UNIVERSIDAD DE ATACAMA

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1 UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA RECUPERATIVA N 2 Profesor: Hugo S. Salias. Segudo Semestre 2009 DESARROLLO 1. U sistema cueta co u gra úmero de compoetes de u mismo tipo. Supogamos que el tiempo de falla T medido e horas) de cualquiera de estas compoetes sigue aproximadamete ua distribució ormal, co media 100 horas y desviació estádar 20 horas. a) Calcular la probabilidad de que ua compoete dada dure más de 110 horas. Sea T N100, 20) y Z N0, 1), etoces: PT > 110) = 1 PT 110) ) = 1 P Z 20 = 1 PZ 0.5) = = ptos.) b) Se desea dar ua garatía de reemplazo para cualquier compoete que dure meos de M horas. Ecotrar el valor de M para que la probabilidad de que se haga efectiva la garatía sea sólo u 1 %. PT M) = 0.01 P Z M 100 ) = M = 2.32 M = ptos.) c) Cosiderar 20 compoetes co tiempos de falla idepedietes esto es, si T 1,..., T 20 so los tiempos de falla, los evetos {T i > t i } so mutuamete idepedietes para todo t i ), cada ua co la distribució ates mecioada. Calcular la probabilidad de que a lo más dos compoetes dure más de 100 horas. PAUTA PRUEBA RECUPERATIVA N 2: EYP 1

2 Sea X : úmero de compoetes que dura más de 100 horas, e ua muestra de 20 compoetes. Por lo tato, X Bi20, p) co p = PT > 100) p = PT > 100) = 1 PT 100) = 1 PZ 0) = = 0.5 Lo que se pide es: PX 2) = 2 x=0 ) ) 20 = x = 211 = ptos.) 2. Resolver: a) U supervisor del proceso de empacado de café e sobres, seleccioa ua muestra aleatoria de 12 sobres y mide el peso eto de los sobres, obteiedo la siguiete iformació: 15.7, 15.8, 15.8, 15.9, 15.9, 16.0, 16.0, 16.0, 16.1, 16.1, 16.1 y Si el peso eto de los sobres sigue ua distribució ormal, determiar u itervalo al 90 % de cofiaza para la media. 1/2. Primero calculamos la desviació estádar de los datos, es decir S = 1 X2 X )) 2 E efecto: Luego X = Xi = = , X 2 = X 2 i = = S 2 = 12 [ ] ) 2 = S = 0.02 = El itervalo de cofiaza IC) para la media, co u 90 % de cofiaza está dado por: µ ± ) 12 Pues al 90 % de cofiaza, el ivel de sigificacia es α = 0.1, etoces t 11;0.1 = , luego: µ 15.90; 16.04) b) E u país orietal se desea estudiar la variable altura de los idividuos. Para esto se realizó u estudio piloto co ua muestra de persoas la cual arrojó ua media de 170 cm. Calcular el tamaño que debería teer la muestra para obteer u itervalo de cofiaza al 99 % co ua precisió error) de u cetímetro. Usar σ = 10. Además asumir que la altura de los idividuos distribuye ormal. PAUTA PRUEBA RECUPERATIVA N 2: EYP 2

3 Se sabe que µ = X ± ε dode ε = z α σ. Se debe resolver la ecuació: 1 = Pues al 99 % de cofiaza, el ivel de sigificacia es α = 0.01, etoces z 0.01 = 2.57, luego = 661. c) Supogamos que a partir de ua muestra aleatoria de tamaño 25, se ha podido establecer u itervalo de cofiaza para la media poblacioal que va desde 68 a 72 uidades de medida para u α = Ecotrar u itervalo al 95 % de cofiaza para la media poblacioal. Asumir que la variaza poblacioal es coocida. Del item b) vimos que z 0.01 = Luego, del euciado se desprede que X 2.57 σ = 68, X σ = Resolviedo para X, se tiee que X = 70 y el error 2.57 σ = 2. Por lo tato σ = Fialmete, el IC para la media, co u 95 % de cofiaza está dado por: µ 70 ± ) 5 Pues al 95 % de cofiaza, el ivel de sigificacia es α = 0.05, etoces z 0.05 = 1.96, luego: µ 68.48; 71.52) d) Se toma ua muestra de 50 cascos de suspesió utilizados por los corredores de motos y los coductores de automóviles del Dakar 2010 y se sujeta a ua prueba de impacto. E 18 de los cascos se observa cierto daño. i. Ecotrar u itervalo al 95 % de cofiaza para la verdadera proporció de cascos de este tipo que demostrara daño como resultado de la prueba. E primer lugar, el estimador de la verdadera proporció está dado por p = 18 = Por lo tato, el IC para la proporció, co u 95 % de cofiaza está dado por: ) 0.36)0.64) p 0.36 ± Pues al 95 % de cofiaza, el ivel de sigificacia es α = 0.05, etoces z 0.05 = 1.96, luego: p 0.23; 0.49) PAUTA PRUEBA RECUPERATIVA N 2: EYP 3

