elegida e la extracció j-ésima) = = = = 1

2 ( ) 2 Casos favorables π ij : Casos posibles = úmero de muestras que cotiee a u i, u j = úmero total de muestras 2 ( ) = ( 1) ( 1) Parámetros Estimadores Variazas Estimadores isesgados isesgados variaza Total X = X = x V ( X) 2 (1 f) = S 2 V ( X) 2 (1 f) = s 2 Media X = 1 Proporció P = 1 x = 1 p = 1 V (x) = 1 V (p) = 1 σ 2 PQ V (x) = (1 f) V (p) = 1 s 2 pq 1 Dode = { 1 si ui U 0 e caso cotrario π i =, π ij = ( 1) ( 1), f(1 f) ij = π ij π i π j = < 0, 1 s 2 = 1 ( x) 2, que es la cuasivariaza muestral. Si S 2, es decir la cuasivariaza 1 poblacioal, es grade debemos tomar ua muestra de tamaˆo grade para que V sea pequeˆa y el error muestral sea pequeˆo. Si S 2 es pequeˆa, os basta co tomar ua (1 f) muestra de tamaˆo pequeˆa para que V sea adecuada ya que V (x) = S 2 f = [0, 1] que es la fracció de muestreo. f vale 0 cuado o hay represetació de la població e la muestra y vale 1 cuado toda la població está e la muestra. 1 f = Estimació de los Itervalos de Cofiaza es el coeficiete de correcció por fiitud. Desigualdad de Chebichef: IC para θ co ivel de cofiaza 1 1/k 2 ( ) θ k V ( θ), θ + k V ( θ) 2

3 Teorema Cetral de Límite ( grade > 35): IC para θ co ivel de cofiaza 1 α. ) ( θ z α/2 V ( θ), θ + z α/2 V ( θ) Determiació del tamaˆo muestral para u error máximo admisible e = θ θ co ivel de cofiaza p k : = o dode Media poblacioal X: 0 = k2 S 2 e 2, Total poblacioal X: 0 = 2 k 2 S 2 e 2, Media poblacioal P : 0 = k2 P Q e 2. Debe tomarse como tamaˆo muestral el valor etero más próximo por exceso al obteido e la fórmula. Para el M.A.S. co reemplazamieto se verifica = 0. A saber: - 0, luego el M.A.S. si reposició tedrá meor tamaˆo que el M.A.S. co reposició para u mismo e. - aumeta se e dismiuye. - Si el ivel de cofiaza aumeta, es decir 1 α aumeta, etoces aumeta. - Si S 2 aumeta, etoces aumeta para u mismo e. Luego si la població es homogéea, basta u tamaˆo muestral pequeˆo para estimar co ua precisió aceptable. Como el tamaˆo muestral depede de S 2 poblacioal o del P poblacioal, si dichos valores so descoocidos se puede aproximar: - Si se tiee u valor de S 2 de ecuestas ateriores se puede usar. - Si se cooce u itervalo de variació para S 2, se toma el valor máximo del mismo dado u tamaˆo muestral mayor. - Si se cooce el rago de variació de la variable, se puede aproximar S por el cociete rago. 4 - Si o se sabe ada y queremos u valor de segú u valor de P, se toma P = 0.5 que dará el tamaˆo máximo. - Si o se está e iguo de los casos ateriores, se toma ua muestra piloto para estimar S 2 y luego se calcula el tamaˆo adecuado para la muestra. 3