4 ii. Al utilizar la estimació putual de p obteida a partir de la muestra prelimiar de 50 cascos. Cuátos cascos debe probarse para teer ua cofiaza del 95 % que el error al estimar el verdadero valor de p sea meor que 0.02? De acuerdo a lo aterior, se debe resolver la desigualdad: 1.96 Por lo tato > )0.64) < < ) El gimasio Pik Gym ha comprobado que el 20 % de sus alumos se da de baja durate el primer mes y el 80 % restate permaece todo el año. Supogamos que este año se iscribiero 20 alumos. a) Idetificar la variable aleatoria del problema e idicar el ombre de su distribució. Segú lo señalado e el euciado, defiimos coveietemete la variable aleatoria v.a.) Y : úmero de alumos que se da de baja el primer mes. Los posibles valores de esta v.a. so 0, 1,..., 20. De este modo Y Bi20, 0.2). 3 ptos.) b) Cuál es la probabilidad de que 2 o meos se de de baja? : Nos pide 2 ) 20 PY 2) = 0.2) y 0.8) 20 y = y 5 ptos.) y=0 c) Cuál es la probabilidad de que exactamete se de de baja 4 alumos? Nos pide calcular ) 20 PY = 4) = 0.2) 4 0.8) 16 = ptos.) d) Cuál es la probabilidad de que se de de baja más de 3 alumos? Pide calcular 5 ptos.) PY > 3) = 1 PY 3) = = e) Al hacer la iscripció se realiza u úico pago aual de 600 dólares. Cada alumo que permaece todo el año geera u gasto aual de 150 dólares. i. Cuál es el beeficio aual esperado? PAUTA PRUEBA RECUPERATIVA N 2: EYP 4

5 Por cada alumo teemos u igreso de 600 dólares. Como se ha iscrito 20 alumos teemos u igreso total de I = = dólares. Cada alumo que permaece todo el año geera u gasto aual de 150 dólares. Si Y es el úmero de alumos que se da de baja el primer mes, etoces el úmero de alumos que permaece todo el año es 20 Y. Por tato, el gasto aual es G = Y ). De esta maera, el beeficio aual es B = I G = Y ). Es decir: B = Y El beeficio aual esperado es EB). Aplicado que Ea+bY ) = a+bey ), teemos que: EB) = EY ) Como la variable Y Bi20, 0.2), etoces EY ) = p = = 4. Por lo tato, EB) = = ptos.) ii. Cuátos alumos se ha dado de baja el primer mes si al fial del año el gimasio ha obteido el beeficio esperado? Si el beeficio obteido es el esperado, esto es B = 9600 dólares, despejado Y e la expresió B = Y se sigue que Y = 4. Luego se ha dado de baja 4 alumos. 2 ptos.) 4. Los retrasos de vuelos e los aeropuertos es u feómeo comú para los pasajeros. La posibilidad de retraso depede de las codicioes climáticas y de la hora del día. La siguiete iformació está dispoible para uestro aeropuerto: E la mañaa AM), o hay retrasos si el bue tiempo prevalece. Si embargo, si hay mal tiempo la mitad de los vuelos se retrasa. Para el resto del día PM), las probabilidades de retraso durate el bue tiempo es 0.3 y co mal tiempo 0.9. El 30 % de los vuelos se realiza durate la mañaa AM), mietras que los restates se realiza durate la tarde PM). Teer mal tiempo es más probable e la mañaa, de hecho, el 20 % de las mañaas está asociadas co el mal tiempo. Mietras que sólo el 10 % de las horas PM ha presetado mal tiempo. Supoer que sólo existe dos estados del tiempo: bueo y malo. Co la iformació presetada: a) Traducir los datos del euciado, itroduciedo los sucesos coveietes. Sea los siguietes evetos BT : bue tiempo, MT : mal tiempo, R : hay retraso y NR : o hay retrasos. Del euciado es coveiete el siguiete esquema de árbol: PAUTA PRUEBA RECUPERATIVA N 2: EYP 5

6 b) Qué porcetaje de los vuelos de este aeropuerto se retrasa? Notar que: R = R AM BT ) R AM MT ) R P M BT ) R P M MT ) Etoces: PR) = PAM)PBT AM)PR AM BT ) + PAM)PMT AM)PR AM MT ) + PP M)PBT P M)PR P M BT ) + PP M)PMT P M)PR P M MT ) De lo aterior se tiee lo siguiete: PR) = 0.3)0.8)0) + 0.3)0.2)0.5) + 0.7)0.9)0.3) + 0.7)0.1)0.9) = c) Si el vuelo es retrasado, cuál es la probabilidad que sea causa del mal tiempo? Se pide lo siguiete: PMT R) = PR MT ) PR) = 0.3)0.2)0.5) + 0.7)0.1)0.9) = dode PR MT ) = PR MT AM) + PR MT P M) = PAM)PMT AM)PR AM MT ) + PP M)PMT P M)PR P M MT ) PAUTA PRUEBA RECUPERATIVA N 2: EYP 6

7 d) Qué porcetaje de vuelos matiales e este aeropuerto so retrasados? Se pide: PR AM) = PR AM) PAM) = 0.3)0.8)0) + 0.3)0.2)0.5) 0.3 = 0.1 dode PR AM) = PR AM BT ) + PR AM MT ) = PAM)PBT AM)PR AM BT ) + PAM)PMT AM)PR AM MT ) PAUTA PRUEBA RECUPERATIVA N 2: EYP 7