4 - Procedimieto alterativo (Stei): Se toma ua muestra prelimiar de tamaˆo i. Se calcula s 2 1 para estimar S 2. Por último se toma ua muestra adicioal de tamaˆ o 1 dode es el calculado co la fórmula ates idicada usado la estimació obteida co la primera muestra. M.A.S.: Muestreo aleatorio simple co probabilidades iguales co reemplazo. Hipótesis: Marco perfecto, si omisioes i duplicados y elemetos bie defiido. Este método cosiste e: Se seleccioa uidades de etre uidades poblacioales de la població U, co el diseˆo muestral d = (S d, P d ). S d : El espacio muestral esta formado por todos las muestras de tamaˆo que se puede obteer de U, pudiédose repetir los elemetos e cada muestra. P d : La distribució de probabilidad que se toma es la distribució uiforme. M.A.S.(, ) P d : S d [0, 1] P d (s) = 1 Para realizar u M.A.S. co reemplazo se debe ordear todos las posibles muestras de uidades de la població (poco práctico si es grade), y seleccioar ua de ellas. Debido a que dicho proceso puede ser excesivamete laborioso se hace u esquema alterativo para realizar el muestreo que respeta las probabilidades de cada muestra de ser elegida: Proceso para realizar u M.A.S. 1- Partimos de U població co uidades. 2- Extraemos sucesivamete e idepedietemete las uidades co probabilidades iguales, e cada extracció, a Ua vez seleccioada ua uidad de la població esta se repoe a la població. Co este método se verifica que p(s) co s S d es ya que hay elemetos e S d. Probabilidades de iclusió π i = π ij = 4

5 Parámetros Estimadores Variazas Estimadores isesgados isesgados variaza Total X = X = x V ( X) = 2 σ2 V ( = 2 s 2 Media X = 1 x = 1 V (x) = σ2 V (x) = s2 Proporció P = 1 p = 1 V (p) = PQ V (p) = pq 1 Estimació de los Itervalos de Cofiaza Desigualdad de Chebichef: IC para θ co ivel de cofiaza 1 1/k 2 ( θ kêm( θ), θ + kêm( θ) ) Teorema Cetral de Límite ( grade > 35): IC para θ co ivel de cofiaza 1 α. ( θ zα/2 êm( θ), θ + z α/2 êm( θ)) Determiació del tamaˆo muestral para u error máximo admisible e = θ θ co ivel de cofiaza p k : = o dode Media poblacioal X: = z2 α/2 S2 e 2, Total poblacioal X: 0 = 2 z 2 α/2 S2 e 2, Media poblacioal P : 0 = z2 α/2 P Q e 2. Debe tomarse como tamaˆo muestral el valor etero más próximo por exceso al obteido e la fórmula. Si el valor de σ 2 es descoocido se debe actuar como e el M.A.S., tomado el valor de estimacioes ateriores, o el valor máximo co que se pueda acotar, y para P se debe usar el valor 0.5 si se descooce. 5

6 Muestreo co probabilidades desiguales co reemplazo. Estimador de Hase Hurwitz. Hipótesis: Marco perfecto, si omisioes i duplicados y elemetos bie defiido. Este método cosiste e: Se seleccioa uidades de etre uidades poblacioales de la població U, co el diseˆo muestral d = (S d, P d ). El espacio muestral esta formado por todos las muestras de tamaˆo que se puede obteer de U, pudiédose repetir los elemetos e cada muestra, dode la probabilidad de cada u i es p i distita para cada uidad poblacioal. Probabilidad de iclusió: π i =p(u i s) = 1 (1 p i ) Estimadores Variazas Estimadores isesgados isesgados variaza ( ) 2 xi V ( p X HH ) = 1 ( ) 2 xi p X HH 2 X p i V ( i XHH) = i p i ( 1) X HH = 1 x HH = 1 P HH = 1 V ( x HH ) = 1 1 p i 2 V ( p P HH ) = 1 1 i 2 ( ) 2 xi X p i V ( x HH) = 1 p i 2 ( ) 2 Ai P p i V ( PHH) = 1 p i 2 ( xi ( Ai p i ) 2 X 2 HH ( 1) ) P HH p i ( 1) Si los p i so proporcioales a los, etoces el estimador de Hase-Hurwitz coicide co el verdadero valor del parámetro y la variaza se aularía, sería parámetros perfectos. Por ello se suele usar probabilidades proporcioales a ua variable coocida y i relacioada co los. Si y i = M i, es decir, tomamos como valor de la variable coocida el tamaˆo de la uidad i, etoces M = M i y p i = M i M. Proceso para seleccioar ua muestra: 1- Método de las probabilidades acumuladas. E primer lugar se calcula ua columa de i valores B i acumulado los valores p i, es decir B i = = p 1 + p p i. A cotiuació se seleccioa u valor aleatorio e etre (0, 1) y se comprueba etre que dos valores de B i se ecuetra dicho valor, B i 1 < e B i. Se debe elegir para la muestra la uidad u i y repetir el proceso hasta alcazar el tamaˆo muestral deseado. j=1 p j 6

7 2- Método de Lahiri. Para comezar se debe calcular el máximo de los p i e la població, q = máx p i. A cotiuació se geera dos úmero aleatorios i U[1, ] y r U[0, q]. Si i U r p i se debe seleccioar la uidad u i de la població y si r > p i o se seleccioa igua uidad. El proceso se repite hasta obteer algua uidad, y luego hasta completar el tamaˆo muestral. Muestreo co probabilidades desiguales si reemplazo. Estimador de Horvitz Thompso. Hipótesis: Marco perfecto, si omisioes i duplicados y elemetos bie defiido. Este método cosiste e: Se seleccioa uidades de etre uidades poblacioales de la població U, co el diseˆo muestral d = (S d, P d ). El espacio muestral esta formado por todos las muestras de tamaˆo que se puede obteer de U, o pudiédose repetir los elemetos e cada muestra, dode la probabilidad de cada u i es p i distita para cada uidad poblacioal. Probabilidad de iclusió: π i =p(u i s) o puede calcularse. Si es coocido podemos usarlo e las fórmulas, o e caso cotrario puede tomarse π i = y i siedo Y ua variable auxiliar coocida relacioada co la variable X. y i Estimadores Variazas Estimadores isesgados isesgados variaza X HT = V ( π X ( ) 2 xi HT ) = π i (1 π i )+ V ( XHT ) = (π ij π i π j ) x j = 1 i π i π ij π i π j 1 x HT = 1 P HT = 1 i j=1 V ( x HT ) = 1 π i 2 V ( π P HT ) = 1 i 2 π i x j π j (π ij π i π j ) i,j=1 i,j=1 i<j=1 [ i,j s 1 (π i + π j ) + π 2 i ] (xi x j (π ij π i π j ) V ( x HT ) = 1 (π ij π i π j ) π i π j 2 A j π i π j (π ij π i π j ) V ( PHT ) = 1 π ij 2 (π ij π i π j ) π ij π i x j π j x j π i π j π i A j π j ) 2 Proceso para seleccioar ua muestra: 1- Aproximació por ua extracció co reemplazo. 2- Método de Lahiri. Para comezar se debe buscar ua costate C tal que Max s y i < C, siedo y i los valores de la variable auxiliar. A cotiuació se geera u úmero 7

8 aleatorios e U[0, C] y ua muestra de uidades co probabilidades iguales y si reemplazo (M.A.S.). Si y i e la muestra elegida es válida. E caso cotrario hay que repetir el proceso hasta coseguir ua muestra adecuada. Es u método costoso y o se sabe de atemao cuatas operacioes hay que hacer. 3- Método de las extraccioes sistemáticas. E primer lugar se calcula ua columa de i valores C i acumulado los valores π i, es decir C i = = π 1 + π π i. A cotiuació se seleccioa u valor aleatorio e etre (0, 1) y se comprueba etre que dos valores de C i se ecuetra dicho valor, C i 1 < e C i. Se debe elegir como primera uidad para la muestra la uidad u i y repetir el proceso veces sumado 1 cada vez a e. Es u método complicado de implemetar. j=1 π j 8